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L'intégrale de Lebesgue
 pour les nuls presque partout
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Théorie des pseudo-mesures

Une présentation constructive de l'intégrale de Lebesgue

Auteur : Daniel ENGEL

Ce livre, édité
directement en PDF, constitue le développement d’une thèse
soutenue le 13 février 2007 à l’Université de Franche-Comté (Besançon)
sous la direction du professeur Henri LOMBARDI.
L'objectif est de donner enfin, un siècle après son invention,
 des bases intellectuellement satisfaisantes à l’intégrale de Lebesgue,
ainsi qu’à sa généralisation aux espaces infinidimensionnels
sous-jacents à la théorie moderne des probabilités.



RESUME

   Contrairement aux présentations traditionnelles de l'intégrale de Lebesgue, qui nécessitent des raisonnements délicats sur des objets malaisés (boréliens, ensembles de mesure nulle, etc...), nous proposons une construction de nature différente, élaborée à partir de concepts plus significatifs et plus performants. Les objets de base de notre théorie sont les pseudo-mesures, c'est-à-dire les formes linéaires normées sur l’espace vectoriel des fonctions étagées (muni de la norme uniforme). Cette présentation inédite permet de définir les concepts fondamentaux avec une absolue clarté, d'aboutir rapidement à des théorèmes substantiels et d'unifier les traitements, habituellement séparés, des mesures et des fonctions sommables/mesurables. Nous utilisons pour cadre général les espaces de Riesz, c'est-à-dire les espaces vectoriels ordonnés possédant une valeur absolue (à valeurs dans l'ensemble des éléments positifs de l'espace).


Mots-clés

  Intégrale de Lebesgue, Pseudo-mesure, Mesure, Fonctionnelle, Espace de Banach, Espace de Riesz, Probabilités

ABSTRACT

   Contrary to the traditional presentations of the Lebesgue integral, that require delicate reasonings about awkward objects (null sets, Borel sets, etc...), we propose a construction of a different nature, elaborated out of more meaningful and effective concepts. The basic objects of our theory are the pseudo-measures, viz. the normed linear forms on the vector space of the step functions (with the sup norm). This novel presentation allows us to define the fundamental concepts with absolute clarity, to come rapidly to substantial theorems and to unify the usually separated treatments of measures and summable/measurable functions. As a general setting we use the Riesz spaces, which are the ordered vector spaces possessing an absolute value (with values in the set of positive elements of the space).


Keywords

  Lebesgue integral, Pseudo-measure, Measure, Functional, Banach space, Riesz space, Probability theory




INTRODUCTION

TABLE DES MATIERES
(html)

CONVENTIONS GENERALES


Première Partie : Intégration sur [a,b]

CHAPITRES I à IV  
(1- 54)

 CHAPITRES V à IX  
(55-104)

  CHAPITRES X à XI  
(105-142)

ANNEXE  

Deuxième Partie : Intégration sur R

 CHAPITRES XII à XIV  
(143-158)

Troisième Partie : Intégration sur R2

 CHAPITRES XV à XVI  
(159-190)

Quatrième Partie : Espaces associés

CHAPITRES XVII à XIX  
(191-216)

Cinquième Partie : Intégration sur Zp

CHAPITRES XX à XXII  
(217-242)

Sixième Partie : Intégration sur les espaces de suites

CHAPITRES XXIII à XXIV  
(243-268)


BIBLIOGRAPHIE

INDEX DES NOTIONS

INDEX DES NOTATIONS

     
           
Mis en ligne : Décembre 2008

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