\documentclass[a4paper]{report}
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\setcounter{page}{243}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\new}{\newcommand}

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\new{\initnumm}{\setcounter{numm}{0}}
\new{\initnm}{\setcounter{nm}{1}}

\new{\Num}{\stepcounter{Num}\S\;\theNum\ha.\,\ }
\new{\num}{\stepcounter{num}\theNum\ha.\hb\thenum\ha.\,}
\new{\numm}{\stepcounter{numm}\thenumm\ha.\,}
\new{\nm}{\stepcounter{nm}\thenm\ha)\hh}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\new{\R}{\mrom{I}\hs{-.6mm}\mrom{R}}
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\new{\RIP}{\raisebox{.5mm}{\big(}\RI\raisebox{.5mm}{\big)}}
\new{\Rn}{(\hw\R\hw^n)}

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\new{\TX}{\tsf{T}}
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\new{\JJ}{\mbof{\mrom{J}}}

\new{\f}{\mrom{f}}
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\new{\h}{\mrom{h}}

\new{\A}{\mcal{A}}
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\new{\PMX}{\PM^\bul}
\new{\PMB}{\PM\hw_B}
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\new{\NN}{\mcal{N}}
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\new{\BB}{\,,\hs{-1.5mm}\mcal{B}}
\new{\KK}{\mcal{K}}
\new{\WW}{\mcal{W}}
\new{\WB}{\WW_{\hw B}}
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\new{\MX}{\MM\hw^\bul}
\new{\HH}{\mcal{H}}
\new{\BA}{\BB\A}
\new{\SC}{\mcal{S}}
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\new{\PS}{\mcal{PS}}
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\new{\Lam}{\Lambda}
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\new{\Sig}{\Sigma}
\new{\om}{\omega}
\new{\Om}{\Omega}
\new{\POm}{(\Om)}
\new{\Omj}{\Om\ha_j}

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\new{\taun}{\tau_{\hw n}}

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\new{\tpi}{\til{\pi}}
\new{\tphi}{\til{\phi}}
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\new{\all}{\forall\:}
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\new{\imp}{\Rightarrow}
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\new{\sam}{\Leftrightarrow}
\new{\too}{\longrightarrow}
\new{\down}{\downarrow}
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\new{\tto}{\mapsto}
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\new{\ve}{\vee}
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\new{\cir}{\circ}
\new{\el}{\ell}
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\new{\FP}{\big)\!\big)}
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\new{\leb}{\ens{\hs{-.35mm}\un\hs{-.35mm}}}
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\new{\uno}{\mbof{1}}
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\new{\dec}{_{\down}}
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\new{\lan}{\langle}
\new{\ran}{\rangle}
\new{\ten}{\otimes}
\new{\mm}{\wh{m}}
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\new{\Inv}{\dis\inv}
\new{\Frac}{\dis\frac}

\new{\sm}{\stack{\tsf{S}}{\to}}
\new{\st}{\stack{\star}{\to}}
\new{\one}{\stack{1}{\to}}
\new{\two}{\stack{2}{\to}}
\new{\fin}{\stack{\tim}{\to}}
\new{\pp}{\:\stack{\mrom{p\ha p}}{\to}\:}

\new{\ENS}[1]{\{#1\}\ha_{\tmu}}
\new{\inv}[1]{\frac{1}{#1}}
\new{\ens}[1]{\big\{#1\big\}}
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\new{\bNONE}[1]{\big\|#1\big\|_{\,\tmu\ha,\hw1}}
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\new{\limone}[1]{\under{#1}{^1\hw\mrom{lim}}}
\new{\limtwo}[1]{\under{#1}{^2\hb\mrom{lim}}}

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\new{\suplim}[1]{\under{#1}{\overline{\mrom{lim}}}}

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\new{\Inflim}[1]{\under{#1}{\underline{\mrom{Lim}}}}
\new{\Suplim}[1]{\under{#1}{\overline{\mrom{Lim}}}}

\new{\Exp}[1]{e\,\rbox{1.5mm}{$#1$}}

\new{\hs}{\hspace}
\new{\hw}{\hs{.1mm}}
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\new{\hh}{\ \ }
\new{\hhh}{\hh\hh}
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\new{\re}{\hs{-.125mm}}
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\new{\hi}[1]{\rbox{.25mm}{#1}}
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\new{\pb}{\hi{)}}

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\new{\vk}{\vskip}

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\new{\vwaa}{\hb.\vvwaa}
\new{\vwa}{\hb.\vvwa}
\new{\va}{\hb.\vva}
\new{\vaab}{\hb.\vvaab}
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\new{\HO}{\ph{\hat{\bar{l}}}}
\new{\lo}{\ph{\c i}}

\new{\e}{\'e}
\new{\ee}{\`e}
\new{\ac}{\`a}
\new{\ou}{o\`{u}}
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\new{\coel}{\tsf{c\ha o\ha e\ha l}}
\new{\val}{v.\,a\ha.}
\new{\PP}{p\ha.\ha p\ha.}

\new{\vv}{\,,\,}
\new{\vvv}{\,,\hb}
\new{\vg}{\vv\ }
\new{\pt}{\,.\,\ }
\new{\pv}{\,;\:\ }

\new{\theo}{th\e or\ee me}
\new{\Theo}{Th\e or\ee me}
\new{\pms}{\mbox{pseudo\ha-}mesure}

\new{\Def}[1]{#1 \underline{D\e finition}\dd}
\new{\Th}[1]{#1 \underline{Th\e or\ee me}\dd}
\new{\Cor}[1]{#1 \underline{Corollaire}\dd}
\new{\Lem}[1]{#1 \underline{Lemme}\dd}

\new{\Rem}{\underline{Remarque}\dd}
\new{\Not}{\emph{\underline{Notation}}\dd}
\new{\Dem}{\hhh\underline{D\e m}\dd}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\centerline{\fbox{\,\textbf{SIXIEME PARTIE}$\ph{\big|\dot{l}}$\hs{-2mm}}}\vvbc
\centerline{\fbox{\:\Large{\textbf{\tsf{Int\e gration sur les espaces de suites$\ph{\big|}$}}}\!}}\vs{12.5mm}


\centerline{\textbf{CHAPITRE\, XXIII}}\vva
\centerline{\textbf{ESPACES DE SUITES}}\vvc

\oui Les espaces de suites constituent le cadre naturel dans lequel traiter les probl\ee mes relatifs aux\,
\underline{processus stochastiques}\vg en particulier ceux concernant les suites de variables al\e atoires
ind\e pendantes ou les martingales\pt Nous commen\c cons par le cas tr\ee s particulier du produit cart\e sien
d'une suite d'ensembles finis\vg qui est un espace topologique compact\vg et qui permet d'introduire de
mani\ee re simple et significative les concepts de base\vpt
\oui Nous r\e examinons ensuite ces concepts pour l'espace vectoriel des\, \underline{suites r\e elles}\,\vg
muni d'une topologie convenable\vg qui  constitue l'espace fondamental de la th\e orie des processus\pt
Cet espace n'\e tant pas localement compact\vg contrairement aux espaces\, $\R^n$\ha,\, nous
serons amen\e s \ac\ travailler avec une compacit\e\, \underline{pseudo\ha-locale}\vg utilisant une famille
de compacts\ha\ suffisamment repr\e sentatifs\, :\, les \emph{compacts \e l\e mentaires}\vd


\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Les espaces\, $\Om$}}\vvc

\oui Soit\, $\HZ\ha_i$\ha\ une suite d'ensembles\, \underline{finis} \,non vides\pv on note\, $\Om$\,
l'ensemble des suites\, $X$\, telles que\hh$\IN\:\ X(i)\in\HZ\ha_i$\pt On munit\, $\Om$\, de la topologie
de la convergence simple\, :\, une suite d'\e l\e ments\, $X_n\in\Om$\, converge simplement vers\:
$X\in\Om$\hh ssi\hh$\JN$\hh il existe\; $N\in\N$\; tel que\,\hh$\all i\le j\,\hh\all n\ge N\ha\hh X_n\hw(i)
=X(i)$\pv on \e crit\hh$X_n\sm X$\vw
L'espace\, $\Om$\, est hom\e omorphe au produit cart\e sien infini\, $\under{i\,\in\,\N}{\tsf{X}}\HZ\ha_i$\vb

\Rem$\ZP$\, est un cas particulier d'espace\, $\Om$\, :\, en effet\hh$\ZP$\, est hom\e omorphe \ac\, $\Om$\vvww
avec\hh$\IN\ha\hh\HZ\ha_i\ha=\ha\ens{\ha0\vv1\vv\ldots\vv p-1\hw}$\vbc

\Th{\num}$\Om$\, est un espace topologique\hb\ \fbox{\hw compact\hw}\vab

\Dem C'est un produit\ha\ (\ha d\e nombrable\ha)\ha\ d'espaces compacts\vbc

\Def{\num}Les\, \underline{boules}\, de\: $\Om$\: de centre\, $X\in\Om$\: sont les parties\vvwa
\hs{30mm}$B_{\ha j}\hb(X)\,=\,\big\{\hb Y\in\Om\;\big\|\ \all i\le j\hh Y(i)=X(i)\ha\big\}$\,\hh
avec\, $j\in\N$\vb

\Th{\num*}Les boules sont \ac\ la fois ouvertes et ferm\e es dans\: $\Om$\pt Une partie\, $A$\vvww de\: $\Om$\:
est ouverte\, ssi\,\hh$\all X\hs{-.5mm}\in A$\hh il existe une boule\, $B$\, avec\hh$X\hs{-.5mm}\in B\sub A$\vb

\Not On note\: $\FF\hw\POm$\: l'alg\ee bre des fonctions\, \underline{born\e es}\,\hh$\Om\to\R$\vg que l'on
munit de la norme uniforme\hh$\|\ha f\ha\|=\sup\pos_{X\ha\in\;\Om}\, |\ha f(X)\ha|$\vbc

\Th{\num*}Une fonction\hh$f\::\ \Om\to\R$\hh est continue en\; $X\in\Om$\hh ssi\hh$\all\eps>0$\vvw
il existe\, $j\in\N$\, tel que\hh$\al\ Y\!\in\Om$\,\hh\fbox{\,$\big[\ \all i\le j\ha\hh Y(i)=X(i)\:\big]$\ho\
$\imp\:|\ha f(Y)-f(X)\ha|\le\ha\eps$\,}\ha\vbc

On note\: $\CC\ha\POm$\: l'alg\ee bre des fonctions continues\hh$\Om\to\R$\pt On a clairement\hh
\mbox{$\CC\ha\POm\ha\sub\hb\FF\hw\POm$\ha.}\vva

On pose\,\hh$\JN$\,\hh\fbox{\,$\Omj\ha=\under{i\,\le\,j}{\tsf{X}}$\ho\!$\HZ\ha_i$\,}\hh et on note\:
$\FF\hw(\Omj)$\: l'alg\ee bre des fonctions\hh$\Omj\to\R$\vc

\Def{\num}Soit\: $j\in\N$\pv pour toute fonction\ha\ $f\rs\in\FF\hw(\Omj)$\, on\: \underline{identifie}\, $f$\,
\ac\ha\ la fonction de\, $\FF\hw\POm$\, d\e finie par\vvab\hs{30mm}
\fbox{\,$f\hb:\:\Om\to\R$\ho$\::\,X\tto f\hb\big[\hb X(0)\vv X(1)\vv\ldots\vv X(j)\ha\big]$\ha}\ha\vc

\Th{\num*}$\FF\hw(\Omj)$\, est une alg\ee bre de Riesz\ha\ (\ha finidimensionnelle\ha)\, et\, $\JN$\vva
\hs{52.5mm}\fbox{\,$\FF\hw(\Omj)\ha\sub$\ho\,$\FF\hw(\Om\hb_{j\hw+1})\ha\sub\,\CC\ha\POm$\ha}\vc

\Not On pose\,\hh\fbox{\:$\EE\ha\POm\ha\ph{\wh{|}}\hs{-1mm}=\!\bigcup\pos_{j\,\in\,\N}\FF\hw(\Omj)$\ha}\,
$\sub\:\CC\ha\POm$\vbc

Les \e l\e ments de l'alg\ee bre\ha\ de Riesz\hh$\EE\ha\POm$\hh s'appellent les\, \underline{fonctions
\e tag\e es}\, sur\, $\Om$\pv\\ ce sont des combinaisons lin\e aires de fonctions caract\e ristiques de boules
de\, $\Om$\vb

\Th{\num*}$\EE\ha\POm$\, est dense dans\, $\CC\ha\POm$\, pour la norme uniforme\vbc

\num\ \underline{D\e finition fondamentale}\dd\\
\begin{picture}(,)
\put(5,-4){Une\, \underline{mesure}\, sur\, $\Om$\, est un \e l\e ment du\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de
l'espace norm\e\hb\ $\big(\hb\EE\ha\POm\ha,\hb\|\ \|\hb\big)$.}
\put(3,-7){\frm(145,8)}
\end{picture}\vvc

\underline{Ou encore}\, :\, Une mesure sur\, $\Om$\, est une forme lin\e aire\hh
$\tmu\, :\, \EE\ha\POm\to\R$\vva v\e rifiant la propri\e t\e\dd\fbox{\:Il\ha\ existe\ho\ $M>0$\ha\hh tel\ha\
que\,\hh$\all f\in\ha\EE\ha\POm\,\hh|\hb\tmu\ha(f)\hw|\hb\le\hb M\,\|\ha f\ha\|$\hb.\hw}\vvab

On note\hh$\MM\hw\POm$\hh l'espace vectoriel des mesures sur\, $\Om$\vab

Autrement dit\: \fbox{\:$\MM\hw\POm$\,\ho est le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace norm\e\, $\big(\hb\EE\ha\POm\ha,\hb\|\ \|\hb\big)$}\,.\vvab
On munit\, $\MM\hw\POm$\, de la\ha\ \textbf{norme duale\, $\nst{\ }$}\vb

\newpage
\emph{\underline{Notation\ha\ int\e grale}}\dd$\all\tmu\in\MM\hw\POm\,\hh\all f\in\ha\EE\ha\POm$\,\hh on note\vvab
\hs{45mm}\fbox{\:$\Int_{\ha\Om}f\ha(X)\;\tmu\hb(X)\hb=\int_{\ha\Om}f\hab\tmu\,=\,\tmu\,(f)$\,}\ha\vc

\Def{\num}Soit\; $\tmu\in\MM\hw\POm$\pv $\JN$\hh on note\hh$\tmuj$\, la\, \underline{restriction}\, de\, $\tmu$\,
\ac\, \mbox{$\FF\hw(\Omj)$\ha.}\vvww $\tmuj$\, peut \^etre consid\e r\e\ de mani\ee re naturelle comme une mesure sur\, $\Omj$\vaab

R\e ciproquement soit une suite de mesures\; $\tmu\ha_j$\: sur\: $\Omj$\: telle que\,\hh
$\sup\pos_{j\,\in\,\N}$\,\ho$\nst{\,\tmu\ha_j\ha}<\pin$\vvw et\,\hh
$\JN\,\hh\all f\in\ha\EE_j\hb\POm\,\hh\tmu\hab_{j\,+1}\ha(f)\hw=\hb\tmu\ha_j\,(f)$\pv alors la suite\:
$\tmu\ha_j$\: d\e finit de mani\ee re\vvwa  naturelle une mesure sur\, $\Om$\vg ce que l'on peut \e noncer dans le \theo\ suivant\, :\vvb

\Th{\num*}La donn\e e d'une mesure\; $\tmu\in\MM\hw\POm$\; est \e quivalente \ac\ la donn\e e d'une suite de mesures\: $\tmu\ha_j$\: sur\: $\Omj$\:
telle que\vvaab\hs{10mm}\fbox{\,$\sup\pos_{j\,\in\,\N}$\,\ho$\nst{\,\tmu\ha_j\ha}<\pin$\ha}\:\quad\low{et}\,\quad
$\JN\,\hh\al\hb f\in\ha\FF\hw(\Omj)$\,\hh\fbox{\,$\tmu\hab_{j\,+1}\ha(f)\hw=\hb\tmu\ha_j\ha(f)$\ha}\ha\vab
La suite\, $\nst{\hb\tmu\ha_j\ha}$\, est alors croissante et on a\,\hh
\fbox{\,$\nst{\,\tmu\ha}=\sup\pos_{j\,\in\,\N}$\hb\ho$\nst{\,\tmu\ha_j\ha}$\ha}\vc

\Rem Comme\, $\Omj$\, est un ensemble\, \underline{fini}\vg une mesure\: $\tmu\ha_j$\: sur\, $\Omj$\, est simplement une\,
``\,\underline{fonction de poids}\,"\, $\tmu\ha_j\,:\:\Omj\to\R$\vab

Les conditions du \theo\ pr\e c\e dent signifient donc explicitement\, :\vvab

\fbox{\;$\dis\sup_{j\,\in\,\N}\,\sum_{\om\,\in\,\Om\ha_j}|\hb\tmu\ha_j\hb(\hw\om)\ha|\,<\pin$\:}\hhh
\low{et}\hhh\fbox{\;$\JN\,\hh\all\om\in\Omj$\hh\fbox{$\dis\sum_{x\:\in\:\HZ_{\hw j\ha+1}}\hs{-1.5mm}
\tmu\hab_{j\,+1}\hb(\ha\om\ha,\ha x)\ha=\,\tmu\ha_j\hb(\hw\om)$}}\vvcd

\Th{\num*}$\all\tmu\vv\tnu\in\MM\hw\POm$\,\hh\quad\fbox{\;$\tmu\le\ha\tnu\ \sam$\,\ho
$\big[\ \JN\,\hh\tmuj\le\ha\tnu\hw_\jj\,\big]$\hb}\ha\vc

\Th{\num*}$\all\tmu\in\MM\hw\POm\,\hh\JN$\quad\fbox{\,$|\ha\tmu\ha|\ha_\jj$\ho= $|\hb\tmuj\ha|$\,}\vb

\Th{\num*}$\MM\hw\POm$\, est un espace de Riesz\ha-Banach\vb

\Def{\num}$\tmu\in\MM\hw\POm^+$\: est une\: \underline{\tsf{(mesure de)\;probabilit\e}}\; sur\, $\Om$\:
ssi\,\hh\fbox{\,$\nst{\hb\tmu\hb}=1$\ha}\va

On note\: $\PB\ha\POm$\: l'ensemble des mesures de probabilit\e\ sur\, $\Om$\vb

\Def{\num}\vvwa$\tmu\in\MM\hw\POm^+$\: est un\; \underline{\tsf{processus stochastique}}\hh sur\, $\Om$\:
ssi\,\hh\fbox{\,$\JN\,\hh\tmuj\in\ha\PB\ha(\Omj)$\ha}\ha\vab

On note\: $\PS\ha\POm\sub\hb\PB\ha\POm$\: l'ensemble des processus stochastiques sur\, $\Om$\vbc

\newpage
Comme sur\, \ab\, on d\e finira les alg\ee bres suivantes de fonctions sur\, $\Om$\, :\vvab

\Def{\num}Une fonction\hh$f\in\FF\hw\POm$\hh est\: \underline{de Baire}\hh ssi elle est limite simple born\e e
d'une suite de fonctions de\, $\EE\ha\POm$\va

On note\,\hh$\BA\hb\POm\ha=\ha\{\hb$fonctions de Baire$\hb\}$\vb

\Def{\num}Une fonction\hh$f\in\FF\hw\POm$\hh est\: \underline{universelle}\hh ssi
$$\boxed{\:\all\tmu\in\MM\hw\POm^+\ha\hh\all\eps>0$\,\hh il existe\hw\hh$g\vvv h\in\hb\BA\hb\POm\hw\hh
$tels\ que$\hb\hh g\le f\le h\,\hh$et$\,\hh\tmu\,(h-g)\le\eps\:}\pt$$\vvwa

On note\quad$\WW\hb\POm\ha=\ha\{\hb$fonctions universelles$\hb\}$\vbc

\Th{\num*}\fbox{\ho$\EE\ha\POm\sub\hb\CC\ha\POm\sub\,\BA\hb\POm\sub\hb\WW\hb\POm\sub\hb\FF\hw\POm$\,}\ha\vbc

\Th{\num*}$\CC\ha\POm\vv\BA\hb\POm\vv\WW\hb\POm\vv\FF\hw\POm$\, sont des alg\ee bres de Riesz\ha-Banach pour la norme uniforme\vb

\Th{\num*}$\MM\hw\POm$\, est un module de Riesz sur\: $\WW\hb\POm$\vb

\textbf{\emph{Ces espaces v\e rifient les m\^emes propri\e t\e s et \theo s que sur}\, \ab}\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{L'espace\ha\ $\RI$}}\vvc

\Def{\num}$\RI$\, est l'alg\ee bre des fonctions de\, $\N$\, dans\, $\R$\, (\ha\cad\ des suites r\e elles\ha)\pt\vvww
On munit cet espace de la topologie de la convergence simple\, :\, une suite d'\e l\e ments\vvww$X_n\in\RI$\,
converge simplement vers\: $X\in\RI$\hh ssi\ha\hh$\IN\ha\hh X_n\hw(i)\to X(i)$\pv on \e crit\vvww$X_n\sm X$\pt
L'espace\, $\RI$\, est hom\e omorphe au produit cart\e sien infini\, $\under{i\,\in\,\N}{\tsf{X}}\R$\vb

\Th{\num*}$\RI$\, est un espace m\e trisable et m\^eme pseudo-normable pour la\vvwa pseudo-norme\, $\nsm{\ }$\,
d\e finie par\, \fbox{\,$\nsm{X}\ha=\,\dis\sum_{i\ha=\ha0}^{\infty}\ \inv{2\hb^i}\wa|\ha X(i)\hw|
=\sum_{i\ha=\ha0}^{\infty}\ \min\ha\Big\{\ha\inv{2\hb^i}\vvv|\ha X(i)\hw|\ha\Big\}$\hb}\pv\vvw
de plus\, $\RI$\, est complet pour cette pseudo-norme\vbc

\Cor{\num*}$\RI$\, est un pseudo\ha-\ha espace de Riesz\ha-Banach\vb

On note\, $\FF\RIP$\, l'alg\ee bre des fonctions\hh$\RI\to\R$\, \underline{born\e es sur tout compact}\,
de\, $\RI$\vbc

\Th{\num}$f\in\FF\RIP$\hh est continue en\; $X\in\RI$\hh ssi\hh$\all\eps>0$\hh
il existe\, $j\in\N$\vvww et\: $\eta>0$\: tels que\hh$\all Y\!\in\RI$\vvab
\hs{30mm}\fbox{\,$\big[\;\all i\le j\ha\hh|\ha Y(i)-X(i)\ha|\ha\le\ha\eta\:\big]$\ho\
$\imp\:|\ha f(Y)-f(X)\ha|\le\ha\eps$\,}\hh(*)\vc

\Dem$f$\, est continue en\, $X$\, ssi\hh$\all\eps>0$\hh il existe\; $\eta>0$\; tel que\,\hh$\all\ha Y\!\in\RI$\vvab
\hs{40mm}\fbox{\,$\nsm{\ha Y-X}\le\ha\eta$\ha\ho\ $\imp\:|\ha f(Y)-f(X)\ha|\le\ha\eps$\,}\hh(**)\vb

Montrons l'\e quivalence des conditions\, (*)\, et\, (**)\pv il suffit de le montrer pour\: $X\!=\ha0$\va

a)\hh$(*)\imp(**)$\dd Soient\, $j\in\N$\, et\: $\eta\ha<1$\: v\e rifiant\, (*)\pv supposons\,
$\nsm{Y}\ha\le\hb\Frac{\eta}{2\hb^j}$\pv\vvwa alors\,\hh
$\IN\,\hh\Inv{2\hb^i}\wa|\ha Y(i)\hw|\le\hb\frac{\eta}{2\hb^j}$\pv donc\,\hh$\all i\le j\,\hh
|\ha Y(i)\ha|\ha\le\hb\Frac{\eta}{2\hb^j}\le\hb\eta$\pv donc\vva$|\ha f(Y)-f(0)\ha|\le\ha\eps$\vab

b)\hh$(**)\imp(*)$\dd Soit\, $\eta\ha<2$\, v\e rifiant\, (**)\pv soit\hh$j\in\N$\hh
tel que\hh$\Inv{2\hb^j}\ha\le\hb\frac{\eta}{2}$\pv\vvwa
supposons\hh$\all i\le j\,\hh|\ha Y(i)\ha|\ha\le\hb\Frac{\eta}{2\hb^{j\ha+\ha1}}$\pv alors on a\vvww
$\nsm{Y}\,=\,\dis\sum_{i\ha=\ha0}^j\ \inv{2\hb^i}\wa|\ha Y(i)\hw|\,
+\hs{-1mm}\sum_{i\ha=\hb j+1}^{\infty}\inv{2\hb^i}\wa|\ha Y(i)\hw|\,
\le\,\dis\sum_{i\ha=\ha0}^j\,\frac{\eta}{2\hb^{j\ha+\ha1}}\ +\hs{-1mm}\sum_{i\ha=\hb j+1}^\infty\inv{2\hb^i}$\vvwa
$\le\:\Frac{j+1}{2\hb^{j\ha+\ha1}}\ \eta\,+\,\inv{2\hb^j}\hb\le\:\frac{\eta}{2}\,+\,\frac{\eta}{2}\hb=\,\eta$\pv
donc\hh$|\ha f(Y)-f(0)\ha|\le\ha\eps$\vbc

\Not On note\, $\CC\RIP$\, l'alg\ee bre des fonctions continues\hh$\RI\to\R$\vbc

\Def{\num}Les\, \underline{pav\e s}\, (\ha ouverts\vvv\ ferm\e s\ha)\ha\ de\, $\RI$\, sont les ensembles
de la forme\: $\PX\tim\RI$\; \ou\, $\PX$\, est un pav\e\ha\ (\ha ouvert\vvv\ ferm\e\ha)\ha\ de\, $\RJ$\, pour un certain\, $j\in\N$\vb

\Th{\num*}Une partie\, $\AX$\, de\: $\RI$\: est ouverte\, ssi\,\hh$\all X\hs{-.5mm}\in\ha\AX$\hh il existe un pav\e\ ouvert\vvww
$\BX\sub\hb\RI$\hh tel que\: $X\hs{-.5mm}\in\ha\BX\ha\sub\ha\AX$\vbc

\Th{\num}Soit\, $\AX$\, un\, \underline{ferm\e}\, de\, $\RI$\pv on note\,\hh$\JN$\vva\hs{30mm}$\AJ\hb
=\ha\Big\{\big[\,X(0)\vv X(1)\vv\ldots\vv X(j)\hb\big]\in\ha\RJ\,\big\|\:X\in\AX\ha\Big\}$\pv\vva
soit\, $\AFJ$\, la fermeture de\, $\AJ$\, dans\, $\RJ$\pv  alors la suite\hh$\AFJ\hs{-.5mm}\tim\RI\ha\sub\,\RI$\hh
est d\e croissante\vvab et on a\,\hh\fbox{\:$\AX\ha=\bigcap\pos_{j\,\in\:\N}\AFJ\tim\RI$\:}\ha\vbc

\Dem Posons\hh$\AX^*=\bigcap\pos_{j\,\in\:\N}\AFJ\tim\RI$\pv soit\hh$X\hs{-.5mm}\in\AX$\pv on a clairement\hh
$\JN$\vvw$X\hs{-.5mm}\in\,\AJ\hs{-.5mm}\tim\RI\,\sub\,\AFJ\hs{-.5mm}\tim\RI$\vg donc\hh
$X\hs{-.5mm}\in\AX^*$\pv on en d\e duit\hh$\AX\sub\AX^*$\va

Montrons maintenant\hh$\AX^*\sub\,\AX$\vg\cad\hh$\big[\:X\hs{-.5mm}\nin\AX\:\imp\ha X\hs{-.5mm}
\nin\AX^*\,\big]$\pv soit\, $X\hs{-.5mm}\nin\AX$\pv comme\, $\AX$\, est\vvww ferm\e\ dans\, $\RI$\vg
il existe un pav\e\ ouvert\, $\BX$\, tel que\: $X\hs{-.75mm}\in\BX$\hh
et\hh$\AX\ha\cap\ha\BX\hb=\hb\emptyset$\pv il existe donc\vvww$j\in\N$\hh tel que\ha\hh$\BX\hb=\hb\PX\tim
\RI$\hh \ou\, $\PX$\, est un pav\e\ ouvert de\, $\RJ$\pv supposons\, $X\hs{-.5mm}\in\,
\AFJ\hs{-.5mm}\tim\RI$\pv\vvww alors il existe une suite\: $X_n\hs{-.25mm}\in\AX$\hh
telle que\,\hh$\all1\le i\le j\,\hh X_n\hw(i)\to X(i)$\pv donc pour\, $n$\vvww suffisamment grand\hh
$\big[\,X_n\hw(0)\vv X_n\hw(1)\vv\ldots\vv X_n\hw(j)\hb\big]\in\ha\PX$\vg\cad\hh$X_n\in\BX$\pv ce r\e sultat est\vvww
en contradiction avec\hh$\AX\ha\cap\ha\BX\hb=\hb\emptyset$\pv on en d\e duit\, $X\hs{-.5mm}
\nin\,\AFJ\hs{-.5mm}\tim\RI$\vg donc\, $X\hs{-.5mm}\nin\,\AX^*$.\vvbc

\Def{\num}Un ferm\e\, $\AX$\, de\, $\RI$\, est\, \underline{r\e gulier}\, ssi\hh$\JN\hh\AJ$\, est ferm\e\vb

\Th{\num}Les compacts de\, $\RI$\, sont r\e guliers\vab

\Dem Soit\, $\AX$\, un compact de\, $\RI$\pv il faut montrer que\, $\AJ$\, est ferm\e\pv soit une suite
de Cauchy\hh$x_n\in\ha\AJ\rs\sub\ha\RJ$,\, de limite\, $x\in\ha\RJ$\pv il existe donc une suite\:
$X_n\in\ha\RI$\: telle que\hh$\nn\hh(x_n\vvv X_n)\rs\in\AX$\pv alors on peut trouver une sous-suite\,
$(x_{n\,'}\vvv X_{n\,'})$\, convergente dans\, $\AX$\vg et dont la limite est n\e cessairement de la forme\,
$(x\vvv X)\in\ha\AX$\vg avec\, $X\hs{-.75mm}\in\ha\RI$\pv donc\, $x\in\AJ$\vbc

\Def{\num}Une partie de\, $\RI$\, est\, \underline{primitive}\: ssi elle est de la forme\:
$\AX\hs{-.25mm}\tim\RI$\: \ou\, $\AX$\vvww est une partie de\, $\RJ$\, pour un certain\, $j\in\N$\vbc

\Th{\num*}Tout ferm\e\ de\, $\RI$\, est l'intersection d'une suite de ferm\e s primitifs\vvww
et tout ouvert de\, $\RI$\, est la r\e union d'une suite d'ouverts primitifs\vbc

\Def{\num}Soit\: $j\in\N$\pv pour toute fonction\, $f\in\WW\ha\RJP$\, on\: \underline{identifie}\: $f$\,
\ac\ha\ la\vvw fonction de\, $\FF\RIP$\, d\e finie par\vvb\hs{30mm}
\fbox{\,$f\hb:\:\RI\to\R\ph{\low{|}}:\,X\tto f\hb\big[\hb X(0)\vv X(1)\vv\ldots\vv X(j)\ha\big]$\ha}\vbc

On a donc\,\hh$\JN$\quad\fbox{\,$\WW\ha\RJP\ha\sub\,\WW\ha(\R\ha^{j\hw+\ha2})\ha\sub\hb\FF\RIP$\ha}\,\hh
et\,\hh\fbox{\,$\CC\ha\RJP\ha\sub\hb\CC\RIP$\ha}\vcd

\Def{\num}On pose\,\hh\fbox{\:$\EE\RIP\ha=\!\bigcup\pos_{j\,\in\,\N}\EO\hb\RJP$\ha}\: $\sub\:\FF\RIP$\vbc

\oui Rappelons que\, $\EO\ha\RJP$\, est l'espace des fonctions \e tag\e es \ac\ support born\e\ de\,
$\R^{j+1}$\vg\vvwa et remarquons que\,\hh$\JN$\quad
\fbox{\,$\EO\ha\RJP\ha\sub\,\EO\ha(\R\ha^{j\hw+\ha2})$}\ha\vb

\oui Les \e l\e ments de\, $\EE\RIP$\, s'appellent les\, \underline{fonctions \e tag\e es}\, sur\, $\RI$\pt
Elles sont\, \underline{born\e es}\vvw mais \underline{ne sont pas}\, nulles en dehors d'un compact de\, $\RI$\ha\
(\ha sauf la fonction nulle\ha)\vb

On munit l'alg\ee bre de Riesz\, $\EE\RIP$\, de la norme uniforme\hh$\|\ha f\ha\|=\sup\pos_{X\ha\in\;\RI}\, |\ha f(X)\ha|$\vbc

\num\ \underline{D\e finition fondamentale}\dd\vva
\begin{picture}(,)
\put(5,-4){\textbf{Une\, \underline{pseudo\ha-mesure norm\e e}\,  sur\, $\RI$\, est un \e l\e ment du\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace}}
\put(5,-12.5){\textbf{norm\e}\hb\ $\mbof{\big(\hb\EE\RIP\ha,\hb\|\ \|\hb\big)}$\hw.}
\put(2.75,-16){\frm(158,18.25)}
\end{picture}\\\vvd

\underline{Ou encore}\, :\vvw\textbf{Une pseudo\ha-mesure norm\e e sur\, $\RI$\, est une forme lin\e aire\hh$\tmu$\, sur\, $\EE\RIP$\vva
v\e rifiant la propri\e t\e}\, :\; \fbox{\:\textbf{Il\ha\ existe}\; $\mbof{M>0}$\ha\hh\textbf{tel\ha\ que}\,\hh
$\mbof{\all\rs\bos{f}\rs\in\ha\EE\RIP\ph{\low{|}}\ha\ |\hb\tmu\,(\bos{f})\hw|\hb\le\hb M\,\|\ha\bos{f}\ha\|}$\ha}\ha\va

On note\hh$\PMX\RIP$\hh l'espace vectoriel des pseudo\ha-mesures norm\e es sur\, $\RI$\vb

Autrement dit\: \fbox{\:$\PMX\RIP$\,\ho est le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace norm\e\, $\Big(\EE\RIP\ha,\hb\|\ \|\Big)$}\,.\vvab

On munit\, $\PMX\RIP$\, de la\ha\ \textbf{norme duale\, $\nst{\ }$}\vb

\emph{\underline{Notation\ha\ int\e grale}}\dd\vvw$\all\tmu\in\PMX\RIP\,\hh\al\hb f\in\ha\EE\RIP$\,\hh on note\quad
\fbox{\:$\Int_{\ha\RI}\rs\rs f\ha(X)\,\tmu\hb(X)\hb=\int_{\ha\RI}\rs\rs f\hb\tmu\,=\,\tmu\,(f)$\,}\ha\vbc

\Def{\num}\vvwa Soit\; $\tmu\in\PMX\RIP$\pv on pose\hh$\JN$\,\hh\fbox{\,$\tmuj$\ha\ =\,  restriction de\: $\tmu$\; \ac\; $\EO\hb\RJP$\ha}\ha\va
$\tmuj$\, peut naturellement \^etre consid\e r\e\ comme une pseudo\ha-mesure norm\e e sur\, $\RJ$\vbc

\Th{\num*}Soit\hh$\tmu\in\PMX\RIP$\pv alors on a\,\hh$\JN$\,\hh\fbox{\,$\tmuj\in\PMX\RJP$\ha}\ha\vg\vva
\fbox{\,$\sup\pos_{j\,\in\,\N}$\,\ho$\nst{\hb\tmuj\ha}=\ha\nst{\,\tmu\ha}$}\quad et\,\hh
$\JN\,\hh\al\hb f\in\EO\hb\RJP$\:\hh\fbox{\,$\tmu\hb_{(\ha j\,+1)}\ha(f)\hw=\hb\tmuj\hb(f)$\ha}\ha\vbc

R\e ciproquement soit une suite\hh$\tmu\ha_j\in\PMX\RJP$\hh telle que\,\hh
$\sup\pos_{j\,\in\,\N}$\,\ho$\nst{\hb\tmu\ha_j\ha}<\pin$\quad\low{et}\vvww
$\JN\,\hh\al\hb f\in\EO\hb\RJP\,\hh\tmu\hab_{j\,+1}\ha(f)\hw=\hb\tmu\ha_j\hb(f)$\pv alors la suite\: $\tmu\ha_j$\: d\e finit de mani\ee re\vvwa
naturelle une pseudo-mesure norm\e e sur\, $\RI$\vg d'\ou\ le \theo\ suivant\, :\vvb

\Th{\num*}\vvwa\oui La donn\e e d'une pseudo-mesure norm\e e\; $\tmu\in\PMX\RIP$\; est \e quivalente
\ac\ la donn\e e\vvw d'une suite de pseudo-mesures norm\e es\hh$\tmu\ha_j\in\PMX\RJP$\hh telle que\vvab
\hs{10mm}\fbox{\,$\sup\pos_{j\,\in\,\N}$\,\ho$\nst{\hb\tmu\ha_j\ha}<\pin$\ha}\:\quad
\low{et}\,\quad$\JN\,\hh\al\hb f\in\EO\hb\RJP$\,\hh\fbox{\,$\tmu\hab_{j\,+1}\ha(f)\hw=\hb\tmu\ha_j\ha(f)$\ha}\vab
La suite\, $\nst{\hb\tmu\ha_j\ha}$\, est alors croissante et on a\,\hh
\fbox{\,$\nst{\,\tmu\ha}=\sup\pos_{j\,\in\,\N}$\hb\ho$\nst{\,\tmu\ha_j\ha}$\ha}\ha\vc

Les conditions du \theo\ pr\e c\e dent signifient donc explicitement\, :\vvab

\fbox{\;$\dis\sup_{j\,\in\,\N}\,\int_{\R\ha^{j\hw+1}}\hs{-3mm}|\hab\tmu\ha_j\hw|\,<\pin$\:}\hhh
\low{et}\hhh\fbox{\;$\JN\,\hh\all\om\in\R\ha^{j\hw+1}$\; \fbox{$\Int_{\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{\R}}\rs
\tmu\hab_{j\,+1}\hb(\ha\om\hab,\ha\textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{x})\ha=\,\tmu\ha_j\hb(\hw\om)$}}\vc

\Th{\num*}$\all\tmu\vv\tnu\in\PMX\RIP$\,\hh\quad\fbox{\;$\tmu\le\ha\tnu\ \sam$\,\ho$\big[\ \JN\,\hh\tmuj\le\ha\tnu\hw_\jj\,\big]$\hb}\ha\vc

\Th{\num*}$\all\tmu\in\PMX\RIP\,\hh\JN$\quad\fbox{\,$|\ha\tmu\ha|\ha_\jj$\ho= $|\hb\tmuj\ha|$\,}\vb

\Def{\num}\vvwa$\tmu\in\PMX\RIP$\: est une\, \underline{mesure norm\e e}\, sur\, $\RI$\: ssi\,\hh
\fbox{\,$\JN$\ho$\hh\tmuj\in\MX\RJP$\ha}\ha\vab

On note\; $\MX\RIP$\; l'espace vectoriel des mesures norm\e es sur\, $\RI$\vbc

\Th{\num*}$\PMX\RIP$\, et\, $\MX\RIP$\, sont des espaces de Riesz\ha-Banach\vbc

\Def{\num}$\tmu\in\MX\RIP^+$\hb\ est une\: \underline{\tsf{(mesure de)\;probabilit\e}}\; sur\, $\RI$\:
ssi\,\hh\fbox{$\nst{\hb\tmu\hb}=1$\ha}\vvab

On note\: $\PB\ha\RIP$\: l'ensemble des probabilit\e s sur\, $\RI$\vb

\Def{\num}\vvwa$\tmu\in\MX\RIP^+$\hb\ est un\; \underline{\tsf{processus stochastique}}\hh sur\, $\RI$\:
ssi\,\hh\fbox{\,$\JN\,\hh\tmuj\in\PB\ha\RJP$\ha}\vab

On note\hh$\PS\ha\RIP\sub\hb\PB\ha\RIP$\hh l'ensemble des processus stochastiques sur\ha\ $\RI$\vd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Compacts \e l\e mentaires de\ha\ $\RI$}}\vvc

Soit\, $\T_i$\ha\ une suite d'intervalles\, \underline{compacts}\, non vides de\, $\R$\pv on pose\vvab
\hs{40mm}$\K=\big\{\ha X\in\RI\;\big\|\ \IN\,\  X(i)\in\T_i\hb\big\}\ha\sub\,\RI$\vab
On munit\, $\K$\, de la\, \underline{topologie induite}\, par celle de\, $\RI$\pt L'espace\, $\K$\, est donc m\e trisable\vw
C'est l'espace des suites r\e elles\ha\ dont pour tout\, $i\in\N$\: le\, $i$\,\super{\ee me}\hb\ terme appartient\ha\ \ac\, $\T_i$\vw
L'espace\, $\K$\, est hom\e omorphe au produit cart\e sien infini\, $\under{i\,\in\,\N}{\tsf{X}}\T_i$\vc

\Th{\num}$\K$\, est un espace topologique\hb\ \fbox{\hw compact\hw}\pv un tel compact s'appelle un\vvww
\underline{compact \e l\e mentaire}\, (\ha\coel\ha)\ha\ de\, $\RI$\vb

\Dem C'est un produit\ha\ (\ha d\e nombrable\ha)\ha\ d'espaces compacts\vc

\Th{\num}Tout compact de\, $\RI$\, est inclus \ac\ un\, \coel\vab

\Dem\vvwa Soit\, $\K$\, un compact de\, $\RI$\pv supposons qu'il existe\, $i\in\N$\, tel que\,\hh
$\sup\pos_{X\in\,\K}\ |\ha X(i)\hw|=\pin$\pv\vvwa soit une suite\, $X_n\in\K$\, telle que\,
$|\ha X_n\hw(i)\hw|\to\pin$\pv alors aucune sous-suite de\, $X_n$\, ne\vvwa pourrait converger dans\, $\RI$\,
car la convergence dans\, $\RI$\, implique la convergence en\, $i$\pv\vvwa donc\,\hh
$\sup\pos_{X\in\,\K}\ |\ha X(i)\hw|<\pin$\pv posons\,\hh$\IN\,\hh\tta\ha_i
=\sup\pos_{X\,\in\,\K}\ |\ha X(i)\hw|$\,\hh et\vvwa$\T_i=[\ha-\,\tta\ha_i\vv\tta\ha_i\,]$\pv
on a alors\,\hh$\K\sub\under{i\,\in\,\N}{\tsf{X}}\T_i$\vb

\Cor{\num*}$\FF\RIP$\, est l'alg\ee bre des fonctions\, \underline{born\e es sur tout\, \coel}\, de\, $\RI$\vbc

\Def{\num}$f\in\ha\FF\RIP$\hh est\, continue en\; $X\in\RI$\hh \underline{sur le\, \coel\:
$\K\hs{-.35mm}\ni\hs{-.5mm}X$}\; ssi\hh$\all\eps>0$\hh il existe\, $j\in\N$\, et\: $\eta>0$\: tels que\hh
$\all Y\!\in\K$\vva\hs{30mm}\fbox{\,$\big[\;\all i\le j\ha\hh|\ha Y(i)-X(i)\ha|\le\ha\eta\:\big]$\ho\
$\imp\:|\ha f(Y)-f(X)\ha|\le\ha\eps$\,}\hb\vbc

\Rem Ceci revient \ac\ exiger que\, $f\ha|\ha_{\K}$\,  est continue en\, $X$\hw.\vvc

\Th{\num}\vvwa$f\in\ha\FF\RIP$\hh est continue en\; $X\in\RI$\hh ssi\, $f$\, est continue sur tout\, \coel\,
$\K\hs{-.35mm}\ni\hs{-.5mm}X$\vab

\Dem\vvwa
a)\hh$\imp$\dd Trivial\vwa
b)\hh$\pmi$\dd Supposons par exemple que\hb\ $f$\hb\ n'est pas continue  en\, 0\pv alors il existe\hh$\eps>0$\vg\\
une suite\hh$\eta\ha_j>0$\vg que l'on peut supposer d\e croissante\vg et une suite\, $Y_j$\, tels que\vvww
$\all i\le j\,\hh|\ha Y_j\hb(i)\ha|\ha\le\hb\eta\ha_j$\hh et\hh$|\ha f(Y_j)\ha|\hw>\hw\eps$\pt
Posons\,\hh$\IN\,\hh\tta\ha_i=\,\max\pos_{j\hb\in\,\N}\ |\hb Y_j\hb(i)\ha|$\vg\vvw ce qui a un sens car\,\hh
$\all j\ge i\,\hh |\ha Y_j\hb(i)\ha|\le\ha\eta\ha_j\ha\le\ha\eta\ha_i$\pv posons\hh
$\IN\,\hh\T_i=[\ha-\,\tta\ha_i\vv\tta\ha_i\,]$\vvw et\ha\hh$\K\ha=\hs{-.5mm}\under{i\,\in\,\N}{\tsf{X}}\T_i$\pv
on a\,\hh$\all i\vv j\in\N\,\hh Y_j\hb(i)\le\ha\tta\ha_i$\vg donc\,\hh$\JN\,\hh Y_j\in\K$\vg
donc\, $f$\, n'est pas\vvw continue en\, 0\, sur\, $\K\hs{-.35mm}\ni0$\vbc

\Not Pour tout\, \coel\, K\, on note\, $\FF(\K)$\, l'alg\ee bre des fonctions born\e es\hh$\K\to\R$\pv\vvww
de m\^eme on note\, $\CC\ha(\K)$\, l'alg\ee bre des fonctions continues\hh$\K\to\R$\vc

\Def{\num}Une fonction de\, $\FF(\K)$\, est\, \underline{\e tag\e e}\, sur\, $\K$\, ssi elle est la\,
\underline{restriction}\, \ac\, $\K$\vvww d'une fonction de\, $\EE\RIP$\pt On note\, $\EE\hw(\K)$\,
l'alg\ee bre de Riesz des fonctions \e tag\e es sur\, $\K$\vc

\Th{\num*}$\EE\hw(\K)$\, est dense dans\, $\CC\ha(\K)$\, pour la norme uniforme\vab

\Dem Soit\: $f\in\ha\CC\ha(\K)$\; et\ha\ soit\; $\eps>0$\pv comme\, K\, est compact\vg $f$\,
est uniform\e ment continue\pv il existe donc\, $j\in\N$\; et\; $\eta>0$\; tels que\,\hh$\all X\vvv Y\!\in\ha\K$\vvw
\hs{30mm}$\big[\ \all i\le j\ha\hh|\ha Y(i)-X(i)\ha|\ha\le\ha\eta\;\big]\:\imp\:|\ha f(Y)-f(X)\ha|\le\ha\eps$\vwa
Posons\hh$\PX=\T_0\tim\T_1\tim\ldots\tim\T_j=\under{0\;\le\;i\;\le\;j}{\tsf{X}}\hs{-1mm}\T_i$\quad et\quad
$\Q=\under{i\;\ge\;j+1}{\tsf{X}}\T_i$\pv on a\,\hh$\K=\ha\PX\tim\Q$\pv\vva on peut donc \e crire\quad
$\all x\vv y\in\PX\quad\all X\vv Y\in\Q$\vvw
\hs{30mm}$\big[\ \all i\le j\,\hh|\ha x\ha_i-y\ha_i\ha|\ha\le\ha\eta\;\big]\:\imp\:|\ha f(y\vvv Y)-f(x\vvv X)\ha|\le\ha\eps$\vwa
Choisissons\, $X_\star$\, fixe dans\, $\Q$\pv on d\e finit une fonction\, $g$\, sur\: \PX\: en posant\,\hh
$\all x\in\PX$\vvww$g\hb(x)=f\hb(x\vv X_\star)$\pv on v\e rifie facilement que\, $g\in\CC\ha(\PX)$\pv
\PX\, \e tant un pav\e\ compact\vvww de dimension finie\vg il existe\hh$h\in\ha\EE\ha(\PX)$\hh tel que\,\hh
$\all x\in\PX\,\hh|\hb h\hb(x)-g\hb(x)\ha|\le\ha\eps$\pv\vvww $h$\, s'identifie naturellement \ac\ une
fonction de\, $\EE\hw(\K)$\, en posant\vvw$\all x\in\PX\,\hh\all X\in\Q\,\hh h\hb(x\vvv X)=h\hb(x)$\pv
on peut alors \e crire\,\hh$\all x\in\PX\,\hh\all X\in\Q$\vvw$|\hb h\hb(x\vvv X)-f\ha(x\vvv X)\hb|\hb
=\hb|\hb h\hb(x\vvv X)-f\ha(x\vvv X_\star)\hb|\hb+\hb|\hb f\hb(x\vvv X_\star)-f\ha(x\vvv X)\hb|$\vvw
$=\hb|\hb h\hb(x)-g\hb(x)\hb|\hb+\hb|\hb f\hb(x\vvv X_\star)-f\ha(x\vvv X)\hb|\le\,2\ \eps$\vc

On peut faire sur un\, \coel\, K\, la m\^eme th\e orie que sur\: \ab\: dans la Premi\ee re partie\,:\vvb

\num\ \underline{D\e finition fondamentale}\dd\\
\begin{picture}(,)
\put(3,-6){Une\, \underline{pseudo\ha-mesure}\, sur\, $\K$\, est un \e l\e ment du\ha\ N\hw-\hw dual\ha\
de l'espace norm\e\hb\ $\big(\ha\EE\hw(\K)\ha,\hb\|\ \|\ha\big)$.}
\put(1,-9.5){\frm(159,9.5)}
\end{picture}\\\vvbc

\underline{Ou encore}\, :\, Une pseudo\ha-mesure sur\, $\K$\, est une forme lin\e aire\hh
$\tmu\, :\, \EE\hw(\K)\to\R$\hh v\e rifiant\vvwa la propri\e t\e\, :\hh\fbox{\:Il\ha\ existe\; $M>0$\ha\hh
tel\ha\ que\ha\hh$\al\hb f\in\ha\EE\hw(\K)\ha\hh|\ha\tmu\ha(f)\hw|\hb\le\hb M\,\|\ha f\ha\|\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\ha\vbc

On note\hh$\PM\ha(\K)$\hh l'espace vectoriel des pseudo\ha-mesures sur\, K\vb

Autrement dit\: \fbox{\:$\PM\ha(\K)$\,\ho est le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace norm\e\, $\big(\ha\EE\hw(\K)\ha,\hb\|\ \|\ha\big)$}\,.\vvc

\hhh Contrairement \ac\ ce qui se passe pour les espaces\, $\R^n$\vg qui sont localement compacts\vg
le prolongement par\, 0\, d'une fonction de\, $\EE\hw(\K)$\, n'est pas une fonction de\, $\EE\RIP$\ha\ (\ha
sauf pour la fonction nulle\ha)\pt Une pseudo\ha-mesure norm\e e sur\, $\RI$\, n'a donc pas pour le moment
de valeur naturelle sur\, $\EE\hw(\K)$\pv c'est l'objet de la d\e finition suivante\vab

\num\ \underline{\Theo\ha-D\e finition}\dd\vvwa\oui  Soit un\, \coel\hh$\K=\under{i\,\in\,\N}{\tsf{X}}\T_i$\pv
$\JN$\hh on note\hh$\Lam\ha_j\in\ha\EE\RIP$\hh la fonction caract\e ristique\vvw de\ha\hh
$\T_1\tim\T_2\tim\ldots\tim\T_j\tim\RI$\pv soit\,\hh$\all\tmu\in\ha\PMX\RIP$\pv
alors la suite\: $\Lam\ha_j\,\tmu$\; est convergente\vva en norme\: $\nst{\ }$\: dans\: $\PMX\RIP$\:
et on pose\,\hh\fbox{\,$\tmu\,_\K=\,^\star\hs{-.25mm}\lim\pos_j$\,\ho$\big(\Lam\ha_j\,\tmu\hw\big)$\ha}\ha\
$\in\PMX\RIP$\vab On a\,\hh\fbox{\,$\big\|\,\tmu\,_\K\,\big\|_\star\le\hb\nst{\hb\tmu\hb}$\ha}\,\hh
et\,\hh$\all g\in\ha\EE\RIP$\,\hh\fbox{\,$g\ha.\ha\big(\tmu\,_\K\big)=\big(g\,\tmu\big)_\K$\ha}\pv
de plus\,\hh\fbox{\:$|\,\tmu\,_\K\hw|=|\hb\tmu\hb|\ha_\K$\ha}\vvb donc aussi\,\hh
\fbox{\:$\big(\ha\tmu\,_\K\big)^+=(\ha\tmu\ha^+)\ha_\K$\ha}\,\hh et\,\hh
\fbox{\:$\big(\ha\tmu\hb\,_\K\big)^-=(\ha\tmu\ha^-)\ha_\K$\ha}\ha\vwa
$\tmu\,_\K$\: s'appelle la\, \underline{restriction}\, \ac\, K\, de\, $\tmu$\: et on note\,\hh
$\al\hb f\in\ha\EE\RIP$\,\hh\fbox{\:$\tmu\,_\K\hab(f)\ha=\Int_{\ha\K}\rs\rs f\hab\tmu$\:}\ha\vbc

\Dem Soit d'abord\hh$\tmu\ge0$\pv alors la suite\: $\Lam\ha_j\,\tmu\in\PMX\RIP$\: est positive et\vvww
d\e croissante\pv elle est d\ee s lors convergente en norme\: $\nst{\ }$\: dans\: $\PMX\RIP$\pv\vvww
pour\: $\tmu$\: quelconque on a\,\hh$\Lam\ha_j\,\tmu\ha=\,\Lam\ha_j\,\tmu^+-\ha\Lam\ha_j\,\tmu^-$\vg
qui est donc aussi convergente\vbc

\Th{\num}$\al\hb f,\,g\in\ha\EE\RIP$\,\hh on a\,\hh$\Big[\:f\hw|\ha_\K=\ha g\ha|\hw_\K\ \imp\ \tmu\,_\K\ha(f)
=\ha\tmu\,_\K\ha(g)\,\Big]$\vb

\Dem On a\,\hh$\tmu\,_\K\ha(f)=\,\lim\pos_j\ha\big[\ha(\Lam\ha_j\,\tmu)\ha(f)\ha\big]
=\,\lim\pos_j\ \tmu\,(\Lam\ha_j\hb f)$\pv or pour\ha\ $j$\ha\ suffisamment grand\hh
$\Lam\ha_j\hb f=\ha\Lam\ha_j\,g$\pv d'\ou\ le r\e sultat\vbc

\Def{\num}En vertu du \theo\ pr\e c\e dent on peut\, \underline{identifier}\; $\tmu\,_\K$\: \ac\
l'\e l\e ment\vvw de\, $\PM\ha(\K)$\: d\e fini par\hh$\al\hb f\in\ha\EE\RIP$\hh\fbox{\,$\tmu\,_\K\hb(f\hw|\ha_\K)
=\ha\tmu\,_\K\ha(f)$\ha}\ha\pt $\tmu\,_\K$\: a d'ailleurs la m\^eme norme\vvwa en tant qu'\e l\e ment de\:
$\PM\ha(\K)$\: qu'en tant qu'\e l\e ment de\: $\PMX\RIP$\vbc

\Th{\num}$\all\tmu\in\PM\ha(\K)$\; il existe un unique\; $\tmug\in\PMX\RIP$\: tel que\vva
\fbox{\,$\tmug\ha_{\K}\ha=\ha\tmu$\,}\hh et\hh\fbox{\,$\nst{\ha\tmug\ha}\ha=\ha\nst{\hb\tmu\hb}$\ha}\pt
$\tmug$\, est d\e fini par\hh$\al\hb f\in\ha\EE\RIP$\hh\fbox{\,$\tmug\hb(f)
=\ha\tmu\hb\big(\hw f\ha|\ha_\K\hw\big)$\ha}\vvwa et s'appelle la pseudo\ha-mesure norm\e e sur\, $\RI$\,
\underline{engendr\e e}\, par\, $\tmu$\vab
On a\,\hh$\all g\in\ha\EE\RIP$\,\hh\fbox{\,$g\ha.\ha\tmug=\lan\,g\ha|\ha_\K\;\tmu\hb\ran$\ha}\pv
de plus\hh\fbox{\,$|\ha\tmug\hw|=\lan\hb|\hb\tmu\hb|\hb\ran$\ha}\ha\vg\vvab donc aussi\hh
\fbox{\,$\tmug^+=\lan\hb\tmu^+\ha\ran$\ha}\hh et\hh\fbox{\,$\tmug^-=\lan\hb\tmu^-\ha\ran$\ha}\ha\vb

\Dem\vvw
1)\hh Soit\, $\tmu\in\PM\ha(\K)$\pv posons\,\hh$\al\hb f\in\ha\EE\RIP\,\hh\tmug\hb(f)
=\ha\tmu\hb\big(\hw f\ha|\ha_\K\hw\big)$\pv montrons que\vvw$\tmug\in\PMX\RIP$\pt
La lin\e arit\e\ de\, $\tmug$\, est \e vidente\pv par ailleurs on a\,\hh$\al\hb f\in\ha\EE\RIP$\vvw
$|\ha\tmug\hb(f)\ha|=\ha|\ha\tmu\hb\big(\hw f\ha|\ha_\K\hw\big)\ha|\le\ha\nst{\hb\tmu\hb}\:
\|\ha f\ha|\ha_\K\ha\|\le\ha\nst{\hb\tmu\hb}\:\|\ha f\ha\|$\pv donc\ha\hh$\tmug\in\PMX\RIP$\hh et\vvw
$\nst{\ha\tmug\ha}\le\ha\nst{\hb\tmu\hb}$\vwa

Montrons maintenant\hh$\tmug\ha_{\K}\ha=\ha\tmu$\pv soit\hh$f\in\ha\EE\RIP$\pv on a\,\hh
$\tmug\ha_{\K}\,(f\ha|\ha_\K)=\tmug\ha_{\K}\,(f)$\vvww$=\hb\lim\pos_j\;\tmug\,(\Lam\ha_j\hb f)
=\hb\lim\pos_j\;\tmu\,\big[\,(\Lam\ha_j\hb f)\ha|\ha_{\K}\,\big]=\ha\tmu\,(f\ha|\ha_\K)$\ha\hh car\ha\hh
$\JN\hh(\Lam\ha_j\hb f)\ha|\ha_{\K}=f\ha|\ha_\K$\pv\vvww on en d\e duit\hh$\tmug\ha_{\K}\ha=\ha\tmu$\pv
on a donc aussi\hh$\nst{\hb\tmu\hb}\ha=\ha\nst{\ha\tmug\ha_{\K}\ha}\ha\le\ha\nst{\ha\tmug\ha}$\pv
donc\vvww$\nst{\hb\tmu\hb}\ha=\ha\nst{\ha\tmug\ha}$\vb

2\ha)\hh Soit\: $g\in\ha\EE\RIP$\pv on a\,\hh$\al\hb f\in\ha\EE\RIP\,\hh\big[\,g\ha.\ha\tmug\ha\big]\ha(f)
=\ha\tmug\hb(g\,f)=\,\tmu\hb\big[\ha(f\,g)\ha|\ha_\K\ha\big]$\vvw
$=\,\tmu\big[\ha f\ha|\ha_\K\:g\ha|\ha_\K\ha\big]\ha=\ha\big(\ha g\ha|\ha_\K\:\tmu\ha\big)
\big(f\ha|\ha_\K\big)\ha=\ha\lan\,g\ha|\ha_\K\;\tmu\hb\ran\ha(f)$\pv donc\hh
$g\ha.\ha\tmug=\lan\,g\ha|\ha_\K\;\tmu\hb\ran$\vb

3\ha)\hh$\all g\in\ha\EE\RIP\rbox{2mm}{\small{+}}$\,\hh on a\,\hh$|\ha\tmug\ha|\hb(g)\ha
=\ha\nst{\hb g\ha.\ha\tmug}\ha=\ha\nst{\ha\lan\,g\ha|\ha_\K\;\tmu\hb\ran\ha}\ha=\sup\pos_{\|\ha f\ha\|\,\le\,1}
\lan\,g\ha|\ha_\K\;\tmu\ha\ran\hb(f)$\vvw
$=\sup\pos_{\|\ha f\ha\|\,\le\,1}\big(\ha g\ha|\ha_\K\;\tmu\big)\hb(f\ha|\ha_\K)\,
=\hs{-1mm}\sup\pos_{\|\hb f\ha|\ha_\K\ha\|\,\le\,1}\hs{-1mm}\big(\ha g\ha|\ha_\K\;\tmu\big)\hb(f\ha|\ha_\K)\ha
=\ha\nst{\,g\ha|\ha_\K\;\tmu\hb}\ha=\ha|\hb\tmu\hb|\hb\big(g\ha|\ha_\K\big)\ha
=\ha\lan\hb|\hb\tmu\hb|\hb\ran\hb(g)$\vb

4\ha)\hh Montrons l'unicit\e\pt Soit\; $\tpi\in\PMX\RIP$\; tel que\hh$\tpi\ha_\K\ha=\ha\tmu$\,\hh
et\,\hh$\nst{\ha\tpi\ha}\ha=\ha\nst{\hb\tmu\hb}$\pv\vvw supposons d'abord\hh$\tmu\ge0$\pv alors\,
$\tmug\ge0$\pv on a\,\hh$\al\hb f\in\ha\EE\RIP\rbox{2mm}{\small{+}}\,\hh\tpi\ha_\K\ha(f\ha|\ha_\K)\ha
=\,\tpi\ha_\K\ha(f)$\vvw$=\,\lim\pos_j\ (\Lam\ha_j\hb\tpi)\hb(f)=\,\lim\pos_j\ (\Lam\ha_j\,\tpi^+)\hb(f)
-\hb\lim\pos_j\ (\Lam\ha_j\,\tpi^-)\hb(f)=\,\tmu\,(f\ha|\ha_\K)=\tmug\hb(f)$\pv\\
donc\,\hh$\al\hb f\in\ha\EE\RIP^+\,\hh\tpi^+(f)\ge\:\lim\pos_j\;(\Lam\ha_j\hb\tpi^+)\hb(f)
\ge\,\tmug\hb(f)$\pv donc\ha\hh$\tpi^+\ge\tmug\ge\ha0$\vg\vvw
par ailleurs\ha\hh$\nst{\hb\tpi\ha}\ha=\ha\nst{\hb\tmu\hb}=\ha\nst{\ha\tmug\ha}$\vg donc\hh$\tpi=\tmug$\va

Supposons maintenant\: $\tmu$\: non n\e cessairement\, $\ge\ha0$\pv on a\,\hh
$(\tpi^+)\ha_\K=\hb(\tpi\ha_\K)^+=\hb\tmu^+$\pv\vvww donc\hh$\nst{\ha\tpi^+\ha}\ge\nst{\hb\tmu^+\ha}$\pv
de m\^eme\hh$(\tpi^-)\ha_\K=\hb(\tpi\ha_\K)^-=\hb\ha\tmu^-$\vg donc\hh$\nst{\ha\tpi^-\ha}
\ge\nst{\hb\tmu^-\ha}$\pv\vvww comme on a\hh$\nst{\ha\tpi\ha}\ha=\ha\nst{\hb\tmu\hb}$\vg on en d\e duit\hh
$\nst{\ha\tpi^+\ha}=\nst{\hb\tmu^+\ha}$\hh et\hh$\nst{\ha\tpi^-\ha}=\nst{\hb\tmu^-\ha}$\vg\vvww
donc\hh$\tpi^+=\lan\hb\tmu^+\hb\ran=\tmug^+$\hh et\hh$\tpi^-=\lan\hb\tmu^-\hb\ran=\tmug^-$\vg\cad\,\hh$\tpi
=\tmug$\vbc

\Cor{\num}\vvwa Toute \pms\ sur\, $\K$\,  est la restriction \ac\, $\K$\, d'une \pms\ norm\e e sur\, $\RI$\vb

Le corollaire pr\e c\e dent justifie la d\e finition  suivante\, :\vvab

\Def{\num} Une\, \underline{mesure}\, sur\, $\K$\,  est une pseudo\ha-mesure sur\, $\K$\, qui est la
restriction \ac\, $\K$\, d'une mesure norm\e e sur\, $\RI$\vab

On note\hh$\MM\ha(\K)$\hh l'espace vectoriel des mesures sur\, $\K$\vb

\Th{\num*}$\PM\ha(\K)$\, et\, $\MM\hw(\K)$\, sont des espaces de Riesz\ha-Banach\vb

Comme sur\, \ab\, on d\e finira successivement les alg\ee bres suivantes de fonctions sur\, $\K$\, :\vvaab

$\RR\hb(\K)$ =\, fonctions\, \underline{r\e gl\e es}\, sur\, $\K$\, =\, limites uniformes de fonctions de\,
$\EE\hw(\K)$\vva
$\PR\hb(\K)$ =\, fonctions\, \underline{pseudo\ha-r\e gl\e es}\, sur\, $\K$\vvw
\hs{15mm}=\, limites simples born\e es de fonctions de\, $\EE\hw(\K)$\vva
$\WW\hb(\K)$ =\, fonctions\, \underline{universelles}\, sur\, $\K$\dd une fonction\hh$f\in\ha\FF(\K)$\hh est\:
\underline{universelle}\hh ssi
$$\boxed{\:\all\tmu\in\MM(\K)^+\,\hh\all\eps>0$\,\hh il existe\ha\hh$g\hb,\hb h\in\ha\PR\hb(\K)\ha\hh
$tels\ que$\,\hh g\le f\le h\,\hh$et$\,\hh\tmu\,(h-g)\le\eps\,}\ph{\big|}$$\vva

\textbf{\emph{Ces espaces v\e rifient\ha\ les\ha\ m\^emes\ha\ propri\e t\e s\ha\ et \theo s\ha\ que\ha\
sur}\, \ab}\vb

On a\quad\fbox{\,$\EE\hw(\K)+\ha\CC\ha(\K)\sub\ha\RR\hb(\K)\sub\ha\PR\hb(\K)\sub\WW\hb(\K)
\sub$\ho$\FF(\K)$\ha}\ha\vb

$\RR\hb(\K)\vv\ha\PR\hb(\K)\vv\ha\WW\hb(\K)\vv\ha\FF(\K)$\, sont des alg\ee bres de Riesz\ha-Banach pour la
norme \mbox{uniforme\ha.}\vvaab

On peut alors d\e finir les alg\ee bres correspondantes sur\, $\RI$\, :\vvb

\Def{\num}\vvab
$f\in\FF\RIP$\, est\, \underline{r\e gl\e e}\, sur\, $\RI$\hh ssi\: $f\ha|\ha_\K\in\RR\hb(\K)$\:
pour tout\, \coel\, $\K$\vaab
$f\in\FF\RIP$\, est\, \underline{pseudo\ha-r\e gl\e e}\, sur\, $\RI$\hh ssi\: $f\ha|\ha_\K\in\PR\hb(\K)$\:
pour tout\, \coel\, $\K$\vaab
$f\in\FF\RIP$\, est\, \underline{universelle}\, sur\, $\RI$\hh ssi\: $f\ha|\ha_\K\in\WW\hb(\K)$\:
pour tout\, \coel\, $\K$\vbc

\Not$\RR\hw\RIP\ha=$\ha\ alg\ee bre de Riesz des fonctions r\e gl\e es sur\, $\RI$\vva
\hs{22mm}$\PR\hw\RIP\ha=$\ha\ alg\ee bre de Riesz des fonctions pseudo\ha-r\e gl\e es sur\, $\RI$\vva
\hs{22mm}$\WW\ha\RIP\ha=$\ha\ alg\ee bre de Riesz des fonctions universelles sur\, $\RI$\vbc

On a\quad\fbox{\,$\EE\RIP+\ha\CC\RIP\sub\ha\RR\hw\RIP\sub\ha\PR\hw\RIP\sub\ph{\low{|}}\!\WW\ha\RIP$\ha}\ha\vbc

On note\, $\WB\RIP$\, l'alg\ee bre des fonctions universelles born\e es sur\, $\RI$\vw
$\WB\RIP$\, est une alg\ee bre de Riesz\ha-Banach pour la norme uniforme\vbc

\Def{\num}$\all\tmu\in\MX\RIP\ha^+\,\hh\al\hb f\in\WB\ha\RIP\ha^+$\ha\hh on pose\;\hh
\fbox{\,$\tmu\,(f)\ha=\sup\pos_{\K\;\tsf{c\hw o\hw e\hw l}}\ \tmu\hb_\K\hb\big(f\hw|\ha_\K\big)$\ha}\pv\vvb
$\all\tmu\in\MX\RIP\hh\al\hb f\in\WB\RIP$\hh on pose\hh
\fbox{\,$\tmu\,(f)=\,\tmu^+\ha(f^+)-\ha\tmu^+\ha(f^-)-\ha\tmu^-\ha(f^+)+\ha\tmu^-\ha(f^-)\ph{\big|}$\hs{-1mm}}\vvbc

On a ainsi \e tendu l'action de\, $\MX\RIP$\, \ac\, $\WB\ha\RIP$\pv jusqu'\ac\ pr\e sent cette action
n'\e tait\vvw d\e finie\ha\ que\ha\ sur\, $\EE\RIP$\vb

\Th{\num}$\MX\RIP$\, est un module de Riesz sur\: $\WB\RIP$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Espaces associ\e s \ac\ une mesure norm\e e positive sur\, $\RI$}}\vvc

On se donne une mesure norm\e e positive\hh\fbox{\,$\tmu\in\MX\RIP^+$\ha}\ha\vab
Les espaces\, $\Om$\, peuvent s'\e tudier comme cas particuliers de l'espace\, $\RI$\vg
en choisissant\\des mesures\: $\tmu$\: dont les restrictions\: $\tmuj$\, \ac\: $\RJ$\: sont discr\ee tes\vw
Il en va de m\^eme pour l'espace\, $\R^n$\vg qui peut \^etre consid\e r\e\  comme l'espace\, $\RI$\vg
portant\vvww une mesure d\e finie par la suite\hh$\all j\ge n\hh\tmu\hb_j\ha
=\hb\tpi\ha\ten\ha\underbrace{\del_{\hw0}\ha\ten\ha\ldots\ha\ten\ha\del_{\hw0}}_{j\,+\,1\hb-\,n\,\
\mrom{fois}}$\,\vg\ha \ou\: $\tpi$\: est une mesure\\[-2.5mm]sur\, $\R^n$\, et\, $\del_{\hw0}$\, est la mesure de Dirac sur\, $\R$\, en\, 0\vcd

\Def{\num}On pose\quad\fbox{\:$\EE\ha\RIP\ha.\:\tmu\,=\hb\big\{\hb h\,.\,\tmu\ \|\ h\in\ha\EE\ha\RIP\big\}$\hb}\ha\vb
$\EE\ha\RIP\ha.\:\tmu$\hh est un sous-espace de l'espace de Riesz\ha-Banach\: $\MX\RIP$\vbc

\Def{\num}\vva\fbox{\:$\muc$\ho\ est la\, \underline{fermeture}\, de\; $\EE\ha\RIP\ha.\:\tmu$\hh
dans\: $\MX\RIP$\: pour la norme\; $\nst{\ }\ph{\low{\big|}}$\hs{-1mm}}\vvbc

Les \e l\e ments de\, $\muc$\, s'appellent les\: \fbox{\ha mesures norm\e es de base\, $\tmu$\:}\ha\vc

\Th{\num*}$\muc$\: est un espace de Riesz\ha-Banach pour la norme\; $\nst{\ }$\vc

\Th{\num*}\fbox{\;$\muc$\, est\ho un  sous-espace int\e gral de $\MX\RIP\ph{\low{\big|}}$\hs{-1.05mm}}\vvc

\Def{\num}\vvab On pose\quad\fbox{\,$\LL^1\MU\ha=\,\invmu\ha\ \muc\ha
=\ha\Big\{\:\Frac{\tnu}{\tmu}\hb\ \Big\|\ \tnu\in\ha\muc\,\Big\}$\,}\pv
on a donc\quad\fbox{\:$\muc$\ho$\ha=\hb\LL^1\MU\hb.\,\tmu\ph{\low{p}}$\hs{-1.25mm}}\ha\vbc

Les \e l\e ments de\: $\LL^1\MU$\; s'appellent les\, \underline{$\tmu$--fonctionnelles\ha\ sommables}\pv
elles sont\\ repr\e sent\e es par des lettres ``\,droites\,"\pv
on peut \e crire\vvab\hs{40mm}\fbox{\:$\f\in\LL^1\MU$\;\ho$\imp\ \f\:\tmu\ha\in\ha\muc\ha\sub\ha\MX\RIP$\,}\:.\\\vvab

\Def{\num}$\al\;\f\in\LL^1\MU$\,\hh on pose\, \hh\fbox{\:$\tmu\,(\ha\f\hw)$\ho
$=\ha\big(\ha\f\,\tmu\hw\big)\hb(\un)$\,\hh avec\hh$\un=\hw\un\ha_{\RI}$\,}\:.\\\vvb

\Def{\num}$\all\f\in\LL^1\MU$\,\hh on pose
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\NONE{\hb\f\hb}\ha=\ha\nst{\,\f\,\tmu\,}\ha=\hb\tmu\,(\ha|\hb\f\hb|\ha)$\: .}
\put(3,-2.5){\frm(52.5,7.25)}
\end{picture}\vvcd

\emph{\underline{Notation\ha\ int\e grale}}\dd$\al\;\f\in\LL^1\MU$\,\hh on note\quad
\fbox{\:$\Int_{\ha\RI}\!\f\hb(X)\:\tmu\hab(X)\hb=\int_{\ha\RI}\!\f\,\tmu\,=\,\tmu\,(\hw\f\hw)$\,}\ha\vc

\Def{\num}$\al\hb f\in\WB\ha\RIP$\,\hh on pose\,\hh\fbox{\,$\ENS{f}=\,\Frac{f\hab\tmu}{\tmu}$\,}\: $\in\ha\LL^1\MU$\vb

$\ENS{f}$\, s'appelle la\, $\tmu$--fonctionnelle\, \underline{associ\e e}\: \ac\, $f$\vc

\Th{\num*}\vva L'application\,\hh\fbox{\:$\WB\ha\RIP\,\to\,\LL^1\MU$ \ho$:\ f\tto\ENS{f}$\,}\,\hh est un\,
\underline{morphisme de Riesz}\vc

On d\e finit\hh$\LL^2\MU\,,\BB\MU\vv\KK\MU\vv\ha\FO\ha\MU$\hh comme dans la Quatri\ee me Partie\vg\ha
\textbf{avec les m\^emes propri\e t\e s et \theo s}\vbc

\emph{\underline{Notation\ha\ pratique}}\, :\, Soit\, $\AX$\, une partie de\, $\RI$\, telle que\,
$\un_{\ha\AX}\in\WB\ha\RIP$\ha;\vvwa alors on note\hh\fbox{$\hs{-.5mm}\ph{\overline{i}}\tmu\,(\AX)\ha
=\hb\tmu\,(\un_{\ha\AX})$\ha}\pv si de plus\, $\f\in\LL^1\MU$\, on note\hh
\fbox{\,$\Int_{\hw\AX}\f\,\tmu\hb=\hb\tmu\,(\hw\f\ha.\hw\un_{\ha\AX})$\hb}\ha\vbc

\Th{\num*}Soit\, $j\in\N$\, et\, $\AX$\, une partie de\, $\RJ$\, telle que\hh$\un_{\ha\AX}\hw\in\ha\WB\ha(\hw\RJ)$\ha;\vva
alors on a\hh\fbox{$\ph{\underline{|}}\tmuj\,(\AX)\ha=\hb\tmu\hb(\hw\AX\tim\RI\hw)$\ha}\ha\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage\null\thispagestyle{empty}\newpage

\initNum

\centerline{\textbf{CHAPITRE\, XXIV}}\vva
\centerline{\textbf{PROBABILITES}}\vvcd

$\RI$\hh est muni d'une\, \underline{probabilit\e}\,\hh\fbox{\,$\tmu\in\PB\hw\RIP$\ha}\vc

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Vocabulaire des probabilit\e s}}\vvc

El\e ment de\, $\FO\ha\MU$\, =\; \underline{\underline{\tsf{Variable al\e atoire}}}\; =\; \tsf{\val}\vvaab

Si\: $\FX\rs\in\LL^1\MU$\, :\: $\tmu\hb\pa\FX\pb\hb=\:\mm\hb\pa\ha\FX\pb$\, =\, \tsf{Moyenne de}\, $\FX$\vvwa
\hs{28mm}$\tmu\hb\big(\hb\hi{$|$}\hb\FX-\tmu\hb\pa\FX\pb\ha\hi{$|$}\hb\big)\hb=\,U\pa\ha\FX\pb$\, =\, \tsf{Ecart moyen de}\, $\FX$\ha.\vvab
Si\: $\FX\rs\in\LL^2\MU$\, :\: $\tmu\hb\hi{\big[}\ha\FX-\tmu\hb\pa\FX\pb\ha\hi{\big]}^2\hb=\,V\pa\ha\FX\pb$\,
=\, \tsf{Variance de}\, $\FX$\hb;\: on a\,\hh\fbox{\,$U\pa\ha\FX\pb\le\sqrt{V\pa\ha\FX\pb}$\hb}\ha\vb
Si\: $\FX\rs\in\LL^4\MU$\, :\: $\tmu\hb\hi{\big[}\ha\FX-\tmu\hb\pa\FX\pb\ha\hi{\big]}^4\hb=\:W\pa\ha\FX\pb$\,
=\, \tsf{Bivariance de}\, $\FX$\hb;\: on a\,\hh\fbox{\,$V\pa\ha\FX\pb\le\sqrt{W\pa\ha\FX\pb}$\hb}\ha\vb

El\e ment de\, $\KK\MU$\, =\; \underline{\underline{\tsf{Ev\e nement}}}\vva

Si\, $\sig$\, est un \e v\e nement\,:\: $1-\sig$\, =\, ``\,\tsf{non}\hb\ $\sig$\,"\vvw
Si\, $\sig$\, et\, $\tau$\, sont des \e v\e nements\, :\: $\sig\ve\tau$\,=\, ``\,$\sig$\hb\ \tsf{ou}\hb\ $\tau$\,"\vvw
\hs{62mm}$\sig\wa\ha\tau=\:\sig\ \tau\ha=\: ``\,\sig$\hb\ \tsf{et}\hb\ $\tau$\,"\vvw
Si\: $\sig_n$\: est une suite d'\e v\e nements\, :\: $\Sup{n}\:\ \sig_n$\, =\, ``\,\tsf{au moins un\, $\sig_n$}"\vva
\hs{67mm}$\Inf{n}\hb\ \sig_n\,=\hb\prod\pos_n\ha\sig_n$\, =\, ``\:\tsf{tous les\hb\ $\sig_n$}"\vva
\hs{65mm}$\Suplim{n\to\pin}\ \sig_n$\, =\, ``\,\tsf{une infinit\e\ de\hb\ $\sig_n$"}\vva
\hs{65mm}$\Inflim{n\to\pin}\:\sig_n$\, =\, ``\,\tsf{une infinit\e\ de\hb\ $\sig_n$\ha\ cons\e cutifs}\,"\vvbc

Les \e v\e nements\, $\sig_1\vv\sig_2\vv\ldots\vv\sig_n$\, sont\, \underline{\tsf{ind\e pendants}}\,
ssi\ha\ pour tout sous-ensemble d'indices\vvwa$i_1\vv i_2\vv\ldots\vv i_k$\hh(\ha$2\le k\le n$\ha)\hh
on a\,\hh\fbox{\,$\tmu\,(\ha\sig_{i_1}\:\sig_{i_2}\:\ldots\:\sig_{i_k}\ha)
=\hb\tmu\,(\sig_{i_1})\:\tmu\,(\sig_{i_2})\:\ldots\:\tmu\,(\sig_{i_k})\ph{\big|}$\hs{-1mm}}\ha\vbc

Une suite de\, $\KK\MU$\, est une suite d'\e v\e nements\, \underline{\tsf{ind\e pendants}}\hh ssi\ha\
les \e v\e nements de toute partie\hb\ \underline{finie}\, de la suite sont ind\e pendants\va
Si\, $\sig_n$\, est une suite d'\e v\e nements ind\e pendants on a\ha\hh
\fbox{\:$\tmu\,\big(\prod\pos_n\ha\sig_n\big)=\ph{\wh{|}}\hs{-1.25mm}\prod\pos_n\,\tmu\,(\sig_n)$\ha}\ha\vc

\newpage
Les\, \val\: $\FX_1\vv\FX_{\hw2}\vv\ldots\vv\FX_{\hw n}$\hh sont\: \underline{\tsf{ind\e pendantes}}\hh
ssi\,\hh$\all\ha g\ha_1\vv g\ha_2\vv\ldots\vv g\ha_n\ha\in\ha\EO\ha(\R)$\vvab
\hs{15mm}\fbox{\,$\tmu\,\big[\ha(\ha g\ha_1\cir\FX_1)\: (\ha g\ha_2\cir\FX_{\hw2})\:\ldots\:
(\ha g\ha_n\cir\FX_n\ha)\ha\big]=\ph{\wh{|}}\tmu\,(\ha g\ha_1\cir\FX_1)\
\tmu\,(\ha g\ha_2\cir\FX_{\hw2})\:\ldots\:\tmu\,(\ha g\ha_n\cir\FX_n)$\ha}\pv\vvab
dans ce cas l'\e galit\e\ est encore vraie si\hh$g\ha_1\vv g\ha_2\vv\ldots\vv g\ha_n\ha\in\ha\RR\ha(\R)$\vg
\ac\ condition que\vvww
$(\ha g\ha_1\cir\FX_1)\: (\ha g\ha_2\cir\FX_{\hw2})\:\ldots\:(\ha g\ha_n\cir\FX_n)\in\LL^1\MU$\hh
et que\hh$\all i\hh g\ha_i\cir\FX_{\hw i}\in\LL^1\MU$\vb

Une suite de\, $\FO\ha\MU$\, est une suite de\, \val\,\, \underline{\tsf{ind\e pendantes}}\hh ssi\ha\ les\,
\val\, de toute partie\, \underline{finie}\, de la suite sont ind\e pendantes\vb

Les\, \val\, $\FX_1\vv\FX_{\hw2}\vv\ldots\vv\FX_n$\hh sont\: \underline{\tsf{ind\e pendantes deux
\ac\ deux}}\hh ssi\,\hh$\all i\ne j$\hh les\, \val\, $\FX_{\hw i}$\, et\, $\FX_{\hw j}$\vvww sont
ind\e pendantes\pv si de plus\hh$\all i\hh\FX_{\hw i}\in\LL^2\MU$\vg on peut \e crire \vvab
\hs{30mm}\fbox{\,$V(\ha\FX_1+\,\FX_{\hw2}+\ldots+\,\FX_n)\ph{\overline{|}}\hs{-.5mm}
=\hb V(\ha\FX_1)+V(\ha\FX_{\hw2})+\ldots+V(\ha\FX_n)$\,}\ha\vc

\underline{\tsf{Exemple\, I}}\, :\vvwa Soit une suite\hh$\tphi\hb_n\in\ha\PB\hw(\R)$\pv$\JN$\hh on pose\hh
$\tmu\hb_j\hb=\,\tphi\hb_0\hb\ten\,\tphi\ha_1\hb\ten\ldots\ten\,\tphi\ha_j\ha\in\ha\PB\ha\RJP$\vww
On voit facilement que la suite\, $\tmu\ha_j$\, d\e finit un\, \underline{processus stochastique}\:
$\tmu$\: sur\, $\RI$\vwa On pose\,\hh$\nn\,\hh X\hw_n\::\:\RI\to\R\::\:X\tto X(n)$\pv alors\hh
$\nn\hh X\hw_n\in\FO\ha\MU$\hh et les\vvk\val\, $X\hw_n$\, sont ind\e pendantes\vw
$\rbox{.5mm}{\big(}\ha\RI\vv\tmu\ha\rbox{.5mm}{\big)}$\, constitue le mod\ee le probabiliste
associ\e\ha\ \ac\ha\ la donn\e e d'une suite abstraite de\, \mbox{\val}\vvww ind\e pendantes\, $X\hw_n$\, de lois\: $\tphi\hb_n$\vb

\underline{\tsf{Exemple\, II}}\, :\vvwa
Un processus stochastique tel que\, $\JN\hh\tmu\hb_{j\hw+1}=f_{\re j}\ha(x_{j\hw+1})\hb\tmu\hb_j$\, avec\ha\ $f_{\re j}\rs\in\WW\hw(\R)$\hh et\vvw
$\Int_{\R}\rs\rs\rs f_{\re j}\ha(x)\,d\hb x=\rr1$\hh constitue un cas particuler de l'exemple I\pv
si on g\e n\e ralise au cas \ou\\[-1mm]$\JN$\hh\fbox{\hb$\tmu\hb_{j\hw+1}=f_{\re j}\ha(x_j\ha,\ha x_{j\hw+1})\hb\tmu\hb_j$\hab}\hh avec\hh$f_{\re j}\rr\in\WW\hw(\R^2)$\ha\hh
et\,\hh$\all u\in\R\,\Int_{\R}\rs\rs\rs f_{\re j}\ha(u\hab,\hw x)\,d\hb x=\rr1$\vg\vvwa on obtient une\, \underline{cha\^ine de Markov}\hw.\vvd

\newpage
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Applications}}\vvc

\num\ \underline{\underline{Lemme de Borel\ha-\ha Cantelli}}\vva
Soit\, $\sig_n$ une suite d'\e v\e nements\ha\ et posons\hh$\sig=\Suplim{n\to\pin}\ \sig_n$\pv alors on a\vva
1)\hh$\sum\pos_n\,\tmu\,(\sig_n)<\pin\,\ \imp\ \tmu\,(\sig)=0$\vva
2)\, $\Big[\,\sum\pos_n\,\tmu\,(\sig_n)=\pin$\,\hh et les\, $\sig_n$\, ind\e pendants\,\Big]\,
$\imp\ \tmu\,(\sig)=1$\vbc

\Dem\vvwa
a)\hh Posons\hh$\all p\in\N\,\hh\tau_p\,=\,\Sup{n\,\ge\,p}\,\ \sig_n$\pv on a alors\,
$\tmu\,(\tau_p)\le\sum\pos_{n\,\ge\,p}\,\tmu\,(\sig_n)$\pv comme\hh$\sig=\,\Inf{p}\ \tau_p$\vg\vvw on a\hh
$\all p\in\N\,\hh\tmu\,(\sig)\le\,\tmu(\tau_p)\le\sum\pos_{n\,\ge\,p}\, \tmu\,(\sig_n)$\pv or\hh
$\sum\pos_n\,\tmu\,(\sig_n)$\: est convergente\vg\vvw donc\, $\tmu\,(\sig)=0$\vab

b)\hh On a\,\hh$1-\sig\,=\Inflim{n\to\pin}\ (1-\sig_n)\ha=\:\Sup{p}\ \Inf{n\,\ge\,p}\ (1-\sig_n)$\pv
posons\hh$\all p\in\N$\vvw$\tau_p\,=\,\Inf{n\,\ge\,p}\ (1-\sig_n)$\pv comme les \e v\e nements\, $1-\sig_n$\,
sont ind\e pendants\vg on a\vvw$\tmu\,(\tau_p)=\prod\pos_{n\,\ge\,p}\, \tmu\,(1-\sig_n)
=\prod\pos_{n\,\ge\,p}\, \big[\ha1-\tmu\,(\sig_n)\ha]$\pv or\hh$\sum\pos_n\,\tmu\,(\sig_n)$\:
est divergente\vg donc\, $\all p\in\N$\vvw$\tmu\,(\tau_p)=\,0$\vg donc\hh$1-\sig\,=\,\Sup{p}\ \tau_p\,=\,0$\vg
donc\hh$1-\tmu\,(\sig)\le\,\sum\pos_p\ha\tau_p\ha=\,0$\vg donc\, $\tmu\,(\sig)=1$\vc

\Th{\num}\vvwa Soient\hh$\f_{\ha1}\vv\f\ha_2\vv\ldots\vv\f\hw_n\in\,\LL^4\MU$\hh des\, \val\, ind\e pendantes de moyenne\, $\mm$\pv\vvw
on suppose qu'il existe\hh$W\hs{-1mm}_*>0$\hh tel que\hh$\all i\hh W(\ha\f_{\hb i})\le W\hs{-1mm}_*$\pv
on pose\,\hh$\nn^*$\vva$\SX\ha_n=\,\f_{\ha1}+\ha\f\ha_2+\ldots+\ha\f\hw_n$\pv alors\hh$\all\eps>0$\hh on a\,\hh
\fbox{\,$\tmu\,\Big\{\,\Big|\,\Frac{\SX\ha_n}{n}-\mm\hb\Big|>\eps\ha\Big\}
\le\ha\frac{3\,W\hs{-1mm}_*}{n\ha^2\,\eps\ha^4}$\,}\ha\vbc

\Dem$\tmu\:\Big\{\,\Big|\,\Frac{\SX\ha_n}{n}-\mm\hb\Big|\ge\eps\ha\Big\}\,
=\;\tmu\:\Big\{\,\Big[\,\frac{\SX\ha_n}{n}-\mm\hb\Big]^4\ge\hb\eps\ha^4\hb\Big\}\,
\le\,\inv{\eps\ha^4}\ \tmu\,\Big[\,\Frac{\SX\ha_n}{n}-\mm\hb\Big]^4$\vva
$=\,\Inv{n\ha^4\,\eps\ha^4}\ \tmu\,\big[\,\SX\ha_n-n\,\mm\hb\big]^4
=\,\inv{n\ha^4\,\eps\ha^4}\ \tmu\,\Big[\tex\sum\pos_i\,(\ha\f_{\ha i}-\mm)\ha\Big]^4$\vvwa
$=\,\Inv{n\ha^4\,\eps\ha^4}\,\Big[\tex\sum\pos_i W(\ha\f_{\ha i})
+\ha6\tex\sum\pos_{i\:<\:j}V(\ha\f_{\ha i})\hb V(\ha\f_{\ha j})\ha\Big]\,
\le\,\Inv{n\ha^4\,\eps\ha^4}\ \Big[\tex\sum\pos_i W(\ha\f_{\ha i})
+\ha6\sum\pos_{i\:<\:j}\sqrt{W(\ha\f_{\ha i})\hb W(\ha\f_{\ha j})}\hb\Big]$\vva
$\le\,\Inv{n\ha^4\,\eps\ha^4}\,\Big[\tex\sum\pos_i W\hs{-1mm}_*+\ha6\tex\sum\pos_{i\:<\:j}W\hs{-1mm}_*\ha\Big]\,
\le\,\Frac{W\hs{-1mm}_*}{n\ha^4\,\eps\ha^4}\,\big[\,n+3\,n\,(n-1)\ha\big]\,
\le\,\Frac{3\,n\ha^2\,W\hs{-1mm}_*}{n\ha^4\,\eps\ha^4}\,=\,\frac{3\,W\hs{-1mm}_*}{n\ha^2\,\eps\ha^4}$\vc

\newpage
\num\ \underline{\underline{Loi forte des grands nombres\, I}}\vvab Soit une suite de\, \val\, ind\e pendantes\; $\f\hw_n\in\,\LL^4\MU$\;
de moyenne\, $\mm$\ha\vg telle que\vvww
la suite\, $W(\ha\f_{\ha n})$\, soit\ha\ \textbf{major\e e}\pv
on pose\hh$\nn^*\,\hh\SX\ha_n=\,\f_{\ha1}+\ha\f\ha_2+\ldots+\ha\f\hw_n$\pv\vva
alors\hh\fbox{\,$\Frac{\SX\ha_n}{n}\pp\mm$\,}\ha\vg
\cad\,\hh$\all\eps>0\,\hh\Suplim{n}\ha\ \dis\Big\{\ha\Big|\hb\frac{\ha\SX\ha_n\ha}{n}-\ha\mm\hb\Big|\ge\ha\eps\ha\Big\}=\ha0$\vb

\Dem On applique le \theo\ pr\e c\e dent\ha\ et\ha\ le cas\, 1)\, du lemme de Borel\ha-\ha Cantelli\vbc

\num\ \underline{Corollaire}\vva Soit une suite\ha\ \textbf{born\e e}\ha\ de\, \val\, ind\e pendantes\; $\f\hw_n\in\,\BB\MU$\; de moyenne\, $\mm$\pv\vvwa
on pose\hh$\nn^*\,\hh\SX\ha_n=\,\f_{\ha1}+\ha\f\ha_2+\ldots+\ha\f\hw_n$\pv alors\hh\fbox{\,$\Frac{\SX\ha_n}{n}\fin\mm$\,}\ha\vab

\Dem La suite\, $W(\ha\f_{\ha n})$\, est trivialement major\e e\vg donc\hh$\Frac{\SX\ha_n}{n}\pp\mm$\pv\vvww
mais la suite\, $\Frac{\SX\ha_n}{n}$\, est\ha\ \textbf{born\e e}\ha\ (par la m\^eme constante que la suite\ha\  $\f\hw_n$)\vg
donc\hh$\Frac{\SX\ha_n}{n}\fin\mm$\vcd

\num\ \underline{\underline{In\e galit\e\ de Kolmogorov}}\dd Soient\, $\f_{\ha1}\vv\f\ha_2\vv\ldots\vv
\f\hw_n\in\LL^2\MU$\, des\, \val\, ind\e pendantes\vvwa de\, \underline{moyenne nulle}\pv
on pose\,\hh$\all\ha1\hs{-.5mm}\le k\le\hs{-.25mm}n\quad\SX\ha_k\ha=\,\f_{\ha1}+\ha\f\ha_2+\ldots+\ha\f_{\ha k}$\ha\hh
et\ha\hh$V_n=\ha V\ha(\ha\SX\ha_n)$\pv\vva alors\,\hh$\all\eps>0$\,\hh on a\,\hh
\fbox{\,$\tmu\;\big\{\hb|\hb\SX\ha_1\hw|\ve|\hb\SX\hb_2\ha|\ve\ldots\ve|\hb\SX\ha_n\ha|\ha\ge\hb\eps\hb\big\}
\le\hw\Frac{V_n}{\eps^{\ha2}}$\,}\hb\vb

\Dem Posons\vvwa$\sig\ha=\ha\Big\{|\hb\SX\ha_1\hw|\ve|\hb\SX\hb_2\ha|\ve\ldots\ve|\hb\SX\ha_n\ha|\ge\eps\Big\}
=\ha\big\{|\hb\SX\ha_1\hw|\ge\eps\big\}\ve\big\{|\hb\SX\hb_2\ha|\ge\eps\big\}\ve\ldots\ve
\big\{|\hb\SX\ha_n\ha|\ge\eps\big\}$\vvwa et\,\hh$\sig_k\ha=\ha\big\{|\hb\SX\ha_1\hw|<\eps\big\}\,
\big\{|\hb\SX\hb_2\ha|<\eps\big\}\ldots\big\{|\hb\SX\ha_{k-1}\ha|<\eps\big\}\,
\big\{|\hb\SX\ha_k\ha|\ge\eps\big\}$\pv\vvw on a\,\hh$\sig\hb=\,\sig_1\ve\sig_2\ve\ldots\ve\sig_n$\,\hh
et\,\hh$\all i\ne j\hh\sig_i\ \sig_j\hb=\,0$\vg donc\hh$\sig\hb=\,\sig_1+\sig_2+\ldots+\sig_n$\va

De plus\,\hh$\tmu\,(\sig\ha_k\ \SX_{\ha n}^{\hb2})\hb=\,\tmu\,\big[\,\sig_k\,(\ha\SX\ha_k+\ha\f_{\ha k+1}+\ldots+\ha\f\hw_n\hw)^{\ha2}\,\big]$\vvww
$=\,\tmu\,(\sig_k\ \SX_ k^{\hb2})\,+\,\tmu\hb\big[\,\sig_k\,(\ha\f_{\ha k+1}+\ldots+\ha\f_{\ha n}\hw)\ha^2\,\big]\,
+\,2\ \tmu\hb\big[\,\sig_k\ \SX_k\,(\ha\f_{\ha k+1}+\ldots+\ha\f\hw_n\hw)\,\big]$\vvw
$=\,\tmu\,(\sig_k\ \SX_k^{\hb2})\,+\,\tmu\,(\sig_k)\ \tmu\hb\big[\,(\ha\f_{\ha k+1}+\ldots+\ha\f\hw_n\hw)\ha^2\,\big]\,
+\,2\ \tmu\,(\sig_k\ \SX_k)\ \tmu\,(\ha\f_{\ha k+1}+\ldots+\ha\f_{\ha n}\hw)$\vvw
$=\,\tmu\,(\sig_k\ \SX_k^{\hb2})\,+\,\tmu\,(\sig_k)\ \tmu\hb\big[\,(\ha\f_{\ha k+1}+\ldots+\ha\f\hw_n\hw)\ha^2\,\big]$;\vva

donc\hh$\tmu\,(\sig_k\ \SX_{\ha n}^{\hb2})\ha\ge\,\tmu\,(\sig_k\ \SX_k^{\hb2})\ha
=\ha\tmu\hb\Big[\sig_k\,\big\{|\hb\SX_k\ha|\ge\eps\big\}\,\SX_k^{\hb2}\Big]\ge\ha\eps^{\ha2}\hb\tmu\,(\sig_k)$\vg\vvww
donc en sommant sur\, $k$\,\hh$\tmu\,(\SX_{\ha n}^{\hb2})\ha\ge\,\tmu\,(\sig\,\SX_n^{\hb2})\ge\ha\eps^{\ha2}\hb\tmu\,(\sig)$\pv
donc\hh$\tmu\,(\sig)\ha\le\,\Inv{\eps^{\ha2}}\:\tmu\,(\SX_{\ha n}^{\hb2})\ha=\ha\Frac{V_n}{\eps^{\ha2}}$\vc

\newpage
\Th{\num}Soit une suite\, $\f\hw_n\in\LL^2\MU$\, de\, \val\, ind\e pendantes de\, \underline{moyenne
nulle}\vg\vvwa telle que\hh$\sum\pos_{i\,=\,0}^{\infty}\ha V(\ha\f\ha_i)<\pin$\pv alors\hh
$\sum\pos_{i\,=\,0}^{\infty}\,\f\ha_i$\hh converge\; \PP\vvbc

\Dem\vva Posons\,\hh$\nn\,\hh\sig_n\ha=\ \Sup{p\,\ge\,n}\ \Big\{\,\Big|\sum\pos_{i\:=\,n}^p\, \f\ha_i\,\Big|
>\eps\,\Big\}\le\ \Sup{p\,\ge\,n}\ \Big\{\,\Sup{n\,\le\,r\,\le\,p}\
\Big|\sum\pos_{i\:=\,n}^r\, \f\ha_i\,\Big|>\eps\,\Big\}$\va
Posons\,\hh$\all p\ge n\,\hh\sig_{n\vv p}\,=\,\Big\{\,\Sup{n\,\le\,r\,\le\,p}\ \Big|\sum\pos_{i\:=\,n}^r\,
\f\ha_i\,\Big|>\eps\,\Big\}$\pv on a\,\hh$\sig_n\,\le\ \Sup{p\,\ge\,n}\,\ \sig_{n\vv p}$\ha\pv\vva
de plus\,\hh$\tmu\:(\sig_{n\vv p})\hb\le\hb\Inv{\eps^{\ha2}}\hb\tex\sum\pos_{i\:=\,n}^{p}V(\ha\f\ha_i)\,
\le\hb\Inv{\eps^{\ha2}}\hb\tex\sum\pos_{i\:=\,n}^{\infty}V(\ha\f\ha_i)$\va

Or\hh$\nn$\hh la suite\hh$\sig_{n\vv p}$\hh est croissante\vg donc\hh$\nn$\vva$\tmu\,(\sig_n)\hb
\le\hb\sup\pos_{p\,\ge\,n}\ \tmu\,(\sig_{n\vv p})\hb\le\hb\Inv{\eps^{\ha2}}\hb
\tex\sum\pos_{i\:=\,n}^{\infty}V(\ha\f\ha_i)$\pv donc\hh$\tmu\,(\sig_n)\to0$\vcd

\Th{\num}Soient\ha\hh$\FX\ha,\,\FX_n\in\FO\ha\MU$\; tels que\ha\hh$\FX_n\pp\FX$\ha\pv
on pose\,\hh$\nn^*$\vva$\SX\ha_n=\tex\sum\pos_{i\:=\,1}^n\ha\FX_{\hw i}$\pv alors\ha\hh
\fbox{\,$\Frac{\SX\ha_n}{n}\pp\FX$\,}\ha\vc

\Dem En rempla\c cant\, $\FX_n$\, par\; $\FX_n-\FX$\; on peut supposer\: $\FX=0$\pv soit\, $\eps>0$\hh
et\hh$p\in\N$\pv alors on peut \e crire\hh$\all n>p$\vvaab
$\Sup{q\,\ge\,n}\ \Big\{\ha\Frac{\big|\,\SX\ha_q\ha\big|}{q}\ha>\ha\eps\ha\Big\}\hb
\le\;\Sup{q\,\ge\,n}\ \Big\{\ha\Frac{\big|\,\SX\ha_p\ha\big|}{q}\,
+\,\inv{q}\ \Big|\tex\sum\pos_{i\,=\,p\,+1}^q\FX_{\hw i}\,\Big|\ha>\ha\eps\,\Big\}$\\
$\le\,\Sup{q\,\ge\,n}\ \Big\{\ha\Frac{\big|\,\SX\ha_p\ha\big|}{q}\ha>\hb\eps/2\,\Big\}\,
+\ \Sup{p\,\ge\,n}\ \Big\{\,\inv{q}\ \Big|\tex\sum\pos_{i\,=\,p\,+1}^q\FX_{\hw i}\,\Big|>\ha\eps/2\,\Big\}$\\
$\le\Big\{\ha\Frac{\big|\,\SX\ha_p\ha\big|}{n}\ha>\hb\eps/2\,\Big\}\,
+\ \Sup{q\,\ge\,n}\ \Big\{\,\Inv{q}\ha\tex\sum\pos_{i\,=\,p\,+1}^q|\ha\FX_{\hw i}\ha|>\ha\eps/2\,\Big\}$\\
$\le\Big\{\ha\dis\big|\,\SX\ha_p\ha\big|\ha>\,n\ \eps/2\,\Big\}\,
+\ \Sup{q\,\ge\,n}\ \Big\{\,\Frac{q-p}{q}\tex\sum\pos_{i\,=\,p\,+1}^q|\ha\FX_{\hw i}\ha|>\ha(q-p)\ \eps/2\,\Big\}$\vvwa
$\le\Big\{\ha\dis\big|\,\SX\ha_p\ha\big|\ha>\,n\ \eps/2\,\Big\}\,
+\ \Sup{q\,\ge\,n}\ \Sup{p\,+1\,\le\,i\,\le\,q}\ \Big\{\,\frac{q-p}{q}\ |\ha\FX_{\hw i}\ha|>\ha\eps/2\,\Big\}$\vvwa
$\le\Big\{\ha\dis\big|\,\SX\ha_p\ha\big|\ha>\,n\ \eps/2\,\Big\}\,
+\ \Sup{q\,\ge\,n}\ \Sup{p\,+1\,\le\,i\,\le\,q}\ \Big\{\ha\dis|\ha\FX_{\hw i}\ha|>\ha\eps/2\ha\Big\}$\vvwa
$=\,\Big\{\ha\dis\big|\,\SX\ha_p\ha\big|\ha>\,n\ \eps/2\,\Big\}\,
+\ \Sup{i\,\ge\,p\,+1}\ \Big\{\ha|\ha\FX_{\hw i}\ha|>\ha\eps/2\ha\Big\}$\vab

Comme\,\hh$\Inf{n}\ \Big\{\ha\dis\big|\,\SX\ha_p\ha\big|\ha>\,n\ \eps/2\,\Big\}\hw=\,0$\ha\vg\ha
on en d\e duit\vva$\Suplim{n}\ \Big\{\,\Inv{n}\ \Big|\,\tex\sum\pos_{i\:=\,1}^{n}\,\FX_{\hw
i}\,\Big|>\ha\eps\,\Big\}\ha \le\,\Sup{i\,\ge\,p\,+1}\ \big\{\,|\ha\FX_{\hw i}\ha|>\ha\eps/2\,\big\}$\pv\ha
de plus\hh$\FX_n\pp\FX$\ha\vg\ha donc\vvw$\Suplim{n}\ \Big\{\,\Inv{n}\ \Big|\,\tex\sum\pos_{i\:=\,1}^{n}\,
\FX_{\hw i}\,\Big|>\ha\eps\,\Big\}\ha \le\ \Inf{p}\,\Sup{i\,\ge\,p\,+1}\ \big\{\,|\ha\FX_{\hw i}\ha|
>\ha\eps/2\,\big\}\,=\ \Suplim{n}\ \big\{\,|\ha\FX_n\ha|>\ha\eps/2\,\big\}=\,0$\vc

\newpage
\Th{\num}Soit une suite\: $\FX_n\in\FO\ha\MU$\: telle que\hh$\dis\sum_{i\:=\,1}^\infty\,\frac{\FX_{\hw i}}{i}$\hh
converge\, \PP\pv on pose\,\hh$\nn^*\hh\SX\ha_n=\,\tex\sum\pos_{i\:=\,1}^n\,\FX_{\hw i}$\pv
alors\ha\hh\fbox{\,$\Frac{\SX\ha_n}{n}\pp0$\,}\ha\vb

\Dem Posons\,\hh$\TX=\,\tex\sum\pos_{i\:=\,1}^\infty\,\Frac{\FX_{\hw i}}{i}\ha\in\ha\FO\ha\MU$\,\hh
et\,\hh$\nn^*\hh\TX_n=\,\tex\sum\pos_{i\:=\,1}^n\,\Frac{\FX_{\hw i}}{i}$\ha\pv\ha on peut \e crire\vvww
$\tex\sum\pos_{j\,=\,1}^n\TX_j\,=\tex\sum\pos_{i\:=\,1}^n\ (n+1-i)\ \frac{\FX_{\hw i}}{i}\,
=\,(n+1)\,\TX_n-\,\SX\ha_n$\ha\vg\ha donc\,\hh$\Frac{\SX\ha_n}{n}\,=\ha\Big(1+\inv{n}\ha\Big)\hb\TX_n\ha
-\,\inv{n}\,\tex\sum\pos_{j\,=\,1}^n\TX_j$\va
On a\hh$\TX_n\pp\TX$\ha\vg\ha donc aussi\,\hh$\Inv{n}\,\tex\sum\pos_{j\,=\,1}^n\TX_j\pp\TX$\pv
on en d\e duit\hh$\Frac{\SX\ha_n}{n}\pp0$\vc

\num\ \underline{\underline{Loi forte des grands nombres\, II}}\vvab Soit une suite de\, \val\,
ind\e pendantes\; $\f\hw_n\in\LL^2\MU$\; de moyenne\, $\mm$\ha\vg telle que\vvww
la suite\hb\ $V(\ha\f\hw_n)$\, soit\ha\ \textbf{major\e e}\pv
on pose\,\hh$\nn^*\,\hh\SX\ha_n=\,\f_{\ha1}+\f\ha_2+\ldots+\f\hw_n$\pv\vva
alors\hh\fbox{\,$\Frac{\SX\ha_n}{n}\pp\mm$\,}\ha\vbc

\Dem On a\quad$\tex\sum\pos_{i\,=\,1}^{\infty} V\Big(\Frac{\f\ha_i}{i}\Big)\,
=\tex\sum\pos_{i\,=\,1}^{\infty}\,\Frac{V(\f\ha_i)}{i\ha^2}\ha<\pin$\hb\vg\vvw
donc\,\hh$\tex\sum\pos_{i\,=\,1}^{\infty}\,\Frac{\f\ha_i-\mm}{i}$\hh converge\; \PP\vg
donc\,\hh$\Frac{\SX\ha_n-\ha n\hb.\,\mm}{n}\,\pp\ha0$\hb\vg\hb
\cad\,\hh$\Frac{\SX\ha_n}{n}\ha\pp\ha\mm$\vd

\num\ \underline{\underline{In\e galit\e\  de Bernstein}}\dd Soient\hh$\f_{\ha1}\vv\f\ha_2\vv\ldots\vv
\f_{\ha n}\in\,\BB\ha\MU$\hh des\, \val\, ind\e pendantes\vvwa de\, \underline{moyenne nulle}\pv
on suppose qu'il existe\, $M>0$\, tel que\,\hh$\all i\,\hh|\hb\f\ha_i\ha|\le M$\ha;\vvwa
on pose\ha\hh$\nn^*\,\hh\SX\ha_n=\,\f_{\ha1}+\ha\f\ha_2+\ldots+\ha\f_{\ha n}$\ha\hh et\ha\hh$V_n=\ha V\ha(\ha\SX\ha_n)$\pv
alors\hh$\all\lam>0$\hh on a\vvab\fbox{\,$\tmu\,\big\{\ha\SX\ha_n\ge\lam\ha\big\}
\le\hb\dis\exp\Big[\rs-\frac{V_n}{M^2}\ \Tta\ha\Big(\frac{\lam\,M}{V_n}\Big)\Big]$\,}\,\hh
avec\hh$\all x\ge0$\,\hh\fbox{\,$\Tta\ha(x)=(1+x)\ha\ln\hb(1+x)-x$\,}\ha\vcd

\Dem D'apr\ee s l'in\e galit\e\ de Markov\ha\ on a\hh$\all\ha t>0$\vvwa
$\tmu\,\big\{\ha\f_{\ha1}+\f\ha_2+\ldots+\f_{\ha n}\ge\lam\hw\big\}
=\,\tmu\,\Big\{\hw\Exp{t\ha\big(\ha\f_{\ha1}+\f\ha_2+\ldots+\f_{\ha n}-\lam\ha\big)}\ge1\Big\}$\vva
$\le\,\tmu\ha\Big[\hb\Exp{t\ha\big(\ha\f_{\ha1}+\f\ha_2+\ldots+\f_{\ha n}-\lam\ha\big)}\hw\Big]$
$\le\,\Exp{-\,t\,\lam}\ \tmu\ha\Big[\prod\pos_i\,\Exp{t\,\f\ha_i}\ha\Big]
=\,\Exp{-\,t\,\lam}\:\prod\pos_i\,\tmu\hb\big(\ha\Exp{t\,\f\ha_i}\ha\big)$\vvw
$=\,\exp\Big(\hs{-1mm}-t\,\lam\,+\,\under{i}{\sum}\:\ln\hs{-.5mm}\big[\,\tmu\hb
\big(\Exp{t\,\f\ha_i}\big)\hw\big]\ha\Big)$\vwa

On pose\,\hh$\all x>0\,\hh\Phi(x)=\Inv{x^2}\,\big(\Exp{x}-x-1\big)$\pv gr\^ace au d\e veloppement en
s\e rie de Taylor\vvw de\, $\Exp{x}$\, il est clair que la fonction\, $\Phi$\, est positive et strictement
croissante sur\, $\R^+$.\vva

\newpage
On en d\e duit\,\hh$\all 1\le i\le n$\, :\vva$\ln\big[\,\tmu\hb\big(\Exp{t\,\f\ha_i}\big)\hw\big]
=\,\ln\big[\,\tmu\hb\big(\Exp{t\,\f\ha_i}-t\,\f\ha_i-1+t\,\f\ha_i+1\big)\hw\big]
=\,\ln\big[\,\tmu\hb\big(\Exp{t\,\f\ha_i}-t\,\f\ha_i-1\big)+1\ha\big]$\vvwa
$=\,\ln\Big(1+\,\tmu\,\big[\,t\ha^2\;\f^{\ha2}_{\ha i}\;\Phi\ha\big(\hw t\,\f\ha_i\big)\ha\big]\Big)
\le\,\ln\big[\ha1+\,t\ha^2\:V(\f\ha_i)\;\Phi\ha\big(\hw t\,M\big)\ha\big]\le\,t\ha^2\:V(\f\ha_i)\
\Phi\ha(t\,M)$\ha\vg\vva donc\,\hh$\tmu\,\big\{\ha\SX\ha_n\ge\lam\ha\big\}
\le\exp\big[\hs{-1mm}-t\,\lam\,+\,t\ha^2\:V_n\ \Phi\ha(t\,M)\ha\big]$\vab

On pose\,\hh$H(t)=-\,t\,\lam\,+\,t\ha^2\:V_n\ \Phi\ha(t\,M)\,=\,-\,t\,\lam\,+\,\Frac{V_n}{M^2}\,
\big(\Exp{t\,M}-t\,M-1\big)$\pv\vvwa on choisit\, $t>0$\, tel que\, $H(t)$\, soit minimal\pv$t$\, doit donc
v\e rifier l'\e quation\vva$H\ha'(t)\,=\,-\lam\,+\,\Frac{V_n}{M^2}\,\big(M\,\Exp{t\,M}-M\big)=\,0$\vg
\cad\,\hh$-\lam\,+\,\Frac{V_n}{M}\,\big(\Exp{t\,M}-1\big)=\,0$\vg\cad\vvwa
$t\,=\,\Inv{M}\,\ln\big(1+\frac{\lam\,M}{V_n}\big)=\,t_*$\pv on trouve bien\,\hh
$H(t_*)\,=\,-\,\Frac{V_n}{M^2}\ \Tta\ha\Big(\frac{\lam\,M}{V_n}\Big)$\vcd

\num*\ \underline{Corollaire\, 1}\dd Soient\hh$\f_{\ha1}\vv\f\ha_2\vv\ldots\vv\f\hw_n
\in\,\BB\ha\MU$\hh des\, \val\, ind\e pendantes\vvww de moyenne nulle et de variance\hb\ $V$;\:
on suppose qu'il existe\, $M>0$\, tel que\vvww$\all i\in\N^*\hh|\hb\f\ha_i\ha|\le\hw M$\ha;\:
on pose\hh$\SX\ha_n=\,\f_{\ha1}+\ha\f\ha_2+\ldots+\ha\f\hw_n$\pv alors\hh$\all\eps>0$\hh on a\vvb
\fbox{\,$\tmu\,\Big\{\ha\Frac{\SX\ha_n}{n}\ge\eps\ha\Big\}
\le\hb\dis\exp\Big[\rs-\frac{n\,V}{M^2}\ \Tta\ha\Big(\frac{\eps\,M}{V}\Big)\Big]$\,}\ha\vcd

\num\ \underline{Corollaire\, 2}\dd Sous les m\^emes hypoth\ee ses qu'au Corollaire 1\ha\ on a\vvb
\fbox{\,$\tmu\,\Big\{\ha\Frac{\SX\ha_n}{n}\ge\eps\ha\Big\}
\le\hb\dis\exp\Big[\rs-\frac{n\,\eps\ha^2}{2\,V}\,\Big(1-\frac{\eps\,M}{3\,V}\Big)\Big]$\,}\ha\vb

\Dem On montre facilement que\hh$\all x\ge0\,\hh\Tta\ha(x)\ge\hb\Frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}$\vg
d'\ou\ le r\e sultat\vc

\num*\ \underline{Corollaire\, 3}\dd  Soient\hh$\f_{\ha1}\vv\f\ha_2\vv\ldots\vv\f\hw_n\in\,\BB\ha\MU$\hh
des\, \val\, ind\e pendantes\vvww de moyenne\, $\mm$\, et de variance\hb\ $V$;\:
on suppose qu'il existe\, $M>0$\, tel que\vvww$\all i\in\N^*\hh|\hb\f\ha_i-\mm\ha|\le\hw M$\ha;\:
on pose\hh$\SX\ha_n=\,\f_{\ha1}+\ha\f\ha_2+\ldots+\ha\f\hw_n$\pv alors\hh$\all\eps>0$\hh on a\vvb
\fbox{\,$\tmu\,\Big\{\,\Big|\,\Frac{\SX\ha_n}{n}-\ha\mm\hb\Big|\ge\eps\ha\Big\}
\le\hb2\,\dis\exp\Big[\rs-\frac{n\,\eps\ha^2}{2\,V}\,\Big(1-\frac{\eps\,M}{3\,V}\Big)\Big]$\,}\ha\vd

\newpage
\underline{\tsf{Redescendons sur Terre\vg si vous le voulez bien\, !}}\vva

Il est possible de donner une interpr\e tation fini-dimensionnelle de la loi forte des grands nombres (LFGN)\pt Bien que cette version ne procure ni le frisson esth\e tique
ni la transe extatique du ``presque partout"\vg elle permet de ``toucher du doigt" les objets math\e matiques mis en oeuvre et de donner \ac\ cette loi un contenu
plus explicite en la d\e pouillant de son habit de c\e r\e monie traditionnel\vww

Dans un premier temps nous rempla\c ons avantageusement et sans perte de g\e n\e ralit\e\ la suite de variables al\e atoires ind\e pendantes par une suite de distributions\,
$\tmu_{\ha n}$\, sur $\R$\, comme nous y invite l'Exemple I (p. 260)\pt Ensuite nous munissons les espaces\, $\R^{\hw j}$\, de la probabilit\e\,
\fbox{\ha$\PT_{\re j}=\tmu_1\ten\tmu_2\ten\ldots\ten\tmu_j$\ha}\pt
C'est sur de tels espaces que nous calculerons toutes les int\e grales dont nous aurons besoin pour \e noncer la LFGN\vwa

De plus les ensembles (\e v\e nements) dont nous calculons les mesures (probabilit\e s) sont des\ha\ \textbf{ouverts}\ha\
de $\R^{\hw j}$\vg ce qui constitue une simplification conceptuelle consid\e rable car point n'est besoin d'une ``th\e orie de la mesure" (la n\^otre ou une autre)
pour calculer ces mesures\pt En effet la mesure $\PT_j$ d'un hyper-cube coordonn\e\ est donn\e e par le produit des mesures de ses c\^ot\e s et
celle d'une r\e union disjointe d'hyper-cubes coordonn\e s s'en d\e duit par somme\pt La mesure d'un ouvert $U\sub\R^{\hw j}$ se d\e finit d\ee s lors simplement par\quad
$\PT_j(U)=\sup\ \{\PT_j(S)\,\|\,S=$ r\e union disjointe d'hyper-cubes coordonn\e s $\sub U\}$\vvww

Par ailleurs les ouverts dont nous calculerons les probabilit\e s sont eux-m\^emes parmi les plus simples qu'on puisse rencontrer puisque ce sont des intersections
finies de demi-espaces ouverts de $\R^{\hw j}$\va

Voil\ac\ d\ee s lors la description ``down to earth" de la LFGN\,:\vva

$\all\:n\ha,\ha p\ha,\ha\el\in\N^*$\, tels que\, \fbox{\ha$n\le\el\le n+p$\ha}\, on pose\vvab
$A_{\ha n\ha p\hab\el}
=\left\{(x_1,x_2,\ldots,\ha x_{n\ha+\ha p})\in\R^{\hw n\ha+\ha p}\;\Big\|\,\left|\:\mm-\Inv{\el}\ha\tex\sum\pos_{r\hw=\hw1}^{\el}x_r\,\right|<\eps\right\}$\vva
$=\left\{(x_1,x_2,\ldots,\ha x_{n\ha+\ha p})\in\R^{\hw n\ha+\ha p}\;\Big\|\;\Inv{\el}\ha\tex\sum\pos_{r\hw=\hw1}^{\el}x_r<\hw\mm+\eps\right\}$\vva
\quad$\bigcap\,\left\{(x_1,x_2,\ldots,\ha x_{n\ha+\ha p})\in\R^{\hw n\ha+\ha p}\;\Big\|\;\Inv{\el}\ha\tex\sum\pos_{r\hw=\hw1}^{\el}x_r>\mm-\eps\right\}$\vvab

$A_{\ha n\ha p\hab\el}$\, est donc l'intersection de deux demi-espaces ouverts de\hb\ $\R^{\hw n\ha+\ha p}$\hb\ de fronti\ee res\\
parall\ee les\va

On pose ensuite\, $A_{\ha n\ha,\hab p}=\bigcap\pos_{\el\ha=\ha n}^{n\ha+\ha p}A_{\ha n\hab p\ha\el}$\, qui est donc une \underline{intersection finie de demi-espaces}
\underline{ouverts} de\hb\ $\R^{\hw n\ha+\ha p}$\vg donc encore un ouvert de\hb\ $\R^{\hw n\ha+\ha p}$\vb

\begin{picture}(,)
\put(0,0){L'\e v\e nement\, $A_{\ha n\ha,\hab p}$\, est l'ensemble des vecteurs\, $(x_1,x_2,\ldots,\ha x_{n\ha+\ha p})\in\R^{\hw n\ha+\ha p}$\, tels que}
\put(0,-10){les\,\ $p+1$\ha\ moyennes arithm\e tiques\hh$\Inv{\el}\ha\tex\sum\pos_{r\hw=\hw1}^{\el}x_r$\hh\fbox{\ha$n\le\el\le n+p$\ha}\,\hh v\e rifient
$\left|\:\mm-\Inv{\el}\ha\tex\sum\pos_{r\hw=\hw1}^{\el}x_r\,\right|\le\eps$}
\put(-3,-16.25){\frm(169,22.75)}
\end{picture}\\\vvcd

La probabilit\e\ de l'\e v\e nement\, $A_{\ha n\ha,\hab p}$\, est\, $\PT_{\rr n\hab+\ha p}\ha(A_{\ha n\ha,\hab p})$\va

On a\hh$\PT_{\rr n\hab+\ha p}\ha(A_{\ha n\ha,\hab p})=\PT_{\rr n\hab+\ha p\hab+1}(A_{\ha n\ha,\hab p}\oplus\re\R)$\pv\vvw
on a aussi clairement\hh$A_{\ha n\ha,\hab p}\oplus\re\R\supset A_{\ha n\ha,\hab p\hab+1}$\vg
donc\hh$\PT_{\rr n\hab+\ha p}\ha(A_{\ha n\ha,\hab p})\ge\PT_{\rr n\hab+\hab p\hab+1}(A_{\ha n\ha,\hab p\hab+1})$\vwa

$\all n\in\N^*$\, la suite\, $p\tto\PT_{\rr n\hab+\ha p}\ha(A_{\ha n\ha,\hab p})$\, est donc d\e croissante et on pose\,\hh
\fbox{\hw$v_n\rr=\inf\pos_{p}\,\PT_{\rr n\hab+\ha p}\ha(A_{\ha n\ha,\hab p})$}\vva

$v_{\hwa N}$\, est donc la probabilit\e\ qu'une suite\hb\ $x_n\in\R$\ha\ v\e rifie la propri\e t\e\ suivante\, :\vva
\hs{45mm}\fbox{\hb$\all n\ge N\,\hh\Inv{n}\ha\tex\sum\pos_{r\hw=\hw1}^{n}x_r\hw\in\;]\ha\mm-\eps\ha,\ha\mm+\hw\eps\ha[$\hb}\ha\vb

D'autre part on a trivialement\hh$\all n\ge2\hh A_{\ha n\ha,\hab p}\supset A_{\ha n\ha-1,\hb p\ha+1}$\vg\vvww
donc\hh$\PT_{\rr n\hab+\hab p}\ha(A_{\ha n\ha,\hab p})\ge\PT_{\rr n\hab+\hab p}\ha(A_{\ha n\ha-1,\hb p\ha+1})
=\PT_{\rr(n\ha-1)\ha+\ha( p\ha+1)}\ha(A_{\ha n\ha-1,\hb p\ha+1})$\vg donc\hh$v_n\ge v_{n\ha-1}$\pv\vvwa
la suite\, $v_n$\, est donc croissante\pv la loi des grands nombres affirme que\, \fbox{\hb$\sup\pos_N\,v_{\hw N}=1$\ha}\vg\vvw
\cad\,\hh\fbox{\,$\sup\pos_n\,\inf\pos_{p}\,\PT_{\rr n\hab+\ha p}\ha(A_{\ha n\ha,\hab p})=1$\ha}\ha\vab

Ce r\e sultat signifie exactement que pour tout $\del>0$\vg aussi proche que l'on veut de 0\vg\\
il existe $N$ tel que\, $v_{\ha N}>1-\del$\vg autrement dit tel que la probabilit\e\ de l'\e v\e nement\vvwa$\left[\,\all n\ge N\ha\hh
\Inv{n}\ha\tex\sum\pos_{r\hw=\hw1}^{n}x_r\in\;]\ha\mm-\eps\ha,\ha\mm+\hw\eps\ha[\,\right]$ soit sup\e rieure \ac\, $1\rr-\del$\va

\newpage\null\thispagestyle{empty}
\end{document}
