\documentclass[a4paper]{report}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\new{\Num}{\stepcounter{Num}\S\;\theNum\ha.\,\ }
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\new{\Rn}{\hi{(}\hw\R\hw^n\hi{)}}
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\new{\all}{\forall\:}
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\new{\Int}{\dis\int}
\new{\Inv}{\dis\inv}
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\new{\uu}{\stack{\mbof{u}}{\to}}
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\new{\limone}[1]{\under{#1}{^1\hw\mrom{lim}}}

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\new{\e}{\'e}
\new{\ac}{\`a}
\new{\ee}{\`e}
\new{\ou}{o\`u}
\new{\cad}{c-\`a-d}

\new{\vv}{\,,\,}
\new{\vg}{\vv\ }
\new{\pt}{\,.\,\ }
\new{\pv}{\,;\:\ }

\new{\PP}{p\ha.\ha p\ha.}

\new{\theo}{th\e or\ee me}
\new{\Theo}{Th\e or\ee me}

\new{\Def}[1]{#1 \underline{D\e finition}\dd}
\new{\Th}[1]{#1 \underline{Th\e or\ee me}\dd}
\new{\Cor}[1]{#1 \underline{Corollaire}\dd}
\new{\Lem}[1]{#1 \underline{Lemme}\dd}

\new{\Rem}{\underline{Remarque}\dd}
\new{\Not}{\emph{\underline{Notation}}\dd}
\new{\Dem}{\hhh\underline{D\e m}\dd}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\centerline{\fbox{\,\textbf{QUATRIEME PARTIE}$\ph{\big|\dot{l}}$\hs{-2mm}}}\vvbc
\centerline{\fbox{ \Large{\textbf{\tsf{Espaces associ\e s \ac\ une mesure norm\e e positive sur\ha\ $\R\hw^n\ph{\big|}$}}}\hs{-1mm}}}\vs{12.5mm}

\centerline{\textbf{CHAPITRE\, XVII}}\vva
\centerline{\textbf{MESURES NORMEES DE BASE\, $\tmu$\, et\, $\tmu$\hb-\ha FONCTIONNELLES SUR\, $\R\hw^n$}}\vvcd

\oui On se donne\hh\fbox{\:$\tmu\in\MX\hw\Rn^+\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\ha\vg\cad\ une\, \underline{mesure norm\e e positive}\,
sur\, $\R^n$ (\ha$n\in\N\hw^*$)\vg\vvww et on d\e finit les espaces\hh$\LL^1\MU\vv\hb\LL^2\hw\MU\vv\BB\MU\vv\,\FO\MU$\hh ainsi que leurs propri\e t\e s fondamentales\pt
Il s'agit d'une g\e n\e ralisation des espaces d\e crits dans la Premi\ee re partie\vg qui correspondent au cas\ha\ \ou\hh$\tmu\ha=\ha\un_{\ab}$\vc

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Mesures norm\e es de base\, $\tmu$}}\vvc

\Def{\num}\vvwa$\all f\in\WB\ha\Rn$\hh on pose\hh$\NONE{\ha f\ha}
=\Int_{\ha\R^n}\hs{-1.5mm}|\ha f\ha|\;\tmu$\quad et\quad$\NTWO{\ha f\ha}
=\Big[\,{\Int_{\ha\R^n}\hs{-1.5mm}\f\ha^2\,\tmu}\:\Big]^{1/\ha2}$\vbc

\Th{\num*}$\NONE{\ }$\hh et\hh $\NTWO{\ }$\quad sont des semi-normes sur\, $\WB\ha\Rn$\;
et on a\vvab\hs{20mm}$\all f\in\WB\ha\Rn\hh\hh\NONE{\ha f\ha}\,\le\,\nst{\hb\tmu\hb}\ \|\ha f\ha\|
\hhh\mrom{et}\hhh\NTWO{\ha f\ha}\,\le\,\sqrt{\nst{\hb\tmu}\hb}\ \|\ha f\ha\|$\,\vb

\Th{\num*}$\all f,\,g\in\WB\ha\Rn$\quad on a\quad$\NONE{\hb f\hb g\,}\le\NTWO{\ha f\ha}\ \NTWO{\hb g\ha}$\vbc

\Cor{\num*}$\all f\in\WB\ha\Rn$\quad on a\quad $\NONE{\ha f\ha}\le\sqrt{\nst{\hb\tmu\hb}}\ \NTWO{f}$\vbc

\Def{\num}On pose\quad\fbox{\:$\EO\ha\Rn\hb.\:\tmu\,=\hb\ens{\hb h\hb.\,\tmu\ \big\|\ h\in\EO\ha\Rn\hb}$\ha}\ha\vab

$\EO\ha\Rn\hb.\:\tmu$\hh est un sous-espace de l'espace de Riesz\ha-Banach\: $\MX\Rn$\vb

\Def{\num}\vvab\fbox{\ \textbf{On note\, $\muc$\, la\, \underline{fermeture}\, de\; $\EO\ha\Rn\hb.\:\tmu$\;
dans\: $\MX\ha\Rn$\, pour la norme\; $\nst{\ }$\ha$\ph{\dot{l}\big|}$}\hs{-2.5mm}}\vvbc

Les \e l\e ments de\, $\muc$\, s'appellent les  \fbox{\hb mesures norm\e es de base\, $\tmu$\,}\ha\vbc

\Th{\num*}$\muc$\: est un espace de Riesz\ha-Banach pour la norme\; $\nst{\ }$\vbc

\Th{\num}\fbox{\;$\muc$\, est\ho un  sous-espace int\e gral de\, $\MX\hw\Rn$\ha.\hb}\vvb

\Dem Analogue au cas de\, $\LL^1$\, dans la premi\ee re partie\vc

\Lem{\num}\fbox{\,$\all f\in\WB\ha\Rn$\,\hh on a\,\hh$f\hab\tmu\ha\in$\ho$\muc$\,}\ha\vb

\Dem Soit d'abord\: $f\in\ha\PR_B\ha\Rn$\; et soit une suite\hh$f_n\in\EO\ha\Rn$\hh telle que\hh$f_n\bb f$;\vvw
alors on a\hh$f_n\:\tmu\st f\hab\tmu$\hb\vg\hb donc\hh$f\hab\tmu\ha\in\ha\muc$\vwa Soit ensuite\: $f\in\WB\ha\Rn$\;
et soit\hh$\A\ha=\ha\ens{\,g\:\tmu\ \big\|\ g\in\ha\PR_B\ha\Rn\hh\mrom{et}\hh g\le f\,}\ha\sub\,\muc$\,;\vvwa
$\A$\, est une partie de\, $\muc$\, domin\e e\ sup\e rieurement et stable pour la loi\, $\ve$\, et on a\vvw
par d\e finition\hh$f\hab\tmu\hb=\:\Sup{}\ \A$\pv il existe donc une suite\hh$g_{\ha n}\in\ha\PR_B\ha\Rn$\hh
telle que\\$g_{\ha n}\:\tmu\st f\hab\tmu$\pv donc\; $f\hab\tmu\in\muc$\vbc

\Th{\num}\fbox{\,$\all f\in\WB\ha\Rn\,\hh\all\tnu\ha\in\ha\muc$\ho\hh on a\hb\hh$f\,\tnu\ha\in\ha\muc$\,}\ha\vab

\Dem Soit\hh$\tnu\in\muc$\hh et soit une suite\hh $h\ha_n\in\EO\ha\Rn$\hh telle que\hh
$h\ha_n\:\tmu\,\st\tnu$\pv\vvw on a\,\hh$\nn\hh f\hab h\ha_n\:\tmu\ha\in\ha\muc$\,\hh
car\hh$f\hab h\ha_n\ha\in\WB\ha\Rn$\pv\vvw de plus\,\hh$\nst{\hb f\,\tnu-f\,h\ha_n\;\tmu\,}
\ha\le\hb\|\ha f\ha\|\;\nst{\,\tnu-h\ha_n\;\tmu\,}\ha\to\ha0$\pv donc\hh$f\,\tnu\ha\in\ha\muc$\vbc

\Cor{\num*}$\muc$\: est un module de Riesz\ha\ sur\: $\WB\ha\Rn$\vcd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{$\tmu$\ha-fonctionnelles\ha\ sommables}}\vvc

On pose\quad\fbox{\,$\LL^1\MU\ha=\,\invmu\ha\ \muc\ha=\ha\Big\{\:\Frac{\tnu}{\tmu}\hb\ \Big\|\ \tnu\in\ha\muc\,\Big\}$\,}\pv
on a donc\quad\fbox{\:$\muc$\ho$\ha=\hb\LL^1\MU\hb.\,\tmu$\:}\vbc

Les \e l\e ments de\: $\LL^1\MU$\; s'appellent les\, \underline{$\tmu$--fonctionnelles\ha\ sommables}\pv
nous les repr\e sente-rons par des lettres\, ``\,droites\,"\pv on peut \e crire\vvab\hs{40mm}
\fbox{\:$\f\in\LL^1\MU$\;\ho$\imp\ \f\,\tmu\ha\in\ha\muc\ha\sub\ha\MX\hw\Rn$\,}\ha\vbc

Le\, ``\,d\e nominateur\, $\tmu$\,"\, dans la d\e finition des\: $\tmu$--fonctionnelles\ha\ sommables est\,
\underline{purement}\, \underline{formel}\pv en cons\e quence la propri\e t\e\ essentielle des\,
$\tmu$--fonctionnelles\ha\ sommables est leur aptitude \ac\ se transformer en\, \underline{mesures norm\e es}\,
\emph{si on les multiplie par\, $\tmu$}\vc

\Def{\num}$\al\;\f\in\LL^1\MU$\,\hh on pose\, \hh\fbox{\:$\tmu\,(\ha\f\hw)$\ho
$=\ha\big(\ha\f\,\tmu\hw\big)\hb(\un)$\,\hh avec\hh$\un=\hw1\hw_{\R\hw^n}$\,}\ha\vc

\emph{\underline{Notation\ha\ int\e grale}}\dd$\al\;\f\in\LL^1\MU$\,\hh on note\quad
\fbox{\:$\Int_{\ha\R\hw^n}\hs{-2mm}\f\hb(x)\,\tmu\hb(x)\hb=\int_{\ha\R\hw^n}\hs{-2mm}\f\,\tmu\hb=\,\tmu\:(\ha\f\hw)$\,}\ha\vc

\Def{\num}On munit\, $\LL^1\MU$\, d'une structure d'espace de Riesz\ha\ en transf\e rant\vvww naturellement
\ac\, $\LL^1\MU$\, la structure de l'espace\, $\muc$\, :\, on pose\,\hh$\al\ \f\vv\g\in\LL^1\MU$\vvaab

\begin{picture}(,)
\put(16,-61){\frm(94.5,63)}
\end{picture}\vvk
\hs{20mm}$\f+\ha\g\,=\,\Frac{\f\,\tmu\ha+\ha\g\,\tmu}{\tmu}$\vva
\hs{20mm}$\al\;h\in\WB\ha(\R)\quad h\:\f\ha=\,\f\,h\hb=\,\Frac{h\,(\ha\f\,\tmu\ha)}{\tmu}$\vvab
\hs{20mm}$\f\le\hb\g$\quad ssi\quad$\f\,\tmu\ha\le\,\g\,\tmu$\vvb
\hs{20mm}$\f\ve\g\,=\,\Frac{(\ha\f\,\tmu\ha\big)\ve(\ha\g\,\tmu\ha)}{\tmu}$
\,\hhh$\f\wa\g\,=\,\Frac{(\ha\f\,\tmu\ha\big)\wa(\ha\g\,\tmu\ha)}{\tmu}$\vvwa
\hs{20mm}$\f^+\!=\,\Frac{(\hb\f\,\tmu\ha)^+}{\tmu}$\qquad$\f^-\!=\,\Frac{(\hb\f\,\tmu\ha)^-}{\tmu}$\qquad
$|\ha\f\ha|\ha=\,\Frac{|\,\f\,\tmu\hb|}{\tmu}$\vvf

\Def{\num}$\all\f\in\LL^1\MU$\,\hh on pose
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\NONE{\hb\f\hb}\ha=\ha\nst{\,\f\,\tmu\,}\ha=\hb\tmu\;(\ha|\hb\f\hb|\ha)$\: .}
\put(3,-2.5){\frm(52.5,7.25)}
\end{picture}\vvc

\Def{\num}$\al\ \f\ha_n\vv\f\in\LL^1\MU$\,\hh on \e crit\quad\fbox{\,$\f\ha_n\ONE\f$\,}\,\hh
ssi\,\hh$\NONE{\hb\f\ha_n-\f\hb}\to0$\va
On dit que\, $\f\ha_n$\, converge vers\, $\f$\; \underline{en norme}\hh$\NONE{\ }$\hh
et on note\,\hh\fbox{\:$\f\ha=\hs{-2mm}\ph{\tdf}\limone{\:n}\,\ \f\ha_n$\,}\vbc

\Th{\num*}\vvwa$\LL^1\MU$\, est un espace de Riesz\ha-Banach et un module de Riesz\, sur\, $\WB\ha\Rn$\vc

\Th{\num*}\fbox{\,$\f\ha_n\ONE\f\,\ \sam\,\ \f\ha_n\:\tmu\,\st\,\f\,\tmu$\,}\ha\vc

\num*\ \underline{\Theo\ha\ de convergence monotone dans\, $\LL^1\MU$}\vva
Soit\: $\f\ha_n\in\LL^1\MU$\: une suite\, \underline{monotone}\pv supposons qu'il existe\hh$M>0$\hh tel que\hh
$\nn$\vvww$\NONE{\ha\f\ha_n\ha}\le\ha M$\pv alors\, $\f\ha_n$\, converge en norme\hh$\NONE{\ }$\hh vers une\,
$\tmu$--fonctionnelle\, $\f\in\LL^1\MU$\pv\vvww on a donc aussi\,\hh$\dis\lim_n\,\NONE{\ha\f\ha_n\ha}\ha
=\ha\NONE{\ha\f\ha}$\vbc

\Def{\num}\vvwa Une suite\hh$\f\ha_n\in\LL^1\MU$\: est\, \underline{domin\e e}\; ssi\hb\ la\ha\ suite\hh$\f\ha_n\:\tmu\in\muc$\; est domin\e e\vbc

\newpage
\Def{\num}Soit une suite domin\e e\, $\f\ha_n\in\LL^1\MU$\pv on pose\vvb
\hs{30mm}\fbox{\: $\Sup{n}\,\ \f\ha_n\,=\:\invmu\,\ \Sup{n}\,\ (\hb\f\ha_n\,\tmu\hb)$\hhh et\hhh$\Inf{n}\,\ \f\ha_n\,
=\:\invmu\,\ \Inf{n}\ha\ (\hb\f\ha_n\,\tmu\hb)$\ }\vvbc

\hs{19mm}et\hhh\fbox{\: $\Suplim{n}\,\ \f\ha_n\,=\:\invmu\,\ \Suplim{n}\:\ (\hb\f\ha_n\,\tmu\hb)$\hhh
et\hhh$\Inflim{n}\,\ \f\ha_n\,=\:\invmu\:\ \Inflim{n}\ha\ (\hb\f\ha_n\,\tmu\hb)$\ }\ha\vcd

\Def{\num}On dit que la suite domin\e e\, $\f\ha_n\in\LL^1\MU$\; converge\, \underline{$\tmu$--finement}\,
vers\vva$\f\in\LL^1\MU$\; ssi\,\quad$\f\ha=\:\Suplim{n}\,\ \f\ha_n=\:\Inflim{n}\,\ \f\ha_n$\; .\;
On \e crit\hb\hh\fbox{\:$\f\ha_n\FIN\f$\:}\ha\hh et on note\hh\fbox{\,$\f=\hb\Lim{n}$\ha\ho$\f\ha_n\hb$}\vb

\begin{picture}(,)
\put(27,7.5){\frm(44,10)}
\end{picture}\vvk

\Th{\num*}\fbox{\:$\f\ha_n\FIN\f\,\ \sam\,\ \f\ha_n\:\tmu\,\fin\,\f\,\tmu$\:}\ha\vc

\Th{\num*}$\f\ha_n\FIN\f\,\ \sam\,\ |\,\f\ha_n-\f\hb|\FIN0$\vbc

\Def{\num}$\all f\in\WB\ha\Rn$\,\hh on pose\,\hh\fbox{\,$\ENS{f}=\,\Frac{f\ha\tmu}{\tmu}$\,}\: $\in\ha\LL^1\MU$\vbc

$\ENS{f}$\, s'appelle la\, $\tmu$--fonctionnelle\, \underline{associ\e e}\: \ac\, $f$\vbc

\Th{\num*}\vva L'application\,\hh\fbox{\:$\WB\ha\Rn\,\to\,\LL^1\MU$ \ho$:\ f\tto\ENS{f}$\,}\,\hh est un\, \underline{morphisme de Riesz}\vbc

\Cor{\num*}\vva

\begin{picture}(,)
\put(22,0){$\all f,\,g\in\WW\ha\Rn\quad\ENS{\hw f\ve g\hw}=\ENS{f}\ve\ENS{g}$\,\hh et\,\hh$\ENS{\hw f\wa g\hw}=\ENS{f}\wa\ENS{g}$\hh.}
\put(19.5,-3){\frm(136,8)}
\end{picture}\vvcd

\Th{\num}
\begin{picture}(,)
\put(1.5,0){Soient\hh$f_n\vv f\in\WB\ha\Rn$\,\hh tels que\,\hh$f_n\bb f$\pv alors\,\hh$\ENS{f_n}\FIN\ENS{f}$\hh.}
\put(-1,-2.5){\frm(128.75,8)}
\end{picture}\vvbc

\Dem C'est le \theo\ha\ de Lebesgue dans\, $\WB\ha\Rn$\hb\ appliqu\e\ha\ \ac\: $\tmu\hb$\vc

\Not On note\,\hh$\low{\WB}\,\Rn\ha_{\tmu}\ha=\,\ens{\hb\ENS{f}\in\ha\LL^1\MU\ \big\|\;f\in\WB\ha(\R)\hb}\,
\sub\:\LL^1\MU$\pv\vvwa c'est l'image du morphisme du\ha\ \Theo\, 2\hb.\hb14\vwa
On utilise des notations analogues pour tous les\ha\ \emph{sous-ensembles}\ha\ de\, $\WB\ha\Rn$\vb

\fbox{\ho Dans la pratique on remplacera couramment la notation\, $\ENS{f}$\, par la notation\hb\ $f$.\hb}\vvc

\Th{\num*}$\low{\EO}\,\Rn\ha_{\tmu}$\hh et\hb\hh$\low{\CO}\,\Rn\ha_{\tmu}$\hh sont denses\ha\ dans\; $\LL^1\MU$\vcd

\newpage
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{$\tmu$\ha-fonctionnelles hilbertiennes}}\vvc

\Def{\num}On note\hh$\LL^2\hw\MU$\, le sous-espace de\, $\LL^1\MU$\, form\e\ des\, $\tmu$\ha-fonctionnelles\:
f\vvwa pour lesquelles il existe\; $M>0$\hh tel que\,\hh\fbox{\,$\all g\in\EO\ha\Rn$\quad
$\big(\ha\f\,\tmu\ha\big)\hb(g)$\ho$\le\hb M\,\NTWO{\hb g\hb}$\,}\ha\va On a donc\,\hh\fbox{\,$\LL^2\hw\MU\:\sub\:\LL^1\MU$\,}\ha\vbc

Les \e l\e ments de\hh$\LL^2\hw\MU$\hh s'appellent les\, \underline{$\tmu$\ha-fonctionnelles hilbertiennes}\vc

\Def{\num}$\al\;\f\in\LL^2\hw\MU$\hh on pose
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\NTWO{\hb\f\hb}\ =\hs{-1.5mm}\sup\pos_{\sbs{\\g\,\in\;\EO(\hw\R^n)\\[.6mm]
\NTWO{\ha g\ha}\,=\,1}}\hs{-1.5mm}\big(\ha\f\,\tmu\ha\big)\hb(g)$}
\put(3,-10){\frm(51,15.5)}
\end{picture}\\\vvc

\Def{\num}$\al\ \f\ha_n\vv\f\in\LL^2\MU$\,\hh on \e crit\quad\fbox{\,$\f\ha_n\TWO\f$\,}\,\hh
ssi\,\hh$\NTWO{\hb\f\ha_n-\f\hb}\to0$\va
On dit que\, $\f\ha_n$\, converge vers\, $\f$\; \underline{en norme}\hh$\NTWO{\ }$\hh et on note\,\hh
\fbox{\:$\f\ha=\,^2\dis\lim_n\,\f\ha_n$\,}\vbc

\Th{\num*}\big(\ha$\LL^2\hw\MU\vv\hb\NTWO{\ }\ha\big)$\; est un espace de Riesz\ha-Banach\vbc

\Th{\num}$\low{\EO}\,\Rn\ha_{\tmu}$\hh et\hh$\low{\CO}\,\Rn\ha_{\tmu}$\hh sont denses dans\;
$\LL^2\hw\MU$\vab

\Dem Analogue au cas de\, $\LL^2$\, dans la Premi\ee re partie\vbc

\Th{\num*}\vvab\hs{10mm}\fbox{\,\big(\ha$\LL^2\hw\MU\,.\,\tmu\,\vv\NTWO{\ }\ha\big)$\,\ho est le\ha\
N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace semi-norm\e\; $\big(\ha\EO\hb\Rn\vv\NTWO{\ }\ha\big)$\ha.\hb}\vvc

\num*\ \underline{\Theo\ha\ de convergence monotone dans\, $\LL^2\hw\MU$}\vva
Soit\: $\f\ha_n\in\LL^2\hw\MU$\: une suite\, \underline{monotone}\pv
supposons qu'il existe\hh$M>0$\hh tel que\hh$\nn$\vvww$\NTWO{\ha\f\ha_n\ha}\le\ha M$\pv
alors\, $\f\ha_n$\, converge en norme\hh$\NTWO{\ }$\hh vers une\, $\tmu$--fonctionnelle\,
$\f\in\LL^2\hw\MU$\pv\vvww on a donc aussi\,\hh$\dis\lim_n\,\NTWO{\ha\f\ha_n\ha}\ha=\ha\NTWO{\ha\f\ha}$\vcd

\oui Le\, \fbox{produit}\; dans\, $\LL^2\hw\MU$\, se d\e finit comme pour\hh$\tmu\ha=\ha\un\ha_{\ab}$\vbc

\Th{\num*}$\al\;\f\in\LL^2\hw\MU$\quad on a\quad\,$\NTWO{\hb\f\hb}=\rac{\NONE{\hb\f^{\hb2}\hb}}$\vbc

\Th{\num*}$\al\ \f\vv\g\in\LL^2\hw\MU$\quad on a\quad\,$\NONE{\:\f\:\g\:}\,\le\,\NTWO{\hb\f\hb}\ \NTWO{\,\g\,}$\vbc

\Cor{\num*}$\al\;\f\in\LL^2\hw\MU$\quad on a\quad\,$\NONE{\hb\f\hb}\,\le\,\rac{\nst{\hb\tmu\hb}}\,\ \NTWO{\hb\f\hb}$\vbc

\Th{\num*}\fbox{\,$\f_{\ha n}\,\TWO\,\f\,\ \sam\,\ \f_{\ha n}^{\hb2}\ha\ \tmu\,\st\,\f^{\hb2}\:\tmu$\,}\vbc

\Def{\num}On d\e finit le\, \underline{produit scalaire}\, de deux \e l\e ments de\, $\LL^2\hw\MU$\,
en posant\vva$\al\ \f\vv\g\in\LL^2\hw\MU$\quad
\fbox{\,$\big<\ha\f\ha,\hb\g\ha\big>\ha_{\tmu}$\hb\ho$=\,\tmu\:(\ha\f\:\g\ha)\ha
=\hs{-.5mm}\Int_{\ha\R^n}\hs{-1.5mm}\f\:\g\ \tmu$\:}\ha\vbc

\Th{\num*}$\big(\ha\LL^2\hw\MU\vv\hb\big<\ \vv\ \big>\hw_{\tmu}\,\big)$\, est un espace de Riesz\ha-Hilbert\vcd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{$\tmu$\ha-fonctionnelles born\e es}}\vvc

\Def{\num}\vva On note\ha\ $\BB\ha\MU$\, le sous-espace de\, $\LL^1\MU$\, form\e\ des\,
$\tmu$\ha-fonctionnelles\: f\: pour lesquelles\vva il existe\; $M>0$\hh tel que\,\hh
\fbox{\,$\all g\in\EO\ha\Rn$\hh\ho$\big(\ha\f\,\tmu\ha\big)\hb(g)\ha\le\ha M\,\NONE{\hb g\hb}$\,}\vbc

Les \e l\e ments de\ha\ $\BB\ha\MU$\hh s'appellent les\, \underline{$\tmu$\ha-fonctionnelles born\e es}\vbc

\Def{\num}$\al\;\f\in\hb\BB\ha\MU$\hh on pose
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\NBB{\hb\f\hb}\ =\hs{-1.5mm}\sup\pos_{\sbs{\\g\,\in\;\EO(\hw\R^n)\\[.6mm]
\NONE{\ha g\ha}\,=\,1}}\hs{-1.5mm}\big(\ha\f\,\tmu\ha\big)\hb(g)$}
\put(3,-10){\frm(51.6,15.5)}
\end{picture}\\\vvc

\Th{\num*}$\al\;\f\in\BB\ha\MU$\, on a
\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\NBB{\hb\f\hb}\ =\hs{-1.5mm}\dis\inf_{\sbs{\\\ M\hw\in\;\R^+\\[.75mm]M\ha\ge\,|\ha\f\ha|}}\hs{-1mm}M$}
\put(2,-9){\frm(38.6,14.5)}
\end{picture}\\\vvc

\Th{\num*}\fbox{\,$\BB\ha\MU\,\sub\:\LL^2\hw\MU$\,}\vbc

\Th{\num*}$\all\tdf\in\hb\BB\ha\MU$\quad\fbox{\,$|\hb\f\hb|\ha\le\ha\NBB{\hb\f\hb}$\hb}\quad
et\quad\fbox{\,$\NTWO{\hb\f\hb}^{\hb2}\,\le\hb\NBB{\hb\f\hb}\:\NONE{\hb\f\hb}$\hb}\vbc

\Th{\num*}$\big(\BB\ha\MU\vv\hb\NBB{\ }\hb\big)$\; est une alg\ee bre de Riesz\ha-Banach\vab

\Th{\num*}\vvab\hs{15mm}\fbox{\,\big($\BB\ha\MU\ha.\hb\tmu\hb\vv\NBB{\ }\hb\big)$\;\ho est le\ha\
N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace semi-norm\e\: $\big(\ha\EO\hb\Rn\vv\NONE{\ }\ha\big)$\hb}\vvcd

\oui Le\, \fbox{produit}\, $\f\,\g$\hh avec\, $\f\in\hb\BB\ha\MU$\; et\; $\g\in\LL^1\MU$\; se d\e finit
comme pour\hh$\tmu\ha=\ha\un\ha_{\ab}$\vc

\Def{\num}$\al\;\f\in\hb\BB\ha\MU\,\hh\all\g\in\LL^1\MU$\:\hh on pose\:\hh
\fbox{\,$\big(\ha\f\,\tmu\ha\big)\ha(\ha\g\ha)=\big(\ha\g\:\tmu\ha\big)\ha(\ha\f\ha)=$\ha\ho$\tmu\:(\hw\f\,\g\hw)$\hb}\hw\vbc

\Th{\num*}$\al\;\f\in\hb\BB\ha\MU\,\hh\all\g\in\LL^1\MU$\quad on a\quad
$\NONE{\,\f\:\g\:}\ha\le\ha\NBB{\hb\f\hb}\hb\ \NONE{\,\g\,}$\vb

\Th{\num*}$\al\;\f\in\hb\BB\ha\MU\,\hh\all\g\in\LL^2\hw\MU$\quad on a\quad
$\NTWO{\,\f\:\g\:}\ha\le\ha\NBB{\hb\f\hb}\hb\ \NTWO{\,\g\,}$\vb

\Th{\num*}$\LL^1\MU$\hh et\hh$\LL^2\hw\MU$\hh sont des modules de Riesz sur $\BB\ha\MU$\vbc

\Th{\num}\fbox{\ho$\low{\WB}\,\Rn\ha_{\tmu}\ha=\:\BB\ha\MU$\,}\ha\vb
Ce \theo\ha\ signifie que l'application\,\hh$\WB\ha\Rn\to\ha\BB\ha\MU\ :\;f\ha\tto\ha\ENS{f}$\,\hh est\,
\underline{surjective}\vwa

Plus pr\e cis\e ment tout\: $\f\in\hb\BB\ha\MU$\hh peut \^etre repr\e sent\e e
comme une\, \underline{limite simple born\e e}\vvw de fonctions\, \underline{pseudo\ha-r\e gl\e es}\vb

\Dem\vva
On montre facilement\,\hh$\low{\WB}\,\Rn\ha_{\tmu}\,\sub\ \BB\ha\MU$\pv
d\e montrons l'inclusion oppos\e e\va Soit\: $\f\in\ha\BB\ha\MU$\pv soit une suite\, \underline{born\e e}\hh
$f_n\in\EO\ha\Rn$\hh telle que\hh$\ENS{f_n}\,\ONE\,\f$\pv\vvwa en consid\e rant \e ventuellement une sous-suite
on peut supposer\,\hh\fbox{\hb$\ENS{f_n}\,\FIN\,\f$\,}\va
Posons\quad$\all p\ge n\in\N\quad g\hb_{n\vv\hw p}\,=\,f_n\wa f_{n+1}\wa\,\ldots\,
\wa f_p\,\in\,\EO\ha\Rn$\quad et\quad$\nn$\vva$g\ha_n=\dis\inf_{r\,\ge\,n}
\,f_r\hb\in\ha\PRB\ha\Rn$\,;\; quand\,\hh$p\to\pin$\,\hh on a\quad$\nn\,\hh
g\hb_{n\vv\hw p}\,\bb\,g\ha_n$\vg\vvwa donc\,\hh$\ENS{g\hb_{n\vv\hw p}}\FIN
\ENS{g\ha_n}$\,\vg \cad\,\hh$\ENS{f_n}\wa\ENS{f_{n+1}}\wa\,\ldots\,\wa\ENS{f_p}\,\FIN\,
\ENS{g\ha_n}$\vg\vva\cad\quad$\Inf{r\,\ge\,n}\ \ENS{f_r}\ha=\;\ENS{g\ha_n}$\vwa
Posons\quad$g=\,\dis\sup_{n}\ g\ha_n=\,\inflim{n}\hb\ f_n\hb\in\WB\ha\Rn$\pv\hb
on a\,\hh$g\ha_n\,\bb\,g$\,\vg\hb donc\,\hh$\ENS{g\ha_n}\,\FIN\,\ENS{g}$\vg\vvw
\cad\quad$\Sup{n}\ \ENS{g\ha_n}\ha=\,\ENS{g}$\,\vg\hb\cad\quad
$\Inflim{n}\ha\ \ENS{f_n}\ha=\;\Sup{n}\ \Big(\,\Inf{r\,\ge\,n}\ \ENS{f_r}\ha\Big)
=\,\ENS{g}$\pv\vvw or\,\hh$\ENS{f_n}\,\FIN\,\f$\,\vg donc\quad$\f\ha
=\:\Inflim{n}\hb\ \ENS{f_n}\hb=\:\ENS{g}\;\in\:\low{\WB}\,\Rn\ha_{\tmu}$\ha\va
La fonctionnelle born\e e\, $\f$\, peut donc \^etre repr\e sent\e e par\hh$g\in\WB\ha\Rn$\vg
qui est la limite\vvw simple born\e e des fonctions\hh$g\ha_n\in\PRB\ha\Rn$\vbc

\Th{\num*}$\all f\in\WB\ha\Rn$\quad on a\quad$\NBB{\hb f\hb}\ha\le\|\hb f\hb\|$\vb

\Th{\num*}\vva L'application\,\hh\fbox{\,$\WB\ha\Rn\,\to\;\BB\ha\MU$ \ho$:\ f\tto\ENS{f}$\hb}\,\hh
est un\, \underline{alg\e bromorphisme de Riesz}\vc

\Cor{\num*}
\begin{picture}(,)
\put(2,0){$\all f,\,g\in\WB\ha\Rn\quad\ENS{\hw f\,g\hw}=\ENS{f}\,\ENS{g}=f\hw.\hb\ENS{g}$\hh.}
\put(-.5,-3){\frm(94.5,8.25)}
\end{picture}\vvc

\Th{\num*}1)\hh$\LL^1\MU$\, et\, $\LL^2\ha\MU$\; sont des modules de Riesz\ha\ sur\, $\WB\ha\Rn$\vw
\hs{38mm}2)\, $\BB\ha\MU$\; est un alg\e bromodule de Riesz\ha\ sur\, $\WB\ha\Rn$\vb

\Def{\num}On pose\vva\hs{10mm}$\ZMU\ha\Rn\hb=\,\ens{\,f\in\WB\ha\Rn\;\big\|\:\ENS{f}
=\hb0\hb}=\hb\ens{\,f\in\WB\ha\Rn\;\big\|\,f\hb\tmu\hb=\hb0\hb}$\pv\vva
c'est l'espace des fonctions universelles born\e es\ha\ \emph{\underline{nulles\, $\tmu$\hw-\hw presque
partout}}\vbc

\Th{\num*}$\ZMU\ha\Rn\hb=\,\ens{\,f\in\WB\ha\Rn\;\big\|\ \tmu\,\big(\ha|\ha f\ha|\ha\big)=\hb0\hb}$\vbc

\Th{\num*}$\ZMU\ha\Rn$\: est un\, \underline{id\e al}\, et un sous-espace coh\e rent et int\e gral\vva
de\, $\WB\ha\Rn$\,;\; de plus on a\,\hh\fbox{$\BB\ha\MU$\hb\ho$\cong\,\WB\ha\Rn\ha/\hw\ZMU\ha\Rn$\,}\ha\vd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{$\tmu$\ha-fonctionnelles caract\e ristiques}}\vvc

\Def{\num}On pose\,\hh$\KK\ha\MU\,=\,\ens{\,\sig\in\LL^2\ha\MU\ \big\|\ \sig\ha^2=\hb\sig\,}\,\sub\ \BB\ha\MU$\va

Les \e l\e ments de\, $\KK\ha\MU$\, s'appellent les\, \underline{$\tmu$\ha-fonctionnelles caract\e ristiques}\vb

\Th{\num*}$\al\;\f\in\KK\ha\MU$\hh on a\quad$\NTWO{\hb\sig\hb}\:=\:\sqrt{\NONE{\hb\sig\hb}}$\vvb

\Th{\num*}$\al\ \sig\ha_n\vv\sig\in\KK\ha\MU$\,\hh on a\quad$\sig\ha_n\ONE\sig\,\ \sam\,\ \sig\ha_n\TWO\sig$\vb

\Th{\num*}$\KK\ha\MU$\, est une partie\, \underline{ferm\e e}\, de\, $\LL^2\ha\MU$\, et de \,$\LL^1\MU$\vb

On pose\,\hh$\EKO\hb\Rn\,=\,\ens{\:f\in\EO\hb\Rn\ \big\|\;f\ha^2=\hb f\:}
=\,\ens{\:f\in\RO\hb\Rn\ \big\|\;f\ha^2=\hb f\:}$\vbc

\Th{\num*}$\low{\EKO}\,\Rn\ha_{\tmu}$\hh est dense dans\hh$\KK\ha\MU$\vd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{$\tmu$\ha-support}}\vvc

\oui Soit\, $\tnu\ha\in\MX\hw\Rn$\pv comme\: $\muc$\: est un sous-espace int\e gral de\, $\MX\hw\Rn$\vg
on peut\vvwa\e crire\,\hh
$\Sup{n}\;\ \tmu\wa\big(\,n\,|\ha\tnu\ha|\ha\big)\hb\in\ha\muc$\pv plus pr\e cis\e ment\, :\vvbc

\Th{\num*}$\all\tnu\ha\in\MX\hw\Rn$
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\Sup{n}\;\ \tmu\wa\big(\,n\,|\ha\tnu\ha|\ha\big)\hb\in\hb\KK\ha\MU\hb.\:\tmu$\ha\hh.}
\put(2.5,-4.5){\frm(55,10)}
\end{picture}\\\vvab

\Def{\num}$\all\tnu\ha\in\MX\hw\Rn$\,\hh on pose\\
\begin{picture}(,)
\put(30,-6){$\SMU\,(\tnu)$\hb\ =\; \underline{$\tmu$\hb-\ha support}\, de\: $\tnu\:
=\ \invmu\ \Big[\ \Sup{n}\;\ \tmu\wa\big(\,n\,|\ha\tnu\ha|\hb\big)\ha\Big]\hb\in\hb\KK\ha\MU$\ha\hh.}
\put(27,-11.5){\frm(117.2,13)}
\end{picture}\\\vvcd

\Def{\num}$\al\;\f\in\LL^1\MU$\,\hh on pose\vvb

\begin{picture}(,)
\put(25,0){$\SMU\,(\hb\f\ha)$\hb\ =\; \underline{$\tmu$\hb-\ha support}\, de\, f\,
=\; $\SMU\,(\ha\f\,\tmu\ha)\,=\hb\ \Sup{n}\:\ \un\wa\big(\ha n\,|\hb\f\hb|\hb\big)\hb\in\hb\KK\MU$\, .}
\put(22.5,-4){\frm(125,9.5)}
\end{picture}\vvcd

\Th{\num*}$\al\;\f\in\LL^1\MU$\quad on a\quad$\big[\ \SMU\,(\hb\f\ha)=\ha0\,\ \sam\ \f=\ha0\ \big]$\vbc

\Th{\num*}$\all\tnu\in\MX\hw\Rn$\quad on a\quad$\big[\ \SMU\,(\tnu)=\ha0\,\ \sam\,\ \tmu\wa|\ha\tnu\ha|=\ha0\ \big]$\vcd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{\Theo\ha\ de Radon-Nikodym}}\vvc

\Def{\num}On note\quad$\muc\ha^\bot\,=\ \ens{\,\tnu\in\MX\hw\Rn\;\big\|\ \tmu\wa|\ha\tnu\ha|=\ha0\,}$\vab
Les \e l\e ments de\, $\muc\ha^\bot$\, s'appellent les mesures norm\e es\,\ha\ \underline{\e trang\ee res\, \ac\, $\tmu$}\vbc

\Th{\num*}$\muc\ha^\bot$\, est un\, sous-espace\, coh\e rent\, \fbox{int\e gral}\, et\, \underline{ferm\e}\, de\, $\MX\hw\Rn$\vb

\Th{\num*}$\muc\ha\cap\ha\muc\ha^\bot\ha=\ha\{0\}$\vb

\Def{\num}On pose\vvb

\hs{30mm}$\bul\quad\all\tnu\in\MX\hw\Rn^+\hhh\tnu\hw_*\ha
=\ \Sup{n}\,\ \big[\,(\hb n\,\tmu\ha)\wa\ha\tnu\,\big]\,\in\hb\muc$\vvab
\hs{30mm}$\bul\quad\all\tnu\in\MX\hw\Rn\qquad\tnu\hw_*\ha=\ (\tnu\,^+)\ha_*-(\tnu\,^-)\ha_*$\\
\begin{picture}(,)
\put(27.5,3.75){\frm(101,20.5)}
\end{picture}\vva

\Th{\num*}$\all\tnu\ha\in\MX\hw\Rn^+$\: on a\ha\hhh
$\tnu\hw_*\ha=\:\Sup{}\;\ens{\,\tnu\:'\in\ha\muc\ \big\|\ \tnu\:'\le\hb\tnu\,}$\: .\\
\begin{picture}(,)
\put(80,4.25){\frm(62.25,8)}
\end{picture}\vva

\Th{\num*}$\all\tnu\ha\in\MX\hw\Rn$\,\hh on a\quad\fbox{\:$\SMU\,(\ha\tnu\hw_*)\,=\ \SMU\,(\tnu)$\,}\:\hh
et\:\hh\fbox{\:$\tnu-\tnu\hw_*\,\in\,\muc\ha^\bot$\,}\ha\vc

\num*\ \underline{\Theo\ha\ de Radon-Nikodym}\dd\fbox{\,$\MX\hw\Rn=\,\muc\,\bop\;\muc\ha^\bot$\,}\ha\vf

\quad\textbf{\Num\underline{Indicateurs de\, $\LL^1\MU$}}\vvc

\Def{\num}$\al\;\f\in\LL^1\MU$\quad on pose\hhh\fbox{\,$\ens{\ha\f>0\ha}$\ho$=\:\SMU\,(\hb\f^+)$\,}\vva
\hs{79.5mm}$\ens{\ha\f<0}=\ens{-\f>0\ha}=\:\SMU\,(\hb\f^-)$\vva
\hs{78.75mm}\fbox{\,$\ens{\ha\f\ne0\ha}=\:\SMU\,(\ha\f\ha)$\,}\hhh etc \ldots\ etc \ldots\vvb

\newpage
\Rem En toute rigueur il faudrait utiliser une notation du type\, $\mbof{\{\ \}\hb_{\tmu}}$\ha\vg
mais par\vvww souci de simplification nous n\e gligerons l'indice\, $\tmu$\vb

\Def{\num}$\al\ \f\vv\g\in\LL^1\MU$\quad on pose\vva
\hs{35mm}$\ens{\ha\f>\g\ha}=\ens{\ha\g<\f\ha}=\ens{\ha\f-\g>0\ha}=\:\SMU\,[\,(\ha\f-\g\ha)^+]$\vva
\hs{35mm}$\ens{\ha\f\ne\g\ha}=\ens{\ha\f-\g\ne0\ha}=\:\SMU\,(\hb\f-\g\hb)$\hhh etc \ldots\ etc \ldots\vvb

\Def{\num}Soit\, $\II$\, un intervalle de\, $\R$\pv on pose\,\hh
$\al\;\f\in\LL^1\MU$\vvab\hs{30mm}$\ens{\ha\f\in\II\ha}=\ens{\ha a\le\f\le b\ha}
=\ens{\ha a\le\f\ha}\,\ens{\ha\f\le b\ha}$\hhh si\quad$\II\hb=\,\ab$\vva
\hs{30mm}$\ens{\ha\f\in\II\ha}=\ens{\ha a\le\f< b\ha}
=\ens{\ha a\le\f\ha}\,\ens{\ha\f< b\ha}$\hhh si\quad$\II\hb=\,[\,a\vv b\,[$\vva
\hs{30mm}$\ens{\ha\f\in\II\ha}=\ha\ens{\ha a\le\f\ha}$\,\quad si\quad
$\II\hb=\,[\,a\vv\pin\,[$\hhh etc \ldots\ etc \ldots\vc

\Def{\num}Une partie\, A\, de\, $\R$\, est\, \underline{\e l\e mentaire}\; ssi\,\hh
\fbox{\hb$\un\ha_{\AZ}\in\ha\EK\ha(\R)\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\ha\vab

\oui Une partie \e l\e mentaire de\, $\R$\, est donc constitu\e e d'une r\e union finie ou d\e nombrable
d'intervalles que l'on peut toujours supposer\ha\ \emph{disjoints}\vb

\Not Si\, $\AZ\sub\R$\, est \e l\e mentaire on pose\,\hh
\fbox{\,$\tmu\hb(\AZ)=\tmu\hb(\un_\AZ)\ph{\dot{l}}$\hs{-.9mm}}\pv\vva
si de plus\hh$\f\in\LL^1\MU$\hh on pose\, \fbox{\,$\Int_\AZ\hs{-.5mm}\f\,\tmu=\int_{\R}\hs{-.5mm}\f\:\un_\AZ\ \tmu$\:}\ha\vc

\Def{\num}Si \hh$\AZ=\,\bigcup\,\II\hb_r$\hh est une partie \e l\e mentaire de\, $\R$\,
et si les\: $\II\hb_r$\: sont\, des\vva intervalles disjoints\vg on pose\,\hh
\fbox{\,$\ens{\ha\f\in\AZ\ha}=\,\sum\pos_r\HO\ens{\ha\f\in\II\hb_r}$\,}\hb\
$\in\ha\KK\ha\MU$\vwa La s\e rie\ha\hh$\sum\pos_r\HO\ens{\ha\f\in\II\hb_r}$\hh
converge\ha\ finement\vg de mani\ee re \e vidente\vbc

\Def{\num}Les applications\,\quad$\LL^1\MU\ha\to\ha\KK\MU\ha\ :\ha\ \f\ha\tto\ha\ens{\ha\hw\f\in\AZ\hw}$\vva
\hs{61mm}$\big[\hb\LL^1\MU\hb\big]^{\hw2}\to\ha\KK\MU\ha\ :\ha\ (\hb\f\ha,\hb\g\hb)\ha\tto\ha\ens{\ha\f>\g\ha}$\hhh etc \ldots\vvab
s'appellent les\, \underline{indicateurs}\, de\: $\LL^1\MU$\vd

\newpage
\quad\textbf{\Num\underline{$\tmu$\ha-fonctionnelles}}\vvc

\oui On d\e finit\, $\FO\ha\MU$\vg l'espace des\, \underline{$\tmu$\ha-fonctionnelles}\, en suivant
les m\^emes m\e thodes que pour\, $\FO$\pt C'est une\, \underline{alg\ee bre de Riesz}\, contenant\,
$\LL^1\ha\MU$\pt La th\e orie est analogue \ac\ celle de\, $\FO$\vw

\oui En particulier on peut d\e finir dans\, $\FO\ha\MU$\, les convergences\hh\underline{ms\ha\vv\ \PP\ha\vv\ \tsf{A}\ha\vv\ \tsf{E}}\ha\vg qui\vvww
sont bien entendu\hb\ \emph{\textbf{relatives \ac\ la mesure\, $\tmu$}}\pv nous conservons n\e anmoins les\, \emph{\textbf{m\^emes notations}}\hb\
que dans\, $\FO$\vg\emph{\textbf{sans faire explicitement r\e f\e rence \ac\, $\tmu$}}\vcd

\oui\textbf{\underline{R\e capitulatif}}\vvcd

$\hs{87mm}\FO\ha\MU$\vvk$\hs{89mm}\cup$\vvww
$\hs{24.25mm}\WB\ha\Rn\;\under{surj.}{\fun}\ha\ \BB\ha\MU\: \sub\ \LL^2\ha\MU\:
\sub\ \LL^1\MU\ \stack{\tim\ \tmu}{\too}\ \muc\ \sub\;\MX\Rn$\vvww
$\hs{31.25mm}\cup\hs{20mm}\cup\hs{72mm}\cup$\vvww
$\hs{24mm}\ZMU\ha\Rn\hs{10.25mm}\KK(\tmu)\hs{67.5mm}\muc\ha^\bot$\\
\begin{picture}(,)
\put(20.75,2.5){\frm(122,41)}
\end{picture}\vvd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Compos\e e d'une\, $\tmu$\ha-fonctionnelle et d'une fonction r\e gl\e e}}\vvc

\oui On suppose toujours\,\hh\fbox{\:$\tmu\in\MX\hw\Rn^+\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\hh(\ha$n\in\N\hw^*)$\hh
et on se donne\,\hh\fbox{\,$\F\in\ha\FO\ha\MU\ph{\dot{t}}$\hs{-1.1mm}}\vcd

\Def{\num}Soit\hh$h\in\ha\EE\ha(\R)$\pv on peut \e crire\,\hh$h\ha=\hb\sum\pos_r\,
\alf\ha_r\,1_{\II\ha_r}$\vg\ou\ha\ les intervalles\, $\II\ha_r$\vvwa sont disjoints\hb\
et\ha\ \ou\hh$\all r\,\ \alf\ha_r\in\R$\pv on pose\,\hh\fbox{\:$h\cir\F=\hs{-1.5mm}
\ph{\big|}\sum\pos_r\,\alf\ha_r\,\ens{\ha\F\in\ha\I\ha_r\hw}\ph{\dot{\big|}}$\hs{-1mm}}\, $\in\ha\FO\ha\MU$\va
La s\e rie\ha\hh$\sum\pos_r\,\alf\ha_r\,\ens{\ha\F\in\ha\I\ha_r\hw}$\hh converge\ha\ exactement\vg de mani\ee re \e vidente\vbc

\Th{\num*} Si\, A\, est une partie \e l\e mentaire de\, $\R$\, on a\,\hh
\fbox{\,$\un\ha_\AZ\cir\F=\ens{\ha\F\in\AZ\hw}\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\ha\vb

\Th{\num*}\vvwa L'application\quad$\EE\ha(\R)\hb\to\hb\FO\ha\MU\ :\ h\hb\tto\hb h\cir\F$\quad est un alg\e bromorphisme de Riesz\vw
En particulier on a\,\hh$\all h\in\ha\EE\ha(\R)$\,\hh\fbox{\,$|\,h\cir\F\hb|\ha=$\hb\ho$|\ha h\ha|\cir\F$\,}\vcd

\newpage
\Th{\num}$\all h\in\EB\ha(\R)$\,\hh on a\quad$h\cir\F\in\ha\BB\ha\MU$\,\hh
et\quad\fbox{\,$|\,h\cir\F\hb|\le$\ho$\|\hb h\hb\|$\hb}\vab

\Dem On peut \e crire\,\hh$h\ha=\hb\sum\pos_r\,\alf\ha_r\,1_{\II\ha_r}$\vg\ou\ha\ les intervalles\, $\I\ha_r$\,
sont disjoints\ha\ et\ha\ \ou\vvwa$\all r\hh|\alf\ha_r\ha|\le\ha\|\ha h\ha\|$\pv alors on a\:\hh
$h\cir\F=\,\sum\pos_r\,\alf\ha_r\,\ens{\ha\F\in\ha\I\ha_r\hw}\in\ha\BB\ha\MU$\,\hh et\vvwa$|\,h\cir\F\hb|
\le\ha\|\hb h\hb\|\,.\,\sum\;\ens{\ha\F\in\ha\I\ha_r\hw}\le\ha\|\hb h\hb\|$\vc

\Cor{\num*}\vvwa Soient\hh$g\vv h\in\ha\EE\ha(\R)$\hh tels que\ha\hh$g-h\ha\in\ha\EB\ha(\R)$\pv
alors\quad\fbox{\,$|\,g\cir\F-h\cir\F\hb|\ha\le\|\,g-h\hb\|\ph{\big|}$\hs{-1.25mm}}\ha\vc

\num\ \underline{\Theo\,-\hb D\e finition}\dd\vvwa
Soit\, $h\in\RR\ha(\R)$\, et soit une suite\hh$h\ha_n\in\ha\EE\ha(\R)$\hh telle que\hh$h\ha_n\uu h$\pv
alors\hh$h\ha_n\cir\F$\hh converge\vvwa en mesure\ha\ dans\: $\FO\ha\MU$\pv on pose\,\hh
\fbox{\:$h\cir\F\ha=\ph{\big|}$limite en mesure de\: $h\ha_n\cir\F\ph{\dot{l}}$\hs{-.5mm}} $\ha\in\FO\ha\MU$\vwa
$h\cir\F$\; ne d\e pend pas de la suite particuli\ee re\hh$h\ha_n\uu\h$\vb

\Dem On a\,\hh$\all p\vv q\in\N\,\hh|\hb h\ha_p\cir\F-h\ha_q\cir\F\hb|
\le\|\,h\ha_p-h\ha_q\hb\|$\vg donc\vvw$\NONE{\,h\ha_p\cir\F-h\ha_q\cir\F\hb}
\le\|\,h\ha_p-h\ha_q\hb\|\,\nst{\hb\tmu\hb}$\pt La suite\hh$h\ha_n\cir\F\in\FO\ha\MU$\hh est donc de Cauchy
pour la norme\hh$\NONE{\ }$\hh et donc aussi pour la convergence en mesure\vc

\Th{\num*}\vvwa L'application\quad$\RR\ha(\R)\hb\to\FO\ha\MU\ :\ h\hb\tto\hb
h\cir\F$\quad est un alg\e bromorphisme de Riesz\vw En particulier on a\,\hh
$\all h\in\RR\ha(\R)$\,\hh\fbox{\,$|\,h\cir\F\hb|\ha=$\hb\ho$|\ha h\ha|\cir\F$\,}\ha\vc

\Th{\num}Soit\, $h\in\RR\ha(\R)$\, une fonction\ha\ \emph{strictement croissante}\ha\ et soit\,
$\alf\in\R$\hb;\vvwa alors\,\hh\fbox{\ha$\ens{\ha h\cir\F>\ha h\hb(\alf)\hw}=\ha\ens{\ha\F>\alf\ha}$\ha}\ha\vbc

\Dem Soit\, $p_{\ha n}$\, une suite\ha\ \emph{croissante}\ha\ de fonctions \e tag\e es convergeant
uniform\e ment\vvww vers\, $h$\, sur l'intervalle\, $]-\infty\vv\alf\,]$\pv soit\, $q_{\ha n}$\hb\ une suite\ha\
\emph{croissante}\ha\ de fonctions \e tag\e es\vg\vvww convergeant uniform\e ment vers\, $h$\, sur
l'intervalle\, $]\,\alf\vv\pin\,]$\vg de la forme\vvww$q_{\ha n}=\ha h\ha(\alf)\,1\ha_{]\,\alf\vv\alf\,
+\,1/n\,[}\,+\;\sum\pos_r\,c\ha_r\,1_{\II\ha_r}$\vg\ou\ha\ les intervalles\, $\II\ha_r$\, forment une
partition\vvww de\hh$[\hb\alf+1/n\vv\pin\hb]$\hh et\ha\ \ou\hh$\all r\hh c\ha_r>\ha h\ha(\alf)$\ha.\,
On pose\,\hh$\nn\hh k\hw_n\ha=\ha p_{\ha n}\cup\ha q_{\ha n}\ha\in\ha\EE(\R)$\vwa
On a\hh$k\hw_n\cir\F=\big[\,p_{\ha n}\cir\F\hb\big]\cup\big[\:h\ha(\alf)\hb\ens{\alf<\F<\alf+1/n}\,
+\,\sum\pos_r\ha c\ha_r\,\ens{\F\in\I\ha_r}\ha\big]$\vg\vvww donc\hh$\ens{\ha k\hw_n\cir\F>h\hb(\alf)\hw}
=\,\sum\pos_r\,\ens{\ha\F\in\ha\I\ha_r\hw}\ha=\ha\ens{\ha\F>\alf\ha}-\ens{\alf<\F<\alf+1/n}$\vwa
La suite\, $k\hw_n$\, est croissante et converge uniform\e ment vers\, $h$\, sur\, $\R$\pv
la suite\, $k\hw_n\cir\F$\, est donc aussi croissante et converge en mesure vers\, $h\cir\F\in\ha\FO\ha\MU$\vw
On en d\e duit\hh$\ens{\ha k\hw_n\cir\F>\ha h\hb(\alf)\hw}
\ONE\ens{\ha h\cir\F>\ha h\hb(\alf)\hw}$\pv\vvw or\hh$\ens{\ha k\hw_n\cir\F>\ha h\hb(\alf)\hw}
=\ens{\ha\F>\alf\ha}-\ens{\alf<\F<\alf+1/n}\ONE\ens{\ha\F>\alf\ha}-\ens{\alf<\F\le\alf}$\vvw$=\ha\ens{\ha\F>\alf\ha}$\vg
donc\hh$\ens{\ha h\cir\F>\ha h\hb(\alf)\hw}=\ha\ens{\ha\F>\alf\ha}$\vcd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Compos\e e d'une\, $\tmu$\ha-fonctionnelle sommable et d'une fonction lipschitzienne}}\vvc

\oui On peut d\e finir de mani\ee re alternative la compos\e e d'une\, $\tmu$--fonctionnelle\, \underline{\emph{sommable}}\\
et d'une fonction\, \underline{\emph{lipschitzienne}}\pt
Nous pr\e sentons bri\ee vement la m\e thode ci-dessous\vc

On se donne la fonction\: \fbox{\,$h\in\CC\ha(\R)\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\ha\vg lipschitzienne de\ha\ constante\: $k>\ha0$\vc

\Lem{\num}Soit\; $f\in\RB\hb\Rn$\pv alors\hh$h\cir f\in\RB\hb\Rn$\vaab

\Dem Il existe\hh$a\vv b>0$\hh tels que\,\hh$\all x\in\R\,\hh|\hb h\hb(x)\ha|\le\hb a\hb+\hb b\:|\ha x\ha|$\pv on en d\e duit\vvww
$|\hb h\cir f\ha|\le\ha a\hb+\hb b\;|\ha f\ha|$\ha\vg\ha donc\hh$h\cir f\in\RB\hb\Rn$\vc

\Lem{\num}\vvwa Soient\hh$f,\,g\in\RB\hb\Rn$\pv alors on a\,\hh
\fbox{\,$\NONE{\,h\cir f\!-\ha h\cir g\,}\le\ha k$\ho$\NONE{\hb f\!-\ha g\,}$\hb}\ha\vb

\Dem On a\, $\all u\in\R^n\ha\hh|\hb(h\cir f)\hb(u)\ha-\ha (h\cir g)\hb(u)\hb|\ha
=\hb\big|\,h\,[\hb f\ha(u)\hb]-\ha h\,[\hb g\hb(u)\hb]\hb\big|$\vvww
$\le\hb k\;|\hb f\hw(u)-\ha g\hb(u)\ha|$\pv donc\,\hh$\NONE{\,h\cir f\!-\ha h\cir g\,}
\le\hb k\;\NONE{\hb f\!-\ha g\,}$\vc

\num\ \underline{\Theo\,-\hb D\e finition}\dd Soit\, $\tdf\in\LL^1\MU$\; et soit une suite\:
$f_n\ha\in\ha\RB\hb\Rn$\; telle\vvw que\: $f_n\ONE\tdf$\pv alors\hh$h\cir f_n$\hh est une suite de Cauchy dans\: $\LL^1\MU$\; et on pose\vvab\hs{55mm}
\fbox{\;$h\cir\tdf\ha=$\hb\ho$\limone{\:\ n}\ha\ (\hb h\cir f_n\ph{\dot{\dot{t}}})$\,} $\in\ha\LL^1\MU$\vab
$h\cir\tdf$\; ne d\e pend pas de la suite particuli\ee re\hh$f_n\ONE\tdf$\vc

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage\null\thispagestyle{empty}\newpage
\initNum

\centerline{\textbf{CHAPITRE\, XVIII}}\vva
\centerline{\textbf{IMAGE D'UNE MESURE NORMEE POSITIVE}}\vvcd

\oui On suppose toujours\hh\fbox{\:$\tmu\in\MX\hw\Rn^+\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\hh(\ha$n\in\N\hw^*$\hw)\vc

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Image d'une mesure norm\e e postive\, $\tmu$\, par une\, $\tmu$\ha-fonctionnelle}}\vvbc

\oui Si\, $\tmu$ est une\ha\ \emph{probabilit\e}\ha\ sur\, $\R^n$\, et si\, F\, est une fonction r\e gl\e e
de\, $\R^n$\, dans\, $\R$\vg alors la\, \underline{loi}\, de\, F\, est la probabilit\e\ sur\,
$\R$\, des\ha\ \emph{valeurs}\ha\ de\, F\pt Nous \e tendons cette notion au contexte plus g\e n\e ral
d'une mesure norm\e e positive\, $\tmu$\, et d'une\, $\tmu$\ha--\ha fonctionnelle\, F\vc

\Def{\num}Soit\, $\F\in\FO\ha\MU$\pv on pose\,\hh$\all h\in\RB\ha(\R)$\quad
\fbox{\,$\muF\,(\hw h\hw)\hw=\ha\tmu\:(\hw h\cir\F\hw)$\,}\ha\vab

En particulier pour tout partie \e l\e mentaire\: A\, de\, $\R$\, on a\,\hh
\fbox{\,$\muF\hb(\AZ)\ha=\hb\tmu\,\big[\hw\ens{\ha\F\in\AZ\ha}\hw\big]$\ha}\ha\vab

$\muF$\: s'appelle\ha\ l'\,\fbox{\tsc{image}}\, de\: $\tmu$\; par\: F\, \big(\ha ou\, \fbox{\tsc{loi}}\,
de\, F\, relativement\ha\ \ac\, $\tmu$\vg \mbox{si\, $\tmu\in\PB\ha\Rn$\ha\big)\ha.}\vvc

\Th{\num}\hh\fbox{\,$\muF\in\MX\hw(\R)^+$\hb}\,\hh et\,\hh\fbox{\,$\nst{\,\muF\hb}=\ha\nst{\hb\tmu\hb}$\,}\ha\vb

\Dem\vva
1\ha$^\cir$)\hh$\all h\in\EO\ha(\R)\quad|\,\muF\,(h)\hb|
=|\,\tmu\:(\ha h\cir\F\ha)\hb|\le\ha\nst{\hb\tmu\hb}\,\|\hb h\cir\F\hb\|
\le\ha\nst{\hb\tmu\hb}\,\|\hb h\hb\|$\hb\vg\vvw donc\,\hh$\muF\in\PMX\hw(\R)$\,\hh
et\,\hh$\nst{\,\muF\hb}\le\ha\nst{\hb\tmu\hb}$\pt De plus\ha\ on a\hh
$\all h\in\EO\ha(\R)^+$\vvw$\TMU{\F}\,(h)\ha=\hb\tmu\;(\hw h\cir\F\hw)\ha\ge\ha0$\hb\vg\hb
donc\hh$\TMU{\F}\ge\ha0$\pt Enfin on a\vvw$\nst{\,\muF\hb}=\hb\muF\,(\un)\hb
=\hb\tmu\:(\un\cir\F\ha)\hb=\hb\tmu\:(\un)\hb=\hb\nst{\hb\tmu\hb}$\vab

2\ha$^\cir$)\hh D\e montrons\,\hh$\muF\in\MX\hw(\R)$\ha\vg\ha\cad\,\hh
$\all c\in\R\,\ \lim\pos_{d\,\to\,c\ha^\pm}\ \muF\,\big(\ha1\hb_{]\,c\ha,\:d\:[}\hb\big)=\,0$\va
On peut supposer\,\hh$\tmu\ge\ha0$\,\hh car\,\hh$\muF\ha=\ha(\ha\tmu^+)\ha_{\F}-(\ha\tmu^-)\ha_{\F}$\vwa
Prenons par exemple le cas\hh$d\to c^+$;\vvwa
on a\quad$\TMU{\F}\,\big(\ha1\hb_{]\,c\ha,\:d\:[}\hb\big)=\hb\tmu\:\big(\ha1\hb_{]\,c\ha,\:d\:[}\cir\F\hb\big)
=\hb\tmu\,\big[\hb\ens{\ha c<\F<d\,}\ha\big]=\,\tmu\:\big[\ha\ens{\ha c<\F\ha}\,\ens{\ha\F<d\ha}\ha\big]$\pv\vva
or quand\,\hh$d\to c^+$\hh on a\,\hh$\ens{\ha\F<d\ha}\,\ONE\,\ens{\ha\F\le c\ha}$\vg\vva
donc\hh$\ens{\ha c<\F\ha}\,\ens{\ha\F<d\ha}\,\ONE\,\ens{\ha c<\F\ha}\,\ens{\ha\F\le c\ha}=\ha0$\hb\vg\hb\cad\,\hh
$\tmu\:\big[\ha\ens{\ha c<\F\ha}\,\ens{\ha\F<d\ha}\ha\big]\to0$\hb.\vvc

\Cor{\num*}Si\ha\hh$\tmu\in\PB\ha\Rn$\vg alors\ha\hh$\muF\ha\in\ha\PB\ha(\R)$\vd

\newpage
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Convergences en loi faible et en loi forte}}\vvbc

\Lem{\num}\vva Soient\hh$a\hb_0<a\ha_1<\ldots<a\hb_n$\hh des nombres r\e els\pv
on pose\quad$\al\ 1\le r\le n\quad\II\ha_r\ha=\hb[\,a\hb_{r-1}\vv a\hb_r\,[$\pv\vvaab
soit\,\hh$h\ha=\sum\pos_{r=1}^n\,\beta\hb_r\,.\,\un\ha_{\II\ha_r}$\,\hh avec\quad
$\al\ 1\le r\le n\,\quad\beta\hb_r\in\R$\pv on pose\vvb

\begin{picture}(,)
\put(28,0){$d\hb=\min\pos_{1\,\le\,r\,\le\,n}\,(\ha a\hb_r-a\hb_{r-1}\ha)$\hs{7.75mm}et}
\put(89,0){$e\,=\max\pos_{1\,\le\,r\,\le\,n}\,|\,\beta\hb_r-\beta\hb_{r-1}\ha|$\:\hh;}
\put(26,-4.5){\frm(45.25,9.5)}
\put(87,-4.5){\frm(46,9.5)}
\end{picture}\vvc

alors\,\hh$\al{\ \F,\,\G}\in\ha\FO\ha\MU$\,\hh on a\,\quad
\fbox{\,$\big|\:h\cir\F-h\cir\G\,\big|\,\le\,2\ \|\hb h\hb\|\,.\,\ens{\hb|\:\F-\G\hb|>d\hb}\hb+\,e$\,}\ha\vc

\Dem On pose\,\hh$\all1\le r\le n\quad\sig_r=\ens{\ha\F\in\II\ha_r\hw}$\;\hh et\;\hh$\tau_r=\ens{\ha\G\in\II\ha_r\hw}$\vbc

\underline{\emph{Lemme auxiliaire}}\dd$\all r\vv s$\,\hh on a\,\hh
$\Big[\ |\:r-s\hb|\ge2\ \imp\ \ens{\ha|\,\F-\G\hb|\le\ha d\hb}\ \sig_r\,\tau_s=\ha0\ \Big]$\vb

\hhh\underline{\emph{D\e monstration du lemme auxiliaire}}\dd\vvab
Faisons par exemple la d\e monstration pour\hh$r=1$\hh et\hh$s=3$\va
On a\,\hh$\ens{\ha|\:\F-\G\hb|\le\ha d\hb}\ \sig_1\,\tau_3\,=\,\ens{\ha\F-d\le\G\le\F+d\ha}\,\ens{\ha a\hb_0\le\F<a\ha_1}\,
\ens{\ha a\hb_2\le\G<a\hb_3\ha}$\vva$=\,\ens{\ha\F-d\le\G\ha}\,\ens{\ha\G\le\F+d\ha}\,\ens{\ha a\hb_0\le\F<a\ha_1}\,
\ens{\ha a\hb_2\le\G\ha}\,\ens{\ha\G<a\hb_3\ha}$\vva
$=\,\ens{\ha a\hb_0\le\F<a\ha_1}\,\ens{\ha\F-d<a\hb_3\ha}\ens{\ha a\hb_2<\F+d\ha}$\vva
$=\,\ens{\ha a\hb_0\le\F<a\ha_1}\,\ens{\ha a\hb_2-d<\F<a\hb_3+d\ha}=\,0$\quad car\,\hh$a\ha_1\le\ha a\hb_2-d$\vbc

\hhh\underline{Suite de la d\e monstration du lemme}\dd\vvb

On a clairement\,\hh$\sum\pos_{r\,=\,1}^n\,\sig_r\ha=\sum\pos_{r\,=\,1}^n\,\tau_r\ha=1$\vg donc\vva$h\cir\F-h\cir\G\,
=\,\sum\pos_{r\,=\,1}^n\,\beta\hb_r\,(\ha\sig_r-\tau_r\ha)\,
=\,\sum\pos_{r\,=\,1}^n\,\beta\hb_r\,\Big[\:\sig_r\,\Big(\sum\pos_{s\,=\,1}^n\,
\tau_s\Big)-\Big(\sum\pos_{s\,=\,1}^n\,\sig_s\Big)\,\tau_r\,\Big]$\vg donc\vva
$\big(\hb h\cir\F-h\cir\G\hb\big)\,\ens{\hb|\:\F-\G\hb|\le\ha d\hb}
=\ens{\hb|\:\F-\G\hb|\le\ha d\hb}\,\sum\pos_{r\,=\,1}^n\,\beta\hb_r\,
\Big[\:\sig_r\,\Big(\sum\pos_{s\,=\,1}^n\,\tau_s\Big)-\Big(\sum\pos_{s\,=\,1}^n\,\sig_s\Big)\,\tau_r\,\Big]$\vvwa
$=\,\ens{\hb|\:\F-\G\hb|\le\ha d\hb}\,\Big[\,\beta\ha_1\,(\sig_1\,\tau_2-\sig_2\,\tau_1)$\vva\hs{20mm}
$+\;\sum\pos_{r\,=\,2}^{n-1}\,\beta\hb_r\,(\sig_r\,\tau_{r-1}+\sig_r\,\tau_{r+1}
-\sig_{r-1}\,\tau_r-\sig_{r+1}\,\tau_r)\,+\,\beta\hb_n\,(\sig_n\,\tau_{n-1}-\sig_{n-1}\,\tau_n)\,\Big]$\pv\vva
$=\,\ens{\hb|\:\F-\G\hb|\le\ha d\hb}\;\sum\pos_{r\,=1}^{n-1}\,
(\hb\beta\hb_r-\beta\hb_{r+1})\,(\sig_r\,\tau_{r+1}-\sig_{r+1}\,\tau_r)$\ha\vg\vvwa
donc\quad$|\,h\cir\F-h\cir\G\,|\,\ens{\hb|\:\F-\G\hb|\le\ha d\hb}
\le\:e\:\sum\pos_{r\,=1}^{n-1}\,(\sig_r\,\tau_{r+1}+\sig_{r+1}\,\tau_r)$\vvw
\hs{100mm}$\le\,e\;\Big(\sum\pos_{r\,=1}^n\,\sig_r\Big)\,\Big(\sum\pos_{r\,=1}^n\,\tau_r\Big)=\,e$\vb

\newpage
On en d\e duit\vva$|\,h\cir\F-h\cir\G\,|\hb=\hb|\,h\cir\F-h\cir\G\,|\,\ens{\hb|\:\F-\G\hb|>\ha d\hb}\ha
+\ha|\,h\cir\F-h\cir\G\,|\,\ens{\hb|\:\F-\G\hb|\le\ha d\hb}$\vva
$\le\hb\big(\ha|\hb h\cir\F\hb|+|\hb h\cir\G\hb|\ha\big)\,\ens{\hb|\:\F-\G\hb|>\ha d\hb}\ha+\:e\,\,
\le\;2\ \|\hb h\hb\|\,.\ens{\hb|\:\F-\G\hb|>d\hb}\hb+\,e$\vc

\Th{\num}Soient\hh$\F_n\vv\F\in\FO\ha\MU\vv\,\F_n\ms\F$\pv alors\hb\ on a\,\hh
$\all h\in$\ha\ \fbox{\hb$\CB\ha(\R)$}\vva$h\cir\F_n\,\ONE\,h\cir\F$\vg et donc\,\hh$\TMU{\F_n}\ha\ww\,\muF$\pv
si de plus\hh\fbox{\:$\muF\in\MXD\ha(\R)^+$}\hh on a\,\hh$\TMU{\F_n}\ha\fd\,\muF$\vb

\Dem Supposons d'abord\,\hh$h\in\CO\ha(\R)$\pv soit\hh$\eps>0$\pv il existe\hh$k\in\EO\ha(\R)$\hh tel que\vvwa
$\|\,h-k\,\|\le\ha\eps$\hb\vg\hb donc aussi\,\hh$e\hw\le\ha2\;\eps$\,
(\hw notations du lemme pr\e c\e dent\hw)\hb;\vva
on a alors\,\hh$\nn\,\hh\big|\,k\cir\F_n-k\cir\F\,\big|\,\le\,2\ \|\hb h\hb\|\,.\,
\ens{\hb|\:\F_n-\F\hb|>d\hb}\hb+\,2\;\eps$\hb\vg\vva donc\quad
$\bNONE{\,k\cir\F_n-k\cir\F\,}\,\le\,2\ \|\hb h\hb\|\,.\,\bNONE{\hb\ens{\hb|\:\F_n-\F\hb|>\ha d\hb}\hb}\ha
+\;2\ \eps\;\nst{\hb\tmu\hb}$\ha\pv\vva donc\quad
$\suplim{n}\;\ \bNONE{\,k\cir\F_n-k\cir\F\,}\,\le\:2\ \eps\;\nst{\hb\tmu\hb}$\hb\pv\ha
on peut \e crire\vva$|\,h\cir\F_n-h\cir\F\,|\,\le|\,k\cir\F_n-k\cir\F\,|
+|\,(h-k)\cir\F_n\,|+|\,(h-k)\cir\F\,|$\vva
$\le\,|\,k\cir\F_n-k\cir\F\,|\,+\:2\ \|\,h-k\,\|\ha\le\,|\,k\cir\F_n-k\cir\F\,|\,+\:2\ \eps$\pv\vva
donc\quad$\suplim{n}\;\ \bNONE{\,h\cir\F_n-h\cir\F\,}\le\hb4\;\eps\:\nst{\hb\tmu\hb}$\hb\pv\hb
donc\quad$h\cir\F_n\,\ONE\,h\cir\F$\vab

Supposons maintenant\hh$h\in\CB\ha(\R)$\pv
on a\hh$\all k\vv n\in\N^*$\,\ \big(\ha avec\hh$\Xk=\un\hb_{[\,-\ha k\vv\ha k\hb]}\hb\big)$\vvwa
$h\cir\F_n-h\cir\F=\,(\ha\Xk\:h\ha)\cir\F_n\,+\,\big[\hb(\ha1-\Xk\ha)\,h\hb\big]
\cir\F_n-(\ha\Xk\:h\ha)\cir\F-\big[\hb(\ha1-\Xk\ha)\,h\hb\big]\cir\F$\pv\vva
donc\,\hh$|\,h\cir\F_n-h\cir\F\,|\le\big|\,(\ha\Xk\:h\ha)\cir\F_n-(\ha\Xk\:h\ha)\cir\F\,\big|$\vvwa
\hs{70mm}$+\ \big|\hb\big[\hb(\ha1-\Xk\ha)\,h\big]
\cir\F_n\,\big|\,+\,\big|\hb\big[\hb(\ha1-\Xk\ha)\,h\hb\big]\cir\F\,\big|$\vva
$\le\,\big|\hb(\ha\Xk\:h\ha)\cir\F_n-(\ha\Xk\:h\ha)\cir\F\,\big|\,
+\,\|\hb h\hb\|\:\big|\hb(\ha1-\Xk\ha)\cir\F_n\,\big|\,+\,\|\hb h\hb\|\:\big|\hb(\ha1-\Xk\ha)\cir\F\,\big|$\vva
$\le\,\big|\hb(\ha\Xk\:h\ha)\cir\F_n-(\ha\Xk\:h\ha)\cir\F\,\big|\,
+\,\ens{\ha|\ha\F\ha|>k\ha}\,+\,\ens{\ha|\ha\F_n\ha|>k\ha}$\pv\vva donc\quad$
\bNONE{\,h\cir\F_n-h\cir\F\,}\le\;\bNONE{\hb(\ha\Xk\:h\ha)\cir\F_n-(\ha\Xk\:h\ha)\cir\F\,}$\vva\hs{70mm}
$+\,\ \bNONE{\ha\ens{\ha|\hb\F\ha|>k\ha}\ha}\hb+\;\bNONE{\ha\ens{\ha|\hb\F_n\ha|>k\ha}\ha}$\pv\vva
soit\hh$\eps>0$\pv choisissons\hh$k\in\N^*$\hh tel que\,\hh
$\bNONE{\ha\ens{\ha|\hb\F\ha|>k\ha}\ha}\le\,\eps$\,\hh et\vvwa
$\nn\,\hh\bNONE{\ha\ens{\ha|\hb\F_n\ha|>k\ha}\ha}\le\,\eps$\hh (\ha c'est possible car\hh
$\F_n\,\ms\,\F$\ha)\pv on en d\e duit\vvwa$\nn\,\hh\bNONE{\,h\cir\F_n-h\cir\F\,}
\le\,\bNONE{\,(\ha\Xk\:h\ha)\cir\F_n-(\ha\Xk\:h\ha)\cir\F\,}+\:2\ \eps$\pv\vva
donc\,\hh$\suplim{n}\;\ \bNONE{\,h\cir\F_n-h\cir\F\,}\le\,2\ \eps$\ha\pv\ha donc\quad$h\cir\F_n\,\ONE\,h\cir\F$\va
La fin du \theo\ha\ est une cons\e quence du\hb\ \Theo\, XIV.\;5\vc

\newpage
\Def{\num}Supposons\hh$\tmu\in\PB\ha\Rn$\vab
On dit que\hh$\F_n\in\FO\ha\MU$\hh converge\: \fbox{\ha en loi faible\ha}\: vers\hh$\F\in\FO\ha\MU$\ha\hh
ssi\,\hh$\TMU{\F_n}\ha\ww\,\muF$\pv\vvw on \e crit\,\hh$\F_n\,\loi\,\F$\va

On dit que\hh$\F_n\in\FO\ha\MU$\hh converge\: \fbox{\ha en loi forte\ha}\: vers\hh$\F\in\FO\ha\MU$\ha\hh
ssi\,\hh$\TMU{\F_n}\ha\fd\,\muF$\pv\vvw on \e crit\,\hh$\F_n\,\Loi\,\F$\vbc

\Cor{\num*}\vvwa Soit\hh$\tmu\in\PB\ha\Rn$\hb\hh et\hb\hh$\F_n\ha\vv\ha\F\in\FO\ha\MU$\pv
alors on a\,\hh\fbox{\,$\F_n\ms\F\ \imp\ \F_n\,\loi\,\F$\,}\ha\va
Si de plus\hh\fbox{\hb$\muF\in\hw\PB_D\ha(\R)$\ha}\hh on a\,\hh\fbox{\,$\F_n\ms\F\ \imp\ \F_n\,\Loi\,\F$\,}\ha\vc

\Th{\num}\vva Soient\hh$\F_n\vv\F\in\FO\ha\MU\vv\,\F_n\pp\F$\pv alors\hb\hh
$\all h\in$\ha\ \fbox{\hb$\CB\ha(\R)$}\,\hh on a\,\hh$h\cir\F_n\,\FIN\,h\cir\F$\vab

\Dem Analogue au \theo\ pr\e c\e dent\vc

\Th{\num}Soient\hh$h\in\EO\ha(\R)$\hh et\hh$\F\vv\G\in\FO\ha(\R)$\pv alors on a\vvb
\hs{40mm}\fbox{\;$\big|\:h\cir\F-h\cir\G\:\big|\le\,2\HO\|\hb h\hb\|\,.\,\ens{\ha\F\ne\G\ha}$\hb}\ha\vbc

\Dem On peut \e crire\,\hh$h=\sum\:\beta\hb_r\:1\ha_{\II\ha_r}$\pv
posons\,\hh$\all1\le r\le n\quad\sig_r=\ens{\ha\F\in\II\ha_r\hw}$\vvwa
et\;\hh$\tau_r=\ens{\ha\G\in\II\ha_r\hw}$\pv on a\,\hh$\all r\,\hh
(\sig_r-\tau_r)\,\ens{\ha\F=\G\ha}=\,0$\ha\vg\ha donc\vvwa
$\big(h\cir\F-h\cir\G\big)\,\ens{\ha\F=\G\ha}=\sum\,\beta\hb_r\:(\ha\sig_r-\tau_r\ha)\,\ens{\ha\F=\G\ha}
=\,0$\pv\vvwa donc\,\hh$|\,h\cir\F-h\cir\G\,|=|\,h\cir\F-h\cir\G\,|
\,\ens{\ha\F\ne\G\ha}\le\,2\ \|\hb h\hb\|\,.\,\ens{\ha\F\ne\G\ha}$\vbc

\Cor{\num*}Soient\hh$\F_n\vv\F\in\FO\ha\MU\,,\;\F_n\,\pla\,\F$\pv alors\hb\hh
$\all h\in$\ha\ \fbox{\ha$\RB\ha(\R)$}\,\hh on a\vvwa$h\cir\F_n\,\ONE\,h\cir\F$\vg
et donc\,\hh$\TMU{\F_n}\ha\fd\,\muF$\vbc

\Cor{\num*}\vvwa Soit\hh$\tmu\in\PB\ha\Rn$\hb\hh et\hb\hh$\F_n\ha\vv\ha\F\in\FO\ha\MU$\pv alors on a\,\hh
\fbox{\,$\F_n\,\pla\,\F\ \imp\ \F_n\,\Loi\,\F$\,}\ha\vbc

\Th{\num*}Soient\hh$\F_n\vv\F\in\FO\ha\MU\,,\;\F_n\,\exa\,\F$\pv alors\hb\hh
$\all h\in$\ha\ \fbox{\ha$\RB\ha(\R)$}\,\hh on a\vvwa$h\cir\F_n\,\FIN\,h\cir\F$\vcd

\newpage
\oui\textbf{\underline{R\e capitulatif}}\dd\underline{Modes\ha\ de convergence dans\, $\FO\ha\MU$}\hh avec\hh
\fbox{\:$\tmu\in\MX\hw\Rn^+$\ha}\vvc

\hs{40mm}$\F_n\ms\F\hh\imp\hh\all h\in$\ha\ \fbox{\ha$\CB\ha(\R)$}\quad$h\cir\F_n\,\ONE\,h\cir\F$\vb
\hs{40mm}$\F_n\pp\F\hh\imp\hh\all h\in$\ha\ \fbox{\ha$\CB\ha(\R)$}\quad$h\cir\F_n\,\FIN\,h\cir\F$\vb
\hs{40mm}$\F_n\,\pla\,\F\hh\imp\hh\all h\in$\ha\ \fbox{\ha$\RB\ha(\R)$}\quad$h\cir\F_n\,\ONE\,h\cir\F$\vb
\hs{40mm}$\F_n\,\exa\,\F\hh\imp\hh\all h\in$\ha\ \fbox{\ha$\RB\ha(\R)$}\quad$h\cir\F_n\,\FIN\,h\cir\F$\vd

Si\hh\fbox{\,$\tmu\in\PB\ha\Rn\ph{\dot{l}}$\hs{-1mm}}\hh on a par cons\e quent\qquad
$\tsf{A}\hb\hh\imp$\:\hh\tsf{Lo\ha i}\vvw
\hs{78mm}$\Down\hs{12.25mm}\Down\hs{1mm}\uparrow$\vvw
\hs{76.5mm}ms\hh\ $\imp$\,\hh loi\\
\begin{picture}(,)
\put(73.5,4){\frm(28,25)}
\end{picture}\vvd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Compos\e e d'une\, $\tmu$\ha-fonctionnelle\hb\ F\hb\ et d'une\,
$\muF$-fonctionnelle}}\vvc

\oui Nous \e tendons la \mbox{notation\, $\h\cir\F$}\, pour\, $\h\in\LL^1(\ha\muF)$\vg
et ensuite pour\hh$\h\in\FO\ha(\ha\muF)$\ha.\vvc

\Th{\num}$\all h\in\EO\ha(\R)$\,\hh on a\quad\fbox{\,$\NONE{\,h\cir\F\hb}$\ho$=\ha\NFONE{\hb h\hb}$\,}\ha\vb

\Dem$\NFONE{\hb h\hb}=\muF\,\big(\ha|\ha h\ha|\ha\big)=\tmu\:\big(\hb|\ha h\ha|\cir\F\ha\big)
=\tmu\:\big(\hb|\ha h\cir\F\ha|\hb\big)=\NONE{\,h\cir\F\hb}$\vc

\Def{\num}\fbox{\,$\all\h$\ha\ho$\in\LL^1(\ha\muF)$\,}\hh on peut donc d\e finir\hh
\fbox{\,$\h\cir\F\ph{\dot{pt}}$\hs{-3mm}}\hh par densit\e\vc

\Th{\num*}$\all\h\in\LL^1(\ha\muF)$\quad on a\quad$\h\cir\F\in\LL^1\MU$\quad
et\quad\fbox{\,$\NONE{\,\h\cir\F\hb}$\ho$=\ha\NFONE{\hb\h\hb}$\,}\vc

\Cor{\num*}$\all\h\in\LL^1(\ha\muF)$\quad\fbox{\:$\muF\,(\hw\h\hw)\ha=\ha\tmu\:(\ha\h\cir\F\ha)$\hb}\vbc

\Th{\num*}L'application\quad$\LL^1(\ha\muF)\to\LL^1\MU\ :\ \h\tto\h\cir\F$\quad
est une isom\e trie de\vvwa Riesz\pt En particulier on a\,\hh$\all\h\in\LL^1(\ha\muF)$\,\hh
\fbox{\,$|\hb\h\cir\F\hb|\ha=$\hb\ho$|\ha\h\ha|\cir\F$\,}\vc

\Th{\num}$\all h\in\EO\ha(\R)$\,\hh on a\quad\fbox{\,$\NTWO{\,h\cir\F\hb}$\ho$=\ha\NFTWO{\hb h\hb}$\,}\vb

\Dem$\NFTWO{\hb h\hb}=\muF\,\big(\ha h\ha^2\ha\big)=\tmu\,\big[\hb(\ha h^2\ha)\cir\F\ha\big]
=\tmu\:\big[\hb(\ha h\cir\F\ha)^2\hb\big]=\NTWO{\,h\cir\F\hb}$\vc

\Cor{\num*}$\all\h\in\LL^2\ha(\ha\muF)$\quad on a\quad$\h\cir\F\in\LL^2\hw\MU$\quad
et\quad\fbox{\,$\NTWO{\,\h\cir\F\hb}$\ho$=\ha\NFTWO{\hb\h\hb}$\,}\ha\vc

\Cor{\num*}L'application\quad$\LL^2\ha(\ha\muF)\to\LL^2\hw\MU\ :\ \h\tto\h\cir\F$\quad
est une isom\e trie\vvwa de Riesz\pt De plus\hh$\al\ \g\,,\ha\h\in\LL^2\ha(\ha\muF)$\hh
on a\,\hh\fbox{\,$(\ha\g\:\h\ha)\cir\F\ha=\hb$\ho$(\ha\g\cir\F\ha)\,(\ha\h\cir\F\ha)$\,}\vc

\Th{\num}$\all\h\in\hb\BB\ha(\ha\muF)$\quad on a\quad$\h\cir\F\in\,\BB\ha\MU$\quad
et\quad\fbox{\,$\NBB{\,\h\cir\F\hb }$\ho$=\ha\NFBB{\hb\h\hb}$\,}\ha\vb

\Dem$\all\ha\h\in\hb\BB\ha(\ha\muF)$\,\hh on a\quad
$|\ha\h\ha|\ha\le\NFBB{\hb\h\hb}$\hb\vg\hb donc\quad$|\hb\h\cir\F\hb|
=|\ha\h\ha|\cir\F$\vvwa$\le\NFBB{\hb\h\hb}\cir\F=\NFBB{\hb\h\hb}$\vg donc\quad
$\h\cir\F\in\hb\BB\MU$\quad et\quad$\NBB{\,\h\cir\F\hb}\,\le\,\NFBB{\hb\h\hb}$\va
D'autre part\,\hh$\all k\in\EO\ha(\R)$\quad on a\quad$\big|\hb(\ha\h\;\muF\ha)\,(k)\hb\big|
=\big|\hb\muF\,(\ha\h\:k\ha)\hb\big|\hb=\hb\big|\,\tmu\,[\,(\hw\h\cir\F\hw)\,(\hw k\cir\F\hw)\,]\,\big|$\vva
$\le\hb\NBB{\hb\h\cir\F\hb}\;.\;\tmu\:\big(\hb|\,k\cir\F\hb|\hb\big)\hb
=\,\NBB{\hb\h\cir\F\hb}\;.\;\muF\,\big(\hb|\hb k\hb|\hb\big)$\vg
donc\quad$\NFBB{\hb\h\hb}\,\le\,\NBB{\hb\h\cir\F\hb}$\vbc

\Cor{\num*}L'application\hh$\BB\ha(\ha\muF)\to\BB\ha\MU\ :\ \h\tto\h\cir\F$\quad
est un alg\e bromorphisme\hb\ et une isom\e trie de Riesz\vb

\Cor{\num*}$\sig\in\KK\ha(\ha\muF)\ \imp\ \sig\cir\F\in\KK\ha\MU$\vbc

\Not On pose\,\hh$\all\sig\in\KK(\ha\muF)$\quad
\fbox{\ha$\ens{\hb\F\in\sig\ha}=\hb\sig\cir\F$\,}\, $\in\ha\KK\ha\MU$\vc

\Th{\num}$\all\h\in\LL^1(\ha\muF)$\,\hh on a\quad
\fbox{\,$\SMU\,(\ha\h\cir\F\hw)$\ho$=\,\SMU\hb(\hw\h\hw)\cir\F$\,}\va

\Dem\vvwa$\un\wa\big[\,n\:.\,|\hb\h\cir\F\hb|\,\big]
=\ha\un\wa\big[\,n\:.\hb\big(\,|\hb\h\hb|\cir\F\hb\big)\,\big]
=\ha\un\wa\big[\,\big(\hb n\:.\,|\hb\h\hb|\hb\big)\cir\F\,\big]
=\hb(\ha\un\cir\F\ha)\wa\big[\,\big(\hb n\:.\,|\hb\h\hb|\hb\big)\cir\F\,\big]$\vva
$=\big[\,\un\wa\big(\hb n\:.\,|\hb\h\hb|\hb\big)\,\big]\cir\F$\pv
donc\,\hh$\SMU\,(\ha\h\cir\F\ha)\hb=\:\limone{\,\ n}\hh\un
\wa\big[\,n\:.\,|\hb\h\cir\F\hb|\,\big]=\:\limone{\,\ n}\,\
\big[\,\un\wa\big(\hb n\:.\,|\hb\h\hb|\hb\big)\ha\big]\hs{-.5mm}\cir\F$\vva
$=\big[\,\limone{\,\ n}\;\ \un\wa\big(\hb n\:.\,|\hb\h\hb|\hb\big)
\hb\big]\hs{-.5mm}\cir\F\hb=\;\SMU\hb(\hw\h\hw)\cir\F$\vc

\Def{\num}\fbox{\,$\al$\ho$\hb\HZ\in\FO\ha(\ha\muF)$\,}\hh on peut donc d\e finir\hh
\fbox{\,$\HZ\cir\F\in\FO\ha\MU$\ha}\hh par densit\e\vvwa de\; $\LL^1(\ha\muF)$\; dans\hh$\FO\ha(\ha\muF)$\:
pour la convergence plate ou exacte\vbc

\Th{\num*}\vva$\al\ \HZ\in\FO\ha(\ha\muF)$\hh on a\quad$\HZ\cir\F\in\FO\ha\MU$\quad
et\quad\fbox{\,$\SMU\,(\hw\HZ\cir\F\hw)$\ho$=\,\SMU\,(\hw\HZ\hw)\cir\F$\,}\ha\vbc

\newpage
\Cor{\num}L'application\quad\fbox{\,$\FO\ha(\ha\muF)\to\FO\ha\MU$\;\ho$:\ \HZ\tto\HZ\cir\F$\,}\quad
est un\vvw alg\e bromorphisme\, \underline{injectif}\, de Riesz\vb

\Dem Soit\hh $\HZ\in\FO\ha(\ha\muF)$\hh tel que\hh$\HZ\cir\F=\ha0$\pv
soit\,\hh$\nn\quad\sig_n=\ens{\ha|\ha\HZ\ha|\le n\ha}$\pv\vvwa on a\quad$0=\ha(\ha\sig_n\cir\F\ha)
\:(\ha\HZ\cir\F\ha)=\ha(\ha\sig_n\:\HZ\ha)\cir\F$\vg or\hh$|\hb\sig_n\:\HZ\hb|\le n$\ha\vg\ha donc\hh
$\sig_n\:\HZ\in\LL^1(\muF)$\pv\vvwa on peut donc \e crire\,\hh
$0=\NONE{\hb(\ha\sig_n\:\HZ\ha)\cir\F\hb}=\NFONE{\hb\sig_n\:\HZ\hb}$\vg
donc\,\hh$\nn\quad\sig_n\:\HZ=\ha0$\vg\vvwa or\,\hh$\sig_n\:\HZ\,\pp\,\HZ$\vg donc\hh$\HZ=\ha0$\vbc

\Th{\num*}$\al\ \HZ_{\,n}\vv\HZ\in\FO\ha(\ha\muF)$\quad on a\quad\big(\hb$\HZ_{\,n}\,\ms\,\HZ\hb\big)\:\sam\:
\big(\hb\HZ_{\,n}\cir\F\,\ms\,\HZ\cir\F\hb\big)$\vva (\ha idem pour\hh\PP\vg\tsf{A}\vg\tsf{E}\ha)\vd

\initnumm
\quad\textbf{\Num\underline{G\e n\e ralisation aux $\tmu$\ha-polyfonctionnelles}}\vvbc

\oui Soit\hh$p\in\N^*$\pv on g\e n\e ralise les notions de ce chapitre en se donnant\: $p$\:
$\tmu$\ha--\ha fonctionnelles\vva
\hs{55mm}\fbox{\,$\F_1\vv\F\ha_2\vv\ldots\,,\F\ha_p\ha\in\ha\FO\ha\MU\ph{\dot{t}\underline{p}}$\hs{-3mm}}\vva
et en consid\e rant la\, \underline{$\tmu$\ha--\ha polyfonctionnelle}\hh$\F=\ha(\ha\F_1\vv\F\ha_2\vv
\ldots\vv\F\ha_p\ha)$\hh``\,\ac\ valeurs dans\, $\R\hw^p$\,"\vc

\Def{\numm}\vvwa Soient\hh$\II\ha_1\vv\II\hb_2\vv\ldots\vv\II\hb_p$\hh des intervalles de\, $\R$\,
et soit\hh$\K=\,\II\ha_1\tim\II\hb_2\tim\ldots\tim\II\hb_p\ha\sub\ha\R\hw^p$\pv alors\vvwa
$\un\ha_{\K}\in\EB\ha\Rp$\hh et on pose\:\hh\fbox{\,$\un\ha_{\K}\cir\F\ha=\ha\ens{\hw\F\in\K}
=\ha\ens{\hw\F_1\in\II\ha_1}\,\ens{\hw\F\ha_2\in\II\hb_2}$\ho$\ha\ldots\,\ens{\hw\F\ha_p\in\II\hb_p\ph{\underline{p}}}$\ha}\va

On \e tend la notation\; $h\cir\F$\hh \ac\ tout\; $h\in\RR\ha\Rp$\; comme au\, Chapitre\ha\ XVII\, \S\ 10\vb

\Def{\numm}\vvwa On pose\hh$\all h\in\RB\ha\Rp$\,\hh\fbox{\:$\muF\:(h)\ha=\ha\tmu\:(\hw h\cir\F\hw)\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\ha\pt\ha
$\muF$\, est\ha\ l'\,\fbox{\tsc{image}}\: de\: $\tmu$\: par\: F\vc

\Th{\numm*}\fbox{\:$\muF\ha\in\ha\MX\hw\Rp\hw^+\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\quad et\quad\fbox{\,$\nst{\,\muF\hb}=\ha\nst{\hb\tmu\hb}$\,}\ha\vc

\Th{\numm*}Si\ha\hh$\tmu\in\PB\ha\Rn$\vg alors\ha\hh\fbox{\,$\muF\ha\in\PB\ha\Rp$\,}\hh
et\; $\muF$\: s'appelle la\vvwa\fbox{\ha\tsc{loi conjointe}\ha}\; de\hh$\F_1\vv\F\ha_2\vv\ldots\vv\F\ha_p$\,
relativement \ac\, $\tmu$\vb

On peut \e tendre la notation\; $\HZ\cir\F$\; \ac\ tout\: $\HZ\in\FO\ha(\muF)$\: comme au\, \S\ha\ 3\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage\null\thispagestyle{empty}\newpage
\initnumm

\centerline{\textbf{CHAPITRE\, XIX}}\vva
\centerline{\textbf{CONDITIONNEMENT D'UNE\, $\tmu$\hb-\ha FONCTIONNELLE SOMMABLE}}\vvcd

\oui On suppose maintenant que\hh\fbox{\:$\tmu$\ha\ho$\in\PB\hw\Rn$\hb}\hh(\ha$n\in\N\hw^*$\hw)\vg
\cad\ha\ que\, $\tmu$\, est une\\\underline{probabilit\e}\, sur\, $\R^n$\ha.\vvwa
\oui On se donne\hh\fbox{\:$\g$\ho$\in\ha\LL^1\MU$\hb}\hh et la\, $\tmu$\ha--\ha polyfonctionnelle\hh
\fbox{\,$\F=\ha(\ha\F_1\vv\F\ha_2\vv\ldots\vv\F\ha_p\ha)\ph{\dot{t}}$\hs{-1.1mm}}\vvwa
avec\hh$\F_1\vv\F\ha_2\vv\ldots\,,$\ho\mbox{$\F\ha_p\ha\in\ha\FO\ha\MU$\ha.}\vvwa
\oui On d\e finit alors l'\ha\emph{esp\e rance conditionnelle\ha\ de}\hb\ g\, \emph{sachant}\, F,\,
ainsi que le\ha\ \emph{conditionn\e\ de}\hb\ g\, \emph{par rapport} \ac\, F\vg dont nous d\e veloppons les principales propri\e t\e s\vcd

\Def{\numm}Soit\hh$\sig\in\KK\ha\MU$\hh tel que\, $\sig\ne\ha0$\pv on d\e finit le r\e el\vvb
\hs{55mm}\fbox{\;$\tsf{E}\hb\big(\ha\g\,\sep\,\sig\ha\big)\hw=\,\Inv{\tmu\hb(\sig)}
\Int_{\R^{^n}}\hs{-2mm}\sig\;\g\:\tmu$\:}\ha\vbc

$\tsf{E}\hb\big(\ha\g\,\sep\,\sig\ha\big)$\: s'appelle\ha\ l'
\fbox{\hb esp\e rance conditionnelle\ha\ de\hb\ g\, sachant\, $\sig$\ha}\ha\vc

\Def{\numm}\vvwa On pose\hh$\all h\in\RB\ha\Rp$\,\hh\fbox{\hb$\gmuF\:(h)\ha=\ha$\ho$\gmu\,(\hw h\cir\F\hw)\hb
=\,\tmu\:\big[\,g\ha.\ha(\ha h\cir\F\ha)\ha\big]$\hb}\ha\vb

\oui C'est l'analogue de la\ha\ D\e finition\,  XVIII\hb.\hb1\ha.\ha1\vg mais appliqu\e e \ac\ la mesure\,
$g\,\tmu$\, (\ha qui n'est plus n\e cessairement positive\ha)\vc

\Th{\numm*}On a\hh\fbox{\,$\gmuF\in\MX\hw\Rp$\,}\,\hh et\,\hh\fbox{\,$\nst{\ha\gmuF\hb}$\ho
$\le\,\NONE{\hb\g\hb}\ha=\ha\nst{\,\g\;\tmu\,}$\ha}\ha\vc

\Th{\numm}\fbox{\,$\gmuF\,\in\,[\,\muF\hb]$\,}\vg\cad\, $\gmuF$\: est une mesure de base\: $\muF\in\PB\ha\Rp$\va

\Dem\vvwa
1)\hh Supposons d'abord\; $\g\in\EO\hb\Rn$\pv alors on a\,\hh
$\all h\in\EO\ha\Rp\,\hh$\vvw$\big|\ha\gmuF\,(\ha h\ha)\ha\big|\ha=\ha\big|\,\tmu\:\big[\,g\,.\,(\ha h\cir\F\ha)\ha\big]\hw\big|
\le\ha\|\hb g\hb\|\ \tmu\:\big(\hb|\hb h\cir\F\hb|\hb\big)\ha=\ha\|\hb g\hb\|\ \tmu\:\big(\hb|\ha h\ha|\cir\F\hb\big)$\vvwa
$=\ha\|\hb g\hb\|\hw\ \muF\,\big(\hb|\ha h\ha|\hb\big)$\pv donc\,\hh
$\big|\ha\gmuF\hb\big|\ha\le\ha\|\hb g\hb\|\;\muF$\vg donc\,\hh$\gmuF\,\in\,[\:\muF\hb]$\hb\vg\vvwa
car\; $[\:\muF\hb]$\: est un sous-espace int\e gral de\hb\ $\MX\hw(\R^p)$\vab

2\ha)\hh Supposons maintenant\; $\g\in\LL^1\MU$\pv soit une suite\hh$g\ha_n\in\EO\hb\Rn$\hh telle que\hh
$g\ha_n\,\ONE\,\g$\pv\vvwa alors on a\,\hh$\bnst{\hb\gmuF-\big(\ha\g\ha_n\,\tmu\hb\big)_{\ha\F}\hb}\ha
=\,\bnst{\hb\big[\hb(\hb\g\ha_n-\g\hb)\:\tmu\,\big]_\F\,}\ha\le\ha\NONE{\,\g-g\ha_n\hb}$\vg donc\vvwa
$\big(\ha\g\ha_n\,\tmu\hb\big)_{\ha\F}\st\gmuF\,\in\,[\:\muF\hb]$\vc

\Def{\numm}\vvwa On peut donc poser\,\hh\fbox{\hb$\gmuF=\,\EF{\g}\,\muF$\hb}\quad
avec\,\hh\fbox{\,$\EF{\g}\in\LL^1(\ha\muF)$\hb}\ha\vab
$\EF{\g}$\, s'appelle l' \fbox{\hb esp\e rance conditionnelle de\hb\ g\, sachant\hb\ F$\ph{\big|}$\hs{-.85mm}}\ha\vcd

\Lem{\numm}$\all h\in\hb\RB\ha\Rp$\,\hh on a\,\hh\fbox{\,$\gmu\,(\hw h\cir\F\hw)\ha=$\ha\ho$\muF\ha\big[\,\EF{\g}\,h\hb\big]$\,}\vb

\Dem$\gmu\,(\hw h\cir\F\hw)=\gmuF\:(h)\ha=\,\big[\hb\EF{\g}\,\muF\hb\big]\,(h)=\ha\muF\ha\big[\,\EF{\g}\,h\,\big]$\vc

\underline{\emph{Exemple fondamental}}\dd Prenons\; $p=1$\; et soit\, $\AZ$\, une partie \e l\e mentaire de\,
$\R$\pv\vvw la formule ci-dessus appliqu\e e \ac\hh$h=\un_{\AZ}$\hh donne alors\vvab
$\Int_{\AZ}\EF{\g}\;\muF\,=\int_{\R^n}\hs{-2mm}\ens{\hw\F\hs{-.5mm}\in\hs{-.25mm}\AZ}\;\g\ \tmu$\vva
\hs{40mm}$=\,\tmu\hb\big[\ha\ens{\hw\F\hs{-.5mm}\in\hs{-.25mm}\AZ}\hw\big]\ha\ \tsf{E}\hb\big(\ha\g\,\sep\hb\ens{\hw\F\in\AZ}\hw\big)
=\,\muF\hb(\AZ)\ha\ \tsf{E}\hb\big(\ha\g\,\sep\hb\ens{\hw\F\in\AZ}\hw\big)$\ha\pv\vvb
si\hh$\muF\hb(\AZ)\ne0$\hh on en d\e duit\quad\fbox{\:$\Inv{\muF\hb(\AZ)}\ha\int_{\AZ}\EF{\g}\;\muF\hb
=\:\tsf{E}\hb\big(\ha\g\,\sep\hb\ens{\hw\F\in\AZ}\hw\big)$\hb}\ha\vb
On peut donc interpr\e ter\, la ``\,valeur\,"\, de\, $\EF{\g}$\, en\, $\alf\in\R$\, comme la\,``\,limite\,"\vvw
de\hh$\tsf{E}\hb\big(\ha\g\,\sep\hb\ens{\hw\F\in\AZ}\hw\big)$\: quand\, $\AZ$\, ``\:se r\e duit\,"\, au singleton\, $\ens{\alf}$\vg
et \e crire abusivement\vvw$\EF{\g}\ha(\alf)=\hb\tsf{E}\hb\big(\ha\g\,\sep\hb\ens{\hw\F\hs{-.25mm}=\alf\ha}\hw\big)$\vg
ce qui motive la notation\; $\EF{\g}$\ha.\vvc

\Def{\numm}On pose\,\hh\fbox{\,$\wEF{\g}=\hb\EF{\g}\cir\F$\,}\: $\in\ha\LL^1\MU$\vb
$\wEF{\g}$\, s'appelle la\, \fbox{\hb conditionn\e e\hb\ de\, g\, par rapport \ac\, F$\ph{\big|}$\hs{-.9mm}}\ha\vb
On peut \e crire symboliquement\,\hh$\all x\in\R^n\,\hh\wEF{\g}\ha(x)
=\hb\tsf{E}\hb\big(\ha\g\,\sep\hb\ens{\ha\F\hs{-.25mm}=\F\ha(x)\ha}\hw\big)$\vg\vvaab
\cad\,\hh\fbox{\,$\wEF{\g}\ha(x)=\hb\tsf{E}\hb\big(\ha\g\,\sep\:\wh{x}\hb\big)$\hb}\hb\vg\ha
avec\,\hh$\wh{x}\ha=\ha\ens{\hb y\in\R^n\,\|\,\F\ha(y)\hs{-.25mm}=\F\ha(x)\ha}$\va

\begin{picture}(,)
\put(2,-3.5){$\wEF{\g}$\: est la\hb\ \emph{compos\e e \ac\ gauche}\ha\ de\hb\ F\hb\ qui approche ``\,au mieux\," g\,.}
\put(0,-6){\frm(132.5,7.75)}
\end{picture}\\\vvbc

\underline{Sch\e ma fonctionnel}\dd\vva\hs{60mm}
\begin{picture}(,)
\put(3.5,6.5){$\tmu\hs{23.25mm}\muF$}
\put(17.5,2.5){\small{$\F$}}
\put(11.5,1){\vector(1,0){14.5}}
\put(3,0){$\R\hw^n\hs{20mm}\R\hw^p$}
\put(3.75,-3.5){\vector(0,-1){15}\hs{2.25mm}\vector(0,-1){15}}
\put(-12.5,-11){$\wEF{\g}\hs{5.15mm}\g$}
\put(3,-24.5){$\R$}
\put(28,-2.5){\vector(-1,-1){18.5}}
\put(21.5,-14){$\EF{\g}$}
\end{picture}\vk37.5mm

\Th{\numm*}\fbox{\:$\g\ge0\ \imp\,\Big[\:\EF{\g}\ge\ha0$\,\hh et\,\hh$\wEF{\g}\ge\ha0\ \Big]$\hb}\hb\vcd

\Th{\numm}
\fbox{\:$\big|\hb\gmuF\hb\big|\hb\le\hb\big(\ha|\hb\g\hb|\;\tmu\hb\big)_\F$\,}\;,\hh
donc\,\hh\fbox{\ $\big|\,\EF{\g}\big|\hb\le\:\EF{\ha|\ha\g\ha|}$\,}\;,\vvab
donc\,\hh\fbox{\ $\big|\:\wEF{\g}\big|\hb\le\:\wEF{\ha|\ha\g\ha|}$\,}\hb\vc

\Dem On a\,\hh$\all h\in\RB\ha\Rp\,\hh|\,\gmuF\:(h)\hb|\ha=\ha\big|\hb\gmu\,\hw(\hw h\cir\F\hw)\hb\big|\ha
\le\big(\ha|\hb\g\hb|\:\tmu\hb\big)\:\big(\ha|\hb h\cir\F\hb|\ha\big)$\vvwa
$=\ha\big(\ha|\hb\g\hb|\:\tmu\hb\big)_\F\:\big(\hb|\hb h\hb|\hb\big)$\pv donc\,\hh
$\big|\hb\gmuF\ha\big|\hb\le\hb\big(\ha|\hb\g\hb|\:\tmu\hb\big)_\F$\vc

\Th{\numm}\vvab\hs{10mm}\fbox{\:$\tmu\,\big[\:\wEF{\g}\ha\big]=\hb\tmu\,(\ha\g\ha)$\,}\hhh
et\,\quad\fbox{\,$\bNONE{\,\wEF{\g}\ha}\ha=\,\big\|\,\EF{\g}\ha\big\|\hb_{\muF\hb,\,1}\hb
\le\ha\NONE{\,\g\hb}$\,}\ha\vc

\Dem\vva
1)\hh$\tmu\,\big[\:\wEF{\g}\ha\big]=\ha\tmu\:\big[\hb\EF{\g}\cir\F\hb\big]
=\hb\muF\,\big[\hb\EF{\g}\ha\big]=\hb\gmuF\:(\un)\ha=\hb\tmu\:(\ha\g\ha)$\vab

2\ha)\hh$\bNONE{\,\wEF{\g}\hb}=\ha\tmu\:\big[\:|\:\wEF{\g}\ha|\hb\big]
=\ha\tmu\,\big[\hb|\,\EF{\g}\ha|\cir\F\hb\big]=\,\muF\,\big[\hb|\,\EF{\g}\ha|\hb\big]$\vva
$=\ha\big\|\,\EF{\g}\ha\big\|\hb_{\muF\hb,\,1}
=\ha\bnst{\hb\EF{\g}\,\muF\hb}=\ha\bnst{\ha\gmuF\hb}\ha\le\NONE{\,\g\hb}$\vcd

\Th{\numm*}$\al\ \h\in\ha\LL^1\ha(\ha\muF)$\hb\hh on a\quad\fbox{\,$\EF{\h\cir\F}=\ha\h$\,}\ha\vbc

\Dem$\all k\in\RB\ha\Rp$\,\hh on a\;\hh$\muF\ha\big[\,\EF{\ha\h\cir\F}\,k\hb\big]
=\hb[\hb(\ha\h\cir\F\hw)\,\tmu\,]\hb(\hw k\cir\F\hw)$\vvwa
$=\hb\tmu\,[\hb(\ha\h\cir\F\hw)\,(\hw k\cir\F\hw)\hb]\ha=\hb\tmu\,[\,(\ha\h\:k\hw)
\hs{-.1mm}\cir\F\,]=\hb\muF\,(\ha\h\:k\hw)$\pv donc\,\hh$\EF{\ha\h\cir\F}\hb.\:\muF
=\hb\h\,.\:\muF$\vg\vvwa donc\,\hh$\EF{\ha\h\cir\F}=\hb\h$\vcd

\Th{\numm}$\all h\in\RB\ha\Rp$\hh on a\quad\fbox{\,$\gmu\,(\hw h\cir\F\hw)\ha
=$\ho$\big[\,\wEF{\g}\:\tmu\,\big]\hb(\hw h\cir\F\hw)$\,}\ha\vbc

\Dem$\gmu\,(\hw h\cir\F\hw)\ha=\ha\gmuF\,(h)\hb=\:\muF\,\big[\:\EF{\g}\: h\,\big]
=\,\tmu\:\Big[\big[\:\EF{\g}\: h\hb\big]\cir\F\hb\Big]$\vva
$=\,\tmu\:\Big[\big[\,\EF{\g}\cir\F\hb\big]\hb.\,(\hw h\cir\F\hw)\hb\Big]
=\,\tmu\:\big[\,\wEF{\g}\hb.\,(\hw h\cir\F\hw)\,\big]\ha=\ha\big[\,\wEF{\g}\:\tmu\,\big]\,(\hw h\cir\F\hw)$\vcd

\Cor{\numm*}\fbox{\,$\big[\,\wEF{\g}\:\tmu\,\big]_{\hw\F}=\ha\gmuF$\,} ,\;
donc\quad\fbox{\,$\tsf{E}\hb\big[\:\wEF{\g}\hb\sep\,\F\,\big]=\hb\EF{\g}$\ha}\vvab donc\quad
\fbox{\,$\wh{\tsf{E}}\hb\big[\:\wEF{\g}\hb\sep\,\F\,\big]=\hb\wEF{\g}\HO$\hs{-1mm}}\hb\vcd

\Cor{\numm*}$\g\tto\wEF{\g}$\,\hh est une\, \underline{projection}\, croissante de norme\ha\ 1\ha\ de\, $\LL^1\MU$\vc

\Th{\numm}$\all\g\in\LL^2\ha\MU$\quad on a\quad$\wEF{\g}\in\LL^2\ha\MU$\,\hh et\vvab
\hs{35mm}\fbox{\,$\NTWO{\:\wEF{\g}\ha}=\big\|\,\EF{\g}\ha\big\|\hb_{\muF\hb,\,2}\,\le\,\NTWO{\,\g\hb}$\,}\ha\vc

\Dem On a\,\hh$\all h\in\RB\ha\Rp\,\hh\muF\,\big[\hb\EF{\g}\,h\hb\big]
=\ha\big[\hb\EF{\g}\,\muF\hb\big]\,(h)\ha=\,\gmuF\:(h)$\vva
$=\,\tmu\,\big[\,\g\,.\,(h\cir\F)\ha\big]\le\hb\NTWO{\,\g\hb}\ \NTWO{\,h\cir\F\hb}\ha
=\,\NTWO{\,\g\hb}\ \NFTWO{\,h\hb}$\pv\vva donc\,\hh$\EF{\g}\in\LL^2\ha(\ha\muF)$\,\hh
et\,\hh$\NFTWO{\,\ha\EF{\g}\hb}\le\NTWO{\,\g\hb}$\pv donc\vva$\wEF{\g}=\ha\EF{\g}\cir\F\hb\in\LL^2\ha\MU$\,\hh
et\,\hh$\NTWO{\,\wEF{\g}\hb}\ha=\ha\NFTWO{\,\ha\EF{\g}\hb}\hb\le\ha\NTWO{\,\g\hb}$\vc

\Cor{\numm*}$\g\tto\wEF{\g}$\hh est une\, \underline{projection orthogonale}\, croissante de\, $\LL^2\hw\MU$\vbc

\Th{\numm*}$\all\ha\g\in\hb\BB\ha\MU$\quad on a\quad$\wEF{\g}\in\hb\BB\ha\MU$\,\hh et\vvab
\hs{35mm}\fbox{\,$\NBB{\,\wEF{\g}\ha}\ha=\ha\big\|\,\EF{\g}\ha\big\|\hb_{\muF\hb,\,\B}\,\le\,\NBB{\hb\g\hb}$\,}\ha\vc

\Cor{\numm*}$\g\tto\wEF{\g}$\hh est une\, \underline{projection}\, croissante de norme\ha\ 1\ha\ de\;$\BB\ha\MU$\vbc

\end{document}
