\documentclass[a4paper]{report}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\new{\initnumm}{\setcounter{numm}{0}}

\new{\Num}{\stepcounter{Num}\S\;\theNum\ha.\,\ }
\new{\num}{\stepcounter{num}\theNum\ha.\hb\thenum\ha.\,}
\new{\numm}{\stepcounter{numm}\thenumm\ha.\,}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\new{\tdgk}{\tdg\ha_{[\ha k\ha]}}
\new{\TDF}{\wt{F}}

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\new{\cd}{[\,c\hb,\hb d\,]}
\new{\nn}{\all n\in\N}
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\new{\fun}{\triangleright\hs{-3.25mm}\too\hs{-2.75mm}>}
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\new{\Inv}{\dis\inv}
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\new{\sm}{\stack{\cir}{\to}}
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\new{\uu}{\stack{\mbof{u}}{\to}}
\new{\st}{\stack{\star}{\to}}
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\new{\pp}{\:\stack{\mrom{p\ha p}}{\to}\:}
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\new{\hi}[1]{\rbox{.25mm}{#1}}
\new{\hj}[1]{\rbox{.5mm}{#1}}

\new{\inv}[1]{\frac{1}{#1}}
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\new{\nbb}[1]{\|#1\|_{\mrom{B}}}
\new{\bnbb}[1]{\hi{\big\|}#1\hi{\big\|}_{\hw\B}}

\new{\inflim}[1]{\under{#1}{\underline{\mrom{lim}}}}
\new{\suplim}[1]{\under{#1}{\overline{\mrom{lim}}}}

\new{\Inf}[1]{\under{#1}{\mrom{Inf}}}
\new{\Sup}[1]{\under{#1}{\mrom{Sup}}}
\new{\Lim}[1]{\under{#1}{\mrom{Lim}}}
\new{\Inflim}[1]{\under{#1}{\underline{\mrom{Lim}}}}
\new{\Suplim}[1]{\under{#1}{\overline{\mrom{Lim}}}}
\new{\Limb}[1]{\under{#1}{\textbf{\emph{Lim}}}}

\new{\hs}{\hspace}
\new{\hw}{\hs{.1mm}}
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\new{\hh}{\ \ }
\new{\hhh}{\hh\hh}
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\new{\vk}{\vskip}

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\new{\vpt}{\,.\vk.25mm}

\new{\vww}{\hb.\vvww}
\new{\vw}{\hb.\vvw}
\new{\vwwa}{\hb.\vvwwa}
\new{\vwa}{\hb.\vvwa}
\new{\va}{\hb.\vva}
\new{\vaab}{\hb.\vvaab}
\new{\vab}{\hb.\vvab}
\new{\vb}{\hb.\vvb}
\new{\vbc}{\hb.\vvbc}
\new{\vc}{\hb.\vvc}
\new{\vcd}{\hb.\vvcd}
\new{\vd}{\hb.\vvd}
\new{\vf}{\hb.\vvf}

\new{\ho}{\ph{\"{l}}}
\new{\lo}{\ph{\c i}}

\new{\e}{\'e}
\new{\ac}{\`a}
\new{\ee}{\`e}
\new{\ou}{o\`u}
\new{\cad}{c-\`a-d}

\new{\vv}{\,,\,}
\new{\vg}{\vv\ }
\new{\pt}{\,.\,\ }
\new{\pv}{\,;\:\ }

\new{\theo}{th\e or\ee me}
\new{\Theo}{Th\e or\ee me}

\new{\Def}[1]{#1 \underline{D\e finition}\dd}
\new{\Th}[1]{#1 \underline{Th\e or\ee me}\dd}
\new{\Cor}[1]{#1 \underline{Corollaire}\dd}
\new{\Lem}[1]{#1 \underline{Lemme}\dd}

\new{\Rem}{\underline{Remarque}\dd}
\new{\Not}{\emph{\underline{Notation}}\dd}
\new{\Dem}{\hhh\underline{D\e m}\dd}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\centerline{\fbox{\,\textbf{DEUXIEME PARTIE}$\ph{\big|\dot{l}}$\hs{-2mm}}}\vvbc
\centerline{\fbox{\:\Large{\textbf{\tsf{Int\e gration sur\ha\ $\R\ph{\big|}$}}}\!}}\vs{12.5mm}

\initNum
\centerline{\textbf{CHAPITRE\, XII}}\vva
\centerline{\textbf{PSEUDO\hw-MESURES\,, MESURES\,, FONCTIONNELLES SUR\ha\ $\R$}}\vvw
\centerline{\textbf{}}\vvcd

\oui Nous \e tendons \ac\, $\R$\, les concepts et les \theo s d\e j\ac\ d\e finis\ha\ et d\e montr\e s\ha\
sur\ha\ \ab\pt La plupart des \theo s constituent des g\e n\e ralisations \e videntes de r\e sultats
pr\e c\e dents et leurs d\e monstrations sont laiss\e es au lecteur\hw.\vvc

\quad\textbf{\S\ 0.\,\ \underline{Notations}}\vvb

\qquad A\,.\hh\underline{\ttt{Alg\ee bres de fonctions}}\vvbc

$\EE\ha(\R)$\hh=\hh alg\ee bre des fonctions\hb\hh$\R\to\R$\,\hh\e tag\e es\; (\ha= localement
\e tag\e es\ha)\vvw
$\EB\ha(\R)$\, =\hh alg\ee bre des fonctions\hb\hh$\R\to\R$\,\hh\e tag\e es born\e es\vvw
$\EO\ha(\R)$\, =\hh alg\ee bre des fonctions\hb\hh$\R\to\R$\,\hh\e tag\e es \ac\ support born\e\vvaab

Idem pour\hh$\CC\,,\,\RR\,,\:\PR$\vab

$\WW\ha(\R)$\hh=\hh alg\ee bre des fonctions\hb\hh$\R\to\R$\,\hh universelles\; (\ha= localement
universelles\ha)\vvw
$\WB\ha(\R)$\, =\hh alg\ee bre des fonctions\hb\hh$\R\to\R$\,\hh universelles born\e es\vvw
$\WO\ha(\R)$\, =\hh alg\ee bre des fonctions\hb\hh$\R\to\R$\,\hh universelles \ac\ support born\e\vvab

$\FF\ha(\R)$\hh=\hh alg\ee bre des fonctions\hb\hh$\R\to\R$\,\hh localement born\e es\vvw
$\FB\ha(\R)$\, =\hh alg\ee bre des fonctions\hb\hh$\R\to\R$\,\hh born\e es\vvw
$\FF_O\ha(\R)$\, =\hh alg\ee bre des fonctions\hb\hh$\R\to\R$\,\hh born\e es \ac\ support born\e\vvab

\Rem Toutes ces alg\ee bres sont des alg\ee bres de Riesz\vc

\qquad B\,.\hh\underline{\ttt{Normes\ha,\;semi-normes\ha,\;convergences}}\vbc

$\all f\in\FB\ha(\R)$\ha\hh on pose\quad$\|\ha f\ha\|=\,\sup\pos_{\,x\,\in\,\R}\,|\ha f\ha(x)\ha|$\va
$\all f\in\WO\ha(\R)$\ha\hh on pose\quad$\none{\ha f\ha}=\Int_{\,\R}|f\ha(x)|\:d\hb x$\quad
et\quad$\ntwo{\ha f\ha}=\,\Big[\Int_{\,\R}f\ha(x)\ha^2\ d\hb x\ha\Big]^{1/2}$\vb

On dit que\; $f\in\WW\ha(\R)$\; est\, \underline{sommable}\, (\ha ou \underline{int\e grable}\ha)\hh
ssi\vvab\hs{47.5mm}\fbox{\:$\none{f}=\hb\dis\sup_n\int_{-\hw n}^{\hb n}\hs{-1mm}|\hb f\ha(x\ha,\ha y)\hb|\;
d\hb x<\pin$\:}\vbc

Si\; $f\in\WW\ha(\R)$\; est sommable\vg on note\,\hh\fbox{\,$\Int_{\R}\hs{-1mm}f(x)\;d\hb x
=\hb\dis\lim_n\int_{-\hw n}^{\hb n}\hs{-1mm}f\ha(x\ha,\ha y)\;d\hb x$\,}\vbc

Dans\, $\FF\ha(\R)$\, on note\hh$f_n\sm f$\hh ssi\hh$f_n$\hb\ converge\, \underline{simplement}\, (\ha ou\,
\underline{ponctuellement}\,)\, vers\ha\ $f$\vvwa sur\, $\R$\vg\cad\hh ssi\,\hh\fbox{\,$\all c\in\R\quad
f_n\ha(c)\to f(c)$\ha}\vb

Dans\, $\FB\ha(\R)$\, on note\ :\vva
1)\hh$f_n\bb f$\hh ssi\hh$f_n$\hb\ converge simplement vers\ha\ $f$\hb\ sur\, $\R$\; et\hb\ ssi\ha\
la suite\: $\|\ha f_n\ha\|$\: est born\e e\hb;\vvww c'est la convergence\hb\ \underline{born\e e}\va
2)\hh$f_n\uu f$\hh ssi\hh$f_n$\hb\ converge\, \underline{uniform\e ment}\, vers\ha\
$f$\hb\ sur\, $\R$\vg\cad\hh ssi\hh$\|\ha f_n-f\ha\|\to0$\vcd

\qquad C\,.\hh\underline{\ttt{Restriction d'une forme lin\e aire sur\, $\EO\ha(\R)$}}\vbc

$\kn$\, on pose\hh$\Ik=\kk$\pv
soit\, $h\in\ha\EE\ha(\Ik)$\pv on identifie\, $h$\, et la fonction de\, $\EO\ha(\R)$\,
\e gale \ac\, $h$\, dans\hh$\Ik$\, et \ac\, 0\, dans\hh$\R$\:--\:$\Ik$\va
Soit\, $\tdf$\, une forme lin\e aire sur\, $\EO\ha(\R)$\pv on note\, $\tdfk$\, la forme lin\e aire sur\,
$\EE\ha(\Ik)$\, d\e finie\vvwa par\,\hh\fbox{\,$\tdfk\,:\,\EE\ha(\Ik)\to\R\,:\,h\tto\tdf\ha(h)$\,}\pv
on appelle\, $\tdfk$\, la\, \underline{restriction}\, de\, $\tdf$\, \ac\, $\Ik$\vf

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Pseudo\ha-mesures\ha\ et mesures sur\, $\R$}}\vvc

\Def{\num}Une\, \underline{pseudo\ha-mesure}\, sur\, $\R$\hh est une forme lin\e aire\, $\tdf$\, sur\,
$\EO\ha(\R)$\vvaab telle que\quad\fbox{\,$\kn\hh\ha\tdfk\in\ha\PM\ha(\Ik)$\,}\ha\vb

On note\hh$\PM\ha(\R)$\hh l'espace vectoriel des pseudo\ha-mesures sur\, $\R$\vbc

\Th{\num}Tout\, $\tdf\in\ha\PM\ha(\R)$\, s'\e tend naturellement \ac\; $\RO\ha(\R)$\vbc

\Def{\num}$\all\tdf,\,\tdg\ha\in\ha\PM\ha(\R)$\,\hh on pose\,\hh\fbox{\,$\tdf\le\ha\tdg$\quad
ssi\,\hh$\kn\hh\tdfk\le\hb\tdgk$\,}\vbc

\newpage
\Def{\num}La suite\, $\tdf_{\hw k}\in\ha\PM\hw(\Ik)$\, est\, \underline{inductive}\hh ssi\,\hh
$\kn\:\ \tdf_{\hw k}$\, est la restriction\vva de\, $\tdf_{k+1}$\, \ac\, $\Ik$\vg \cad\, ssi\hh
$\kn\hh\big(\tdf_{\hw k+1}\big)_{[\ha k\ha]}=\,\tdf_{\hw k}$\pt Une suite inductive\, $\tdf_{\hw k}$\,
d\e finit de\vva mani\ee re naturelle un \e l\e ment\, $\tdf$\, de\, $\PM(\R)$\,,\, appel\e\;
\underline{limite inductive}\, de\, $\tdf_{\hw k}$\; et not\e\vva
\fbox{\,$\tdf$\;=\,\ho$\Limb{k}\ha\ \tdf_{\hw k}$\,}\pv on a alors\hb\hh$\kn\hh\tdfk=\tdf_{\hw k}$\vc

\Def{\num}\vvwa Soit\, $\tdf\in\PM\ha(\R)$\pv alors la suite\hh$\big|\ha\tdfk\hw\big|$\, est inductive
et on pose\ha\hh\fbox{\,$\vtdf=\Limb{k}\ha\ \big|\ha\tdfk\hw\big|\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-1mm}}\vbc

\Not$\kn$\hh on pose\,\hh\fbox{\:$\Xk$\ha\ho=\ha\ $\un\hb_{[\,-\ha k\vv\ha k\hb]}$\hb}\, $\in\,\EO\ha(\R)$\vb

\Def{\num}\vvwa Soient\; $\tdf\in\PM\ha(\R)$\hh et\hh$g\in\RR\ha(\R)$\pv alors la suite\hh
$\big(\ha\Xk\:g\hw\big)\hb\tdfk\in\PM\ha(\Ik)$\hh est inductive\pv\vvwa on pose\,\hh
\fbox{\,$g\,\tdf=\Limb{k}\ha\ \big(\ha\Xk\:g\hw\big)\hb\tdfk\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-1mm}}\, $\in\PM\ha(\R)$\vc

\Def{\num}$\tdf\in\ha\PM\ha(\R)$\, est une\, \underline{mesure}\; ssi\,\hh
\fbox{\,$\kn\hh\ha\tdfk\in\MM\ha(\Ik)$\,}\vb

On note\hh$\MM\ha(\R)$\hh l'espace vectoriel des mesures sur\, $\R$\vb

\Th{\num}Tout\, $\tdf\in\MM\ha(\R)$\, s'\e tend naturellement \ac\; $\WO\ha(\R)$\vb

\Def{\num}Soient\; $\tdf\in\MM\ha(\R)$\hh et\hh$g\in\WW\ha(\R)$\pv alors la suite\hh
$\big(\ha\Xk\:g\hw\big)\hb\tdfk\in\MM\ha(\Ik)$\vvwa est inductive\pv on pose\,\hh
\fbox{\,$g\,\tdf=\Limb{k}\ha\ \big(\ha\Xk\:g\hw\big)\hb\tdfk\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-1mm}}\, $\in\MM\ha(\R)$\vc

\Def{\num}$\tdf\in\MM\ha(\R)$\: est une mesure\, \underline{diffuse}\hh ssi\,\hh
\fbox{\,$\all c\in\R\hh\:\tdf\ha\big(\ha1\hw_{\ans{c}}\big)=\hb0$\,}\va

On note\; $\MD\ha(\R)$\: l'espace vectoriel des mesures diffuses sur\, $\R$\vb

\num\ \underline{\Theo\,-\,D\e finition}\dd\vvab
$\all f\in\WW\ha(\R)$\hh la forme lin\e aire\,\hh
\fbox{\,$\ans{f}\;:\ \EO\ha(\R)\to\R\::\ g\ha\tto\Int_{\R}g\:f\;d\hb x$\:}\,\hh
est une mesure\vg\vva appel\e e la mesure\, \underline{associ\e e}\, \ac\, $f$\vb

En particulier \ac\ la fonction constante\hh\fbox{\,$\un=\ha1_{\R}$\ho$\in\hb\EE\ha(\R)$\ha}\hh est
associ\e e la mesure\vva\fbox{\,$\leb\,:\ \EO\ha(\R)\to\R\::\ g\ha\tto\Int_{\R}g\;d\hb x$\,}\pv
c'est la\, \fbox{\,mesure de\ho Lebesgue\hb}\vc

On note\,\hh$\low{\WW}\:(\R)=\ens{\ans{f}\,\big\|\,f\in\WW\ha(\R)}$\ha;\, c'est un sous-espace de\,
$\MM\ha(\R)$\ha;\; on utilise\vvww une notation analogue pour tous les\ha\ \emph{sous-ensembles}\ha\
de\, $\WW\ha(\R)$\vab

\Rem Nous verrons plus loin que\hh$\all f\in\RR$\hh la mesure\, $\ans{f}$\, est de fait une\vvk
\emph{fonctionnelle localement born\e e}\pt Nous parlerons donc de\, $\ans{f}$\, comme \e tant la\vvk
\underline{fonctionnelle associ\e e}\: \ac\, $f$,\: plut\^ot que la mesure associ\e e\, \ac\hb\ $f$.\vvb

\fbox{\ho Dans la pratique on remplacera commun\e ment la notation\, $\ans{f}$\, par la notation\hb\ $f$.\hb}\vvc

\Def{\num}$\tdf\in\ha\PM\ha(\R)$\; est\: \underline{norm\e e}\: ssi\,\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\bnst{\ha\tdf\hb}\ha=\,\sup\pos_k\,\big{\|}\ha\tdfk\hw\big{\|}_{\hw\star}<\pin$\, .}
\put(3,-5){\frm(54.5,11)}
\end{picture}\vvc

On note\quad$\PMX(\R)\ha=\ha\ens{\,\tdf\in\ha\PM\ha(\R)\ \big\|\ \tdf$ norm\e e\,}\vg\vva
\quad$\MX(\R)\ha=\ha\ens{\,\tdf\in\MM\hw(\R)\ \big\|\ \tdf$ norm\e e\,}\vg\hh
$\MXD\ha(\R)\ha=\ha\ens{\,\tdf\in\MD\ha(\R)\ \big\|\ \tdf$ norm\e e\,}\vbc

\Def{\num}$\tdf\in\MX\ha(\R)\hw^+$\, est une\hb\ (\ha mesure de\ha)\ha\ \underline{probabilit\e}\hh sur\,
$\R$\hh ssi\ha\hh\mbox{$\bnst{\ha\tdf\hb}=1$\ha.}\vvab

On note\: $\PB\ha(\R)$\, l'ensemble des mesures de probabilit\e\ha\ sur\, $\R$\, et\, $\PB_D\ha(\R)$\,
l'ensemble des mesures de probabilit\e\ diffuses sur\, $\R$\vc

\Th{\num}\fbox{\;$\PMX\ha(\R)$\,\ho est le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace\ha\ norm\e\,
$\big(\ha\EO\ha(\R)\ha,\hb\|\ \|\ha\big)$\hb}\vc

\num\ \underline{\Theo\ha\ de Riesz\ha-Radon}\dd\vvab
\hs{20mm}\fbox{\;$\MX\ha(\R)$\,\ho est isom\e trique au\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace\ha\ norm\e\,
$\big(\ha\CO\ha(\R)\ha,\hb\|\ \|\ha\big)$\hb}\vc

\Def{\num}\underline{Convergence en norme\, $\nst{\ }$}\vvab
$\all\tdf_n\vv\tdf\in\ha\PMX\ha(\R)$\,\hh on \e crit\,\hh
$\tdf_n\st\tdf$\ha\hh\big(\hb ou\hh$\tdf=\hb^\star\dis\lim_n\,\tdf_n$\hb\big)\,\hh
ssi\,\hh$\bnst{\ha\tdf_n-\tdf\hb}\to0$\vbc

\Th{\num}$\MX(\R)$\hh et\hh$\MXD\ha(\R)$\hh sont des sous-espaces ferm\e s de\, $\PMX\ha(\R)$\vbc
\num\ \underline{\Theo\ha\ de convergence monotone dans\, $\PMX(\R)$}\vva
Soit\: $\tdf_n\in\PMX(\R)$\: une suite\, \underline{monotone}\pv
supposons qu'il existe\hh$M>0$\hh tel que\hh$\nn$\vvw$\bnst{\ha\tdf_n\ha}\le\ha M$\pv
alors\, $\tdf_n$\, converge en norme\hh$\nst{\ }$\hh vers une pseudo\ha-mesure\,
$\tdf\in\PMX(\R)$\pv\vvw on a donc aussi\,\hh$\dis\lim_n\,\bnst{\ha\tdf_n\ha}\ha
=\ha\bnst{\ha\tdf\hb}$\vbc

\newpage
\Th{\num}Soit\, $f\in\ha\FB\ha(\R)$\pv alors\hh$f\in\ha\PRB\ha(\R)$\hh ss\ha'\ha il existe une suite\vvw
$f_n\in\EO\ha(\R)$\hh telle que\hh$f_n\bb f$\vb

\Th{\num}Soit\, $f\in\ha\FB\ha(\R)$\pv alors\hh$f\in\WB\ha(\R)$\hh ssi\vvab
\begin{picture}(,)
\put(0,0){$\all\tmu\in\MX(\R)^+\hh\all\eps>0$\quad il existe\; $g\hb,\hb h\hb\in\hb
\PRB\ha(\R)$\hh tels\,\ que\,\hh$g\le f\le h$\,\hh et\,\hh$\tmu\,(h-g)\le\eps$\ha\hh.}
\put(-2,-3){\frm(171.25,8.25)}
\end{picture}\vvc

\Th{\num}$\MX(\R)$\hh et\hh$\MXD\ha(\R)$\hh sont des espaces de Riesz\ha-Banach et des modules\vvww
de Riesz\ha\ sur\, $\WB\ha(\R)$\vb

\Th{\num}$\all\tdf\in\,\MX(\R)\,\hh\all g\in\WB\ha(\R)$\hh la suite\hh$\tdf\hb\big(\ha\Xk\:g\hw\big)$\hh
est convergente\vb

\Dem Supposons d'abord\hh$\tdf\ge0$\hh et\: $g\ge0$\pv alors la suite\; $\Xk\:g$\hh est positive\ha\ et\vvw
croissante\pv de plus\,\hh$\kn\hh 0\hw\le\ha\tdf\hb\big(\ha\Xk\:g\hw\big)\le\ha\bnst{\ha\tdf\hb}\:\|\ha g\ha\|$\pv
la suite\: $\tdf\hb\big(\ha\Xk\:g\hw\big)$\; est donc\vvw croissante et major\e e\vg donc convergente\pt
Pour\: $\tdf$\, et\, $g$\: quelconques\ha\ on a\vvw$\tdf\hb\big(\ha\Xk\:g\hw\big)\ha
=\,\tdf^+\ha\big(\Xk\:g^{\ha+}\big)-\,\tdf^+\ha\big(\Xk\:g^{\ha-}\big)-\ha\tdf^-\ha\big(\Xk\:g^{\ha+}\big)\ha
+\hb\tdf^-\ha\big(\Xk\:g^{\ha-}\big)$\vg\vvw qui est donc aussi une suite convergente\vbc

\Def{\num} On pose\quad$\all\tdf\in\MX(\R)\quad\all g\in\WB\ha(\R)$\,\quad
\fbox{\,$\tdf\ha(g)=\lim\pos_{k\,\to\pin}\tdf\hb\big(\ha\Xk\:g\hw\big)\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-1mm}}\vbc

\Th{\num}$\all\tdf\in\MX(\R)\quad\all g\in\WB\ha(\R)$\quad on a\quad$\big|\ha\tdf\ha(g)\big|
\le\bnst{\ha\tdf\hb}\,\|\ha g\ha\|$\vbc

\emph{\underline{Notation\ha\ int\e grale}}\dd$\all\tdf\in\MX(\R)\quad\all g\in\WB\ha(\R)$\quad on note\vva
\hs{50mm}\fbox{\,$\Int_{\R}g\hb(x)\:\tdf\ha(x)\ha=\int_{\R}g\,\tdf\ha=\ha\tdf\ha(g\ha)$\,}\ha\vf

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Pseudo\ha-mesures paires et impaires}}\vvc

\Def{\num}$\tdf\in\PM\ha(\R)$\hh est\: \underline{paire}\hh ssi\,\hh$\all h\in\EO\ha(\R)$\: \emph{impaire}\:
on a\hh$\tdf\ha(h)=\ha0$\pv\vvw$\tdf\in\PM\ha(\R)$\hh est\: \underline{impaire}\hh ssi\,\hh$\all h\in\EO\ha(\R)$\:
\emph{paire}\: on a\hh$\tdf\ha(h)=\ha0$\vbc

\Th{\num}On pose\,\hh$\all h\in\FF(\R)\,\hh h\ha^\bul\hw(x)\hw=\ha h\hb(\hs{-.2mm}-\ha x)$\pv alors\hh
$\tdf\in\PM\ha(\R)$\hh est paire\vvw(\ha resp\ha.\ha\ impaire\ha)\: ssi\,\hh$\all h\in\ha\EO\ha(\R)$\,\hh
$\tdf\ha(h\ha^\bul)=\tdf\ha(h)\hh$\big[\:resp\ha.\, $\tdf\ha(h\ha^\bul)=\ha-\ha\tdf\ha(h)$\,\big]\vb

\Dem$\all h\in\EO\ha(\R)$\hh on a\hh$h\ha =\hb\inv{2}\hb(h+h\ha^\bul)\ha
+\ha\inv{2}\hb(h-h\ha^\bul)$\pv donc\ha\ si\, $\tdf$\, est paire\ha\ on a\vvw
$\all h\in\ha\EE\ha(\R)\,\hh\tdf(h)=\hb\inv{2}\hb\big[\hb\tdf\ha(h)\ha
+\ha\tdf\ha(h\ha^\bul)\hb\big]$\vg donc\hh$\tdf\ha(h\ha^\bul)=\tdf\ha(h)$\vw
\newpage
R\e ciproquement soit\hh$\tdf\in\PM\ha(\R)$\hh tel que\ha\hh$\all h\in\EO\ha(\R)\ha\hh
\tdf\ha(h\ha^\bul)=\tdf\ha(h)$\pv\vvw soit\, $h\in\EO\ha(\R)$\, impaire\pv alors on a\hh
$h=\hb\inv{2}\hb(h-h\ha^\bul)$\vg donc\hh$\tdf\ha(h)=\ha0$\vg donc\, $\tdf$\, est \mbox{paire\ha.}\vvd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctionnelles localement sommables sur\, $\R$}}\vvc

\Def{\num}$\tdf\in\PM\ha(\R)$\hh est une\, \underline{fonctionnelle localement sommable}\hh ssi\vva
\hs{60mm}\fbox{\,$\kn\ha\hh\tdfk\in\LL^1(\Ik)$\,}\vb

On note\hh$\LL^1\Loc(\R)$\, l'espace vectoriel des fonctionnelles localement sommables\vb

\Th{\num}$\low{\WW}\:(\R)\hb\sub\,\LL^1\Loc(\R)$\:\hh et\,\hh$\LL^1\Loc(\R)$\: est un module de Riesz\ha\
sur\, $\WW\ha(\R)$\vbc

\Def{\num}$\tdf\in\LL^2\Loc\ha(\R)$\; est\, \underline{sommable}\, (\ha ou \underline{int\e grable}\ha)\hh
ssi\vvb
\begin{picture}(,)
\put(55,0){$\bnone{\ha\tdf\hb}\ha=\,\sup\pos_k\,\big{\|}\ha\tdfk\hw\big{\|}_{\hw1}<\pin$\ha\hh.}
\put(53,-5){\frm(55,11)}
\end{picture}\vvc

On note\hh$\LL^1\hw(\R)$\, l'espace vectoriel des fonctionnelles sommables\vbc

\emph{\underline{Notation\ha\ int\e grale}}\dd$\all\tdf\in\LL^1(\R)$\quad on note\quad
\fbox{\,$\Int_{\R}\tdf\ha(x)\;d\hb x\ha=\hb\tdf\ha(\un)$\,}\hhh$\big(\un=1_{\ha\R}\ha\big)$\vbc

\Def{\num}\underline{Convergence en norme\, $\none{\ }$}\vva
$\all\tdf_n\vv\tdf\in\ha\LL^1\ha(\R)$\,\hh on \e crit\,\hh
$\tdf_n\one\tdf$\ha\hh\big(\hb ou\hh$\tdf=\hb^1\!\dis\lim_n\,\tdf_n$\hb\big)\,\hh
ssi\,\hh$\bnone{\ha\tdf_n-\tdf\hb}\to0$\vbc

\Th{\num}$\LL^1(\R)$\, est la fermeture de\, $\EO\ha(\R)$\, ou de\, $\CO\ha(\R)$\, dans\, $\MX(\R)$\pv\vvww
c'est un espace de Riesz\hb-Banach\vbc

\num\ \underline{\Theo\ha\ de convergence monotone dans\, $\LL^1(\R)$}\vva
Soit\: $\tdf_n\in\LL^1(\R)$\: une suite\, \underline{monotone}\pv
supposons qu'il existe\hh$M>0$\hh tel que\hh$\nn$\vvw$\bnone{\ha\tdf_n\ha}\le\ha M$\pv
alors\, $\tdf_n$\, converge en norme\hh$\none{\ }$\hh vers une fonctionnelle\, $\tdf\in\LL^1(\R)$\pv\vvw
on a donc aussi\,\hh$\dis\lim_n\,\bnone{\ha\tdf_n\ha}\ha=\ha\bnone{\ha\tdf\hb}$\vc

\Th{\num}$\low{\WO}\,(\R)\hb\sub\,\LL^1(\R)$\quad et\,\hh$\LL^1(\R)$\: est un module de Riesz\ha\
sur\, $\WB\ha(\R)$\vd

\newpage
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctionnelles localement hilbertiennes sur\, $\R$}}\vvc

\Def{\num}$\tdf\in\PM(\R)$\hh est une\, \underline{fonctionnelle localement hilbertienne}\hh ssi\vva
\hs{60mm}\fbox{\,$\kn\hh\ha\tdfk\in\LL^2(\Ik)$\,}\vb

On note\hh$\LL^2\Loc(\R)$\, l'espace vectoriel des fonctionnelles localement hilbertiennes\vb

\Th{\num}$\LL^2\Loc(\R)\ha\sub\ha\LL^1\Loc(\R)$\quad et\,\hh$\LL^2\Loc(\R)$\: est un\, module de Riesz\ha\
sur\, \mbox{$\WW\,(\R)$\ha.}\vvb

Sur\, $\LL^2\Loc\ha(\R)$\, on d\e finit le\, \underline{produit}\, de deux \e l\e ments de la mani\ee re
suivante\, :\vvab

\Def{\num}Soient\hh$\tdf,\,\tdg\in\LL^2\Loc(\R)$\pv la suite\hh$\tdfk\:\tdgk\in\ha\LL^1(\Ik)$\hh
est inductive\pv\vva on peut donc poser\,\hh\fbox{\hb$\tdf\,\tdg\,=\hb\Limb{k}\:\ \tdfk\:\tdgk$\hb}\,
$\in\ha\LL^1\Loc(\R)$\vbc

\Def{\num}$\tdf\in\LL^2\Loc\ha(\R)$\; est\, \underline{hilbertienne}\hh ssi
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\bntwo{\ha\tdf\hb}\ha=\,\sup\pos_k\,\big{\|}\ha\tdfk\hw\big{\|}_{\hb2}<\pin$\: .}
\put(3,-5){\frm(55.5,11)}
\end{picture}\vvbc

On note\hh$\LL^2\hw(\R)$\, l'espace vectoriel des fonctionnelles hilbertiennes\vbc

\Th{\num}\fbox{\,$\LL^2\hw(\R)$\,\ho est le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace semi-norm\e\,
$\big(\ha\EO\ha(\R)\vv\ntwo{\ }\ha\big)$\hb}\vc

\Def{\num}\underline{Convergence en norme\, $\ntwo{\ }$}\vvab
$\all\tdf_n\vv\tdf\in\ha\LL^2\ha(\R)$\,\hh on \e crit\,\hh
$\tdf_n\two\tdf$\ha\hh\big(\hb ou\hh$\tdf=\,^2\dis\lim_n\,\tdf_n$\hb\big)\,\hh
ssi\,\hh$\bntwo{\ha\tdf_n-\tdf\hb}\to0$\vbc

\num*\ \underline{\Theo\ha\ de convergence monotone dans\, $\LL^2\hw(\R)$}\vva
Soit\: $\tdf_n\in\LL^2\hw(\R)$\: une suite\, \underline{monotone}\pv
supposons qu'il existe\hh$M>0$\hh tel que\hh$\nn$\vvw$\bntwo{\ha\tdf_n\ha}\le\ha M$\pv
alors\, $\tdf_n$\, converge en norme\hh$\ntwo{\ }$\hh vers une fonctionnelle\,$\tdf\in\LL^2\hw(\R)$\pv\vvw
on a donc aussi\,\hh$\dis\lim_n\,\bntwo{\ha\tdf_n\ha}\ha=\ha\bntwo{\ha\tdf\hb}$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf\in\LL^2\hw(\R)$\quad on a \quad$\bntwo{\ha\tdf\ha\ha}^{\ha2}\,=\,\bnone{\ha\tdf^{\,2\ha}}$\vb

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\LL^2\hw(\R)$\quad on a\quad$\tdf\,\tdg\in\LL^1(\R)$\quad
et\quad$\bnone{\hb\tdf\,\tdg\hb}\,\le\,\bntwo{\ha\tdf\hb}\:\ntwo{\hb\tdg\hb}$\vb

\Th{\num}On d\e finit le\, \underline{produit scalaire}\, de deux \e l\e ments de\, $\LL^2\hw(\R)$\,
en posant\vvb\hs{30mm}
$\all\tdf,\,\tdg\in\LL^2\hw(\R)$\quad
\fbox{\,$\big<\ha\tdf,\hb\tdg\ha\big>\ha=\hb\big(\hw\tdf\,\tdg\ha\big)\hb(\un)\ha
=\hs{-.5mm}\Int_{\R}\tdf\,\tdg\ d\hb x$\,}\vbc

\Th{\num*}$\all\tdf\in\LL^2\hw(\R)\,\hh\all g\in\RO\hw(\R)$\,\hh on a\,\hh
\fbox{\,$\big<\ha\tdf,\hb g\ha\big>\ha=\tdf\hb(g)$\,}\vb

\Th{\num}$\big(\ha\LL^2\hw(\R)\vv\big<\ \vv\ \big>\ha\big)$\, est un espace de Riesz\ha-Hilbert\vb

\Th{\num}$\EO\ha(\R)$\, et\, $\CO\ha(\R)$\, sont denses dans\, $\LL^2\hw(\R)$\vb

\Def{\num}$\all\tdf\in\,\LL^1(\R)\cap\LL^2\hw(\R)$\quad
on pose\quad$\hi{\big\|}\ha\tdf\hb\hi{\big\|}_{1\ha,\ha2}=\bnone{\ha\tdf\hb}+\bntwo{\ha\tdf\hb}$\vb

\Th{\num}(\,$\LL^1(\R)\cap\LL^2\hw(\R)\vv\|\ \|_{1\hw,\ha2}\,)$\hh est un espace de Riesz\ha-Banach\vab

\Dem Il suffit de montrer que\, $\LL^1(\R)\cap\LL^2\hw(\R)$\, est complet pour la norme\, $\|\ \|_{1,\ha2}$\,.\vvwa
Soit\, $\tdf_n\in\LL^1(\R)\cap\LL^2\hw(\R)$\, une suite de Cauchy pour\, $\|\ \|_{1\ha,\ha2}$\pv comme\hh
$\none{\ }\le\|\ \|_{1\ha,\ha2}$\hh et\vvwa$\ntwo{\ }\le\|\ \|_{1\ha,\ha2}$\ha\vg\ha$\tdf_n$\, est aussi une
suite de Cauchy pour\, $\none{\ }$\, et\, $\ntwo{\ }$\pv donc\,\hh$\tdf_n\one\tdg\in\LL^1(\R)$\vvwa
et\,\hh$\tdf_n\two\tdh\in\LL^2\hw(\R)$\pt Soit\, $k\in\EO\ha(\R)$\pv on a\,\hh$\nn\,\hh
\big|\hb\tdf_n\ha(k)-\tdg\ha(k)\ha\big|\le\bnone{\ha\tdf_n-\tdg\hb}\,\|\ha k\ha\|$\vvwa et\,\hh
$\big|\hb\tdf_n\ha(k)-\tdh\ha(k)\ha\big|\le\bntwo{\ha\tdf_n-\tdh\hb}\,\ntwo{\hb k\ha}$\pv
donc\,\hh$\tdf_n\ha(k)\to\tdg\ha(k)$\,\hh et\,\hh$\tdf_n\ha(k)\to\tdh\ha(k)$\pv
on en\vvwa d\e duit\,\hh$\tdg=\tdh$\,\hh et\,\hh$\hi{\big\|}\ha\tdf_n-\tdg\hb\hi{\big\|}_{1\ha,\ha2}
=\hb\bnone{\ha\tdf_n-\tdg\hb}+\bntwo{\ha\tdf_n-\tdg\hb}\,\to\,0$\ha\pv donc\,\hh
$\tdf_n\,\stack{1\ha,\ha2}{\too}\,\tdg$\vd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctionnelles localement born\e es sur\, $\R$}}\vvc

\Def{\num}\vva$\tdf\in\PM(\R)$\hh est une\, \underline{fonctionnelle localement born\e e}\hh ssi\,\hh
\fbox{\,$\kn\hh\ha\tdfk\in\BB\,(\Ik)$\,}\vaab

On note\ha\ $\BB\hw\Loc(\R)$\, l'alg\ee bre des fonctionnelles localement born\e es\vb

\Th{\num}$\BB\hw\Loc(\R)\ha\sub\ha\LL^2\Loc(\R)$\vbc

\Th{\num}\fbox{\:$\low{\WW}\,(\R)$\,\ho=\;$\BB\hw\Loc\ha(\R)$\,}\,\hh
et\, $\BB\hw\Loc\ha(\R)$\; est une alg\ee bre de Riesz\vbc

\Th{\num}1)\hh$\LL^1\Loc\ha(\R)$\, et\, $\LL^2\Loc\ha(\R)$\, sont des modules de Riesz\ha\ sur
$\BB\hw\Loc(\R)$\vw
\hs{34mm}2\ha)\, $\BB\hw\Loc(\R)$\; est un alg\e bromodule de Riesz\ha\ sur\, $\WW\ha(\R)$\vab

\Def{\num}\vva Soient\hh$\tdf\in\LL^1\Loc\ha(\R)$\hh et\hh$\tdg\in\ha\BB\Loc\ha(\R)$\pv alors la suite\hh
$\tdfk\:\tdgk\in\ha\LL^1(\Ik)$\hh est inductive\pv\vva on pose\,\hh
\fbox{\,$\tdf\,\tdg\ha=\hb\Limb{k}\:\ \tdfk\:\tdgk$\hb}\, $\in\ha\LL^1\Loc\ha(\R)$\vc

\Def{\num}$\tdf\in\ha\BB\hw\Loc(\R)$\; est\, \underline{born\e e}\hh ssi
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\bnbb{\ha\tdf\hb}\ha=\,\sup\pos_k\,\big{\|}\ha\tdfk\hw\big{\|}_{\hw\B}<\pin$\ha\hh.}
\put(3,-5){\frm(56.5,11)}
\end{picture}\vvb

On note\ha\ $\BB\ha(\R)$\, l'alg\ee bre des fonctionnelles born\e es\vbc

\Th{\num}\fbox{\hb$\BB\ha(\R)$\,\ho est le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace semi-norm\e\,
$\big(\ha\EO\ha(\R)\vv\none{\ }\ha\big)$\hb}\vb

\Th{\num}\vva$\tdf\in\ha\BB\Loc\ha(\R)$\hh est une fonctionnelle born\e e\, ss\ha'\ha il existe\,
$M>0$\; tel que\hh$\vtdf\le\ha M$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\ha\BB\ha(\R)$\quad on a\quad
$\bnbb{\hb\tdf\,\tdg\,}\,\le\,\bnbb{\ha\tdf\hb}\:\nbb{\hb\tdg\hb}$\vb

\Th{\num}$\all\tdf\in\ha\BB\ha(\R)\quad\all\tdg\in\LL^1(\R)$\quad on a\quad
$\bnone{\hb\tdf\,\tdg\,}\,\le\,\bnbb{\ha\tdf\hb}\:\none{\hb\tdg\hb}$\vbc

\Th{\num}\fbox{\:$\low{\WB}\,(\R)$\,\ho=\;$\BB\ha(\R)$\,}\,\hh et\hb\ $\BB\ha(\R)$\,
est une alg\ee bre de Riesz\ha-Banach\vbc

\Th{\num}1)\hh$\LL^1(\R)$\, et\, $\LL^2\hw(\R)$\, sont des modules de Riesz\ha\ sur $\BB\ha(\R)$\vw
\hs{36mm}2\ha)\, $\BB\ha(\R)$\; est un alg\e bromodule de Riesz\ha\ sur\, $\WB\ha(\R)$\vab

\Th{\num}\vvwa$\LL^1(\R)\:\cap\ha\BB\ha(\R)\hb\sub\ha\LL^2\hw(\R)$\,\hh et on a\quad
$\all\tdf\in\LL^1(\R)\:\cap\ha\BB\ha(\R)\quad\bntwo{\ha\tdf\hb}^{\ha2}\,\le\,\bnbb{\ha\tdf\hb}\:
\bnone{\ha\tdf\hb}$\vbc

\Th{\num}\vvwa L'application\,\hh\fbox{\,$\WW\ha(\R)\,\to\;\BB\hw\Loc\ha(\R)$ \ho
$:\ f\tto\ans{f}$\hb}\,\hh est un\, \underline{alg\e bromorphisme de Riesz}\vc

\Cor{\num}
\begin{picture}(,)
\put(2,0){$\all f,\,g\in\WW\ha(\R)\quad\ans{\hw f\,g\hw}=\ans{f}\,\ans{g}
=f\hw.\hb\ans{g}$\hh.}
\put(-.5,-2.75){\frm(80.5,8.25)}
\end{picture}\vvbc

\Def{\num}\vvwa On note\quad$\ZZ\hw(\R)=\ha\ens{\hb f\in\WW\ha(\R)\ \big\|\,\ans{f}\!\ha=\ha0\,}$\quad
et\quad$\ZB\ha(\R)=\ha\ens{\hb f\in\WB\ha(\R)\ \big\|\,\ans{f}\!\ha=\ha0\,}$\ha;\vvab
$\ZZ\hw(\R)$\ha\ \big[\hb resp\ha.\ha\ $\ZB\ha(\R)$\ha\big]\ha\ est l'espace des fonctions universelles\hb\
(\hw resp\ha.\ha\ universelles born\e es\hw)\vvww\underline{nulles presque partout}\vb

\Th{\num}$\all f\in\WB\ha(\R)$\:\hh on a\,\hh$\Big[\:f\in\ZB\ha(\R)\
\sam\Int_{\R}|\ha f\ha |\ d\hb x=\ha0\;\Big]$\vb

\Th{\num}\vvwa$\ZZ\hw(\R)$\, et\, $\ZB\ha(\R)$\,  sont des\ha\ sous-espaces\ha\ coh\e rents\ha\ et
int\e graux\ha\ de\, $\WW\ha(\R)$\hb;\vvww de plus\ha\ ce\ha\ sont des\ha\ id\e aux\hb\ respectivement\ha\
de\, $\WW\ha(\R)$\: et\, $\WB\ha(\R)$\pv enfin on a\vvab\hs{15mm}
\fbox{$\BB\hw\Loc\ha(\R)\hb\cong$\,\ho$\WW\ha(\R)\ha/\ha\ZZ\hw(\R)$\hb}\quad
et\quad\fbox{$\BB\ha(\R)\hb\cong$\,\ho$\WB\ha(\R)\ha/\ha\ZB\ha(\R)$\hb}\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctionnelles caract\e ristiques}}\vvc

\Def{\num}$\tdf\in\LL^2\Loc(\R)$\hh est une\, \underline{fonctionnelle caract\e ristique}\hh ssi\,\hh
\fbox{\ha$\tdf\ha^2=\tdf$\hb}\vaab

On note\, $\KK\ha(\R)$\, l'ensemble des fonctionnelles caract\e ristiques\pv on a\hh
$\KK\ha(\R)\hb\sub\:\BB\ha(\R)$\vb

\Th{\num}$\KK\ha(\R)$\, est une partie ferm\e e de\, $\LL^1(\R)$\, et\, $\LL^2\hw(\R)$\vb

On pose\,\hh$\EK\hb(\R)\,=\,\ens{\,f\in\ha\EE\hb(\R)\;\big\|\:f\ha^2=\ha f\hb}
=\,\ens{\,f\in\RR\hb(\R)\;\big\|\:f\ha^2=\ha f\hb}$\vb

\Th{\num}$\low{\EK}\,(\R)$\hh est dense dans\hh$\KK\ha(\R)$\vb

\Def{\num}$\all\tdf\in\PM(\R)$\,\hh la suite\,\hh$\SZ\,\big(\ha\tdfk\ha\big)
\in\ha\KK\ha(\Ik)$\hh est inductive et on pose\vvaab\hs{32.5mm}\underline{support}\, de\, $\tdf=$\,
\fbox{$\,\SZ\,(\tdf)\ha=\;\Limb{k}\:\ \SZ\,\big(\ha\tdfk\ha\big)$}\, $\in\hb\KK\ha(\R)$\ha\vbc

\Th{\num}$\all\tdf\in\ha\LL^1\Loc(\R)$\hh on a\,\hh$\Big[\ \SZ\,(\tdf)=\ha0\ \sam\,\tdf=\ha0\ \Big]$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf\in\ha\PM(\R)$\hh on a\,\hh$\Big[\ \SZ\,(\tdf)=\ha0\ \sam\ \un\wa\vtdf=\ha0\ \Big]$\vbc

\Def{\num}On note\quad$\NN(\R)\ha=\,\ens{\,\tdf\in\MM(\R)\  \big\|\ \un\wa\vtdf=\ha0\,}$\vva
\hs{44mm}et\quad$\NX(\R)\ha=\,\ens{\,\tdf\in\MX(\R)\  \big\|\ \un\wa\vtdf=\ha0\,}$\vab

$\NN(\R)$\, est l'espace vectoriel des\ha\ mesures\, \underline{totalement singuli\ee res}\ha\vb

\Th{\num}$\NN(\R)$\, est un module de Riesz\ha\ sur\, $\WW\,(\R)$\vw
$\NX(\R)$\, est un espace de Riesz\ha-Banach et un module de Riesz\ha\ sur\, $\WB(\R)$\vbc

\num\ \underline{\Theo\ha\ de Radon-Nikodym}\dd\vvb
\hspace{15mm}\fbox{\,$\MM(\R)=\LL^1\Loc(\R)\,\bop\,\NN(\R)$\,}\hhh et\hhh
\fbox{\,$\MX(\R)=\LL^1(\R)\,\bop\,\NX(\R)$\,}\vcd

\oui\textbf{\underline{R\e capitulatif}}\dd (\ha les fl\ee ches simples repr\e sentent des inclusions\ha)\vvw

\begin{picture}(,)
\put(5,-44.25){\frm(144.25,45)}
\end{picture}

\hs{15mm}$\WW\ha(\R)\ \under{surj.}\fun\ \BB\hw\Loc\ha(\R)\ \to\ \LL^2\Loc(\R)\to
\LL^1\Loc(\R)\,\to\,\MD\ha(\R)\;\to\ \MM\ha(\R)$\vvw
\hs{20mm}$\upa\hs{23.5mm}\upa\hs{22mm}\upa\hs{20mm}\upa\hs{20.5mm}\upa\hs{20.5mm}\upa$\vvw
\hs{14.5mm}$\WB\ha(\R)\ha\ \under{surj.}\fun\,\ \BB\ha(\R)\hs{13mm}\LL^2\hw(\R)\hs{10mm}\LL^1(\R)\hb\
\to\hb\ \MXD(\R)\:\to\:\MX(\R)$\vvw
\hs{17mm}$\nearrow\hs{25mm}\upa\hs{24mm}\nwarrow\hs{10mm}\nearrow$\vvw
\hs{8mm}$\WO\ha(\R)\,\ \fun\,\LL^1(\R)\:\cap\ha\BB\ha(\R)\ha\to\ha\LL^1(\R)\cap\LL^2\hw(\R)$\vvd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\centerline{\textbf{CHAPITRE\, XIII}}\vva
\centerline{\textbf{THEOREMES CLASSIQUES}}\vvcd

\oui\Theo\hb\ (\ha de convergence born\e e\ha)\ha\ de Lebesgue\pt Continuit\e\vg holomorphie d'une
int\e grale d\e pendant d'un param\ee tre\pt \Theo\ha\ de Dieudonn\e\: :\: inversion de l'ordre
d'int\e gration\vc

\textbf{A.\, \underline{\Theo\ha\ de Lebesgue sur\hb\ $\R$}}\; (``\,Convergence born\e e\,")\vvbc

\hs{5mm}Soit une suite\, $f_n\in\WB\ha(\R)$\hh telle que\hh$f_n\bb f\in\WB\ha(\R)$\pv
alors\,\hh$\all\tmu\in\MX(\R)$\vvw\hs{5mm}on a\,\hh$f_n\;\tmu\fin f\hb\tmu$\ha\pv
en cons\e quence\,\hh$\tmu\,(f_n)\to\tmu\,(f)$\vpt

\begin{picture}(,)
\put(2,3.5){\frm(150,18.5)}
\end{picture}\vvk

\Dem G\e n\e ralisation \e l\e mentaire du \theo\ha\ de Lebesgue sur\, \ab\vg la convergence fine \e tant d\e finie de mani\ee re correspondante\vd

\textbf{B.\, \underline{\Theo\ha\ de continuit\e}}\vvb

\Not Soient\, $\AZ\vv\B\vv\CZ$\, trois ensembles\ha\ et\ha\ soit une fonction\hh$f\,:\ \AZ\times \B\to\CZ$\, ;\vvb

\hs{30mm}$\bul\,\hh\all a\in\AZ$\quad on pose\quad$f\ha(a\,,\hb*)\ :\ \B\to\CZ\ :\ b\hb\tto f\ha(a\,,\hb b)$\vva\hs{30.25mm}$\bul\,\hh\all b\in B$\quad
on pose\quad$f\ha(*\hb,\,b)\ :\ \AZ\to\CZ\ :\ a\ha\tto f\ha(a\,,\hb b)$\\
\begin{picture}(,)
\put(27,4){\frm(107,18)}
\end{picture}\vvaab

\underline{\emph{\textbf{Enonc\e}}}\dd Soit\, $\Om$\, un espace topologique\pv on note\hh$\CC\ha(\Om)$\hh
l'alg\ee bre des fonctions\vvwa continues\hh$\Om\to\R$\pv soit une fonction\: \fbox{born\e e}\,\hh
$f\::\ \Om\times\R\to\R$\hh telle que\vvb
\qquad$1^\cir)\hh\all\om\in\Om$\,\hh\fbox{\,$f\ha(\ha\om\hb,\hb*)\in\,\WB\ha(\R)\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\hhh\
\low{et}\hhh$2\,^\cir)\hh\all t\in\R$\quad\fbox{\,$f\ha(*\hb,\hb t)\in\,\CC\ha(\Om)\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\pv\vvb
soit\hh$\tmu\in\MX(\R)$\pv on pose\,\hh$\all\om\in\Om$\quad
\fbox{\,$G\hb(\ha\om)=\Int_{\,\R}f\ha(\ha\om\hb,\hb t)\;\tmu\hb(t)$\,}\pv\vvab
alors on a\hh\fbox{\,$G\in\CC\ha(\Om)\ph{\dot{t}}$\hs{-1.25mm}}\ha\vcd

\Dem Soit\hh$\om\in\Om$\hh et soit\hh$\om\ha_n\in\Om\,,\hh\om\ha_n\to\om$\pv on pose\hh
$g\hb=\ha f\ha(\ha\om\hb,\hb*)$\hh et\hh$\nn$\vvwwa
$g\ha_n=\ha f\ha(\ha\om\ha_n\hb,\hb*)$\pv on a\hh$g\ha_n\bb g$\vg donc\,\hh
$\tmu\,(g\ha_n)\to\tmu\,(g)$\vg\cad\,\hh$G\hb(\ha\om\ha_n)\to G\hb(\ha\om)$\vd

\newpage
\textbf{C.\, \underline{\Theo\ha\ de Dieudonn\e}}\; (``\,Inversion de l'ordre d'int\e gration\,")\vvb

Ce \theo\ha\ g\e n\e ralise un proc\e d\e\hw\ utilis\e\ha\ dans\; Dieudonn\e\, [\ha10\ha]\,,\hb\ Tome 2\ha\vg
p\,. 126\vbc

\underline{\emph{\textbf{Enonc\e}}}\dd Soit une fonction\: \fbox{born\e e}\,\hh $f\::\ \R^2\to\R$\,\hh
telle que\vvb
\quad$1^\cir)\ha\hh\all s\in\R$\,\hh\fbox{\,$f\ha(s\hb,\hb*)\ha\in\ha\WB\ha(\R)\ph{\dot{t}}$\!}\hhh\
\low{et}\,\hhh$2\,^\cir)\ha\hh\all t\in\R$\,\hh\fbox{\,$f\ha(*\hb,\hb t)\ha\in\ha\RB\ha(\R)\ph{\dot{t}}$\!}\pv\vvbc
soient\hh\underline{$\tmu\in\MXD\hb(\R)$}\hh et\hh$\tnu\in\MX(\R)$\pv on pose\vvb
$1^\cir)\hh\all s\in\R$\quad\fbox{\,$G\hb(s)=\Int_{\R}f\ha(s\hb,\ha t)\:
\tnu\hb(t)$\,}\hhh\low{et}\hhh$2\,^\cir)\hh\all t\in\R$\quad
\fbox{\,$H\ha(t)=\Int_{\R}f\ha(s\hb,\ha t)\:\tmu\hb(s)$\,}\pv\vvc
alors\ha\ on a\quad$1^\cir)$\quad\fbox{\,$G\ha\in\ha\RB\ha(\R)\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\hhh
\low{et}\hhh\fbox{\hb$H\in\ha\WB\ha(\R)\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\vvb
\hs{22mm}$2\,^\cir)\hh\Int_{\R}G\,(s)\ \tmu\,(s)\hb=\int_{\R}H\ha(t)\;\tnu\hb(t)$\ha\vg\ha\cad\\
\begin{picture}(,)
\put(22.5,-10.5){$\Int_{\R}\Big[\int_{\R}f\ha(s\hb,\ha t)\:\tnu\hb(t)\,\Big]\,\tmu\hb(s)\,
=\int_{\R}\Big[\int_{\R}f\ha(s\hb,\ha t)\;\tmu\hb(s)\,\Big]\,\tnu\hb(t)$\ha\hh.}
\put(20,-16.75){\frm(104.25,14.5)}
\end{picture}\vk30mm

\Dem Soit\; $s\ze\in\R$\pv\ha on pose\hh$\all t\in\R\,\hh\vphi\hb(t)
=\lim\pos_{\,s\to s\ze^-}\,f\ha(s\hb,\ha t)$\pv on a\,\hh$f\ha(s\hb,\hb*)\bb\vphi$\vvwa
quand\hh$s\to s\ze^-$\ha\vg\ha donc\hh$\vphi\in\WB\ha(\R)$\,\hh et\,\hh$\dis G\,(s)\ha
=\int_{\R}f\ha(s\hb,\ha t)\;\tnu\hb(t)\ha\to\int_{\R}\vphi\hb(t)\;\tnu\hb(t)$\pv\vvab
donc\: $G$\: a une limite \ac\ gauche en\, $s\ze$\pv de m\^eme\, $G$\, a une limite \ac\ droite en\, $s\ze$\vg\vva
donc\, $G$\, est\ha\ r\e gl\e e\pv par ailleurs\, $G$\, est clairement born\e e\vg donc\hh$G\in\RB\ha(\R)$\vab

Soit\: $k\in\N^*$\pv\ha $\nn^*\hh\all r\in\db{\:0\,,\,n\,}$\,\hh on pose\quad
$a_{\,n\ha,\,r}=\hb -\,k\,+\,2\;k\:r/\ha n$\vg\vva et\,\hh$\nn^*\hh\all r\in
\db{\:0\,,\,n-1\hb}$\,\hh on choisit\,\hh$c_{\,n\ha,\,r}\in[\,a_{\,n\ha,\,r}\hb,
\hb a_{\,n\ha,\,r+1}\ha]$\pv\vva soit enfin\hh$\phi\ha\in\ha\CV\hb\big(\hb\kk\hb\big)$\;
une primitive de\: $\tmu$\; sur\, $\kk$\va
$\nn^*\hh\all t\in\R$\,\hh on construit les\ha\ sommes de Riemann-Stieltjes\vvab

\hs{30mm}$\Psi_n\hb(t)=\,\sum_{\,r\,=\,0}^{\,n-1}\ f\ha(c_{\,n\ha,\,r}\hb,\,t)\,
\big[\:\phi\,(a_{\,n\ha,\,r+1})-\phi\,(a_{\,n\ha,\,r})\hb\big]\pv$\vvab

on a\,\hh$\nn\hh\,\Psi_n\hw\in\ha\WB\ha(\R)$\,\hh et\,\hh$\all t\in\R\quad
\Psi_n\hb(t)\,\bb\Int_{-\hb k}^{\hb k}f\ha(s\hb,\ha t)\;\tmu\hb(s)=H_k\hb(t)$\vg\vvwa
donc\,\hh$H_k\ha\in\ha\WB\ha(\R)$\:\hh et\hh$\Int_{\R}\Psi_n\hb(t)\;\tnu\hb(t)\,\to
\int_{\R}\,H_k\hb(t)\;\tnu\hb(t)$\ha\pv\ha on a par ailleurs\vvw
$\Int_{\R}\Psi_n\hb(t)\;\tnu\hb(t)\,=\ \sum_{\,r\,=\,0}^{\,n-1}\
\big[\:\phi\,(a_{\,n\ha,\,r+1})-\phi\,(a_{\,n\ha,\,r})\hb\big]\int_{\R}f\ha(c_{\,n\ha,\,r}\hb,\,t)\:
\tnu\hb(t)$\vvw
$\,=\ \dis\sum_{\,r\,=\,0}^{\,n-1}\ G\,(c_{\,n\ha,\,r})\,\big[\:\phi\,(a_{\,n\ha,\,r+1})
-\phi\,(a_{\,n\ha,\,r})\hb\big]\,\to\,\int_{-\hb k}^{\hb k}G\,(s)\;\tmu\hb(s)$\va

On peut donc \e crire\ha\hh$\all k\in\N^*$\ha\hh$\Int_{-\hb k}^{\hb k}G\,(s)\;\tmu\,(s)\hb
=\int_{\R}H_k\hb(t)\;\tnu\hb(t)$\hb\pv\hb or\hb\hh$H_k\ha\bb H$\vvwa
quand\,\hh$k\to\pin$\ha\pv\ha donc\,\hh$H\in\ha\WB\ha(\R)$\:\hh et\hh
$\Int_{\R}H_k\hb(t)\;\tnu\hb(t)\,\to\int_{\R}H\ha(t)\;\tnu\hb(t)$\ha\pv\vvwa
on en d\e duit\,\hh$\Int_{\R}\,G\,(s)\;\tmu\,(s)\hb=\int_{\R}H\ha(t)\;\tnu\hb(t)$\vd

\textbf{D.\ \underline{\Theo\ha\ d'holomorphie}}\vvb

Soit U un ouvert de\hh$\C$\pv on note\: $\wh{\WW}_B\ha(\R)$\: l'alg\ee bre des fonctions universelles
born\e es\vvwa sur\, $\R$\,,\ha\ \emph{\ac\ valeurs complexes}\hb,\, et\: $\HH\hb(\U)$\, l'alg\ee bre
des fonctions holomorphes sur\, $\U$\pv\vvwa soit une fonction\, \fbox{born\e e}\,\hh$f\,:\;\U\times\R\hb
\to\;\C$\,\quad telle que\vvbc\qquad$1^\cir)\hh\all z\in\U$\,\hh
\fbox{\,$f\ha(z\hb,\hb*)\ha\in\ha\wh{\WW}_B\ha(\R)\ph{\big|\dot{t}}$\hs{-2.25mm}}\hhh\
\low{et}\hhh$2\,^\cir)\hh\all t\in\R$\,\hh\fbox{\,$f\ha(*\hb,\hb t)\ha\in\ha\HH\hb(\U)
\ph{\dot{t}}$\hs{-1.25mm}}\pv\vvc soit\hh$\tmu\in\MX(\R)$\pv on pose\quad$\all z\in\U$\quad
\fbox{\, $G\,(z)=\Int_{\R}f(z\hb,\ha t)\;\tmu\hb(t)$\,}\pv\vvc alors on a\quad
$1^\cir)$\quad\fbox{\hb$G\ha\in\ha\HH\hb(\U)\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\;\ \quad\low{et}\hhh$\all z\in\U$\quad
\fbox{\,$\partial_{\,1}\ha f\ha(z\,,\ha *)\ha\in\ha\wh{\WW}_B\ha(\R)\ph{\big|\dot{t}}$\hs{-2.5mm}}\vvbc
\hs{22mm}$2\,^\cir)$\quad$\all z\in\U$\quad\fbox{\,$G\,'\ha(z)\ha
=\hs{-.3mm}\Int_{\R}\partial_{\,1}\ha f\ha(z\hb,\ha t)\ \tmu\hb(t)$\hb}\vcd

\Dem\vvab
$1^\cir)$\hh Soit\,\hh$\gam\ :\ \II\to\U$\,\hh un contour \ac\ d\e riv\e e r\e gl\e e\vg homotope
\ac\, 0\pv\vvaab
on a\quad$\all t\in\R\quad\dis\oint_{\;\gam}\,f\ha(z\hb,\hb t)\ d\hb z\ha=\hb0$\ha\vg\ha\cad\quad
$\Int_{\,\II}\,f\,\big[\,\gam\,(s)\hb,\hb t\,\big]\ \gam\,'(s)\ d\ha s\ha=\hb0$\pv\vva
posons\quad$p\ :\ \II\,\tim\,\R\,\to\;\C\ :\ (s\hb,\ha t)\tto f\,
\big[\,\gam\,(s)\hb,\hb t\,\big]\ \gam\,'(s)$\pv\vvwa on a\,\hh
$\all t\in\R\hh\Int_{\,\II}\,p\,(s\hb,\ha t)\;d\ha s\ha=\hb0$\vab
En appliquant le \theo\ha\ de\ha\ Dieudonn\e\, \ac\: $p$\: on trouve\vvab

\newpage
$0\ha=\Int_{\R}\,\Big[\,\int_{\,\II}\,p\,(s\hb,\ha t)\;d\ha s\,\Big]\,\tmu\hb(t)\hb
=\int_{\,\II}\,\Big[\,\int_{\R}\,p\,(s\hb,\ha t)\;\tmu\hb(t)\,\Big]\,d\ha s\hb
=\int_{\,\II}\,G\,\big[\,\gam\,(s)\,\big]\ \gam\,'(s)\ d\ha s$\vvab
= $\dis\oint_{\;\gam}G\hb(z)\ d\hb z$\pv donc\, $G$\, est holomorphe dans\, U\vc

$2\,^\cir)$\hh Soit\, $z\ze\in\U$\hh et\hh$R>0$\hh tel que\hh$\overline{\D}\,(z\ze,R)
\sub\U$\pv on pose\,\hh$\all t\in\R\,\hh\Phi\hb(t)=\hb\partial_{\,1}\ha f\ha(z\ze\,,\ha t)$\,;\vva
on a donc\,\hh$\all t\in\R$\vvab\hs{15mm}$\Phi\hb(t)=\,\Frac{1}{2\ha\pi i}\,\oint_{\,\CZ\,(z\ze,\,R)}\,
\frac{f\ha(z\hb,\ha t)}{(z-z\ze)^2}\ d\hb z\ha=\,\inv{2\ha\pi R}\,\int_0^{\ha2\ha\pi}\hs{-2mm}
f\ha\big(z_\cir+R\,e\ha^{i\hw s},\,t\ha\big)\,e^{-\ha i\hw s}\,d\ha s\pv$\vvb
posons\quad$q\;:\,[\,0\vv2\pi\,]\,\tim\,\R\,\to\;\C\ :\ (s\hb,\ha t)\tto
f\ha\big(z_\cir+R\,e\ha^{i\hw s},\,t\ha\big)\:e^{-\ha i\hw s}$\ha\pv\ha on a\hh$\all t\in\R$\vvab
\hs{55mm}$\Phi\hb(t)\ha=\,\Inv{2\ha\pi R}\,\int_0^{\hb2\ha\pi}\hs{-2mm}q\hb(s\hb,\ha t)\;d\ha s\pt$\vvab
En appliquant le \theo\ha\ de\ha\ Dieudonn\e\, \ac\: $q$\: on trouve\ha\hh$\Phi\in\wh{\WW}_B\ha(\R)$\ha\hh
et\vvab\hs{35mm}$\Int_{\,\R}\Phi\hb(t)\;\tmu\hb(t)\,=\,\inv{2\ha\pi R}\,\int_0^{\ha2\ha\pi}
\Big[\,\int_{\R}q\hb(s\hb,\ha t)\;\tmu\hb(t)\,\Big]\,d\ha s$\vvw
$$=\,\inv{2\ha\pi R}\,\int_0^{\ha2\ha\pi}\hs{-1.5mm}G\hb\big(z_\cir+R\,e\ha^{i\hw s}
\ha\big)\;e^{-\ha i\hw s}\;d\ha s\hb=\,\inv{2\ha\pi i}\,\oint_{\,\SZ\,(z\ze,\,R)}\,
\frac{G\hb(z)}{(z-z\ze)^2}\ d\hb z\ha=\,G\,'\ha(z_\cir)\,.$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\initnumm

\centerline{\textbf{CHAPITRE\, XIV}}\vva
\centerline{\textbf{CONVERGENCE FAIBLE ET CONVERGENCE FIDELE}}\vvcd

\oui Nous d\e finissons deux types de convergence faible pour les\ha\ \emph{mesures norm\e es}\, :\, la
convergence\ha\ \emph{faible}\ha\ proprement dite\ha\ (\ha sur les fonctions born\e es\ha\ \emph{continues}\ha)\ha\
et la convergence\ha\ \emph{fid\ee le}\ha\ (\ha sur les fonctions born\e es\ha\ \emph{r\e gl\e es}\ha)\vc

\Def{\numm}Soient\, $\tmu\hb_n\vv\tmu\in\MX(\R)$\pv $\tmu\hb_n$\, converge\, \underline{faiblement}\:
(\ha resp\ha.\ha\ \underline{fid\ee lement}\ha)\vvwa vers\: $\tmu$\; ssi\hh$\all g\in\CB\ha(\R)$\hh
\big[\:resp\ha. $\all g\in\RB\ha(\R)$\,\big]\hh on a\,\hh\fbox{\:$\tmu\hb_n\ha(g)\to\tmu\hb(g)$\hb}\vb

\Not$\tmu\hb_n\ww\tmu$\quad ssi\quad$\tmu\hb_n$\, converge\ha\ faiblement\ha\ vers\:
$\tmu$\va\hs{23mm}$\tmu\hb_n\fd\tmu$\quad ssi\quad$\tmu\hb_n$\, converge\ha\ fid\ee lement\ha\ vers\: $\tmu$\vb

On a \e videmment\quad$\tmu\hb_n\fd\tmu\,\imp\,\tmu\hb_n\ww\tmu$\vc

\Th{\numm*}$\all\tmu\hb_n\vv\tmu\in\MX(\R)$\,\hh on a\,\hhh$\tmu\hb_n\st\tmu\,\imp\,\tmu\hb_n\fd\tmu$\ha\hh.\\
\begin{picture}(,)
\put(80.5,4.5){\frm(40.25,8.5)}
\end{picture}\vva

\Th{\numm}Soient\hh$\tmu\hb_n\vv\tmu\in\MX(\R)\vg\tmu\hb_n\ww\tmu$\pv alors \hb la suite\hh
$\nst{\hb\tmu\hb_n\hw}$\; est born\e e\vvab et on a\quad
\fbox{\,$\nst{\ha\tmu\ha}\le\,\suplim{n}\ \nst{\hb\tmu\hb_n\hw}\ph{\dot{l}}$\hs{-1mm}}\ha\vbc

\Dem$\CB\ha(\R)$\hh \e tant un espace de Banach\vg il suffit d'appliquer le\, \underline{\theo\ha\ de la}\vvww
\underline{borne uniforme}\hh(``\,uniform boundedness theorem\,")\vc

\Th{\numm}Soient\, $\tmu\hb_n\vv\tmu\in\MX(\R)$\pv alors\quad$\tmu\hb_n\fd\tmu$\quad ssi\hh la suite\;
$\nst{\hb\tmu\hb_n\ha}$\; est born\e e\vvw et\,\hh$\all g\in\EB(\R)$\,\hh$\tmu\hb_n\ha(g)\to\tmu\hb(g)$\vab

\Dem\vva
a)\hh$\imp$\dd Trivial\va

b)\hh$\pmi$\dd Soit\, $M>0$\, tel que\,\hh$\nn\,\hh\nst{\hb\tmu\hb_n\hw}\le M$\pv soit\, $g\in\RB\ha(\R)$\pv
\vvwa soit\, $\eps>0$\, et soit\,\hh$h\in\EB\ha(\R)$\, tel que\, $\|\,g-h\hb\|\le\eps/M$\pv\vvwa
soit\: $N\in\N$\; tel que\,\hh$\all n\ge N\,\hh|\hb\tmu\hb_n\ha(h)-\tmu\hb(h)\ha|\le\eps$\pv\vvwa
on a\,\hh$\all n\ge N\,\hh|\hb\tmu\hb_n\ha(g)-\tmu\hb(g)\ha|
\le\hb|\hb\tmu\hb_n\ha(g)-\tmu\hb_n\ha(h)\ha|\,
+\,|\hb\tmu\hb_n\ha(h)-\tmu\hb(h)\ha|\,+\,|\hb\tmu\hb(h)-\tmu\hb(g)\ha|$\vvw
$\le\hb\nst{\hb\tmu\hb_n\hw}\,\|\,g-h\hb\|\,+\,\eps\,+\,\nst{\ha\tmu\ha}\,\|\,h-g\hb\|\le\hb3\ \eps$\vc

\oui Le \theo\ suivant montre que dans des circonstances favorables\vg mais n\e anmoins assez
g\e n\e rales\vg la convergence faible \e quivaut de fait \ac\ la convergence fid\ee le\vc

\Th{\numm}Supposons\,\hh\fbox{\:$\nn\hh\tmu\hb_n\in\MX(\R)^+$\: et\hh$\tmu\in\MXD\ha(\R)^+\ph{\big|\dot{l}}$
\hs{-3mm}}\pv\vva
alors\, on a\,\hh\fbox{\:$\tmu\hb_n\ww\tmu\ \sam\ \tmu\hb_n\fd\tmu\ph{\big|}$}\vb

\Dem\vva
a)\hh$\pmi$\dd Trivial\vva

b)\hh$\imp$\dd Soient\, $\tmu\hb_n\in\MX(\R)^+$\: et\hh$\tmu\in\MXD\ha(\R)^+$\; tels que\,\hh
$\tmu\hb_n\ww\tmu$\pv il suffit de montrer\vvw
que\,\hh$\all g\in\EB\ha(\R)$\,\hh$\tmu\hb_n\ha(g)\to\tmu\hb(g)$\pt
Soit d'abord\,\hh$g=\ha\un\ha_{\ab}$\hh avec\, $a\vv b\in\R$\pv\vvw
soit\, $\eps>0$\pv comme\, $\tmu$\, est diffuse\vg il existe\,\hh
$g\ha_1\vv g\ha_2\in\CO\ha(\R)$\,\hh tels que\,\hh$0\ha\le\hb g\ha_1\ha
\le\hb g\ha\le\hb g\ha_2$\vvw et\,\hh$\tmu\,(\ha g\ha_2-g\ha_1\hw)\le\ha\eps$\pv
on a donc\,\hh$\nn\quad\tmu\hb_n\ha(g\ha_1)\le\ha\tmu\hb_n\ha(g)\le\ha\tmu\hb_n\ha(g\ha_2)$\pv
on en d\e duit\vvw$\tmu\hb(g\ha_1)\le\,\inflim{n}\,\ \tmu\hb_n\ha(g)\le\,\suplim{n}\,\ \tmu\hb_n\ha(g)
\le\hb\tmu\hb(g\ha_2)$\pv or\,\hh$\tmu\hb(g\ha_2)-\tmu\hb(g\ha_1)
\le\hb\tmu\hb(\ha g\ha_2-g\ha_1)\le\eps$\vg\vvw donc\,\hh
$\suplim{n}\,\ \tmu\hb_n\ha(g)-\,\inflim{n}\,\ \tmu\hb_n\ha(g)\ha\le\hb\eps$\ha\pv\ha
comme\, $\eps$\, est arbitraire\ha\vg \ha$\tmu\hb_n\ha(g)\to\tmu\hb(g)$\vwa
On en d\e duit que\,\hh$\all g\in\EO\ha(\R)\,\hh\tmu\hb_n\ha(g)\to\tmu\hb(g)$\,.\,
Soit alors\hh$g\in\EB(\R)$\pv\vvw soit\hh$\eps<0$\,\hh et soit\hh$k\in\N^*$\hh
tel que\,\hh$\tmu\,(\un-\Xk)\le\ha\eps$\ha\pv\ha on peut \e crire\vvw
$\big|\hb\tmu\hb_n\ha(g)-\tmu\hb(g)\hb\big|=\big|\,\tmu\hb_n\hb(\hb\Xk\:g\ha)
+\tmu\hb_n\hb[\hb(\un-\Xk)\,g\hb]-\tmu\,(\hb\Xk\:g\ha)-\tmu\,[\hb(\un-\Xk)\,g\hb]\,\big|$\vvw
$\le\big|\hb\tmu\hb_n\ha(\hb\Xk\:g\ha)-\tmu\hb(\hb\Xk\:g\ha)\ha\big|
+\big|\hb\tmu\hb_n\ha[\hb(\un-\Xk)\,g\hb]\hb\big|+\big|\hb\tmu\,[\hb(\un-\Xk)\,g\hb]\hb\big|$\pv\vvwa
on a d'une part\,\hh$\big|\hb\tmu\,[\hb(\un-\Xk)\,g\hb]\hb\big|
\le\ha\|\ha g\ha\|\ \tmu\,(\un-\Xk)\le\hb\eps\:\|\ha g\ha\|$\vg\vvwa
d'autre part\,\hh$\big|\hb\tmu\hb_n\hb[\hb(\un-\Xk)\,g\hb]\hb\big|\le\hb\|\ha g\ha\|\ \tmu\hb_n\hb(\un-\Xk)\hb
=\hb\|\ha g\ha\|\;\big[\,\tmu\hb_n\hb(\un)-\tmu\hb_n\hb(\ha\Xk)\ha\big]$\hb;\vvwa
or\,\hh$\un\in\CB(\R)$\,\hh et\,\hh$\Xk\in\EO(\R)$\pv donc\,\hh
$\suplim{n}\,\ \big|\,\tmu\hb_n\hb[\hb(\un-\Xk)\,g\hb]\hb\big|
\le\hb\|\ha g\ha\|\:\big[\hb\tmu\,(\un)-\tmu\,(\ha\Xk)\hb]$\vvwa$=\ha\|\ha g\ha\|\ \tmu\,
(\un-\Xk)\le\ha\eps\:\|\ha g\ha\|$\pv on en d\e duit\,\hh$\suplim{n}\,\
\big|\hb\tmu\hb_n\ha(g)-\tmu\hb(g)\hb\big|\le\,2\;\eps\:\|\ha g\ha\|$\pv\vvw
comme\, $\eps$\, est arbitraire\ha\vg\hb $\tmu\hb_n\ha(g)\to\tmu\hb(g)$\vd

\end{document}
