\documentclass[a4paper]{report}
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\begin{document}

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\setcounter{page}{105}

\newcounter{Num}
\newcounter{num}
\newcounter{numm}
\newcounter{nm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\new}{\newcommand}

\new{\initNum}{\setcounter{Num}{0}}
\new{\initnum}{\setcounter{num}{0}}
\new{\initnumm}{\setcounter{numm}{0}}
\new{\initnm}{\setcounter{nm}{1}}

\new{\Num}{\stepcounter{Num}\S\;\theNum\ha.\,\ }
\new{\num}{\stepcounter{num}\theNum\ha.\hb\thenum\ha.\,}
\new{\numm}{\stepcounter{numm}\thenumm\ha.\,}
\new{\nm}{\stepcounter{nm}\thenm\ha)\hh}

\new{\mrom}{\mathrm}
\new{\mcal}{\mathcal}
\new{\mbof}{\mathbf}

\new{\tsc}{\textsc}
\new{\tsf}{\textsf}
\new{\ttt}{\texttt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\new{\N}{\mrom{I}\hs{-.6mm}\mrom{N}}
\new{\R}{\mrom{I}\hs{-.6mm}\mrom{R}}

\new{\E}{\mrom{E}}
\new{\F}{\mrom{F}}
\new{\VF}{|\ha\mrom{F}\ha|}
\new{\G}{\mrom{G}}
\new{\HZ}{\mrom{H}}
\new{\K}{\mrom{K}}
\new{\LZ}{\mrom{L}}
\new{\RZ}{\mrom{R}}
\new{\SZ}{\mrom{S}}
\new{\V}{\mrom{V}}
\new{\X}{\mrom{X}}

\new{\II}{\mbof{\mrom{I}}}

\new{\JJ}{\tsf{J}}
\new{\KX}{\tsf{K}}
\new{\RX}{\tsf{R}}
\new{\SY}{\tsf{S}}

\new{\A}{\mcal{A}}
\new{\EE}{\mcal{E}}
\new{\CC}{\mcal{C}}
\new{\RR}{\mcal{R}}
\new{\FF}{\mcal{F}}
\new{\MM}{\mcal{M}}
\new{\MD}{\MM\hw_D}
\new{\NN}{\mcal{N}}
\new{\ND}{\NN\hs{-.75mm}_D}
\new{\LL}{\mcal{L}}
\new{\BB}{\,,\hs{-1.5mm}\mcal{B}}
\new{\KK}{\mcal{K}}
\new{\EK}{\mcal{E\hw K}}
\new{\WW}{\mcal{W}}
\new{\SX}{\mcal{SX}}
\new{\FO}{\mcal{FO}}
\new{\PR}{\mcal{PR}}
\new{\PM}{\mcal{P\hs{-.5mm}M}}
\new{\PN}{\mcal{PN}}
\new{\SC}{\mcal{S}}
\new{\PA}{\mcal{P\hs{-.75mm}A}}

\new{\FC}{\wh{\F}}
\new{\GC}{\wh{\G}}

\new{\alf}{\alpha}
\new{\gam}{\gamma}
\new{\Gam}{\Gamma}
\new{\del}{\delta}
\new{\eps}{\varepsilon}
\new{\lam}{\lambda}
\new{\Lam}{\Lambda}
\new{\sig}{\sigma}
\new{\Sig}{\Sigma}
\new{\om}{\omega}
\new{\Om}{\Omega}
\new{\Phist}{\Phi_{\hw s\vv t}}
\new{\vphi}{\varphi}

\new{\tdf}{\til{f}}
\new{\tdg}{\til{g}}
\new{\tdh}{\til{h}}
\new{\tdk}{\til{k}}
\new{\tmu}{\til{\mu}}
\new{\vtdf}{\big|\ha\tdf\hb\big|}
\new{\vtdg}{|\hb\tdg\hb|}
\new{\TDF}{\wt{F}}
\new{\TDG}{\wt{G}}

\new{\til}{\tilde}
\new{\wh}{\widehat}
\new{\wt}{\widetilde}
\new{\under}{\underset}
\new{\sbs}{\substack}
\new{\rbox}{\raisebox}
\new{\stack}{\stackrel}
\new{\pos}{\limits}
\new{\dis}{\displaystyle}
\new{\tex}{\textstyle}
\new{\frm}{\framebox}
\new{\low}{\underline}

\new{\al}{\forall}
\new{\all}{\forall\:}
\new{\tim}{\times}
\new{\pin}{+\:\infty}
\new{\un}{1\hs{-1.5mm}1}
\new{\ab}{[\hb a\hb,b\hb]}
\new{\nn}{\all n\in\N}
\new{\imp}{\Rightarrow}
\new{\pmi}{\Leftarrow}
\new{\sam}{\Leftrightarrow}
\new{\too}{\longrightarrow}
\new{\Down}{\Downarrow}
\new{\Up}{\Uparrow}
\new{\sub}{\subset}
\new{\tto}{\mapsto}
\new{\wa}{\land}
\new{\ve}{\vee}
\new{\bul}{\bullet}
\new{\pre}{\preceq}
\new{\cir}{\circ}
\new{\tri}{\bigtriangleup}
\new{\ph}{\phantom}
\new{\fun}{\triangleright\hs{-3.25mm}\too\hs{-2.75mm}>}
\new{\Limst}{\Suplim{\sbs{\ph{.}\\[.25mm]s\,+\,t\,\to\ha0}}}
\new{\Int}{\dis\int}
\new{\Inv}{\dis\inv}
\new{\Frac}{\dis\frac}

\new{\st}{\stack{\star}{\to}}
\new{\one}{\stack{1}{\to}}
\new{\two}{\stack{2}{\to}}
\new{\fin}{\stack{\tim}{\to}}
\new{\ms}{\:\stack{\mrom{m\ha s}}{\to}\:}
\new{\pp}{\:\stack{\mrom{p\ha p}}{\to}\:}
\new{\pla}{\stack{\tsf{A}}{\to}}
\new{\exa}{\stack{\tsf{E}}{\to}}

\new{\hi}[1]{\rbox{.25mm}{#1}}
\new{\hj}[1]{\rbox{.5mm}{#1}}

\new{\SP}[1]{\SZ\hb\big[\hb(\ha#1\ha)\ha^+\big]}

\new{\inv}[1]{\frac{1}{#1}}
\new{\ens}[1]{\big\{#1\big\}}
\new{\nst}[1]{\|#1\|_\star}
\new{\none}[1]{\|#1\|_{\hw1}}
\new{\bnone}[1]{\hi{\big\|}#1\hi{\big\|}_1}
\new{\Bnone}[1]{\Big\|#1\Big\|_1}
\new{\ntwo}[1]{\|#1\|\ha_2}
\new{\nrm}[1]{\|\ha#1\ha\|_{\hw\S}}

\new{\limone}[1]{\under{#1}{^1\hw\mrom{lim}}}

\new{\inflim}[1]{\under{#1}{\underline{\mrom{lim}}}}
\new{\suplim}[1]{\under{#1}{\overline{\mrom{lim}}}}

\new{\Inf}[1]{\under{#1}{\mrom{Inf}}}
\new{\Sup}[1]{\under{#1}{\mrom{Sup}}}
\new{\Lim}[1]{\under{#1}{\mrom{Lim}}}
\new{\Inflim}[1]{\under{#1}{\underline{\mrom{Lim}}}}
\new{\Suplim}[1]{\under{#1}{\overline{\mrom{Lim}}}}

\new{\hs}{\hspace}
\new{\hw}{\hs{.1mm}}
\new{\ha}{\hs{.3mm}}
\new{\hb}{\hs{.5mm}}
\new{\hh}{\ \ }
\new{\hhh}{\hh\hh}
\new{\dd}{\hh:\hh}
\new{\oui}{\hs{5mm}}
\new{\rr}{\hs{-.25mm}}
\new{\rs}{\hs{-.5mm}}

\new{\vs}{\vspace}
\new{\vk}{\vskip}

\new{\vvk}{\vk0mm}
\new{\vvww}{\vk.5mm}
\new{\vvw}{\vk1mm}
\new{\vvwwa}{\vk1.375mm}
\new{\vvwa}{\vk1.75mm}
\new{\vvwaa}{\vk2.125mm}
\new{\vva}{\vk2.5mm}
\new{\vvaab}{\vk3.125mm}
\new{\vvab}{\vk3.75mm}
\new{\vvb}{\vk5mm}
\new{\vvbc}{\vk6.5mm}
\new{\vvc}{\vk8mm}
\new{\vvcd}{\vk10mm}
\new{\vvd}{\vk12.5mm}
\new{\vvf}{\vk15mm}

\new{\vpt}{\,.\vk.25mm}

\new{\vww}{\hb.\vvww}
\new{\vw}{\hb.\vvw}
\new{\vwwa}{\hb.\vvwwa}
\new{\vwa}{\hb.\vvwa}
\new{\vwaa}{\hb.\vvwaa}
\new{\va}{\hb.\vva}
\new{\vaab}{\hb.\vvaab}
\new{\vab}{\hb.\vvab}
\new{\vb}{\hb.\vvb}
\new{\vbc}{\hb.\vvbc}
\new{\vc}{\hb.\vvc}
\new{\vcd}{\hb.\vvcd}
\new{\vd}{\hb.\vvd}
\new{\vf}{\hb.\vvf}

\new{\ho}{\ph{\"{l}}}
\new{\HO}{\ph{\bar{\bar{l}}}}
\new{\lo}{\ph{\c i}}

\new{\e}{\'e}
\new{\ac}{\`a}
\new{\ee}{\`e}
\new{\ou}{o\`u}
\new{\cad}{c-\`a-d}

\new{\vv}{\,,\,}
\new{\vvv}{\hb,\hb}
\new{\vg}{\vv\ }
\new{\pt}{\,.\,\ }
\new{\pv}{\,;\:\ }

\new{\PP}{p\ha.\ha p\ha.}

\new{\Cms}{C\,m\hw s}
\new{\Dms}{D\,m\hw s}
\new{\Cpp}{C\,p\hw p}
\new{\Dpp}{D\,p\hw p}

\new{\theo}{th\e or\ee me}
\new{\Theo}{Th\e or\ee me}
\new{\pms}{\mbox{pseudo\ha-}mesure}

\new{\Def}[1]{#1 \underline{D\e finition}\dd}
\new{\Th}[1]{#1 \underline{Th\e or\ee me}\dd}
\new{\Cor}[1]{#1 \underline{Corollaire}\dd}
\new{\Lem}[1]{#1 \underline{Lemme}\dd}

\new{\Rem}{\underline{Remarque}\dd}
\new{\Not}{\emph{\underline{Notation}}\dd}
\new{\Dem}{\hhh\underline{D\e m}\dd}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initNum
\centerline{\textbf{CHAPITRE\, X}}\vva
\centerline{\textbf{INDICATEURS ET MODES DE CONVERGENCE DANS\, $\LL^1$}}\vvcd

\oui L'\ha\emph{indicateur}\ha\ li\e\ \ac\ la fonction\ha\ $f$\ha\ et l'intervalle\, $\II\sub\hw\R$\,
correspond \ac\ la notion classique de l'ensemble des\, $x\in\ab$\, tels que\, $f\ha(x)\in\II$\pt
La notation habituelle de cet ensemble\vg comme de ses analogues\vg peut d'ailleurs\ha\ sembler abusive
puisqu'on note par exemple \ha\ $\ens{f\le g}$\ha\ l'ensemble\ha\ $\ens{\ha x\in\ab\,\|\,f(x)\le g\hb(x)}$\pt
En revanche ce type de notation convient parfaitement \ac\ notre th\e orie pour laquelle les indicateurs
ne sont justement pas des ensembles\vg mais des \emph{fonctionnelles caract\e ristiques}\vw
\oui Les indicateurs permettent de d\e finir quatre nouveaux modes de convergence dans\, $\LL^1$ :\,
les convergences\ha\ \emph{en mesure}\vg \emph{presque partout}\vg \emph{plate} et \emph{exacte}\ha.\,
Le compl\e t\e\ de\, $\LL^1$\hb\ pour chacun de ces modes de convergence est n\e anmoins identique\, :\,
c'est l'espace de \emph{toutes les\hw\ fonctionnelles}\hb,\, sommables ou non\vd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Indicateurs de\, $\LL^1$}}\vvc

\Def{\num}$\all\tdf\in\LL^1$\hh on d\e finit les\ha\ \e l\e ments\ha\ de\, $\KK$\,
suivants\, :\vvab
\hs{10mm}\fbox{\,$\ens{\tdf>0}=\,\SZ\,(\tdf^+)$\,}
\hs{34mm}$\ens{\tdf\le0}=\hb1-\ens{\tdf>0}=\hb1-\,\SZ\,(\tdf^+)$\vvaab
\hs{10mm}$\ens{\tdf<0}=\ens{-\tdf>0}=\,\SZ\,(\tdf^-)$
\hs{12.5mm}$\ens{\tdf\ge0}=\hb1-\ens{\tdf<0}=\hb1-\,\SZ\,(\tdf^-)$\vvaab
\hs{10mm}\fbox{\,$\ens{\tdf\ne0}=\,\SZ\,(\tdf)$\,}
\hs{37mm}$\ens{\tdf=\ha0}=\hb1-\ens{\tdf\ne0}=\hb1-\,\SZ\,(\tdf)$\vc

\Def{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\LL^1$\hh on d\e finit les\ha\ \e l\e ments\ha\ de\, $\KK$\, suivants\, :\vvaab
\hs{40mm}$\ens{\tdf>\tdg}=\ens{\tdg<\tdf}=\ens{\tdf-\tdg>0\hw}=\,\SP{\tdf-\tdg}$\vvwa
\hs{40mm}$\ens{\tdf\ge\tdg}=\hb1-\ens{\tdg>\tdf}=\hb1-\,\SP{\tdg-\tdf}$\vvwa
\hs{40mm}$\ens{\tdf\ne\tdg}=\ens{\tdf-\tdg\ne0\hw}=\,\SZ\,(\tdf-\tdg)$\vvwa
\hs{40mm}$\ens{\tdf=\tdg}=\ens{\tdf-\tdg=\ha0\hw}=\hb1-\,\SZ\,(\tdf-\tdg)$\vc

\Def{\num}$\all\tdf,\,\tdg\vv\tdh\in\LL^1$\hh on d\e finit les\ha\ \e l\e ments\ha\ de\, $\KK$\, suivants\,
:\vvaab
\hs{40mm}$\ens{\tdf>\tdg>\tdh}=\ens{\tdf>\tdg}\,\ens{\tdg>\tdh}$\vvwa
\hs{40mm}$\ens{\tdf\ge\tdg>\tdh}=\ens{\tdf\ge\tdg}\,\ens{\tdg>\tdh}$\vvwa
\hs{40mm}$\ens{\tdf>\tdg\ge\tdh}=\ens{\tdf>\tdg}\,\ens{\tdg\ge\tdh}$\vvwa
\hs{40mm}$\ens{\tdf\ge\tdg\ge\tdh}=\ens{\tdf\ge\tdg}\,\ens{\tdg\ge\tdh}$\vvbc

Les applications\quad$\begin{cases}
\ \LL^1\,\to\,\KK\ \hb:\,\ \tdf\tto\ens{\tdf>0}\hh\ldots\, \mrom{etc}\, \ldots\\
\big(\LL^1\big)^2\to\KK\ \hb:\,\ (\tdf,\hb\tdg)\tto\ens{\tdf>\tdg}\hh\ldots\, \mrom{etc}\, \ldots\\
\big(\LL^1\big)^3\to\KK\ \hb:\,\ (\tdf,\hb\tdg\hb,\hb\tdh)
\tto\ens{\tdf>\tdg>\tdh}\hh\ldots\, \mrom{etc}\, \ldots\end{cases}$\vvb
sont les\, \fbox{\ha indicateurs\ph{p}\hs{-1.9mm}}\, de\, $\LL^1$\vc

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\LL^1$\hh on a\vvb
\begin{picture}(,)
\put(30.5,0){$\ens{\tdf>0}\,\ens{\tdg>0}\hb\le\hb\ens{\tdf+\hb\tdg>0}\hb\le\hb\ens{\tdf>0}\ve\ens{\tdg>0}$}
\put(30.5,-8){$\ens{\tdf\ge0}\hb\ens{\tdg\ge0}\hb\le\hb\ens{\tdf+\hb\tdg\ge0}\hb\le\hb\ens{\tdf\ge0}
\ve\ens{\tdg\ge0}$}
\put(28.5,-11.25){\frm(104.5,17)}
\end{picture}\vvf

\Dem$\ens{\tdf>0}\,\ens{\tdg>0}=\,\SZ\,(\tdf^+)\;\SZ\,(\tdg^+)
=\,\SZ\,(\tdf^+\!\wa\tdg^+)=\,\SP{\tdf\wa\tdg}\le\,\SP{\tdf+\tdg}$\vva
$=\ens{\tdf+\hb\tdg>0}=\,\SZ\hb\big[\hb(\ha\tdf+\hb\tdg\ha)^+\ha\big]
\le\,\SZ\hb\big(\hb\tdf^++\,\tdg^+\ha\big)=\,\SZ\,(\tdf^+)\ve\,\SZ\,(\tdg^+)=\ens{\tdf>0}\ve\ens{\tdg>0}$\vc

\Cor{\num}$\all\tdf,\,\tdg\vv\tdh\in\LL^1$\hh on a\hhh$\ens{\tdf>\tdg>\tdh}\le\ens{\tdf>\tdh}$\vva
\hs{67mm}et\hhh$\ens{\tdf\ge\tdg\ge\tdh}\le\ens{\tdf\ge\tdh}$\vbc

\Dem$\ens{\tdf>\tdg>\tdh}=\ha\ens{\tdf>\tdg}\,\ens{\tdg>\tdh}=\ha\ens{\tdf-\tdg>0}\,
\ens{\tdg-\tdh>0}$\vva\hs{21mm}$\le\ens{\tdf-\tdg+\tdg-\tdh>0}=\ha\ens{\tdf>\tdh}$\vc

\Lem{\num}$\all\tdf,\,\tdg\vv\tdh\in\LL^1$\hh on a\vvb

\quad$\big(\ha\tdh-\tdf\ve\tdg\ha\big)^+=\,(\ha\tdh-\tdf\ha)^+\wa(\ha\tdh-\tdg\ha)^+
\hs{10mm}\big(\ha\tdf\ve\tdg-\tdh\ha\big)^+=\,(\ha\tdf-\tdh\ha)^+\wa(\ha\tdg-\tdh\ha)^+$\vab
\quad$\big(\ha\tdh-\tdf\wa\tdg\ha\big)^+=\,(\ha\tdh-\tdf\ha)^+\ve(\ha\tdh-\tdg\ha)^+
\hs{10mm}\big(\ha\tdf\wa\tdg-\tdh\ha\big)^+=\,(\ha\tdf-\tdh\ha)^+\ve(\ha\tdg-\tdh\ha)^+$\vab

\Dem Vrai dans\, $\EE$\ha,\, donc vrai dans\, $\LL^1$\, par continuit\e\vbc

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\vv\tdh\in\LL^1$\hh on a\vvb
\begin{picture}(,)
\put(12.5,-1){$\ens{\tdf\ve\tdg<\tdh}=\ens{\tdf<\tdh}\,\ens{\tdg<\tdh}$
\hs{15mm}$\ens{\tdf\ve\tdg>\tdh}=\ens{\tdf>\tdh}\ve\ens{\tdg>\tdh}$}
\put(12.5,-11){$\ens{\tdf\wa\tdg<\tdh}=\ens{\tdf<\tdh}\ve\ens{\tdg<\tdh}$
\hs{11.25mm}$\ens{\tdf\wa\tdg>\tdh}=\ens{\tdf>\tdh}\,\ens{\tdg>\tdh}$}
\put(9.5,-15.2){\frm(143,21.2)}
\end{picture}\\\vvd

\Dem$\ens{\tdf\ve\tdg<\tdh}=\,\SP{\tdh-\tdf\ve\tdg}=\,\SP{\tdh-\tdf}\wa\SP{\tdh-\tdg}$\vva
\hs{43.5mm}$=\,\SP{\tdh-\tdf}\;\SP{\tdh-\tdg}=\,\ens{\tdf<\tdh}\,\ens{\tdg<\tdh}$\vbc

\newpage
\Cor{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\LL^1$\hh on a\hhh$\ens{\hw\vtdf<\tdg\hw}\ha
=\ha\ens{\tdf<\tdg}\,\ens{-\tdf<\tdg}\ha=\ha\ens{-\tdg<\tdf<\tdg}$\vva
\hs{62mm}et\hhh$\ens{\hw\vtdf>\tdg\hw}\ha=\ha\ens{\tdf>\tdg}\ve\ens{-\tdf>\tdg}$\vb

\Dem$\ens{\hw\vtdf<\tdg\hw}\ha=\ha\ens{\ha(\tdf)\ve(\tdf^-)<\tdg\ha}\ha=\ha\ens{\tdf<g}\,\ens{-\tdf<g}$\vc

\Cor{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\LL^1$\hh on a
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\ens{\tdf>\tdg}\ha=\ha\ens{\tdf\ve\tdg\ne\tdg\ha}\ha=\ha\ens{\tdf\wa\tdg\ne\tdf}$}
\put(5,-10){$\ens{\tdf\ge\tdg}\ha=\ha\ens{\tdf\ve\tdg=\tdf}\ha=\ha\ens{\tdf\wa\tdg=\tdg\ha}$}
\put(3,-14){\frm(75,20)}
\end{picture}\\\vvc

\Dem\vva\quad1)\hh$\hb\ens{\tdf\ve\tdg\ne\tdg\ha}=\ens{\ha\tdf\ve\tdg>\tdg\ha}
=\hb\ens{\tdf>\tdg}\ve\ens{\tdg>\tdg}\ha=\hb\ens{\tdf>\tdg}$\va
\quad2\ha)\hh$\ens{\tdf\ge\tdg}=\hb1-\ens{\tdf<\tdg}=1-\ens{\tdf\ve\tdg\ne\tdf\ha}\ha
=\ha\ens{\tdf\ve\tdg=\tdf\ha}$\vcd

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\LL^1$\hh on a
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\tdf\,\ens{\tdf=\ha\tdg}=\,\tdg\:\ens{\tdf=\ha\tdg}$}
\put(5,-10){$\tdf\,\ens{\tdf\le\ha\tdg}\le\,\tdg\:\ens{\tdf\le\ha\tdg}$}
\put(3,-14){\frm(47,20)}
\end{picture}\\\vvc

\Dem\vva
\quad1)\hh$(\tdf-\tdg)\:\ens{\tdf=\ha\tdg}\ha=\hb(\tdf-\tdg)\:\big[\ha1
-\SZ\,(\tdf-\tdg)\ha\big]=\ha\tdf-\tdg-(\tdf-\tdg)\ha=\ha0$\va
\quad2\ha)\hh$(\tdf-\tdg)\:\ens{\tdf\le\ha\tdg}\ha=\ha(\tdf-\tdg)\:
\Big[\ha1-\SP{\tdf-\tdg}\Big]=\ha\tdf-\tdg-(\tdf-\tdg)^+\ha=\ha-\,(\tdf-\tdg)^-\le\ha0$\vcd

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\LL^1$\hh on a
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\tdf\,\ens{\tdf\le\ha\tdg}=\,(\tdf\wa\tdg)\:\ens{\tdf\le\ha\tdg}$}
\put(5,-10){$\tdg\:\ens{\tdf\le\ha\tdg}=\,(\tdf\ve\tdg)\:\ens{\tdf\le\ha\tdg}$}
\put(3,-14){\frm(57.5,20)}
\end{picture}\\\vvc

\Dem\vva
\quad1)\hh$\tdf\,\ens{\tdf\le\ha\tdg}=\tdf\,\ens{\tdf\wa\tdg=\tdf}=\ha(\tdf\wa\tdg)\,
\ens{\tdf\wa\tdg=\tdf}=\ha(\tdf\wa\tdg)\,\ens{\tdf\le\ha\tdg}$\va
\quad2\ha)\hh Idem\vbc

\Th{\num}\vva$\all\tdf\vv\tdg\in\LL^2$\quad on a\quad
\fbox{\,$\ens{\ha\tdf\,\tdg>0\ha}\ha=\hb\ens{\tdf>0}\,\ens{\tdg>0}\ve\ens{\tdf<0}\,\ens{\tdg<0}$\,}\vbc

\Dem$\tdf\,\tdg\,=\,(\tdf^+\!-\tdf^-)\,(\tdg^+\!-\tdg^-)\,=\,\tdf^+\,\tdg^+
+\hb\tdf^-\,\tdg^--\,\big(\tdf^+\,\tdg^-+\hb\tdf^-\,\tdg^+\big)$\pv\vva or\,\hh
$\big(\tdf^+\,\tdg^++\,\tdf^-\,\tdg^-\big)\wa\big(\tdf^+\,\tdg^-+\,\tdf^-\,\tdg^+\big)
=\ha0$\ha\vg donc\,\hh$\big(\tdf\,\tdg\big)^+=\tdf^+\,\tdg^++\hb\tdf^-\,\tdg^-$\pv\vva
on a donc\,\hh$\ens{\ha\tdf\,\tdg>0\ha}=\,\SP{\tdf\,\tdg}=\,\SZ\:\big(\tdf^+\,\tdg^++\hb\tdf^-\,\tdg^-\big)
=\,\SZ\:\big(\tdf^+\,\tdg^+\big)\ve\,\SZ\:\big(\tdf^-\,\tdg^-\big)$\vva
$=\,\SZ\,(\tdf^+)\:\SZ\,(\tdg^+)\ve\SZ\,(\tdf^-)\:\SZ\,(\tdg^-)=\,\ens{\tdf>0}\,\ens{\tdg>0}\ve\ens{\tdf<0}\,\ens{\tdg<0}$\vbc

\Cor{\num}$\all\tdf\in\big(\LL^2\big)^+\hh\all\alf>0$\quad on a\quad\fbox{\,$\ens{\ha\tdf\hb^2>\alf\hb^2\ha}
=\ens{\ha\tdf>\alf\ha}$\hb}\ha\vb

\Dem
$\ens{\ha\tdf\hb^2>\alf\hb^2\ha}=\ens{\ha\tdf\hb^2-\alf\hb^2>0\ha}=\ens{\ha(\tdf-\alf)\,(\tdf+\alf)>0\ha}$\vva
$=\ens{\ha\tdf-\alf>0\ha}\,\ens{\ha\tdf+\alf>0\ha}\ve\ens{\ha\tdf-\alf<0\ha}\,\ens{\ha\tdf+\alf<0\ha}
=\ens{\ha\tdf-\alf>0\ha}\ve0=\ens{\ha\tdf>\alf\ha}$\vbc

\Th{\num}\vva
$\all\tdf\vv\tdg\in\big(\LL^2\big)^+\hh\all\alf\vv\beta>0$\quad on a\quad
\fbox{\,$\ens{\ha\tdf\,\tdg>\alf\,\beta\ha}\ha\le\hb\ens{\tdf>\alf}\ve\ens{\tdg>\beta}$\,}\vb

\Dem $\ens{\ha\tdf\,\tdg>\alf\,\beta\ha}=\ens{\ha\tdf\,\tdg-\alf\,\beta>0\ha}
=\ens{\ha(\tdf-\alf)\:\tdg\ha+\ha \alf\:(\tdg-\beta)>0\hw}$\vva$\le\ens{(\tdf-\alf)\:
\tdg>0\hw}\ve\ens{\alf\:(\tdg-\beta)>0\hw}=\ens{\tdf-\alf>0\hw}\,\ens{\tdf>0}
\ve\ens{\tdg-\beta>0\hw}\,\ens{\tdg>0}$\vva$\le\ens{\tdf>\alf}\ve\ens{\tdg>\beta}$\vbc

\num\ \underline{In\e galit\e\ de Markov}\dd$\all\tdf\in\big(\LL^1\big)^+$\: on a\quad
\fbox{\,$\ens{\ha\tdf\ge1}\hw\le\hw\tdf$\:}\ha\vab

\Dem On a\quad$\tdf\ha=\ha\tdf-1\hb+\ha1\ha=\hb(\tdf-1)^+-\,(\tdf-1)^-+\,1$\pv\vvwa
on peut donc \e crire\quad$\tdf\ge\hb\tdf\;\ens{\ha\tdf\ge1}=\hb\big[\hb(\tdf-1)^+-\,(\tdf-1)^-
+\,1\hb\big]\:\ens{\ha\tdf\ge1}$\vvwa$=\ha\big[\hb(\tdf-1)^+-\,(\tdf-1)^-\hb\big]\,
\Big(1-\SZ\,\big[\hb(\tdf-1)^-\hb\big]\ha\Big)\ha+\,\ens{\tdf\ge1}$\vvwa
$=\,(\tdf-1)^+-\,(\tdf-1)^-+\,(\tdf-1)^-\,+\,\ens{\ha\tdf\ge1}=\hb\ens{\ha\tdf\ge1}$\vc

\Cor{\num*}$\all\tdf\in\LL^1$\,\hh on a
\begin{picture}(,)
\put(3,0){$\limone{\sbs{\\\,\ \alf\,\to\pin}}\,\ens{\hb\vtdf\ge\alf\ha}=\hb0$\hh.}
\put(3,-4){\frm(43.75,9.5)}
\end{picture}\vvcd

\Th{\num}$\all\tdf\in\LL^1$\,\hh on a
\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\limone{\sbs{\\\hh\eps\to\,0^+}}\,\ens{\ha\tdf\ge\eps}\hb
=\hs{-1mm}\limone{\sbs{\\\hh\eps\to\,0^+}}\,\ens{\ha\tdf>\eps}=\ha\ens{\ha\tdf>0}$\: .}
\put(3.75,-4.25){\frm(82.5,10.2)}
\end{picture}\vvc

\Dem On pose\,\hh$\all\eps>0\quad\tdg\ha_\eps=\hb(\ha\tdf-\eps\ha)\ha^+$\!\pv
la ``\,suite\," $\tdg\ha_\eps$\: est\ha\ croissante\ha\ et on a\vvwa
$\tdg\ha_\eps\one\tdg\ha^+$\hh quand\,\hh$\eps\to0\ha^+$\pv\ha
donc\quad$\SZ\,\big(\hb\tdg\ha_\eps\ha\big)\one\SZ\,(\hb\tdg\ha^+)$\vg\cad\,\hh
$\ens{\ha\tdf>\eps}\one\ens{\ha\tdf>0}$\vvw quand\,\hh$\eps\to0\ha^+$\pt
Par aileurs\,\hh$\all\eps>0\quad\ens{\ha\tdf>\ha2\;\eps\ha}\le\ens{\ha\tdf\ge\ha\eps}
\le\ens{\tdf>0}$\pv donc\vvw$\ens{\ha\tdf\ge\ha\eps}\one\ens{\ha\tdf>0}$\,\hh quand\,\hh$\eps\to0\ha^+$\vc

\Th{\num}Soient\hh$\tdf_n\vv\tdf,\ \tdg\,\in\LL^1\vg\tdf_n\one\tdf\vg\tdf_n$\hh
suite\, \fbox{croissante}\pv\vvab alors on a\quad
\fbox{\,$\ens{\ha\tdf_n>\ha\tdg\ha}\one\ens{\ha\tdf>\ha\tdg\ha}$\,}\quad et\quad
\fbox{\,$\ens{\ha\tdf_n\le\ha\tdg\ha}\one\ens{\ha\tdf\le\ha\tdg\ha}$\,}\ha\vbc

\Dem La suite\, $(\ha\tdf_n-\tdg\ha)^+\in(\LL^1)^+$\; est croissante\, et\;
$(\ha\tdf_n-\tdg\ha)^+\one(\ha\tdf-\tdg\ha)^+$\pv\vva donc\,\hh
$\ens{\tdf_n\le\ha\tdg\ha}=\,\SP{\tdf_n-\ha\tdg\ha}\one\,\SP{\tdf-\tdg}=\ha\ens{\tdf\le\ha\tdg\ha}$\va
De plus\,\hh$\ens{\tdf_n\le\ha\tdg\ha}=1-\ens{\tdf_n>\ha\tdg\ha}\one
1-\ens{\tdf>\ha\tdg\ha}=\ens{\tdf\le\ha\tdg\ha}$\vc

\Cor{\num}Soit\, $\tdf_n\in\LL^1$\, une suite domin\e e\, et soit\, $\tdg\in\LL^1$\hb;\: alors on a\vvab

\begin{picture}(,)
\put(9,-1){$\ens{\ha\big(\ha\Sup{n}\ \tdf_n\ha\big)>\ha\tdg\ha}
=\,\Sup{n}\ \ens{\ha\tdf_n>\ha\tdg\ha}$\quad\hh et\quad\hh$\ens{\ha\big(\ha\Sup{n}\ \tdf_n\ha\big)
\le\ha\tdg\ha}=\,\Inf{\sbs{\\n}}\ \ens{\ha\tdf_n\le\ha\tdg\ha}$\: .}
\put(7.5,-6){\frm(65.5,11)}
\put(86.75,-6){\frm(64,11)}
\end{picture}\vvcd

\Dem\vvwaa Posons\,\hh$\all p\in\N\,\hh\tdh\hb_p\,=\hs{-1mm}\Sup{1\,\le\:n\:\le\:p}\tdf_n$\pv la suite\,
$\tdh\hb_p$\, est croissante et\,\hh$\tdh\hb_p\one\tdh\hb=\:\Sup{n}\ \tdf_n$\pv\vvw on a donc\,\hh
$\ens{\ha\tdh\ha>\ha\tdg\ha}=\:\Sup{p}\ \ens{\ha\tdh\ha_p>\ha\tdg\ha}
=\:\Sup{p}\,\Sup{1\,\le\:n\:\le\:p}\ens{\ha\tdf_n>\ha\tdg\ha}\ha=\;\Sup{n}\ \ens{\ha\tdf_n>\ha\tdg\ha}$\vcd

\num\ha\ \underline{\tsf{Exercice}}\vvwa
Soient\: $\tdf\in(\LL^1)^+$\, et\hh $c>0$\hh tels que\hh$\vtdf\ge\ha c$\pv\ha
d\e montrer\ha\hh\fbox{\;$\sum\pos_{n\,=\,1}^\infty\hb\Inv{n\ha^2}\,\ens{\tdf\le n}
\le\ha\frac{2}{\tdf}$ }\ha\va

\hhh\underline{\tsf{Solution}}\vvwa

Nous aurons besoin de deux lemmes\vc

\underline{\emph{Lemme\, 1}}\dd$\all p\in\N^*$\hh\fbox{\,$\sum\pos_{n\,=\,p}^\infty\,\Inv{n\ha^2}
\le\inv{p-\inv{2}}$\,}\ha\vb

\Dem$\sum\pos_{n\,=\,p}^\infty\,\Inv{n\ha^2}\,\le\tex\sum\pos_{n\,=\,p}^\infty\,\Inv{(n-\inv{2})\,
(n+\inv{2})}\,\le\tex\sum\pos_{n\,=\,p}^\infty\Big(\,\Inv{n-\inv{2}}-\inv{n+\inv{2}}\,\Big)
=\ha\inv{p-\inv{2}}$\vc

\underline{\emph{Lemme\, 2}}\dd$\all\tdf\vvv\tdg\in\LL^1\hh\all\alf\in\R\hh\all\eps>0$\,\hh
\fbox{\ha$\ens{\tdf\le\alf}\le\ens{\tdg\le\alf+\eps}+\hb\Inv{\eps}\:\big|\ha\tdf-\tdg\hb\big|$\hb}\vb

\Dem$\ens{\tdf\le\alf}=\ens{\tdg+\tdf-\tdg\le\alf+\eps-\eps}\le\ens{\tdg\le\alf+\eps}
+\ens{\tdf-\tdg\le-\eps}$\vvwa$=\ens{\tdg\le\alf+\eps}+\ens{\tdg-\tdf\ge\eps}
\le\ens{\tdg\le\alf+\eps}+\ens{|\hb\tdg-\tdf\ha|\ge\eps}
\le\ens{\tdg\le\alf+\eps}+\hb\Inv{\eps}\:\big|\ha\tdf-\tdg\hb\big|$\vbc

\hhh\underline{D\e monstration de l'exercice}\vva
Supposons d'abord\; $\tdf=f\in\ha\EE^+$;\hh$\nn$\: on peut identifier\, $\ens{f\le n}$\, \ac\ la fonction\vva
caract\e ristique de l'ensemble\hh$\E\ha_n=\ens{x\in\ab\,\big\|\, f\ha(x)\le n}$\pv
on pose\, $\all x\in\ab$\vva$F\ha(x)=\tex\sum\pos_{n\,=\,1}^\infty\,\Inv{n\ha^2}\;\un\hw_{\E\ha_n}(x)\ha
=\hs{-2mm}\tex\sum\pos_{n\,\ge\,f\ha(x)}\,\Inv{n\ha^2}\,
=\hs{-2mm}\tex\sum\pos_{n\,=\,[\ha f\ha(x)\ha]}^\infty\ha\Inv{n\ha^2}\,
\le\ha\Inv{[\ha f\ha(x)\ha]-\inv{2}}$\quad\ou\: $[\ha f\ha(x)\ha]$\: est le plus\vva petit entier
sup\e rieur ou \e gal\, \ac\, $f\ha(x)$\pv on remarquera au passage que\: $F\rr\in\ha\EE^+$.\vva

Si\: $f(x)\le1$\: on en d\e duit\hh$F\ha(x)\ha\le\ha\Inv{1-\inv{2}}\ha=\ha2\ha
\le\ha\Frac{2}{f\ha(x)}$\ha\pv\ha
si\: $f(x)\ge1$\: on en d\e duit\vvw$F\ha(x)\le\Inv{f\ha(x)-\inv{2}}=\frac{2}{2\,f\ha(x)-1}
=\Frac{2}{f\ha(x)+f\ha(x)-1}\le\frac{2}{f\ha(x)}$\vab
La proposition est donc d\e montr\e e\hh$\all f\in\ha\EE^+$.\vva

Supposons maintenant\, $\tdf\in(\LL^1)^+$\, et soit une suite\, $f_k\in\ha\EE^+$\, telle que\hh
$\all k\in\N$\vvwaa$f_k\ge c$\hh et\ha\ telle que\: $f_k\one\tdf$\pv
soit\,\hh$0<\eps<c$\pv on peut \e crire\,\hh$\all k\in\N$\vvab
$\sum\pos_{n\,=\,1}^\infty\,\Inv{n\ha^2}\,\ens{\tdf\le n}
\le\tex\sum\pos_{n\,=\,1}^\infty\,\Inv{n\ha^2}\,
\Big[\ha\ens{f_k\le n+\eps}+\ha\Inv{\eps}\:\big|\hb\tdf-f_k\ha\big|\,\Big]$\vvwa
$=\sum\pos_{n\,=\,1}^\infty\,\Inv{n\ha^2}\,
\ens{f_k-\eps\le n}+\,\frac{\pi\ha^2}{6\;\eps}\;\big|\hb\tdf-f_k\ha\big|\ha\le\,\frac{2}{f_k-\eps}\,
+\,\frac{\pi\ha^2}{6\;\eps}\;\big|\ha\tdf-f_k\ha\big|$\pv\vva
en faisant tendre\, $k$\, vers\, $\pin$\, on obtient\,\hh
$\sum\pos_{n\,=\,1}^\infty\,\Inv{n\ha^2}\,\ens{\tdf\le n}\le\,\frac{2}{\tdf-\eps}$\hb\vg\vva
et en faisant tendre\, $\eps$\, vers\, $0$\, on obtient\,\hh
$\sum\pos_{n\,=\,1}^\infty\,\Inv{n\ha^2}\,\ens{\tdf\le n}\le\,\frac{2}{\tdf}$\hb\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Convergence en mesure}}\vvc

\Def{\num}Soient\hh$\tdf_n\vv\tdf\in\LL^1$\pv on dit que\, $\tdf_n$\, converge\, \underline{en mesure}\,
vers\, $\tdf$\hh ssi\vvab
\fbox{\;$\all\eps>0\quad\ens{\ha\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|>\eps\ha}\one0$\;}\pt
On \e crit\,\hh$\tdf_n\ms\tdf$\vbc

\Th{\num}$\tdf_n\ms\tdf$\quad ssi\quad$\all\eps>0\,\hh\Big[\ \ens{\tdf_n>\tdf+\eps}\one0$\quad
et\,\hh$\ens{\tdf>\tdf_n+\eps}\one0\ \Big]$\vc

\Th{\num}$\tdf_n\ms\tdf$\quad ssi
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\all\eps>0\hhh\suplim{n}\,\ \bnone{\,\ens{\ha\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|>\eps\ha}\hb}=\,0$\hh.}
\put(3,-4){\frm(74.25,10)}
\end{picture}\vvcd

\num\ \tsc{\underline{Crit\ee re\ha\ pratique}}\dd$\tdf_n\ms\tdf$\quad ssi
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\all\eps>0\hhh\suplim{n}\,\ \bnone{\,\ens{\ha\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|>\eps\ha}\hb}\le\,\eps$\hh.}
\put(3,-4){\frm(74.25,10)}
\end{picture}\vvb

\Dem\vva
a)\hh$\imp$\dd On a\,\hh$\all\eps>0\quad\suplim{n}\,\
\bnone{\hb\ens{\hb\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|>\eps\hb}\hb}=\,0\hb\le\,\eps$\vaab
b)\hh$\pmi$\dd Soit\, $\eps>0$\pv $\all\eta>\ha0$\,\hh tel que\,\hh
$\eta\hb\le\hb\eps$\,\hh on a\vvwa$\suplim{n}\,\ \bnone{\hb\ens{\hb\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|>\eps\hb}\hb}
\le\;\suplim{n}\,\ \bnone{\hb\ens{\hb|\hb\tdf_n-\tdf\hb|>\eta\hb}\hb}\,
\le\;\eta$\pv\vva donc\quad$\lim\pos_n\;\bnone{\hb\ens{\hb\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|>\eps\hb}\hb}=\,0$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf_n\vv\tdf\in\LL^1$\quad on a\quad$\tdf_n\one\tdf\ \imp\ \tdf_n\ms\tdf$\vaab

\Dem Posons\,\hh$\nn\,\hh\tdg\ha_n=\big|\ha\tdf_n-\tdf\hb\big|\in\LL^1_+$\pv alors\,\hh
$\all\eps>0\,\hh\nn$\,\hh on a\vvwa$\ens{\ha\tdg\ha_n>\eps}\le\ens{\ha\tdg\ha_n\ge\eps}
\le\ha\Inv{\eps}\ \tdg\ha_n$\pv donc\,\hh$\all\eps>0\,\hh\ens{\ha\tdg\ha_n>\eps}\one0$\ha\vg\,\cad\,\hh$\tdf_n\ms\tdf$\vc

\Th{\num}Soit\, $\tdf_n\in\LL^1$\, une suite\ha\ \textbf{domin\e e}\hb\ et soit\, $\tdf\in\LL^1$\pv
alors on a\vvw$\tdf_n\one\tdf\ \sam\ \tdf_n\ms\tdf$\vb

\Dem Il suffit de d\e montrer\; $\pmi$\ha\hh:\,\hh Soit\: $F\in(\LL^1)^+$\, tel que\hh$\nn\hh\big|\ha\tdf_n\ha\big|\le F$\ha;\vvw
on pose\hh$\nn\,\hh\tdg\ha_n=\big|\ha\tdf_n-\tdf\hb\big|\le\ha2\hb F$\ha;\;
soit\, $\eps>0$\, et soit\, $\varphi\in\EE$\, tel que\, $\none{\hw F\rr-\ha\vphi\ha}<\eps$\pv\vvw
on a\,\hh$\ens{\ha\tdg_n>\eps}\one0$\pv de plus\,\hh$\tdg\ha_n=\ens{\ha\tdg\ha_n>\eps}\,\tdg\ha_n\,+\,\ens{\ha\tdg\ha_n\le\eps}\,\tdg\ha_n\hb
\le\ha2\hb\ens{\ha\tdg\ha_n>\eps}F+\hb\eps$\pv\vvw
$=2\hb\ens{\ha\tdg\ha_n>\eps}\hb\vphi\hb+\ha2\hb\ens{\ha\tdg\ha_n>\eps}\ha(F\rr-\ha\vphi)\ha+\hb\eps\ha
\le\ha2\hb\ens{\ha\tdg\ha_n>\eps}\hb\vphi\hb+\hb2\,|F\rr-\ha\vphi\ha|\ha+\hb\eps$\pv\vvwa
on en d\e duit\,\hh$\none{\tdg\ha_n}\le2\,\|\ha\vphi\hw\|\hb\bnone{\ens{\ha\tdg\ha_n>\eps}}+\ha2\,\none{\hw F\rr-\ha\vphi\ha}\ha+\hb\eps\,(b-a)$\vg et donc\vvwa
$\suplim{n}\,\ \none{\ha\tdg\ha_n\ha}\le\hb2\,\eps\ha+\ha\eps\,(b-a)$\pv donc\,\hh$\suplim{n}\,\ \none{\ha\tdg\ha_n\ha}=\ha0$\vg
\cad\,\hh$\tdg\ha_n\one0$\ha\vg\ha\cad\ha\hh$\tdf_n\one\tdf$.\vvbc

\Lem{\num}Soit\, $\tdf\in\LL^1$\, tel que\quad$\all\eps>0\quad\ens{\ha\vtdf>\eps\hw}=\hb0$\pv alors\hh$\tdf=\ha0$\vb

\Dem$\all\eps>0$\,\hh on a\,\hh$\tdf=\ha\tdf\,\ens{\tdf\le\eps}\,
+\,\tdf\,\ens{\tdf>\eps}\le\hb\eps\;\ens{\tdf\le\eps}\le\hb\eps$\pv\vvw
donc\,\hh$\all\eps>0\,\hh\bnone{\ha\tdf\ha}\le\hb\eps\:(b-a)$\pv donc\,\hh$\tdf=\ha0$\vbc

\Th{\num}\vvwa Soient\hh$\tdf_n\vv\tdg\,,\,\tdh\in\LL^1$\hh et supposons que\,\hh
$\tdf_n\ms\tdg$\,\hh et\hh$\tdf_n\ms\tdh$\pv alors\hh$\tdg=\tdh$\vb

\Dem On a\,\hh$\all\eps>0\,\hh\nn\,\hh\ens{\hb\big|\,\tdg-\tdh\hb\big|>\eps\ha}
\le\ha\ens{\ha\big|\ha\tdf_n-\tdg\hb\big|+\big|\ha\tdf_n-\tdh\hb\big|>\eps\ha}$\vvw
$\le\ha\ens{\ha\big|\ha\tdf_n-\tdg\hb\big|>\eps\ha/\ha2\ha}
\ve\ens{\ha\big|\ha\tdf_n-\tdh\hb\big|>\eps\ha/\ha2\ha}\one0$\pv donc\,\hh
$\all\eps>0\,\hh\ens{\hb\big|\,\tdg-\tdh\hb\big|>\eps\ha}=\hb0$\pv\vvw donc\,\hh$\tdg=\tdh$\vbc

\Th{\num*}Soient\hh$\tdf_n\vv\tdg\ha_n\vv\tdf,\,\tdg\in\LL^1,\hh\tdf_n\ms\tdf,\hh
\tdg_n\ms\tdg$\pv alors\vvwa$\tdf_n+\hb\tdg\ha_n\ms\tdf+\hb\tdg\,,\hhh
\tdf_n\ve\tdg\ha_n\ms\tdf\ve\tdg\,,\hhh\tdf_n\wa\tdg\ha_n\ms\tdf\wa\tdg$\vbc

\Lem{\num}Soit une suite\, $\tdf_n\in\LL^2$\, telle que\,\hh$\tdf_n\ms0$\pv
alors\,\hh$\all\tdg\in\LL^2\,\hh\tdf_n\;\tdg\ms0$\vb

\Dem Soit\, $\eps>0$\pv soit\, $\alf>0$\hh tel que\,\hh$\bnone{\hb\ens{\ha\vtdg>\alf\hw}\ha}\le\hb\eps$\pv
on a\,\hh$\nn$\vvwa$\ens{\ha\big|\hb\tdf_n\;\tdg\hb\big|>\eps\ha}=\ens{\ha\big|\ha\tdf_n\ha\big|\,\vtdg>\eps\ha}
\le\,\ens{\ha\big|\ha\tdf_n\ha\big|>\ha\eps\hw/\alf\ha}\ve\ens{\ha\vtdg>\alf\hw}$\pv
donc\,\hh$\nn$\vva$\bnone{\hb\ens{\ha\big|\hb\tdf_n\;\tdg\hb\big|>\eps\ha}\hb}
\le\,\bnone{\hb\ens{\ha\big|\ha\tdf_n\ha\big|>\ha\eps\hw/\alf\ha}\hb}+\,\bnone{\hb\ens{\ha\vtdg>\alf\hw}\hb}
\le\,\bnone{\hb\ens{\ha\big|\ha\tdf_n\ha\big|>\ha\eps\hw/\alf\ha}\hb}+\,\eps$\pv\vva donc\quad
$\suplim{n}\,\ \bnone{\hb\ens{\ha\big|\ha\tdf_n\;\tdg\hb\big|>\eps\ha}\hb}
\le\,\eps$\pv donc\,\hh$\tdf_n\;\tdg\ms0$\vbc

\Th{\num}Soient\, $\tdf_n\vv\tdg\ha_n\,,\hb\tdf,\,\tdg\in\LL^2,\,\ \tdf_n\ms\tdf,\,\
\tdg\ha_n\ms\tdg$\pv alors\,\hh$\tdf_n\;\tdg\ha_n\ms\tdf\,\tdg$\vb

\Dem$\tdf_n\:\tdg\ha_n-\tdf\hb\tdg\,=\,(\tdf_n-\tdf)\,\tdg\,+\,\tdf\,(\tdg\ha_n-\tdg)\,
+\,(\tdf_n-\tdf)\,(\tdg\ha_n-\tdg)$\pv\vva on a d\e j\ac\,\hh$(\tdf_n-\tdf)\,\tdg\ms0$\,\hh
et\,\hh$\tdf\,(\tdg\ha_n-\tdg)\ms0$\pv par ailleurs \hb on a\,\hh
$\all\eps>0$\vva$\Big\{\ha\big|\ha(\tdf_n-\tdf)\,(\tdg\ha_n-\tdg)\ha\big|>\eps\ha\Big\}
\ha\le\ha\ens{\hb\big|\ha\tdf_n-\tdf\ha\big|>\sqrt{\eps}\,}\ve
\ens{\hb\big|\hb\tdg\ha_n-\tdg\hb\big|>\sqrt{\eps}\,}\one0$\pv
donc\vvaab$(\tdf_n-\tdf)\,(\tdg\ha_n-\tdg)\ms0$\pv finalement\,\hh
$\tdf_n\:\tdg\ha_n-\tdf\hb\tdg\ms0$\ha\vg\ha\cad\,\hh$\tdf_n\;\tdg\ha_n\ms\tdf\,\tdg$\vc

\Th{\num}Soient\,\hh$\tdf_n\vv\tdf\in\LL^1$\pv alors\quad$\tdf_n\ms\tdf$\,\hh
ssi\quad\fbox{\hb$\un\wa\hi{\big|}\ha\tdf_n-\tdf\hb\hi{\big|}\one0$\hb}\vb

\Dem Posons\,\hh$\nn\,\hh\tdg\ha_n=\hi{\big|}\ha\tdf_n-\tdf\hb\hi{\big|}$\,\hh
et\,\hh$\tdh\hb_n=\un\wa\hb\tdg\ha_n$\pv\vva

a)\hh$\imp$\dd On a\,\hh$\tdh\hb_n=\un\wa\tdg\ha_n\ms\un\wa\ha0=\ha0$\pv or\,\hh$\nn\,\hh
0\le\tdh\hb_n\le\un$\pv la suite\, $\tdh\hb_n$\, est donc domin\e e\pv on en d\e duit\,\hh$\tdh\hb_n\one0$\va

b)\hh$\pmi$\dd Soit\,\hh$0<\eps<1$\pv on a\,\hh$\ens{\tdh\hb_n>\eps}=\ens{\un>\eps}\,
\ens{\tdg\ha_n>\eps}=\ens{\tdg\ha_n>\eps}$\pv\vvwwa or\,\hh$\tdh\hb_n\one0$\vg donc\,\hh
$\tdh\hb_n\ms0$\vg on en d\e duit\,\hh$\ens{\tdh\hb_n>\eps}\one0$\hb\vg\cad\,\hh
$\ens{\tdg\ha_n>\eps}\one0$\pv\vvw donc\,\hh$\tdg\ha_n\ms0$\vbc

\Def{\num}Une\, \underline{pseudo-norme}\, sur un espace vectoriel r\e el\, V\, est une application\vvw
$\nrm{\ }\ :\ \V\to\R^+$\,\hh v\e rifiant les propri\e t\e s suivantes\vvab

\qquad1)\hh$\all u\in\V\,\hh\Big[\;\nrm{\ha u\ha}=\ha0\ \imp\:u\ha=\ha0\;\Big]$\vva
\qquad2\ha)\hh$\all u\vv v\in\V\quad\nrm{\ha u+v\ha}\le\nrm{\ha u\ha}+\nrm{\ha v\ha}$\vva
\qquad3\ha)\hh$\all u\in\V\quad\nrm{\!-u\hb}=\nrm{\ha u\ha}$\vva
\qquad4\ha)\hh$\all u\in\V
\quad\all\lam\ge1\hhh\nrm{\ha u\ha}\le\nrm{\ha\lam\: u\ha}\le\lam\,\nrm{\ha u\ha}$\vbc

\Th{\num*}La topologie de la convergence en mesure dans\, $\LL^1$\, est d\e finie par la\vvaab
pseudo-norme\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\hi{\big\|}\ha\tdf\hb\hi{\big\|}_{\ha\mrom{m\hw s}}\hb
=\hb\bnone{\hb1\wa\hi{\big|}\ha\tdf\ha\hi{\big|}\ha}\,\ \le\bnone{\ha\tdf\ha}\pt$}
\put(3,-4){\frm(42,10)}
\end{picture}\vvc

\Th{\num}\vvwa Soient\,\hh$\tdf_n\vv\tdf\in\big(\LL^1\big)^+$;\: alors\quad
$\tdf_n\ms\tdf$\quad ssi\quad$\all\alf>0\quad\alf\wa\tdf_n\one\alf\wa\tdf$\vab

\Dem\vvwa
a)\hh$\imp$\dd$\all\alf>0$\,\hh on a\,\hh$\alf\wa\tdf_n\ms\alf\wa\tdf$\vg donc\,\hh$\alf\wa\tdf_n\one\alf\wa\tdf$\va

b)\hh$\pmi$\dd Soient\, $\eps>0$\, et\, $\alf\ge\hw\eps$\pv on a\vva
$\ens{\ha\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|>\eps\ha}\le\ens{\ha\big|\hb\tdf_n-\tdf_n\wa\alf\hb\big|>\eps\ha}\ha
+\,\ens{\ha\big|\hb\tdf_n\wa\alf-\tdf\wa\alf\hb\big|>\eps\ha}\ha+\,\ens{\ha\big|\hb\tdf-\tdf\wa\alf\hb\big|
>\eps\ha}$\vva
$=\ens{\ha\tdf_n-\tdf_n\wa\alf>\eps\ha}\ha+\,\ens{\ha\big|\hb\tdf_n\wa\alf-\tdf\wa\alf\hb\big|>\eps\ha}\ha
+\,\ens{\ha\tdf-\tdf\wa\alf>\eps\ha}$\pv\vvwa
On a d'ailleurs\vvwa$\ens{\ha\tdf-\tdf\wa\alf>\eps\ha}=\ens{\ha\tdf-\eps>\tdf\wa\alf\ha}
=\ens{\ha\tdf-\eps>\tdf\ha}\ve\ens{\ha\tdf-\eps>\alf\ha}=\ens{\ha\tdf>\alf+\eps\ha}$\va
De m\^eme\quad$\ens{\ha\tdf_n-\tdf_n\wa\alf>\eps\ha}=\hb\ens{\ha\tdf_n>\alf+\eps\ha}\ha
\le\hb\ens{\ha\tdf_n>\alf\ha}=\hb\ens{\ha\tdf_n\wa\alf>\alf\ha}$\vva
$=\hb\ens{\ha\tdf_n\wa\alf-\tdf\!\wa\alf+\tdf\wa\alf>\alf\ha}\ha
\le\hb\ens{\ha\tdf_n\wa\alf-\tdf\!\wa\alf>\eps\ha}\ha+\,\ens{\ha\tdf\!\wa\alf>\alf-\eps\ha}$\vva
$\le\hb\ens{\ha|\hb\tdf_n\wa\alf-\tdf\!\wa\alf\hb|>\eps\ha}\ha
+\,\ens{\ha\tdf>\alf-\eps\ha}$\vaab On en d\e duit\quad
$\ens{\ha\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|>\eps\ha}\le\,2\ \ens{\ha\tdf>\alf-\eps\ha}\ha
+\:2\ \ens{\ha\big|\hb\tdf_n\wa\alf-\tdf\!\wa\alf\hb\big|>\eps}$\pv\vva
on peut donc \e crire\,\hh$\all\eps>0\,\hh\all\alf\ge\hw\eps\,\quad
\suplim{n}\hh\bnone{\ha\ens{\ha\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|>\eps\ha}\hb}
\le\,2\ \bnone{\hb\ens{\ha\tdf>\alf-\eps\ha}\ha}$\pv\vva
en faisant tendre\, $\alf$\, vers\, $\pin$\, on trouve bien\quad$\all\eps>0\,\quad
\suplim{n}\hh\bnone{\ha\ens{\ha\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|>\eps\ha}\hb}=\,0$\vc

\Def{\num}Une suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\, est\, \underline{de Cauchy en mesure}\; (\ha\Cms\ha)\; ssi\vvbc
\begin{picture}(,)
\put(15,0){$\al\ \del\vv\eps>0$\,\hh il existe\hh$n\in\N$\,\hh tel que\hh
$\all p>n\,\hh\bnone{\,\ens{\ha\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|>\eps\ha}\hb}\le\hb\del$\ha\hh.}
\put(12.5,-4){\frm(135.25,10.25)}
\end{picture}\vvd

\num\ \tsc{\underline{Crit\ee re\ha\ pratique}}\dd Une suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\, est\; \Cms\; ssi\vvbc
\begin{picture}(,)
\put(18.5,0){$\all\eps>0$\,\hh il existe\hh$n\in\N$\,\hh tel que\hh
$\all p>n\,\hh\bnone{\,\ens{\ha\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|>\eps\ha}\hb}\le\hb\eps$\hh.}
\put(16,-4){\frm(129.5,10.25)}
\end{picture}\\\vva

\Dem\vva
a)\hh$\imp$\dd Trivial\va

b)\hh$\pmi$\dd Soient\hh$\del>\ha0$\hh et\hh$\eps>\ha0$\pv supposons\hh$\eps\ha\le\ha\del$\hh et soit\hh
$n\in\N$\hh tel que\vva$\all p>n\,\hh\bnone{\,\ens{\ha\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|>\eps\ha}\hb}\le\,\eps$\pv
alors on a aussi\,\hh$\bnone{\,\ens{\ha\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|>\eps\ha}\hb}\le\,\del$\pv\vva
supposons\hh$\del\ha\le\ha\eps$\hh et soit\hh$n\in\N$\hh tel que\,\hh
$\all p>n\,\hh\bnone{\,\ens{\ha\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|>\del\ha}\hb}\le\,\del$\pv\vva alors on a aussi\,\hh
$\bnone{\,\ens{\ha\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|>\eps\ha}\hb}\le\bnone{\,\ens{\ha\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|
>\del\ha}\hb}\le\,\del$\vc

\Th{\num}Une suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\, est de Cauchy en mesure ssi l'une des trois conditions
\e quivalentes suivantes est v\e rifi\e e\vvab

\qquad1)\hh$\all\eps>0$\,\quad la suite\,\hh
$\alf\ha_n\ha=\hb\sup\pos_{p\:>\:n}\,\bnone{\,\ens{\ha\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|>\eps}\,}\to0$\vab
\qquad2\ha)\hh$\all\eps>0$\,\quad la suite\,\hh
$\beta\ha_n\ha=\hb\sup\pos_{p\:>\:n}\,\bnone{\,\ens{\ha\tdf_p-\tdf_n>\eps}\,}\to0$\vva
\hs{27.5mm}et\, la suite\,\hh
$\gam\ha_n\ha=\hb\sup\pos_{p\:>\:n}\,\bnone{\,\ens{\ha\tdf_n-\tdf_p>\eps}\,}\to0$\vab
\qquad3\ha)\hh$\all\eps>0$\,\quad la suite\,\hh
$\del\ha_n\ha=\hb\sup\pos_{p\:>\:n}\,\bnone{\,\un\wa\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|\,}\to0$\vb

\Dem Analogue aux d\e monstrations pr\e c\e dentes\vc

\Def{\num}Une suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\, est\ \underline{domin\e e en mesure}\; (\ha\Dms\ha)\; ssi\vvb
\begin{picture}(,)
\put(40,0){$\sup\pos_n\ \bnone{\hb\ens{\hb\big|\ha\tdf_n\ha\big|\ge\ha\alf\ha}\ha}\,\to\,0$\,\hh quand\quad
$\alf\to\pin$\hb\hh.}
\put(37,-4.5){\frm(88.5,10.5)}
\end{picture}\vvd

\Th{\num}
\begin{picture}(,)
\put(0,0){\Cms\hh$\imp$\, \Dms\hh.}
\put(-1.7,-2){\frm(30.25,6.7)}
\end{picture}\vvb

\Dem Soit\hh$\eps>0$\hh et soit\hh$n\in\N$\hh tel que\,\hh$\all p>n\quad
\bnone{\hb\ens{\hb\big|\ha\tdf_p-\tdf_n\ha\big|>\eps\ha}\hb}\le\hb\eps$\pv\vva choisissons\hh$\beta>\ha0$\hh
tel que\,\hh$\bnone{\hb\ens{\hb\big|\ha\tdf_n\ha\big|>\beta\ha}\hb}\le\hb\eps$\pv on a\,\hh
$\underline{\underline{\all p>n}}$\vva$\ens{\hb|\ha\tdf_p\ha|>\beta+\eps\ha}
\le\ens{\hb\big|\ha\tdf_p-\tdf_n\ha\big|+\big|\ha\tdf_n\ha\big|>\beta+\eps\ha}
\le\ens{\hb\big|\ha\tdf_p-\tdf_n\ha\big|>\eps\ha}+\ens{\hb\big|\ha\tdf_n\ha\big|>\beta\ha}\le\hb2\;\eps$\vab
Par ailleurs choisissons\hh$\alf\ge\hb\beta+\eps$\hh tel que\quad$\underline{\underline{\all p\le n}}$\quad
$\bnone{\hb\ens{\hb\big|\ha\tdf_p\ha\big|>\ha\alf\ha}\hb}\le\hb2\ \eps$\pv\vvwa
alors on a\,\hh$\all p\in\N\,\hh\bnone{\hb\ens{\hb\big|\ha\tdf_p\ha\big|>\ha\alf\ha}\hb}\le\hb2\ \eps$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Convergence presque partout}}\vva

(\ha D\e monstrations analogues \ac\ celles du paragraphe pr\e c\e dent\ha)\vc

\Def{\num}Soient\hh$\tdf_n\vv\tdf\in\LL^1$\pv on dit que\, $\tdf_n$\, converge\, \underline{presque partout}\,
vers\, $\tdf$\vva ssi\,\hh\fbox{\;$\all\eps>0\quad\ens{\ha\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|>\eps\ha}\fin0$\;}\;.\;
On \e crit\,\hh$\tdf_n\pp\tdf$\,\hh et on note\,\hh\fbox{\,$\tdf=\ha\Lim{\sbs{\\n}}\ \tdf_n$\ha}\ha\vcd

\Th{\num}$\tdf_n\pp\tdf$\quad ssi\quad$\all\eps>0\,\hh\Big[\ \ens{\ha\tdf_n>\tdf+\eps}
\fin0$\quad et\,\hh$\ens{\ha\tdf>\tdf_n+\eps}\fin0\ \Big]$\vd

\Th{\num}$\tdf_n\pp\tdf$\quad ssi
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\all\eps>0\quad\Suplim{n}\ \ens{\ha\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|>\eps\ha}=\,0$\hh.}
\put(2.75,-4){\frm(66.15,10)}
\end{picture}\vvf

\num\ \tsc{\underline{Crit\ee re\ha\ pratique\hb\ 1}}\dd$\tdf_n\pp\tdf$\quad ssi
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\all\eps>0\quad\bnone{\ \Suplim{n}\ \ens{\ha\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|>\eps\ha}\,}\le\,\eps$\: .}
\put(3,-4){\frm(74,10)}
\end{picture}\vvd

\num\ \tsc{\underline{Crit\ee re\ha\ pratique\: 2}}\dd$\tdf_n\pp\tdf$\quad ssi\vvbc
\begin{picture}(,)
\put(25,0){$\all\eps>0$\,\hh il existe\hh$n\in\N$\hh tel que\hh
$\Bnone{\ \Sup{p\,\ge\,n}\ \ens{\hb\big|\hb\tdf_p-\tdf\hb\big|>\eps\ha}\,}\le\,\eps$\ha\hh.}
\put(22,-5.25){\frm(120.5,12)}
\end{picture}\vvd

\num\ \tsc{\underline{Crit\ee re\ha\ pratique\: 3}}\dd$\tdf_n\pp\tdf$\quad ssi\vvb
\hs{15.5mm}\fbox{ $\all\eps>0$\hh il existe\; $p\in\N$\; tel que\,\hh
$\all q\ge p\,\hh\rbox{-.5mm}{\Big\|}\,\Sup{p\:\le\:r\:\le\:q}\ens{\hb\big|\hb\tdf_r-\tdf\hb\big|>\eps\ha}\,
\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}\!\le\hb\eps\ph{\dot{\dot{\big|}}}$\hs{-.5mm}}\ha\vcd

\Th{\num}$\tdf_n\pp\tdf$\quad ssi\quad\fbox{\,$\un\wa\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|\fin0$\,}\ha\vbc

\Th{\num}$\all\tdf_n\vv\tdf\in\LL^1$\hh on a\quad$\tdf_n\pp\tdf\ \imp\ \tdf_n\ms\tdf$\pv\ha
si la suite\, $\tdf_n$\, est\, \underline{monotone}\vvww on a\quad$\tdf_n\pp\tdf\ \sam\ \tdf_n\ms\tdf$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf_n\vv\tdf\in\LL^1$\hh on a\quad$\tdf_n\fin\tdf\ \imp\ \tdf_n\pp\tdf$\pv\ha
si la suite\, $\tdf_n$\, est\ha\ \textbf{domin\e e}\vvww on a\quad$\tdf_n\fin\tdf\ \sam\ \tdf_n\pp\tdf$\vbc

\Def{\num}Une suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\, est\, \underline{de Cauchy\, \PP}\; (\ha\Cpp\ha)\; ssi\vvb
\begin{picture}(,)
\put(17.5,0){$\al\ \del\vv\eps>0$\,\hh il existe\hh$n\in\N$\,\hh tel que\hh
$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\ \Sup{p\:>\:n}\;\ens{\ha\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|>\eps\ha}\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}\!\le\,\del$\ha\hh.}
\put(15,-5){\frm(127.25,11)}
\end{picture}\vvd

\num\ \tsc{\underline{Crit\ee re\ha\ pratique}}\dd Une suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\, est\; \Cpp\; ssi\vvb
\begin{picture}(,)
\put(21.25,0){$\all\eps>0$\,\hh il existe\hh$n\in\N$\,\hh tel que\hh
$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\ \Sup{p\:>\:n}\;\ens{\ha\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|>\eps\ha}\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}\!\le\,\eps$\ha\hh.}
\put(18.75,-5){\frm(121.5,11)}
\end{picture}\vvd

\Th{\num}Une suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\, est de Cauchy\, \PP\, ssi l'une des trois conditions \e quivalentes suivantes est v\e rifi\e e\dd\vvab

\qquad1)\hh$\all\eps>0$\,\quad la suite\,\hh$\alf\ha_n\ha=\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\:>\:n}\ha\
\ens{\ha\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|>\eps\hb}\hb\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}\to0$\vvab
\qquad2\ha)\hh$\all\eps>0$\,\quad la suite\,\hh$\beta\ha_n\ha=\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\:>\:n}\ha\
\ens{\ha\tdf_p-\tdf_n>\eps}\hb\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}\to0$\vva
\hs{27.25mm}et\, la suite\,\hh$\gam\ha_n\ha=\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\:>\:n}\ha\
\ens{\ha\tdf_n-\tdf_p>\eps}\hb\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}\to0$\vvab
\qquad3\ha)\hh$\all\eps>0$\,\quad la suite\,\hh$\del\ha_n\ha=\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\:>\:n}\
\big(\ha\un\wa\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|\hb\big)\hb\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}\to0$\vcd

\Def{\num}Une suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\, est\, \underline{domin\e e\, \PP}\; (\ha\Dpp\ha)\; ssi\vvb
\begin{picture}(,)
\put(42.5,-1){$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{n}\
\ens{\hb\big|\ha\tdf_n\ha\big|\ge\alf\hb}\ha\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}\to0$\quad quand\,\hh$\alf\to\pin$\hb\hh.}
\put(40.25,-5.5){\frm(87.25,10.5)}
\end{picture}\vvd

\Th{\num}On a le sch\e ma d'implication suivant\, :\vvb

\hs{60mm}\Cpp\hb\hh$\imp$\hh \Cms\vvww
\hs{63mm}$\Down$\hs{16mm}$\Down$\vvww
\hs{60mm}\Dpp\hb\hh$\imp$\hh \Dms\\
\begin{picture}(,)
\put(57,3){\frm(34,25)}
\end{picture}\vva

Pour une suite\, \underline{monotone}\, on a de plus\,\hh
\fbox{\,\Dpp\hh$\sam$\: \Dms\,}\,\hh et\,\hh\fbox{\,\Cpp\hh$\sam$\: \Cms\,}\vbc

\Def{\num}Une suite\hh$\sig_n\in\KK$\: est\; \underline{totale}\hh ssi\, elle est\,
\underline{croissante}\, et\hh$\sig_n\one\un$\vbc

\Th{\num}Une suite\hh $\tdf_n\in\LL^1$\hh converge\, \PP\, vers\, $0$\, ssi\hh$\all\eps>0$\hh
il existe une\vva suite\, \underline{totale}\hh$\sig_n\in\KK$\hh telle que\,\hh
\fbox{\,$\nn\,\hh\sig_n\:\big|\ha\tdf_n\ha\big|\le\ha\eps$\,}\ha\vb

\Dem\vvwa
a)\hh$\imp$\dd Soit\hh$\eps>0$\hh et posons\hh$\nn\,\hh\sig_n=\Inf{\sbs{\\[.25mm]p\,\ge\,n}}\,
\ens{\ha\big|\ha\tdf_p\ha\big|\le\eps\ha}$\pv alors\, $\sig_n$\, est une suite\vvw totale\ha\ et on a\,\hh
$\nn\quad\sig_n\,\big|\ha\tdf_n\ha\big|\ha\le\ens{\ha\big|\ha\tdf_n\ha\big|\le\eps\hw}\,
\big|\ha\tdf_n\ha\big|\ha\le\hb\eps$\vab

b)\hh$\pmi$\dd Soit\hh$\eps>0$\pv posons\,\hh$\nn\,\hh\TDF_n=\hb\Sup{p\,\ge\,n}\ \big|\ha\tdf_p\ha\big|$\vvww
et\,\hh$\tau_n\hw=\,\Sup{p\,\ge\,n}\ \ens{\ha\tdf_p\ge\eps\ha}=\ha\ens{\hw\TDF_n\ge\eps\ha}$\hb;\,
posons de plus\ha\hh$\tau=\ha\Inf{n}\ \tau_n$\pv\vvwwa on peut donc \e crire\ha\hh
$\nn\,\hh\TDF_n\ge\ha\tau_n\;\TDF_n\ge\ha\tau_n\;\eps\ge\ha\tau\:\eps$\vaab

Soit une suite totale\hh$\sig_n\in\KK$\hh telle que\,\hh$\nn\,\hh\sig_n\:\big|\ha\tdf_n\ha\big|\ha
\le\ha\Frac{\eps}{2}$\pv on a alors aussi\vvwa$\all p\ge n\,\hh\sig_n\:\big|\ha\tdf_p\ha\big|\ha
=\hb\sig_n\:\sig_p\:\big|\ha\tdf_p\ha\big|\le\ha\sig_n\:\Frac{\eps}{2}\le\ha\Frac{\eps}{2}$\pv
donc\,\hh$\nn\,\hh\sig_n\,\TDF_n\le\ha\Frac{\eps}{2}$\pv on en d\e duit\vvwwa
$\sig_n\:\tau\:\eps\le\ha\sig_n\,\TDF_n\le\ha\Frac{\eps}{2}$\vg donc\hh$\nn\,\hh\sig_n\,\tau\,\eps
\le\ha\Frac{\eps}{2}$\vg\cad\,\hh$\sig_n\,\tau\le\ha\Inv{2}$\pv
en faisant\, $n\to\pin$\vvwwa on obtient\hh$\tau\le\ha\Inv{2}$\pv donc\hh$\tau=\ha0$\vbc

\Cor{\num*}Une suite\hh $\tdf_n\in\LL^1$\hh converge\, \PP\, vers\, $\tdf\in\LL^1$\, ssi\hh$\all\eps>0$\hh
il existe\vva une suite\, \underline{totale}\hh$\sig_n\in\KK$\hh telle que\,\hh
\fbox{\,$\nn\,\hh\sig_n\,\big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|\le\ha\eps$\,}\ha\vc

\Cor{\num*}Une suite\hh $\tdf_n\in\LL^1$\hh est\, \Cpp\, ssi\hh$\all\eps>0$\hh
il existe une suite\, \underline{totale}\vva$\sig_n\in\KK$\hh telle que\,\hh
\fbox{\,$\nn$\ha\hh et\ha\hh$\all p>n\,\hh\sig_n\:\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\ha\big|\le\ha\eps$\,}\ha\vf

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{D\e riv\e e de la primitive d'une fonctionnelle sommable}}\vvbc

\oui Rappelons que si\, $\JJ$\, est un intervalle born\e\ de\, $\R$\vg alors\, $\big|\ha\JJ\hb\big|$\,
repr\e sente sa longueur\vc

\num\ \underline{Lemme de Vitali}\dd Soit\, $\ens{\JJ\ha_1\vv\ldots\vv\JJ\ha_n}$\, une famille finie d'intervalles born\e s de\, \mbox{$\R$\,,}\vvwa
on pose\hh$\SY=\,\bigcup\pos_i\,\JJ\ha_i$\ha\pv\ha alors il existe une sous-famille\hh$\ens{\JJ_{\ha p_{\hw1}}\vv\ldots\vv\JJ_{\ha p_{\ha\nu}}}$\hh telle que\vva
1)\hh$i\ne j\ \imp\,\JJ_{\ha p_{\ha i}}\cap\JJ_{\ha p_{\hw j}}=\ha\emptyset$\hhh\big(\hb les\, $\JJ_{\ha p_{\ha i}}$\, sont disjoints\hb\big)\vvab
2)\hh\fbox{ $\sum\pos_{i\,=\ha1}^\nu\big|\ha\JJ_{\ha p_{\ha i}}\big|\hb\ge\hb\Inv{3}\ \big\|\ha\un_{\ha\SY}\hb\big\|_{\hw1}$\ha}\ha\vcd

\Dem On peut supposer\hh$\big|\ha\JJ\ha_1\ha\big|\ge\big|\ha\JJ\ha_2\ha\big|\ge\ldots\ge\big|\ha\JJ\ha_n\ha\big|$\pv
on \, choisit\, $p\ha_1=1$\pv\vvw on choisit\, $p\ha_2$\, \underline{minimum}\,
tel que\, $\JJ\ha_{p_{\ha2}}\cap\JJ\ha_{p_{\ha1}}=\hb\emptyset$\pv\vvw on choisit\, $p\ha_3$\,
\underline{minimum}\, tel que\, $\JJ\ha _{p_{\ha3}}\cap\big(\JJ\ha_{p_{\ha1}}\cup\JJ\ha_{ p_{\ha2}}\big)=\hb\emptyset$\vg et ainsi de suite\vwa

On arr\^ete le processus d\ee s qu'il n'existe plus de\, $\JJ\ha_q$\, disjoint de la r\e union des\, $\JJ\ha_{p_{\ha i}}$\vvww
d\e j\ac\ choisis\pv on appelle\hh$\nu\le n$\hh le nombre total de\, $\JJ\ha_{p_{\ha i}}$\, choisis\vwa

$\all\ha1\ha\le\ha i\ha\le\ha\nu$\hh appelons\; $\JJ\ha_{p_{\ha i}}^{\hb\bul}$\; l'intervalle ferm\e\
de m\^eme centre que\, $\JJ\ha_{p_{\ha i}}$\, et de longueur\vvw trois fois plus grande\pv
soit\, $q\le n$\hh tel que\, $\JJ\ha_q$\, n'a pas \e t\e\ choisi\vg et supposons\vvw
$p\ha_k\hw<\ha q\hw<\ha p\ha_{k\hb+\hw1}$\pv alors\hh
$\JJ\ha_q\cap\big(\JJ\ha_{p_{\ha1}}\cup\JJ\ha_{p_{\ha2}}\cup\ldots\cup\JJ\ha_{p_{\ha k}}\big)\ne\hb\emptyset$\pv
comme pour\hh$1\le i\le\hw p\ha_k$\vvw la longueur de\, $\JJ\ha_q$\, est inf\e rieure \ac\ celle de chacun
des\, $\JJ\ha_{p_{\ha i}}$\vg on a n\e cessairement\vvwa$\JJ\ha_q\sub\JJ\ha_{p_{\ha1}}^{\hb\bul}
\cup\JJ\ha_{p_{\ha2}}^{\hb\bul}\cup\ldots\cup\JJ\ha_{p_{\ha k}}^{\hb\bul}$\pv donc\,\hh
$\SY\sub\JJ\ha_{p_{\ha1}}^{\hb\bul}\cup\JJ\ha_{p_{\ha2}}^{\hb\bul}\cup\ldots
\cup\JJ\ha_{p_{\ha k}}^{\hb\bul}$\vg donc\,\hh$\big\|\ha\un_{\ha\SY}\hb\big\|_{\hw1}
\le\hb3\,\sum\pos_{i\,=\ha1}^\nu\big|\ha\JJ_{\ha p_{\ha i}}\big|$\vcd

\Def{\num}Soit\: $\tdf\in\LL^1$\pv on pose\,\hh\underline{$\all s\vv t>\ha0$}\quad$\all x\in\ab$\vvb
\hs{45mm}\fbox{\,$\Phist\hb(\tdf)\hb(x)\ha=\ha\Inv{s+t}\,
\int_{x\ha-\ha s}^{\hb x\,+\,t}\hs{-3mm}\tdf\ha(u)\;d\hb u$\,}\ha\vbc

\oui On convient de prolonger\, $\tdf$\, par\, 0\, en dehors de\, $\ab$\, afin que cette expression
ait bien un sens\hh$\all s>0$\hh et\hh$\all\ha t>0$\pt
Remarquons que\ha\hh$\all s\vvv t>0\,\hh\Phist\hb(\tdf)\in\ha\CC$\vc

\Lem{\num}\vva Soit\; $\tdh\in\big(\LL^1\big)^+$\, et\ha\hh$\eps>0$\pv
posons\quad$\RX\ha=\hs{-2mm}\bigcup\pos_{\sbs{\ph{.}\\[.2mm]s\,+\,t\:\le\,1}}\hs{-2mm}\ens{\hb x\in\ab\;\|\;\Phist\hb(\ha\tdh\ha)\hb(x)>\eps\hb}$\hb;\vvwa
alors\, $\RX$\, est un ouvert de\: $\ab$\hh et\hb\hh\fbox{\hb$\none{\hb\un\hw_\RX\hb}=\ha\rbox{-.5mm}{\Big\|}\hb\Sup{\sbs{\\s\,+\,t\:\le\,1}}
\ens{\ha\Phist\hb(\ha\tdh\ha)>\eps\ha}\hb\rbox{-.5mm}{\Big\|}_1\le\,\Frac{3}{\eps}\ \hj{\big\|}\hb\tdh\hb\hj{\big\|}\ha_1$\ha}\ha\vbc

\Dem$\RX$\, est un ouvert de\: $\ab$\; car\; $\Phist\hb(\tdh)$\; est une fonction continue sur\, $\ab$\va
Soit\hh$x\in\RX$\pv alors il existe\hh$s>0$\hh et\hh$t>0$\hh tels que\hh$s+t\le1$\hh et\hh$\Phist\hb(\tdh)\hb(x)>\eps$\vg\vva
\cad\hh$\Int_{x\ha-\ha s}^{x\,+\,t}\hs{-3mm}\tdh\hb(u)\;d\,u>\ha\eps\,(s+t)$\pt Pour chaque\: $x\in\RX$\;
choisissons\, $s$\, et\, $t$\, v\e rifiant les\vva propri\e t\e s ci-dessus et posons\,
$\JJ\ha_x=\ ]\:x-s\vv x+\ha t\:[$\pv la famille des\,  $\JJ\ha_x$\, recouvre\, $\RX$\vab

Soit alors\, $\KX$\, une r\e union\, \underline{finie}\, d'intervalles\, \underline{ferm\e s}\, inclus \ac\, $\RX$\pv
comme\, $\KX$\, est compact\,,\vvw un nombre fini des\, $\JJ\ha_x$\, recouvre d\e j\ac\: $\KX$\pv
gr\^ace au lemme de Vitali on peut en choisir\vvw un certain nombre qui soient\, \underline{disjoints}\,
et dont la somme des longueurs soit sup\e rieure\vvw \ac\hh$\dis{\inv{3}}\ \none{\ha\un_{\ha\KX}\hb}$\vaab

\newpage
Soient\, $]\:x-s\ha_i\vv x+\ha t\hw_i\,[$\, ces intervalles\pv la somme de leurs longueurs \e tant \e gale \ac\vvwa$\sum\pos_i\ha s\ha_i+\ha t\hw_i$\vg
on peut \e crire\hh$\dis{\inv{3}}\ \none{\hb\un_{\hb\KX}\hb}\ha\le\,\sum\pos_i\ha s\ha_i+\ha t\hw_i\hb<\,\Inv{\eps}\
\sum\pos_i\Int_{x\ha-\ha s_i}^{x\,+\,t_i}\hs{-3mm}\tdh\hb(u)\;d\,u\,\le\,\Inv{\eps}\ \hi{\big\|}\hb\tdh\hb\hi{\big\|}_1$\vwa
Comme\hh$\none{\ha\un_{\ha\KX}\hb}$\hh peut \^etre rendu aussi proche que l'on veut de\, $\none{\hb\un_{\hw\RX}\hb}$\vg on en d\e duit\vva
$\none{\hb\un_{\hw\RX}\hb}\le\ha\Frac{3}{\eps}\ \hi{\big\|}\hb\tdh\hb\hi{\big\|}_1$\vcd

\Th{\num}Soit\, $\tdf\in\LL^1$\pv alors\,\hh\fbox{\,$\Phist\pp\tdf$\:}\,\hh quand\ha\hh$s+t\to0$\ha\vg\ha\cad\vvab
$\all\eps>0\,\hh\Limst\,\Big\{\ha\big|\,\Phist\hb(\tdf)\ha-\tdf\hb\big|>\eps\ha\Big\}
=\,\Inf{\sbs{\ph{.}\\[.75mm]\del\,\ge\:0}}\,\ \Sup{\sbs{\ph{.}\\[-.25mm]s\,+\,t\,\le\:\del}}\,\Big\{\ha\big|\,
\Phist\hb(\tdf)\ha-\tdf\hb\big|>\eps\ha\Big\}=\,0$\ha\vb

\Dem Soit\, $\eps>0$\, et soit\hh$g\in\hb\EE$\hh tel que\hh$\bnone{\hb\tdf-g\hb}\le\ha\eps\hb^2$\pv
on peut \e crire\vvaab$\Big\{\ha\big|\,\Phist\hb(\tdf)\ha-\tdf\hb\big|>\eps\ha\Big\}
=\,\Big\{\ha\big|\,\Phist\hb(\tdf-g)\ha+\,\Phist\hb(g)-g-\ha(\tdf-g)\hb\big|>\eps\ha\Big\}$\vva
$\le\,\Big\{\ha\big|\,\Phist\hb(\tdf-g)\ha\big|\ha+\ha\big|\,\Phist\hb(g)-g\hb\big|\ha+\ha\big|\ha\tdf-g\hb\big|\ha>\eps\ha\Big\}$\vva
$\le\,\Big\{\ha\big|\,\Phist\hb(\tdf-g)\ha\big|>\,\Frac{\eps}{3}\ha\Big\}\ha+\ha\Big\{\big|\,\Phist\hb(g)-g\hb\big|>\,\Frac{\eps}{3}\ha\Big\}\ha
+\ha\Big\{\ha\big|\hb\tdf-g\hb\big|>\,\Frac{\eps}{3}\Big\}\ha$\vva
$\le\,\Big\{\ha\Phist\hb\big(\hb\big|\ha\tdf-g\hb\big|\hb\big)>\,\Frac{\eps}{3}\ha\Big\}\ha
+\ha\Big\{\big|\,\Phist\hb(g)-g\hb\big|>\,\Frac{\eps}{3}\ha\Big\}\ha+\,\Frac{3}{\eps}\ \big|\hb\tdf-g\hb\big|$\vbc

On en d\e duit\,\hh$\Limst\,\Big\{\ha\big|\,\Phist\hb(\tdf)\ha-\tdf\hb\big|>\eps\ha\Big\}$\vvw
$\le\,\Limst\,\Big\{\ha\Phist\hb\big(\hb\big|\ha\tdf-g\hb\big|\hb\big)>\,\Frac{\eps}{3}\ha\Big\}\ha
+\,\Limst\,\Big\{\big|\,\Phist\hb(g)-g\hb\big|>\,\Frac{\eps}{3}\ha\Big\}\ha+\,\Frac{3}{\eps}\ \big|\hb\tdf-g\hb\big|$\vb

Comme\hh$g\in\ha\EE$\vg il est facile de voir que\hh$\Phist\hb(g)\pp g$\hh quand\ha\hh$s+t\to0$\pv
on a donc\vvab$\Limst\,\Big\{\ha\big|\,\Phist\hb(\tdf)\ha-\tdf\hb\big|>\eps\ha\Big\}\,
\le\,\Limst\,\Big\{\ha\Phist\hb\big(\hb\big|\ha\tdf-g\hb\big|\hb\big)>\,
\Frac{\eps}{3}\ha\Big\}\ha+\,\Frac{3}{\eps}\ \big|\hb\tdf-g\hb\big|$\vvaab
\hs{53.5mm}$\le\Sup{\sbs{\\s\,+\,t\:\le\,1}}\Big\{\ha\Phist\hb\big(\hb\big|\ha\tdf-g\hb\big|\hb\big)>\,
\Frac{\eps}{3}\ha\Big\}\ha+\,\Frac{3}{\eps}\ \big|\hb\tdf-g\hb\big|$\vvab

$\Big\|\hb\Limst\,\Big\{\ha\big|\,\Phist\hb(\tdf)\ha-\tdf\hb\big|>\eps\ha\Big\}\,\Big\|_1$\vvaab
\hs{47.5mm}$\le\,\Big\|\hb\Sup{\sbs{\\s\,+\,t\:\le\,1}}\Big\{\ha\Phist\hb\big(\hb\big|\ha\tdf-g\hb\big|\hb\big)>\,
\Frac{\eps}{3}\ha\Big\}\,\Big\|_1+\,\Frac{3}{\eps}\ \big\|\hb\tdf-g\hb\big\|_1$\vvab
\hs{47.5mm}$\le\,\Frac{9}{\eps}\ \big\|\hb\tdf-g\hb\big\|_1+\,\frac{3}{\eps}\ \big\|\hb\tdf-g\hb\big\|_1\ha
=\,\frac{12}{\eps}\ \big\|\hb\tdf-g\hb\big\|_1\le\,12\ \eps$\vb
Par le\: \tsc{crit\ee re\ha\ pratique\hb\ 1}\: on en conclut\,\hh
$\Limst\,\Big\{\ha\big|\,\Phist\hb(\tdf)\ha-\tdf\hb\big|>\eps\ha\Big\}=\,0$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Convergence plate}}\vvc

\Def{\num}Soient\hh$\tdf_n\vv\tdf\in\LL^1$\pv on dit que\, $\tdf_n$\, converge\, \underline{platement}\,
vers\, $\tdf$\, ssi\vva
\fbox{\,$\ens{\tdf_n\ne\tdf}=\,\SZ\,(\tdf_n-\tdf)\one0$\:}\;.\, On \e crit\,\hh$\tdf_n\pla\tdf$\vc

\Th{\num*}La topologie de la convergence plate dans $\LL^1$ est d\e finie par la\vva
pseudo-norme\hh\fbox{\,$\hi{\big\|}\ha\tdf\hb\hi{\big\|}_{\ha\tsf{A}}\hb
=\hb\bnone{\,\SZ\,(\tdf)\ha}$\ha}\hb\ $\ge\hi{\big\|}\ha\tdf\hb\hi{\big\|}_{\ha\mrom{m\hw s}}$\vc

\Th{\num*}$\all\tdf_n\vv\tdf\in\LL^1$\quad on a\quad$\tdf_n\pla\tdf\ \imp\ \tdf_n\ms\tdf$\vbc

\Def{\num}Une suite\hh$\tdf_n\in\LL^1$\, est\, \underline{Cauchy-plate}\;
(\ha C\ha-plate)\; ssi la suite\vvab\hs{35mm}\fbox{\ $\alf\ha_n=\,\dis\sup_{p\,>\,n}\,
\bnone{\ha\ens{\ha\tdf_p\ne\tdf_n}\ha}=\,\sup_{p\,>\,n}\;\bnone{\:\SZ\:(\ha\tdf_p-\tdf_n\ha)\,}
\to0\ph{\dot{\dot{l}}}$}\ha\vcd

\Th{\num*}Une suite\, C\ha-plate\ha\ est\, \Cms\vb

\Th{\num}\vvwa Une suite\hh$\om\ha_n\in\KK$\hh est\, C\ha-plate\, ssi\hb\ elle est de\ha\ Cauchy pour la
norme\, $\none{\ }$\vab

\Dem\vvwa On a\hh$\all n\vv p\in\N\quad\SZ\,(\ha\om\ha_p-\om\ha_n)
=\SZ\,\big(\ha|\:\om\ha_p-\om\ha_n\hb|\hb\big)=|\,\om\ha_p-\om\ha_n\ha|$\ha\vg\ha
car\,\hh$|\,\om\ha_p-\om\ha_n\ha|\in\KK$\pv\vvw on en d\e duit\dd
$\om\ha_n$\, C\ha-plate\hh$\sam\ \om\ha_n$\, de\ha\ Cauchy pour la norme\, $\none{\ }$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Convergence exacte}}\vvc

\Def{\num}Soient\hh$\tdf_n\vv\tdf\in\LL^1$\pv on dit que\, $\tdf_n$\, converge\, \underline{exactement}\,
vers\, $\tdf$\vva ssi\,\hh\fbox{\,$\ens{\tdf_n\ne\tdf}=\,\SZ\,(\tdf_n-\tdf)\fin0$\:}\;.\,
On \e crit\,\hh$\tdf_n\exa\tdf$\vbc

\Th{\num*}$\all\tdf_n\vv\tdf\in\LL^1$\hh on a\quad$\tdf_n\exa\tdf\ \imp\,\big(\ \tdf_n\pla\tdf$\,\hh
et\,\hh$\tdf_n\pp\tdf$\ \big)\pv\vvwa
si\, $\tdf_n$\, est\, \underline{monotone}\: on a\,\hh$\tdf_n\exa\tdf\ \sam\ \tdf_n\pla\tdf$\vbc

\Def{\num}Une suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\, est\, \underline{Cauchy-\ha exacte}\;
(\ha C\ha-\ha exacte\ha)\; ssi la suite\vvab\hs{32.5mm}\fbox{\;$\alf\ha_n
=\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\,>\,n}\ \ens{\ha\tdf_p\ne\tdf_n}\hb\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}
=\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\,>\,n}\,\ \SZ\,(\ha\tdf_p-\tdf_n\ha)\hb\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}
\to0\ph{\dot{\dot{l}}}$}\ha\vb

\Th{\num}\vvwa Une suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\,  est\, C\ha-\ha exacte\, ssi\,\hh
\fbox{\,$\ens{\ha\tdf_{n\ha+1}\ne\tdf_n}=\,\SZ\,(\ha\tdf_{n\ha+1}-\tdf_n\ha)\fin0$\:}\ha\vg\vva
\cad\, ssi\,\hh\fbox{\,$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\,\ge\,n}\,\
\SZ\:(\ha\tdf_{p\ha+1}-\tdf_p\ha)\hb\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}\to0\ph{\dot{\dot{l}}}$}\ha\vbc

\Dem On a\,\hh$\all\ha n\vv r\ha\in\N\quad\big|\ha\tdf_{r\ha+1}-\tdf_r\ha\big|\ha
\le\ha\big|\ha\tdf_{r\ha+1}-\tdf_n\ha\big|+\big|\ha\tdf_r-\tdf_n\ha\big|$\vg\vva
donc\quad$\SZ\,\big(\ha\tdf_{r\ha+1}-\tdf_r\ha\big)\le\,\SZ\,\big(\ha\tdf_{r\ha+1}-\tdf_n\ha\big)
\ve\ha\SZ\,\big(\ha\tdf_r-\tdf_n\ha\big)$\pv\vvaab
donc\quad$\Sup{r\,\ge\:n}\hh\SZ\,\big(\ha\tdf_{r\ha+1}-\tdf_r\ha\big)
\le\,\Sup{p\,>\,n}\,\ \SZ\,(\ha\tdf_p-\tdf_n\ha)$\pt\vvww
Par ailleurs\hb\ on a\,\hh$\all\ha p>n\,\quad\big|\ha\tdf_n-\tdf_p\hb\big|\hb
\le\,\sum\pos_{r\,=\,n}^{p\,-1}\;\big|\hb\tdf_{r\ha+1}-\tdf_r\hb\big|$\vg\vva
donc\quad$\SZ\,\big(\ha\tdf_n-\tdf_p\ha\big)
\le\,\Sup{n\:\le\:r\:\le\:p\,-1}\SZ\,\big(\ha\tdf_{r\ha+1}-\tdf_{r}\ha\big)
\le\ \Sup{r\,\ge\:n}\hh\SZ\,\big(\ha\tdf_{r\ha+1}-\tdf_r\ha\big)$\pv\vva
donc\quad$\Sup{p\,>\,n}\,\ \SZ\,(\tdf_n-\tdf_p)\,
\le\:\Sup{r\:\ge\:n}\hh\SZ\,\big(\ha\tdf_{r\ha+1}-\tdf_r\ha\big)$\va
On en d\e duit\:\hh$\Sup{r\,\ge\:n}\hh\SZ\,\big(\ha\tdf_{r\ha+1}-\tdf_r\ha\big)\ha
=\,\Sup{p\,>\,n}\,\ \SZ\,(\ha\tdf_p-\tdf_n\ha)$\pv d'\ou\ le \theo\vbc

\Th{\num*}Une suite\: C\ha-\ha exacte\ha\ est\: C\ha-plate\, et\, \Cpp\vb

\Th{\num*}Une suite\hh$\om\ha_n\in\KK$\: est\: C\ha-\ha exacte\: ssi\, elle est\: C\ha-fine\vb

\Def{\num}Une suite\hh$\sig_n\in\KK$\: est\; \underline{d\e clinante}\hh ssi\, elle est d\e croissante\,
et\hh$\sig_n\one0$\vw
La suite\hh$\sig_n\in\KK$\: est donc d\e clinante\, ssi\hb\ la suite\, $1-\sig_n$\, est totale\vbc

\Th{\num}Soit une suite\hh$\om\hw_n\in\KK$\pv alors\,\hh$\om\hw_n\fin0$\,\hh ss\ha'\ha il existe une
suite d\e clinante\vvwa$\sig_n\in\KK$\hh telle que
\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\nn\quad\om\hw_n\le\hb\sig_n$\hh.}
\put(2,-1.75){\frm(38.25,6.25)}
\end{picture}\vva

\Dem\vvw
a)\hh$\imp$\dd La suite\ha\hh$\sig_n=\ \Sup{r\,\ge\:n}\ha\ \om\hw_r$\ha\hh est\, d\e clinante\, et on a\quad
$\nn\,\hh\om\hw_n\ha\le\,\sig_n$\vw
b)\hh$\pmi$\dd On a\,\hh$\nn\quad\,\Sup{r\,\ge\:n}\,\ \om\hw_r\hb\le\;\Sup{r\,\ge\:n}\,\ \sig_r\ha=\:\sig_n$\pv
donc\quad$\Sup{r\,\ge\:n}\,\ \om\hw_r\one0$\vb

\Th{\num}Soit une suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\pv alors\hh$\tdf_n\exa0$\hh ss\ha'\ha il existe une suite totale\vvwa
$\sig_n\in\KK$\hh telle que\,\hh\fbox{\,$\nn\quad\sig_n\,\tdf_n=\ha0$\,}\ha\va

\Dem\vvw a)\hh$\imp$\dd On a\quad S\,$(\tdf_n)\fin0$\pv il existe donc une suite totale\hh$\sig_n\in\KK$\hh
telle que\vvw$\nn\quad\sig_n\,\le\,1-\,\SZ\,(\tdf_n)$\pv
donc\,\hh$\sig_n\,\tdf_n\hb=\,\sig_n\,\big[\,1-\,\SZ\,(\tdf_n)\,\big]\ \tdf_n\hb
=\,\sig_n\,\big[\,\tdf_n-\tdf_n\:\SZ\,(\tdf_n)\,\big]$\vvw$=\,\sig_n\,(\tdf_n-\tdf_n)=\ha0$\va

b)\hh$\pmi$\dd On a\quad$\nn\quad\sig_n\,\big[\,1-\,\SZ\,(\tdf_n)\,\big]
=\,\sig_n-\sig_n\,\SZ\,(\tdf_n)\hb=\,\sig_n-\SZ\,(\sig_n\,\tdf_n)\hb=\,\sig_n$\pv\vvw
donc\quad$\sig_n\,\le\,1-\,\SZ\,(\tdf_n)$\vg \hb donc\quad$\SZ\,(\tdf_n)\fin0$\vbc

\Th{\num}Une suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\, est\, C\ha-\ha exacte\, ss\ha'\ha il existe une suite totale\vvwa
$\sigma_n\in\KK$\hh telle que\,\hh\fbox{\,$\nn\quad\sig_n\,\le\,\ens{\tdf_{n+1}=\tdf_n}$\,}\vb

\Dem La suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\, est\, C\ha-\ha exacte\ha\ ssi\,\hh$\ens{\tdf_{n+1}\ne\tdf_n}\fin0$\vg\cad\,
ss\ha'\ha il existe une\vvw suite totale\, $\sig_n\in\KK$\, telle que\,\hh$\nn\,\hh\ens{\tdf_{n+1}\ne\tdf_n}
\le\ha1-\sig_n$\vg ou encore ssi\,\hh$\nn$\vvw$\sig_n\,\le\,\ens{\tdf_{n+1}=\tdf_n}$\vbc

\Lem{\num}Soient\: $\tdf,\,\tdg\in\LL^1$\, et\: $\sig\in\KK$\pv alors on a\quad
$\sig\le\ens{\tdf=\tdg}\ \sam\ \sig\,\tdf=\hb\sig\,\tdg$\vab

\Dem On pose\quad$\tau=\ens{\tdf=\tdg}$\vwa
a)\hh$\imp$\dd On a\,\hh$\sig\le\tau$\vg donc\,\hh$\sig\,\tdf\hb=\,\sig\,\tau\,\tdf\hb
=\,\sig\,\tau\,\tdg\:=\,\sig\,\tdg$\vwa
b)\hh$\pmi\dd\sig\,\tau\,=\,\sig\,\big[\ha1-\SZ\,(\tdf-\tdg)\hb\big]
=\,\sig-\SZ\,(\sig\,\tdf-\sig\,\tdg\ha)\hb=\,\sig$\vg donc\,\hh$\sig\le\tau$\vbc

\Cor{\num*}Une suite\: $\tdf_n\in\LL^1$\, est\, C\ha-\ha exacte\, ss\ha'\ha il existe une suite totale\vvwa
$\sigma_n\in\KK$\hh telle que\,\hh\fbox{\,$\nn\quad\sig_n\,\tdf_n=\hb\sig_n\,\tdf_{n+1}$\,}\vc

\Def{\num}Soit\: $\tdf_n\in\LL^1$\, une suite\, C\ha-\ha exacte\pv alors toute suite totale\:
$\sig_n\in\KK$\vvw telle que\,\hh$\nn\,\hh\sig_n\,\le\,\ens{\tdf_{n+1}=\tdf_n}$\,\hh
\big(\,\cad\,\hh$\nn\,\hh\sig_n\,\tdf_n\hb=\,\sig_n\,\tdf_{n+1}$\ha\big)\hh s'appelle\vvw
une\, \fbox{\ha pr\e sentation\ha}\, de la suite \hb$\tdf_n$\vbc

\Th{\num}Soit\: $\sig_n\in\KK$\: une pr\e sentation de la suite\, C\ha-\ha exacte\, $\tdf_n\in\LL^1$\hb;\vvwa
alors on a\,\hh\fbox{\,$\all\ha n\vvv p\ha\in\N\quad\sig_n\:\tdf_n\,=\:\sig_n\:\tdf_{n+p}$\,}\vb

\Dem On a\quad$\sig_n\,\tdf_n\ha=\,\sig_n\,\tdf_{n+1}=\,\sig_n\:\sig_{n+1}\,\tdf_{n+1}
=\,\sig_n\:\sig_{n+1}\,\tdf_{n+2}=\,\sig_n\,\tdf_{n+2}=\,\cdots$\vc

\textbf{\underline{R\e capitulatif}}\dd\underline{Convergences\ha\ dans\, $\LL^1$}\vvc

\hs{60mm}$\tim\hh\imp\,\ 1\,\ \pmi\ 2$\vvw
\hs{60.5mm}$\Down\hs{11mm}\Down$\vvw
\hs{59.5mm}p\hw p\hh$\imp$\, m\hw s\vvw
\hs{60.5mm}$\Up\hs{11.5mm}\Up$\vvw
\hs{60.5mm}$\tsf{E}\hh\imp\:\ \tsf{A}$\vvk
\begin{picture}(,)
\put(55.5,3){\frm(37,43)}
\end{picture}\vvd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage\null\thispagestyle{empty}\newpage
\initNum
\centerline{\textbf{CHAPITRE\, XI}}\vva
\centerline{\textbf{FONCTIONNELLES SUR \ab}}\vvcd

\oui Nous construisons l'espace vectoriel des\ha\  \emph{(classes de)\ha\ fonctions mesurables}\ha\ sur\, \ab\hb,\\
que nous appellerons simplement\ha\ \emph{fonctionnelles}\ha\ sur\ha\ \ab\hb.\, Cet espace s'obtient en\hh\emph{\underline{compl\e tant}}\hh
l'espace $\BB$\: pour la\, \emph{\underline{convergence exacte}}\ha\pv
nous effectuons cette compl\e tion par la m\e thode des\ha\ \emph{suites de Cauchy}\pv bien que la convergence exacte ne soit pas une convergence m\e trique\vg
le proc\e d\e\ conserve ici toute sa validit\e\ et toute son efficacit\e\hb.\vva

\Rem Il est bien connu que la compl\e tion par les suites de Cauchy constitue la plus mauvaise des m\e thodes\vg \emph{m\^eme  quand il n'y en a pas d'autre}\ha.\,
Son application au cas des fonctionnelles semble pourtant relativement justifi\e e\, :\, on ne cherche pas en effet \ac\ compl\e ter ``\,\ttt{entre}\,"\vg
mais \ac\ compl\e ter ``\,\ttt{au-del\ac}\,"\pt Autrement dit les fonctionnelles ne constituent pas des \e l\e ments ``\,plus fins\," que les fonctionnelles
sommables de $\LL^1$\vg mais des \e l\e ments ``\,trop grands\," pour \^etre dans\, $\LL^1$\pt D\ee s lors les suites de Cauchy utilis\e es sont essentiellement
des suites qui ``\,tendent vers l'infini\,"\vg et non des suites qui convergent vers des \e l\e ments ``\,cach\e s\," \ac\ l'int\e rieur de\, $\LL^1$\vpt
\oui Une comparaison se r\e v\e lera \e clairante\, :\, d\e finir les r\e els \ac\ partir des suites de Cauchy de rationnels constitue une manifestation typique
d'\emph{hyst\e rie} math\e matique\pt Par contre d\e finir\, $\pin$\, comme l'ensemble des suites r\e elles convergeant vers\, $\pin$\,
repr\e sente un proc\e d\e\ authentiquement valable de description de la nature de\, $\pin$\vc

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Suites\hb\ Cauchy\ha-\ha exactes\hb\ dans $\BB$}}\vvc

\Def{\num}\fbox{\;On note\, $\SX$\, l'espace vectoriel des suites\, Cauchy\ha-\ha exactes\, dans $\BB\hb.\ph{\big|}$\hs{-.75mm}}\vvbc

\Def{\num}Soient\hh$\F=(\tdf_n)\vv\ha\G=(\tdg\ha_n)\in\ha\SX$\pv alors on pose\vvab
\hs{20mm}\fbox{\,$\F\sim\G\,\hh\mrom{ssi}\,\hh\tdf_n-\tdg\ha_n\exa0$\:}\:,\:
\cad\:\hh\fbox{\,$\F\sim\G\,\hh\mrom{ssi}\ha\hh\ens{\tdf_n\ne\tdg\ha_n}\fin0$\:}\vc

\Th{\num}Soient\hh$\F=(\tdf_n)\vv\ha\G=(\tdg\ha_n)\in\ha\SX$\pv alors\,\hh$\F\sim\G$\,\hh ss\ha'\ha il existe une\vvwa
suite totale\: $\sig_n\in\KK$\, telle que\,\hh\fbox{\,$\nn\quad\sig_n\,\tdf_n=\,\sig_n\:\tdg\ha_n$\,}\ha\vb

\Dem $\F\sim\G\ \sam\ \tdf_n-\tdg\ha_n\exa0$\vva\hs{25mm}$\sam$\hh il existe une suite totale\,
$\sig_n\in\KK$\, telle que\,\hh$\nn\quad\sig_n\,(\tdf_n-\tdg\ha_n)=\ha0$\vbc

\Cor{\num*}La relation\hh$``\,\sim\,"$\hh est une\hh\fbox{\,relation\ha\ d\ha'\e quivalence$\ph{\dot{t}}$\hs{-.85mm}}\hh sur\, $\SX$\vbc

\Def{\num}$\all\,\F=(\tdf_n)\vv\ha\G=(\tdg\ha_n)\ha\in\ha\SX$\hh on pose\vvaab
\quad$\F+\ha\G=(\tdf_n+\tdg\ha_n)\qquad\F\ve\G=(\tdf_n\ve\tdg\ha_n)\qquad
\F \wa\G=(\tdf_n\wa\tdg\ha_n)\qquad\F\hb.\,\G=(\tdf_n\,.\,\tdg\ha_n)$\vbc

\Th{\num*}\vvwa$\all\,\F,\,\G\ha\in\ha\SX\,,\hh\F+\ha\G\,,\hh\F\ve\G\,,\hh\F\wa\G\,,\hh\F\hb.\,\G$\quad
sont des \e l\e ments de\, $\SX$\vbc

\Th{\num*}Soient\,\hh$\F\vv\F\,',\,\G\ha\in\ha\SX$\,\hh et\,\hh$\F\sim\F\,'$\,;\hh alors on a\vva

\hs{10mm}$\F+\ha\G\sim\F\,'+\ha\G\qquad\F\ve\G\sim\F\,'\ve\G\qquad\F\wa\G\sim\F\,'\wa\G\qquad\F\hb.\,\G\sim\F\,'\rs.\,\G$\vab

\Def{\num}$\all\,\F=(\tdf_n)\in\ha\SX$\hh on pose\vvaab

\hs{20mm}$-\F=(-\tdf_n)\qquad\F^+=(\,\tdf_n^+\,)\qquad\F^-=(\,\tdf_n^-\,)\qquad|\ha\F\ha|=\big(\,\big|\ha\tdf_n\ha\big|\,\big)$\vab

\Th{\num*}$\all\,\F\in\ha\SX\vv\ -\F\,,\hh\F^+,\hh\F^-,\,\ |\ha\F\ha|$\,\hh sont des \e l\e ments de\, $\SX$\vb

\Th{\num*}Soient\hh$\F\vv\F\,'\in\ha\SX$\,\hh et\,\hh$\F\sim\F\,'$\pv alors on a\vva

\hs{35mm}$-\F\sim-\F\,'\qquad\F^+\sim\F\,'^+\qquad\F^-\sim\F\,'^-\qquad|\ha\F\ha|\sim|\ha\F\,'\hw|$\vvb

\Def{\num}$\all\,\F=(\tdf_n)\vv\ha\G=(\tdg\ha_n)\ha\in\ha\SX$\hh on pose\vvab
\hs{30mm}\fbox{\:$\F\pre\ha\G\ph{\big|}$\; ssi\quad$\F\ve\G\sim\G$\,}\quad
(\,ou\quad$\F\pre\ha\G$\,\hh ssi\quad$\F\wa\G\sim\F$\:)\vc

\Th{\num}$\F\pre\ha\G$\quad ssi\quad\fbox{\,$\ens{\,\tdf_n>\tdg\ha_n\,}\fin0$\,}\ha\vb

\Dem$\F\pre\ha\G\, \ \sam\,\ \F\ve\G\sim\G$\vvwa
\hs{36mm}$\sam\,\ \tdf_n\ve\tdg\ha_n-\tdg\ha_n\exa0$\vva
\hs{36mm}$\sam\,\ \ens{\tdf_n\ve\tdg\ha_n\ne\tdg\ha_n}\fin0$\vva
\hs{36mm}$\sam\,\ \ens{\,\tdf_n>\tdg\ha_n\,}\fin0$\vc

\Th{\num}Soient\hh$\F=(\tdf_n)\vv\ha\G=(\tdg\ha_n)\ha\in\ha\SX$\pv alors\quad
$\F\pre\ha\G$\quad ss\ha'\ha il existe une\vvwa suite totale\: $\sig_n\in\KK$\,
telle que\,\hh\fbox{\,$\nn\quad\sig_n\,\tdf_n\le\hb\sig_n\:\tdg\ha_n$\,}\ha\vbc

\Dem$\F\pre\ha\G\,\ \sam\,\ \tdf_n\ve\tdg\ha_n-\tdg\ha_n\exa0$\vva
\hs{12.5mm}$\sam$\, il existe une suite totale\, $\sig_n\in\KK$\, telle que\,\hh
$\nn\,\hh\sig_n\,(\tdf_n\ve\tdg\ha_n-\tdg\ha_n)=\ha0$\vva
\hs{12.5mm}$\sam$\, il existe une suite totale\, $\sig_n\in\KK$\, telle que\,\hh
$\nn\,\hh(\sig_n\,\tdf_n)\ve(\sig_n\,\tdg\ha_n)=\hb\sig_n\,\tdg\ha_n$\vva
\hs{12.5mm}$\sam$\, il existe une suite totale\, $\sig_n\in\KK$\, telle que\,\hh
$\nn\,\hh\sig_n\,\tdf_n\le\hb\sig_n\,\tdg\ha_n$\vbc

\Th{\num*}\fbox{\,\big(\,$\F\pre\ha\G$\hh et\hh$\G\pre\ha\F\,\big)\;\sam\ \F\sim\G$\,}\vbc

\Th{\num*}La relation\hh$\pre$\hh est un\hh\fbox{\,pr\e\ha-\ha ordre\,}\hh dans\, $\SX$\vd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Supports et indicateurs}}\vvc

\Th{\num}Soit\; $\tdf_n\in\BB$\; une suite\, C\ha-\ha exacte\, et\ha\ soit\, $\sig_n\in\KK$\, une
pr\e sentation\vva de la suite\, $\tdf_n$\pv alors on a
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\all m\vv n\in\N\,\hh\big|\,\SZ\,(\tdf_m)-\SZ\,(\tdf_n)\,\big|\le\hb1-\,\sig_m\wa\sig_n$\hh.}
\put(3,-3){\frm(88,8.5)}
\end{picture}\vvc

\Dem Soient\ha\hh$ m\vv n\in\N$\hb\hh avec\hb\hh$m<\ha n$\pv on a\,\hh$\sig_m\hb\tdf_m
=\hb\sig_m\hb\tdf_n$\vg donc\vva$\tdf_m=\hb\sig_m\hb\tdf_m\hb+\hb(1-\sig_m)\,\tdf_m
=\hb\sig_m\hb\tdf_n\hb+\hb(1-\sig_m)\,\tdf_m=\tdf_n\hb+\hb(1-\sig_m)\,(\tdf_m-\tdf_n)$\pv\vva
on en d\e duit\quad$\tdf_m=\tdf_n\hb+\hb(1-\sig_m)\,(\tdf_m-\tdf_n)$\quad(*)\pv\vva
on peut donc \e crire\quad$\big|\hw\tdf_m\hw\big|\,\le\,\big|\hw\tdf_n\hw\big|\,+\,(1-\sig_m)\,
\big|\ha\tdf_m-\tdf_n\hw\big|$\vg
et donc\vva$\SZ\,(\tdf_m)\le\,\SZ\,(\tdf_n)\,+\,(1-\sig_m)\;\SZ\,(\tdf_m-\tdf_n)
\le\,\SZ\,(\tdf_n)\,+\,1-\sig_m$\va L'\e galit\e\, (*)\, peut aussi s'\e crire\quad
$\tdf_n=\tdf_m\hb+\hb(1-\sig_m)\,(\tdf_n-\tdf_m)$\pv donc\vva
$\big|\hw\tdf_n\hw\big|\le\big|\hw\tdf_m\hw\big|\,+\,(1-\sig_n)\,\big|\ha\tdf_n-\tdf_m\hw\big|$\pv
on en d\e duit de m\^eme\,\hh$\SZ\,(\tdf_n)\le\hb\SZ\,(\tdf_m)\,+\,1-\sig_m$\pv\vva
en conclusion on obtient\,\hh$\big|\,\SZ\,(\tdf_m)-\SZ\,(\tdf_n)\,\big|
\le\hb1-\,\sig_m\hb=\hb1-\,\sig_m\wa\sig_n$\vbc

\Cor{\num}$\all\,\F=(\tdf_n)\in\ha\SX$\hh la suite\; $\SZ\,(\tdf_n)$\; converge finement dans\, $\KK$\vab

\Dem\vva
On a\,\hh$\nn\,\hh\Sup{p\vv q\:\ge\:n}\ \big|\,\SZ\,(\tdf_p)-\SZ\,(\tdf_q)\,\big|\,
\le\hb1-\,\sig_p\wa\sig_q\,\le\hb1-\,\sig_n$\pv comme\, $\sig_n\one1$\vg\vvw
la suite\, $\SZ\,(\tdf_n)$\, est fine\pv or\,\hh$\nn\,\hh\SZ\,(\tdf_n)\in\KK$\vg donc\,\hh
$\Lim{n}\ha\ \SZ\,(\tdf_n)\in\ha\KK$\vbc

\Def{\num}$\all\,\F=(\tdf_n)\in\ha\SX$\hh on pose\vvw
\begin{picture}(,)
\put(50,-4){\underline{support}\, de\, F = \,$\SZ\,(\F)\:=\ \Lim{n}\hb\ \SZ\,(\tdf_n)\,\in\ha\KK$\hh.}
\put(47,-8){\frm(82,9.5)}
\end{picture}\\\vvbc

\Th{\num*}Soit\, $\F=(\tdf_n)\in\ha\SX$\, et soit\, $\sig_n\in\KK$\, une pr\e sentation de la suite\,
$\tdf_n$\pv\vvab
alors on a\hhh
\begin{picture}(,)
\put(0,0){$\nn\,\hh\big|\,\SZ\,(\F)-\ha\SZ\,(\tdf_n)\hb\big|\le\hb1-\hb\sig_n$\hh.}
\put(-2,-3){\frm(69,8.5)}
\end{picture}\vvc

\Th{\num*}$\all\,\F\in\SX\quad\SZ\,(\F)=\,\SZ\,(\un\wa|\F|)$\vbc

\Th{\num*}Soient\hh$\F\vv\G\,\in\,\SX$\pv alors on a
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\F\sim\G\ \imp\ \SZ\,(\F)\sim\SZ\,(\G)$\hh.}
\put(3,-2.5){\frm(48.5,7.25)}
\end{picture}\vvbc

\Th{\num}Soit\: $\tdf_n\in\hb\BB$\: une suite\, C\ha-\ha exacte\, et\ha\ soit\, $\sig_n\in\KK$\, une
pr\e sentation de\\ la suite\, $\tdf_n$\pv soit de plus\, $\tdg\in\LL^1$;\: alors on a\vvab
\begin{picture}(,)
\put(35,0){$\all m\vv n\in\N\,\hh\big|\hb\ens{\hw\tdf_m>\tdg\hw}
-\ens{\hw\tdf_n>\tdg\hw}\ha\big|\le\hb1-\,\sig_m\wa\sig_n$\hh.}
\put(33,-3){\frm(100.5,8.5)}
\end{picture}\vvc

\Dem On a\,\hh$\all m\vv n\in\N$\,\hh avec\,\hh$m<\ha n$\,\hh$\sig_m\hb\tdf_m
=\hb\sig_m\hb\tdf_n$\vg donc\vva$\tdf_m=\hb\sig_m\hb\tdf_m\hb+\hb(1-\sig_m)\,\tdf_m
=\hb\sig_m\hb\tdf_n\hb+\hb(1-\sig_m)\,\tdf_m=\tdf_n\hb+\hb(1-\sig_m)\,(\tdf_m-\tdf_n)$\hh\pv\vva
on en d\e duit\quad$\tdf_m\ha=\ha\tdf_n\hb+\hb(1-\sig_m)\,(\tdf_m-\tdf_n)$\,\hh(*)\pv on peut donc \e crire\vva
\hs{30mm}$\tdf_m-\ha\tdg\hb=\hb\tdf_n-\ha\tdg\,+\hb(1-\sig_m)\,(\tdf_m-\tdf_n)$\vva
\hs{30mm}$(\hw\tdf_m-\tdg\hw)\ha^+\,\le\,(\hw\tdf_n-\tdg\hw)\ha^+\,
+\,(1-\sig_m)\,(\ha\tdf_m-\tdf_n\hw)\ha^+$\vg\vva et donc\,\hh$\SP{\hw\tdf_m-\tdg\hw}\le\,\SP{\hw\tdf_n-\tdg\hw}\,
+\,(1-\sig_m)\;\SP{\tdf_m-\tdf_n}$\vva$\le\,\SP{\hw\tdf_n-\tdg\hw}\,+\,1-\sig_m$\vg
\cad\,\hh$\ens{\hw\tdf_m>\tdg\hw}\le\,\ens{\hw\tdf_n>\tdg\hw}\,+\,1-\sig_m$\vab
L'\e galit\e\, (*)\, peut aussi s'\e crire\,\hh$\tdf_n\ha=\ha\tdf_m\hb+\hb(1-\sig_m)\,(\tdf_n-\tdf_m)$\pv
on en d\e duit donc\vva$\tdf_n-\ha\tdg\hb=\hb\tdf_m-\tdg\,+\hb(1-\sig_m)\,(\tdf_n-\tdf_m)$\vg
et donc aussi\,\hh$\ens{\hw\tdf_n>\tdg\hw}\le\,\ens{\hw\tdf_n>\tdg\hw}\,+\,1-\sig_m$\va
En conclusion on obtient\,\hh$\big|\hb\ens{\hw\tdf_m>\tdg\hw}
-\ens{\hw\tdf_n>\tdg\hw}\ha\big|\le\hb1-\,\sig_m\hb=\hb1-\,\sig_m\wa\sig_n$\vbc

\Cor{\num*}Soit\; $\tdg\ha_n\in\hb\BB$\; une suite\, C\ha-\ha exacte\, et\ha\ soit\, $\tau_n\in\KK$\,
une pr\e sentation\vvw de la suite\, $\tdg\ha_n$\pv soit de plus\, $\tdf\in\LL^1$;\: alors on a\vvab
\begin{picture}(,)
\put(35,0){$\all m\vv n\in\N\,\hh\big|\hb\ens{\hw\tdf>\ha\tdg\ha_m\hw}
-\ens{\hw\tdf>\ha\tdg\ha_n\hw}\ha\big|\le\hb1-\,\tau_m\wa\tau_n$\: .}
\put(33,-3){\frm(101,8.5)}
\end{picture}\vvcd

\num\ \underline{Corollaire\hb-\ha D\e finition}\dd Soient\hh$\F=(\tdf_n)\in\ha\SX$\ha\hh
et\hb\hh$\tdg\in\LL^1$\pv alors la suite\, $\ens{\hw\tdf_n>\ha\tdg\hw}$\vva converge finement dans\; $\KK$\,
et on pose
\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\ens{\hw\F>\ha\tdg\ha}=\,\Lim{n}\ha\ \ens{\hw\tdf_n>\ha\tdg\hw}$\: .}
\put(2.25,-4){\frm(51.5,9.5)}
\end{picture}\vvb

De plus si \,$\sig_n\in\KK$\, est une pr\e sentation de la suite\, $\tdf_n$\, on a\vvab

\begin{picture}(,)
\put(42,0){$\nn\quad\big|\hb\ens{\hw\F>\ha\tdg\ha}-\ens{\hw\tdf_n>\ha\tdg\hw}\ha\big|\ha\le\hb1-\hb\sig_n$\hh.}
\put(39.5,-3){\frm(83.75,8.5)}
\end{picture}\vvbc

\Dem Idem que pour\hh$\SZ\,(\F)$\vbc

\newpage
\num\ \underline{Corollaire\ha-\ha D\e finition}\dd Soient\ha\hh$\G=(\tdg\ha_n)\in\ha\SX$\ha\hh et\hh
$\tdf\in\LL^1$\pv alors la suite\vva$\ens{\hw\tdf>\ha\tdg\ha_n\hw}$\, converge finement dans\; $\KK$\,
et on pose
\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\ens{\hw\tdf>\ha\G\hw}=\,\Lim{n}\ha\ \ens{\hw\tdf>\ha\tdg\ha_n}$\hh.}
\put(2,-4){\frm(53.5,9.5)}
\end{picture}\vvab

De plus si \,$\tau_n\in\KK$\, est une pr\e sentation de la suite\, $\tdg\ha_n$\, on a\vvab

\begin{picture}(,)
\put(42,0){$\nn\quad\big|\hb\ens{\hw\tdf>\ha\G\ha}-\ens{\hw\tdf>\ha\tdg\ha_n\hw}\ha\big|\ha\le\hb1-\ha\tau_n$\hh.}
\put(39.5,-3){\frm(84.25,8.5)}
\end{picture}\vvbc

\Dem Idem que pour\hh$\SZ\,(\F)$\vbc

\num\ \underline{\Theo\hb-\ha D\e finition}\dd Soient\,\hh$\F=(\tdf_n)\in\ha\SX$\,\hh et\,\hh$\G=(\tdg\ha_n)
\in\ha\SX$\pv alors la\vva suite\, $\ens{\hw\tdf_n>\ha\tdg\ha_n\hw}$\, converge finement dans\; $\KK$\,
et on pose
\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\ens{\hw\F>\ha\G\hw}=\,\Lim{n}\ha\ \ens{\hw\tdf_n>\ha\tdg\ha_n\hw}$\: .}
\put(2.25,-4){\frm(54.75,9.5)}
\end{picture}\vvab

De plus si\, $\sig_n$\, et\, $\tau_n$\, sont des pr\e sentations des suites\, $\tdf_n$\, et\, $\tdg\ha_n$\,
on a\vvab

\begin{picture}(,)
\put(40,0){$\nn\quad\big|\hb\ens{\hw\F>\ha\G\ha}
-\ens{\hw\tdf_n>\ha\tdg\ha_n\hw}\ha\big|\le\hb2-\ha\sig_n-\ha\tau_n$\ha\hh.}
\put(37.5,-3){\frm(96,8.5)}
\end{picture}\vvc

\Dem On a\,\hh$\all m\vv n\in\N$\vva$\big|\hb\ens{\hw\tdf_m>\ha\tdg\ha_m}
-\ens{\hw\tdf_n>\ha\tdg\ha_n}\ha\big|\le\big|\hb\ens{\hw\tdf_m>\ha\tdg\ha_m}
-\ens{\hw\tdf_n>\ha\tdg\ha_n}\ha\big|\ha+\ha\big|\hb\ens{\hw\tdf_n>\ha\tdg\ha_m}
-\ens{\hw\tdf_n>\ha\tdg\ha_n}\ha\big|$\vva
$\le\hb2-\ha\sig_m\wa\sig_n-\ha\tau_m\wa\tau_n$\,.\: Le \theo\ha\ en d\e coule\vb

L'application\hb\hh$(\hw\SX\hw)\ha^2\to\ha\KK\::\,(\ha\F\vv\G\ha)\tto\ens{\hw\F>\ha\G\ha}$\hh est un\,
\underline{indicateur}\, de\, $\SX$\vww On en d\e duit facilement la d\e finition des autres indicateurs
de\, $\SX$\vbc

\Th{\num}Soient\,\hh$\F=(\tdf_n)\in\ha\SX$\,\hh et\,\hh$\G=(\tdg\ha_n)\in\ha\SX$\pv soient\, $\sig_n$\,
et\, $\tau_n$\, des pr\e sentations des suites\, $\tdf_n$\, et\, $\tdg\ha_n$\pv alors on a\,\hh$\nn$\vvab
\hs{7.5mm}\fbox{\,$\big|\hb\ens{\hw\F>\ha\G\ha}-\ens{\hw\tdf_n>\ha\G\hw}\ha\big|\le\hb1-\hb\sig_n$\,}\,\quad
et\,\quad\fbox{\,$\big|\hb\ens{\hw\F>\ha\G\ha}-\ens{\hw\F>\ha\tdg\ha_n\hw}\ha\big|\le\hb1-\hb\tau_n$\,}\ha\vc

\Dem On a\,\hh$\al\;m\vv n\in\N$\vva
$\big|\hb\ens{\hw\F>\ha\G\ha}-\ens{\hw\tdf_n>\ha\G\hw}\ha\big|\hb
\le\hb\big|\hb\ens{\hw\F>\ha\G\ha}-\ens{\hw\tdf_m>\ha\tdg\ha_m\hw}\ha\big|\,
+\,\big|\hb\ens{\hw\tdf_m>\ha\tdg\ha_m\hw}-\ens{\hw\tdf_n>\ha\tdg\ha_m\hw}\ha\big|$\vva
$+\,\ \big|\hb\ens{\hw\tdf_n>\ha\G\hw}-\ens{\hw\tdf_n>\ha\tdg\ha_m\hw}\ha\big|\ha
\le\:2\ha-\,\sig_m-\,\tau_m\,+\,1-\,\sig_m\wa\sig_n\,+\,1-\,\sig_m$\vvwa
$=\;4\ha-\ha2\;\sig_m\ha-\ha\sig_m\wa\sig_n\ha-\ha\tau_m$\vwa
Il suffit ensuite de faire tendre\, $m$\, vers\, $\pin$\vc

\Cor{\num*}Soient\,\hh$\F=(\tdf_n)\in\ha\SX$\,\hh et\,\hh$\G=(\tdg\ha_n)\in\ha\SX$\pv
alors on a\vvab\hs{20mm}\fbox{\,$\ens{\ha\tdf_n>\ha\G\hw}\,\fin\,\ens{\ha\F>\ha\G\hw}$\,}\hhh
et\hhh\fbox{\,$\ens{\ha\F>\ha\tdg\ha_n\hw}\,\fin\,\ens{\ha\F>\ha\G\ha}$\,}\ha\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctionnelles sur \ab}}\vvc

\Def{\num}On pose\quad\fbox{\,$\FO=\ha$\ho$\SX/\!\sim$\,}\ha\vb

Les \e l\e ments de\, $\FO$\, se nomment les\: \fbox{\ha\textbf{fonctionnelles}\ph{p$\dot{t}$}\hs{-3.5mm}}\:
sur \ab\vab

Les fonctionnelles\, sont donc les classes d'\e quivalence des suites Cauchy\ha-\ha exactes de\vvk
\underline{fonctionnelles born\e es}\hb\vg\ha deux suites \e tant \e quivalentes ssi leur diff\e rence converge\vvk exactement vers\, 0\va

On note les fonctionnelles de la mani\ee re suivante\dd\vvaab
\hs{40mm}\fbox{\,$\FC\in\FO$\, d\e signe la classe de\, $\F\hs{-.35mm}\in\hw\SX$\,}\ha\vc

\Def{\num}On pose\qquad$\FC+\ha\GC= \widehat{\F+\ha\G}\qquad\FC\ve\GC= \widehat{\F\ve\G}$\vva
\hs{49mm}$\FC\wa\GC= \widehat{\F\wa\G}\qquad\FC\hb.\,\GC= \widehat{\F\hb.\,\G}$\vva
\hs{33mm}$-\FC=\widehat{-\F}\qquad\FC^+=\widehat{\F^+}\qquad\FC^-=\widehat{\F^-}\qquad
\hi{$|$}\hb\FC\hb\hi{$|$}=\widehat{|\ha\F\ha|}$\vbc

\Def{\num}On pose\,\hh\fbox{\,$\FC\le\GC$\quad ssi\quad$\F\pre\ha\G$\,}\ha\pv
c'est un\: \fbox{\hb ordre\lo\hs{-.65mm}}\: dans\, $\FO$\vbc

\Th{\num}$\LL^1\sub\ha\FO$\vb

\Dem Soit\hh$\tdf\in\LL^1$\pv on pose\quad$\nn\quad\sig_n=\ens{\vtdf\le n}$\,\hh et\,\hh
$\tdf_n=\sig_n\,\tdf\in\ha\BB$\pv\vva alors on identifie\, $\tdf$\, \ac\ la classe de la suite\;
$(\tdf_n)\in\ha\SX$\va
Si\, $\tdf\in\BB$\, on identifie\, $\tdf$\, \ac\ la classe de la suite constante\; $(\tdf)\in\ha\SX$\vc

\Def{\num}On pose\,\hh$\all\ha\FC\in\FO$\dd\fbox{ \underline{support}\, de\, $\FC$\,=\, $\SZ\,(\FC)\,=\,\SZ\,(\F)$\,}\ha\vbc

\Def{\num}On pose\,\hh$\all\ha\FC\in\FO$\dd\fbox{\,$\hj{\big\{}\ha\FC>\GC\ha\hj{\big\}}=\ha\hi{\{}\ha\F>\G\ha\hi{\}}$}\ha\vbc

L'application\hb\hh$(\hw\FO\hw)\ha^2\to\ha\KK\::\,\hj{\big(}\ha\FC\vv\GC\ha\hj{\big)}\tto\hj{\big\{}\ha\FC>\GC\ha\hj{\big\}}$\hh
est un\, \underline{indicateur}\, de\, $\FO$\vw On en d\e duit facilement la d\e finition des autres indicateurs de\; $\FO$\vbc

\Th{\num}Les op\e rations d\e finies sur\, $\FO$\, prolongent les op\e rations sur \,$\LL^1$;\vvww
de m\^eme l'ordre sur\, $\FO$\, prolonge l'ordre sur\, $\LL^1$;\: les propri\e t\e s de ces op\e rations\ha\
et\vvww de cet ordre sur\, $\FO$\, prolongent celles de\, $\LL^1$;\: enfin les propri\e t\e s du support
dans\, $\FO$\vvww prolongent les propri\e t\e s du support dans\, $\LL^1$.\, La d\e monstration de ces propri\e t\e s se fait\vvww
\e l\e mentairement \ac\ partir de la construction de\, $\FO$\,.\: On en d\e duit en particulier\dd\vvbc

\Th{\num}
\begin{picture}(,)
\put(0,0){$\FO$\, est un alg\e bromodule de Riesz\ha\ sur\, $\widehat{\WW}$.}
\put(-2,-2.5){\frm(82.5,7.75)}
\end{picture}\vvbc

Voici quelques autres propri\e t\e s dans\, $\FO$\dd\vvbc

\Th{\num}$\all\FC\in\FO\quad\limone{\sbs{\\[.025mm]\ \alf\,\to\pin}}\ens{\ha\hi{$|$}\hb\FC\ha\hi{$|$}>\alf\ha}=\ha0$\vb

\Th{\num}$\all\FC\in\FO\quad\limone{\sbs{\\[.025mm]\quad\eps\to\,0^+}}\ens{\ha\FC\ge\eps\ha}\,
=\hs{-1.5mm}\limone{{\quad\eps\to\,0^+}}\ens{\ha\FC>\eps\ha}\ha=\hb\ens{\ha\FC>0\ha}$\vb

\Th{\num}$\all\FC\in\FO\hhh\SZ\,(\hw\FC\hw)\,=\!\limone{\sbs{\\[.025mm]\ p\,\to\pin}}\,\un\wa\big(\ha p\:\hi{$|$}\hb\FC\ha\hi{$|$}\hb\big)$\vb

\Th{\num}$\all\FC\in\FO\hhh\SZ\,(\hw\FC\hw)\;\FC=\,\FC$\vbc

\Cor{\num}$\all\FC\in\FO\quad\Big[\;\SZ\,(\hw\FC\hw)=\ha0\ \sam\ \FC=\ha0\;\Big]$\vbc

\Th{\num}$\al\ \FC,\,\GC\ha\in\FO\hhh\SZ\,(\ha\FC\,\GC\ha)=\,\SZ\,(\hw\FC\hw)\;\SZ\,(\hw\GC\hw)$\vc

\oui\textbf{\underline{R\e capitulatif}}\vvc

\hs{62mm}\rbox{-.25mm}{$\widehat{\WW}$}\hs{35mm}$\FO$\vvk
\hs{62.75mm}$\cup\hs{38.25mm}\cup$\vvww
\hs{10mm}$\EE\;\sub\ \RR\ \sub\ \BB\A\ \sub\ \PR\ \sub\:\WW\ \under{surj.}{\fun}\
\BB\ \sub\ \LL^2\ \sub\ \LL^1\hb\sub\ \MD\ \sub\ \MM\ \sub\ \PM$\vvww
\hs{21.5mm}$\cup\hs{9.25mm}\cup\hs{25mm}\cup\hs{11.75mm}\cup\hs{35mm}
\cup\hs{11.25mm}\cup\hs{11mm}\cup$\vvww
\hs{21.5mm}$\CC\hs{10.25mm}\SC\hs{25.5mm}\mcal{Z}\hs{12.5mm}\KK\hs{34.5mm}\ND
\,\ \sub\:\ \NN\ha\ \sub\hb\ \PN$\vvww
\hs{132.5mm}$\cup\hs{12mm}\cup$\vvk
\hs{131.75mm}$\A\hh\sub\,\ \PA$

\begin{picture}(,)
\put(7,3){\frm(149,55)}
\end{picture}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Modes de convergence dans\, $\FO$}}\vvc

\Def{\num}On d\e finit dans\, $\FO$ les quatre modes de convergence\hh ms\,,\hh\PP\vv\ $\tsf{A}\vv\,\tsf{E}$\hh
par les m\^emes d\e finitions formelles que dans\, $\LL^1$\pt Ils ont les m\^emes propri\e t\e s que dans\, $\LL^1$\pt
En particulier on a le m\^eme sch\e ma d'implication\, :\vvbc

\hs{70.5mm}$\tsf{E}\:\ \imp\hb\ \tsf{A}$\vvww
\hs{70.5mm}$\Down\hspace{11mm}\Down$\vvww
\hs{70mm}p\hw p\,\ha\ $\imp$\ha\ m\ha s\\
\begin{picture}(,)
\put(66,3.5){\frm(25,24)}
\end{picture}\vvw

\newpage
\Th{\num}\vvww Les lois\,\hh$+\;,\ \tim\vg \ve\,,\ \wa$\ha\hh sont\hb\ \emph{\tsf{continues}}\hb\ pour les quatre modes de convergence\vb

Nous allons d\e tailler ces quatre modes pour en donner les propri\e t\e s les plus \mbox{significatives\ha.}\vvww
\emph{Nous abandonnerons d\e sormais le ``\,chapeau\ha" dans la notation des \e l\e ments de\, $\FO$}\vd

\initnumm
\qquad A\,.\hh\underline{Convergence en mesure}\vvc

\Def{A\ha.\,\numm}Soient\hh$\F_n\vv\F_n\in\FO$\pv alors\hh$\F_n\ms\F$\hh ssi\vvab\hs{50mm}
\fbox{ $\all\eps>0\,\hh\ens{\hb|\hb\F_n-\F\ha|>\eps\ha}\one0$ }\vbc

\Def{A\ha.\,\numm}Une suite\, $\F_n\in\FO$\, est\, \underline{de Cauchy en mesure}\; (\ha\Cms\ha)\; ssi\vvb
\begin{picture}(,)
\put(18.5,0){$\all\eps>0$\,\hh il existe\hh$n\in\N$\,\hh tel que\hh$\all p>n\,\hh\bnone{\,\ens{\ha|\hb\F_p-\F_n\ha|>\eps\ha}\hb}\le\,\eps$\hh.}
\put(16,-4){\frm(130.5,10.25)}
\end{picture}\\\vva

\Th{A\ha.\,\numm}Soient\hh$\F_n\vv\F\in\FO\,,\hh\F_n\ms\F$\pv alors on a\\
\begin{picture}(,)
\put(51,-4){$\bnone{\hb\ens{\ha\F>0\ha}\hb}\le\;\inflim{n}\hh\bnone{\hb\ens{\ha\F_n>0\ha}\hb}$}
\put(49,-8.5){\frm(67,10.5)}
\end{picture}\vvc

\Dem\vvwa
On a\,\hh$\all\eps>0\quad\ens{\ha\F>\eps\ha}\hb=\hb\ens{\ha\F-\F_n+\F_n>\eps\ha}\hb\le\hb\ens{\ha\F-\F_n>\eps\ha}\hb+\,\ens{\ha\F_n>0\ha}$\vg\vvwa
donc\quad$\bnone{\hb\ens{\ha\F>\eps\ha}\hb}\le\hb\bnone{\hb\ens{\ha\F-\F_n>\eps\ha}\hb}\hb
+\,\bnone{\hb\ens{\ha\F_n>0\ha}\hb}$\vg \ha donc\quad$\all\eps>0$\vvwa
$\bnone{\hb\ens{\ha\F>\eps\ha}\hb}\le\;\inflim{n}\hh\bnone{\hb\ens{\ha\F_n>0\ha}\hb}$\pv\ha en faisant\hh$\eps\to0^+$\hh on obtient le \theo\vbc

\Cor{A\ha.\,\numm*}Soient\hh$\F_n\vv\F\in\FO\,,\hh\F_n\ms\F$\pv alors on a\\
\begin{picture}(,)
\put(50,-4){$\bnone{\:\SZ\,(\F)\hb}\le\;\inflim{n}\hh\bnone{\:\SZ\,(\F_n)\hb}$}
\put(48,-8.5){\frm(54.5,10.5)}
\end{picture}\\\vvbc

\Def{A\ha.\,\numm}Une suite\, $\F_n\in\FO$\, est\, \underline{domin\e e\ en mesure}\; (\ha\Dms\ha)\; ssi\vvb

\begin{picture}(,)
\put(44,0){$\sup\pos_{n\,\in\,\N}\ \bnone{\hb\ens{\ha|\hb\F_n\ha|>\alf}\hb}\to0$\,\hh
quand\,\hh$\alf\to\pin$\hh.}
\put(42,-5){\frm(86.5,10.75)}
\end{picture}\\\vvb

\Th{A\ha.\,\numm}\fbox{\,\Cms\hh$\imp$\:\ \Dms$\ph{p\dot{t}}$\hs{-2.5mm}}\ha\vb

\Dem On peut supposer\,\hh$\nn\,\hh\F_n\ge0$\pt Soit\hh$0<\eps<1$\hh et soit\: $p\in\N$\vvwa tel que\,\hh
$\sup\pos_{n\:>\:p}\;\bnone{\hb\ens{\hb\F_n-\F_p>\eps\ha}\ha}\le\hb\eps$\pt
Soit\hh$\alf>0$\hh tel que\:\hh$\bnone{\hb\ens{\ha\F_p\hs{-.4mm}>\alf-1}\hb}
\le\hb\eps$\pv\vvwa on a\,\hh$\nn\,\hh\ens{\ha\F_n>\alf}=\ens{\ha\F_n>\alf}\,\ens{\ha\F_n\le\F_p+\eps}\ha
+\hb\ens{\ha\F_n>\alf}\,\ens{\ha\F_n>\F_p+\eps}$\vvwa
$\le\ens{\ha\F_p+\eps>\alf}+\hb\ens{\ha\F_n>\F_p+\eps}\le\ens{\ha\F_p>\alf-1}+\hb\ens{\ha\F_n>\F_p+\eps}$\vwa
On en d\e duit\,\hh$\all n\ge p\quad\bnone{\hb\ens{\ha\F_n\hs{-.5mm}>\alf}}\le\hb2\;\eps$\vc

A\ha.\,\numm\ \underline{\Theo\ha\ de compl\e tude}\dd\fbox{\:$\FO$\, est complet pour la convergence
en mesure\hb.$\ph{|\dot{t}}$\hs{-2.25mm}}\vvb

Avant de d\e montrer ce \theo\ pr\e cisons sa signification\vb
$\bul$\hh Une suite\, $\F_n\in\FO$\, converge en mesure vers\; $\F\in\FO$\hh\underline{ssi}\vva
\hs{40mm}$\all\eps>0\hhh\suplim{n}\hh\bnone{\hb\ens{\hb|\,\F_n-\F\,|>\eps\ha}\hb}
\le\,\eps$\hb\vg\vva\cad\,\hh\underline{ssi}\,\hh$\all\eps>0$\,\hh il existe\, $n\in\N$\hh tel que\hb\hh
$\all p\ge n\quad\bnone{\hb\ens{\hb|\,\F_p-\F\,|>\eps\ha}\hb}\le\,\eps$\hb\vg\vva
\cad\,\hh\underline{ssi}\,\hh$\all\eps>0$\,\hh il existe\, $n\in\N$\hh tel que\hb\hh
$\all p\ge n$\vva\hs{40mm}$\bnone{\hb\ens{\hb\F_p>\F+\ha\eps\ha}\hb}\le\,\eps$\,\quad
et\,\quad$\bnone{\hb\ens{\hb\F>\F_p+\ha\eps\ha}\hb}\le\,\eps$\vb

$\bul$\hh Une suite\, $\F_n\in\FO$\, est\; \Cms\hh\underline{ssi}\,\hh$\all\eps>0$\,\hh il existe\hh
$n\in\N$\hh tel que\hh$\all p>n$\vva\hs{40mm}$\bnone{\,\ens{\ha\F_p>\F_n+\ha\eps}\hb}\le\,\eps$\,\quad
et\,\quad$\bnone{\,\ens{\ha\F_n>\F_p+\ha\eps}\hb}\le\,\eps$\vb

Le \theo\ha\ affirme que pour toute suite\; $\F_n\in\FO$\: qui est\; \Cms\ha\vg il esiste\; $\F\in\FO$\vvw
tel que\; $\F_n\ms\F$\pt La d\e monstration utilise plusieurs lemmes\vbc

\underline{\emph{Lemme\, 1}}\dd Soit une suite\; $\F_p\in\FO$\pv alors la suite\; $\F_p$\; est\; \Cms\;
ssi\, les suites\hh$\F_p^+$\\[.5mm]et\hh$\F_p^-$\; sont\; \Cms\vab

\Dem Trivial\vab

Ce lemme nous permet de supposer dans la suite que\,\hh$\all p\in\N\,\hh\F_p\in\FO\hb^+$\vc

\underline{\emph{Lemme\, 2}}\dd Soit une suite\; $\F_p\in\FO\hb^+$\: convergente en mesure et soit\, $n\in\N$\pv
alors la suite\hh$n\wa\F_p\in\hb\BB\ha^+$\hh converge en norme\; $\none{\ }$\; dans\ \hb$\BB\ha^+$.\vvab

\Dem La suite\; $n\wa\F_p$\; est encore\; \Cms\pv de plus elle est positive et born\e e\pv\vvw elle converge
donc en norme\; $\none{\ }$\; dans\ \hb$\BB\ha^+$\vbc

Posons\,\hh$\nn$\,\hh\fbox{\,$\tdg\ha_n\,
=\,\limone{\,\ p}\,\ (\hb n\wa\F_p\ha)\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-1mm}}\ha\ $\in\hb\BB\ha^+$.\vvcd

\underline{\emph{Lemme\, 3}}\dd On a\,\hh$\nn\quad n\wa\tdg\ha_{n\hb+1}=\,\tdg\ha_n$\vab

\Dem On a\,\hh$\nn\,\hh n\wa\tdg\ha_{n\hb+1}=\,n\wa\Big(\limone{\,\ p}\:\big[\hb(n+1)\wa\F_p\hb\big]\hw\Big)$\vva
\hs{22mm}$=\,\limone{\,\ p}\:\big[\hb n\wa(n+1)\wa\F_p\hb\big]=\,\limone{\,\ p}\,\ (\hb n\wa\F_p\ha)=\,\tdg\ha_n$\vc

\underline{\emph{Lemme\, 4}}\dd La suite\; $\tdg\ha_n$\; est\: \underline{croissante}\vab

\Dem Trivial\vbc

\underline{\emph{Lemme\, 5}}\dd La suite\; $\tdg\ha_n$\; est\; \underline{\Dms}\vab

\Dem La suite\; $\F_p$\; \e tant\; \Cms\pv elle est donc aussi\; \Dms\pv\vvwa
soit\, $\eps>0$\pv il existe donc\; $\alf>0$\; tel que\,\hh
$\all p\in\N\,\hh\bnone{\ha\ens{\ha\F_p>\alf}\ha}\le\hw\eps$\pv\vvwa
or\,\hh$\nn\,\hh n\wa\F_p\one\tdg\ha_n$\ha\vg donc\,\hh$\nn\,\hh n\wa\F_p\ms\tdg\ha_n$\pv\vvwa
donc\,\hh$\nn\;\hh\bnone{\ha\ens{\ha\tdg\ha_n>\alf}\ha}\le\;\inflim{p}\ \bnone{\ha\ens{\hb n\wa\F_p>\alf}\ha}
\le\;\inflim{p}\ \bnone{\ha\ens{\ha\F_p>\alf}\ha}\le\hb\eps$\vbc

\underline{\emph{Lemme\, 6}}\dd La suite\; $\tdg\ha_n$\; est\: \underline{exacte}\vab

\Dem On a\;\hh$\sup\pos_r\ \bnone{\hb\ens{\hb\tdg\ha_r>\alf\ha}\ha}\to\,0$\,\hh
quand\:\hh$\alf\to\pin$\pv soit\, $n\in\N$\pv\vvw posons\,\hh$\all r\in\N\,\hh\theta\hw_r
=\ens{\ha\tdg\hw_r>n}\in\KK$\pv la suite\: $\theta\hw_r$\: est croissante et born\e e\vg\vvw
donc convergente en norme\; $\none{\ }$\, vers\,\hh$\tau_n\hb
=\:\Sup{r}\,\ \theta\hw_r\hb=\;\Sup{r}\ \ens{\ha\tdg\ha_r>n}\in\KK$\pv\vvw
la suite\, $\tau_n$\, est d\e croissante et on a\vvw
$\none{\ha\tau_n\ha}=\,\sup\pos_r\ \none{\ha\theta\hw_r\ha}
=\,\sup\pos_r\ \bnone{\hb\ens{\hb\tdg\ha_r>n\ha}\ha}$\vg
donc\,\hh$\none{\ha\tau_n\ha}\to0$\:\hh quand\,\hh$n\to\pin$\pv\vvwa on en d\e duit
que la suite\,\hh$\sig_n\hb=\hb1-\tau_n\hb=\;\Inf{r}\ha\ \ens{\hb\tdg\ha_r\le n\hw}$\,\hh
est totale\vwa De plus on a\,\hh$\nn\,\hh\sig_n\le\ens{\tdg\ha_{n+1}\le n\hw}$\vg
donc\quad$\sig_n\;\tdg\ha_{n+1}=\,\sig_n\,\ens{\hb\tdg\ha_{n+1}\le n}\:\tdg\ha_{n+1}$\vvwa
$=\,\sig_n\,\ens{\ha n\wa\tdg\ha_{n+1}=\tdg\ha_{n+1}}\:\tdg\ha_{n+1}
=\,\sig_n\,\ens{\ha n\wa\tdg\ha_{n+1}=\tdg\ha_{n+1}}\,(\ha n\wa\tdg\ha_{n+1})$\vvwa
$=\,\sig_n\,\ens{\hb\tdg\ha_{n+1}\le n\hw}\,(\ha n\wa\tdg\ha_{n+1})
=\,\sig_n\;\tdg\ha_n$\:.\: La suite\; $\tdg\ha_n$\; est donc exacte\vb

\underline{\emph{D\e monstration du \theo}}\dd\vva

\oui Notons\hh$\G\in\FO\hb^+$\: la fonctionnelle dont la suite\, $(\tdg\ha_n)$\, est un repr\e sentant\pv
montrons\vvw qu'on a\hh$\FC_p\ms\G$\pv\ha soit\, $\eps>0$\pv nous d\e montrons d'abord\ha\hh
$\ens{\hb\F_p>\,\G+\eps}\one0$\ha\vg\ha ensuite\vvwa$\ens{\hb\G>\,\F_p+\eps}\one0$\vab

1)\hh Soit\, $0<\eps<1$\pv soit\, $N\in\N$\,\hh tel que\,\hh
$\all p\vv q\ge N\,\hh\bnone{\hb\ens{\hb\F_p>\,\F_q+\eps\ha}\ha}\le\hb\eps$\pv\vva
on a\,\hh$\all p\vv q\ge N\quad\all n\in\N^*\,\hh
\ens{\hb\F_p>\,n\wa\F_q\ha+\hb\eps\ha}\le\ens{\hb\F_p>\,n\wa(\F_q+\eps)\ha}$\vva
$=\,\ens{\ha\F_p>\,n}\ve\ens{\ha\F_p>\,\F_q+\eps}$\vg donc\,\hh
$\bnone{\ha\ens{\hb\F_p>\,n\wa\F_q\ha+\hb\eps\ha}\ha}$\vva
$\,\le\hb\bnone{\ha\ens{\ha\F_p>\,n}}+\,\bnone{\ha\ens{\ha\F_p>\,\F_q+\eps}}
\le\hb\bnone{\ha\ens{\ha\F_p>\,n}}+\,\eps$\pv\vva
or\,\hh$n\wa\F_q\ms\tdg\ha_n$\,\hh quand\,\hh$q\to\pin$\hb\vg\hb donc\,\hh$\all p\ge N\,\hh\all n\in\N^*$\vva
$\bnone{\hb\ens{\ha\F_p>\,\tdg\ha_n+\eps\ha}\ha}\le\;\inflim{q}\,\
\bnone{\ha\ens{\hb\F_p>\,n\wa\F_q\ha+\hb\eps\ha}\ha}\le\hb\bnone{\ha\ens{\ha\F_p>\,n}}+\,\eps$\pv\\
de plus quand\hh$n\to\pin\,\hh\ens{\hb\F_p>\,\tdg\ha_n+\eps\ha}\fin
\ens{\hb\F_p>\,\G+\eps\ha}$\,\hh et\,\hh$\ens{\ha\F_p>\,n}\one0$\vg\vva
donc\,\hh$\all p\ge N\,\hh\bnone{\hb\ens{\hb\F_p>\,\G+\eps\ha}\ha}\le\hb\eps$\vab

2\ha)\hh Soit\, $\eps>0$\, et soit\, $N\in\N$\,\hh tel que\,\hh
$\all p\vv q\ge N\,\hh\bnone{\hb\ens{\hb\F_p>\,\F_q+\eps\ha}\ha}\le\hb\eps\ha$\pv\vva
on a\,\hh$\all p\vv q\ge N\,\,\hh\nn\,\hh\ens{\ha n\wa\F_p>\F_q+\eps}\le\ha\ens{\ha\F_p>\F_q+\eps}$\vg donc\vva
$\bnone{\hb\ens{\ha n\wa\F_p>\F_q+\eps\ha}\ha}\le\hb\eps$\pv en faisant\,\hh
$p\to\pin$\,\hh on trouve\vva$\all q\ge N\,\hh\nn\,\hh\bnone{\hb\ens{\hb\tdg\ha_n>\F_q+\eps\ha}\hb}\le\hb\eps$\pv
et en faisant\,\hh$n\to\pin$\,\hh on obtient\vva$\all q\ge N\,\hh\bnone{\ha\ens{\ha\G>\F_q+\eps\ha}\ha}\le\hb\eps$\vcd

\Th{A\ha.\,\numm}$\all\,\F=(\tdf_n)\in\SX$\hh on a\,\hh\fbox{\,$\tdf_n\ms\F$\:}\vb

\Dem$\all\eps>0$\,\hh on a\ha\hh$\ens{\ha|\ha f_n-\F\ha|>\eps\ha}\le\ha\ens{\ha f_n\ne\F\hw}$\pv
on d\e montrera\; $\ens{\ha f_n\ne\F\hw}\fin0$\vvw
au\ha\ \Theo\: D\ha.\:2\pv on obtient donc a fortiori\: $\ens{\ha f_n\ne\F\hw}\one0$\vbc

\Th{A\ha.\,\numm}$\low{\EE}$\: est dense dans\hh$\FO$\hh pour la convergence en mesure\vab

\Dem Soit\, $(\tdf_n)\in\SX$\, un repr\e sentant de\, $\F$\pv soit\,\hh$\nn\,\hh\tdg\ha_n\in\ha\EE$\,\hh tel que\vvw
$\tdf_n-\tdg\ha_n\one0$\pv on a donc aussi\,\hh$\tdf_n-\tdg\ha_n\ms0$\pv de plus\,\hh$\tdf_n\ms\F$\pv
on en d\e duit\vvw$\tdg\ha_n\ha=\ha\tdf_n\hb+\hb(\ha\tdg\ha_n-\tdf_n)\ms\F$\vbc

\Th{A\ha.\,\numm*}$\low{\CC}$\: est dense dans\hh$\FO$\hh pour la convergence en mesure\vb

\Th{A\ha.\,\numm*}$\R\ha[\ha X]$\hh est dense dans\hh$\FO$\hh pour la convergence en mesure\vb

\Th{A\ha.\,\numm*}Soient\hh$\F_n\vv\F\in\FO$\pv alors\ha\hh
\fbox{\,$\F_n\ms\F$\hh ssi\hh$\un\wa\hi{$|$}\,\F_n-\F\,\hi{$|$}\,\one\,0$\:}\ha\vb

\Cor{A\ha.\,\numm*}La topologie de\, $\FO$\, pour la convergence en mesure peut \^etre d\e finie\vva par la
pseudo-norme\hh\fbox{\,$\hi{$\|$}\ha\F\ha\hi{$\|$}_{\ha\mrom{m\hw s}}\
=\ \bnone{\,\un\wa\hi{$|$}\ha\F\ha\hi{$|$}\,}$\,}\ha\vc

\Def{A\ha.\,\numm}Un espace de Riesz\, V\,  muni d'une pseudo-norme\: $\nrm{\ }$\: est un\,
\underline{espace}\vva\underline{pseudo-norm\e\ de Riesz}\; ssi\:\hh
\fbox{$\;\al\;u\vv v\in\V\quad|\ha u|\le|\ha v|\,\imp\,\nrm{u}\le\ha\nrm{v}\ph{\big|}$\hs{-.5mm}}\ha\vc

\Th{A\ha.\,\numm*}$(\,\FO,\,|\hh|\,,\,\|\ \|\ha_\mrom{ms}\,)$\hh est un\, espace pseudo-norm\e\,
\underline{complet}\, de Riesz\vcd

\newpage
\initnumm
\qquad B\,.\hh\underline{Convergence presque partout}\vvc

\Def{B\ha.\,\numm}Soient\hh$\F_n\vv\F_n\in\FO$\pv alors,\hh$\F_n\pp\F$\hh ssi\vvab\hs{50mm}
\fbox{ $\all\eps>0\,\hh\ens{\hb|\hb\F_n-\F\ha|>\eps\ha}\fin0$ }\vbc

\Th{B\ha.\,\numm}Soit\, $\F\in\FO$\pv alors\quad\fbox{\,$\alf\wa\ha\F\,\pp\,\F$\;\hh quand\:\hh$\alf\to\pin$\,}\vb

\Dem Soit\,\hh$\eps>0$\pv on a\,\hh$\all\alf>0\,\hh\ens{\ha\F-\ha\alf\wa\ha\F>\eps\hw}
=\ens{\ha\F-\eps>\hb\alf\wa\ha\F\ha}$\vvwa$=\ens{\ha\F-\eps>\ha\alf\hw}
\ve\ens{\ha\F-\eps>\ha\F\ha}=\ha\ens{\ha\F>\ha\alf+\eps\hw}\,\fin\,0$\vc

\Def{B\ha.\,\numm}Une suite\, $\F_n\in\FO$\, est \,\underline{de\hb\ Cauchy\, \PP}\; (\ha\Cpp\ha)\;
ssi\vvb
\begin{picture}(,)
\put(25,0){$\all\eps>0$\,\hh il existe\hh$n\in\N$\hh tel que\:
$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\ \Sup{p\:>\:n}\ \ens{\ha|\hb\F_p-\F_n\ha|>\eps\ha}\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}
\le\,\eps$\hh.}
\put(22.5,-5.5){\frm(122,12)}
\end{picture}\\\vvb

\Th{B\ha.\,\numm}Soient\hh$\F_n\vv\F\in\FO\,,\hh\F_n\pp\F$\pv alors on a\\
\begin{picture}(,)
\put(50,-4){$\ens{\ha\F>0}\,\le\ \Inflim{n}\;\ \ens{\ha\F_n>0}$\, .}
\put(48.5,-8.75){\frm(53,10.5)}
\end{picture}\vvd

\Dem On a\,\hh$\all\eps>0\quad\ens{\ha\F>\eps\ha}\hb=\hb\ens{\ha\F-\F_n+\F_n>\eps\ha}
\hb\le\hb\ens{\ha\F-\F_n>\eps\ha}\hb+\,\ens{\ha\F_n>0\ha}$\vg\vva
donc\quad$\all\eps>0\,\hh\ens{\ha\F>\eps\ha}\ha\le\ \Inflim{n}\;\ \ens{\ha\F_n>0\ha}$\pv\ha
en faisant\hh$\eps\to0^+$\hh on obtient le \mbox{\theo\ha.}\vvbc

\Cor{B\ha.\,\numm}Soient\hh$\F_n\vv\F\in\FO\,,\hh\F_n\pp\F$\pv alors on a
\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\SZ\,(\F)\hb\le\;\Inflim{n}\;\ \SZ\,(\F_n)$\hh.}
\put(2,-4.75){\frm(40.5,10.5)}
\end{picture}\vvbc

\Th{B\ha.\,\numm}\vva Soient\hh$\F_n\vv\F\in\FO\,,\hh\F_n\ms\F$\pv
supposons de plus la suite\, $\F_n$\, \underline{croissante}\pv\vvaab alors on a\,\hh
\fbox{\,$\ens{\ha\F_n>0}\one\ens{\ha\F>0}$\,}\ha\vg et donc aussi\,\hh\fbox{\,$\SZ\,(\F_n)\one\SZ(\F)$\,}\vbc

\Dem Gr\^ace \ac\ la monotonie de la suite\; $\F_n$\; on a en fait\ha\hh$\F_n\pp\F $\pv de plus la suite\vvwa
$\ens{\ha\F_n>0}$\, est croissante et major\e e par\, $\ens{\ha\F>0}$\pv on peut donc \e crire\hh$\nn$\vvwa
$\Suplim{n}\ \ens{\ha\F_n>0}\le\ens{\ha\F>0}\le\;\Inflim{n}\ \ens{\ha\F_n>0}$\pv d'\ou\ le \theo\vbc

\Cor{B\ha.\,\numm}\vva
Soient\hh$\F_n\vv\F\vv\G\in\FO\,,\hh\F_n\ms\FC$\pv
supposons de plus la suite\, $\F_n$\, \underline{croissante}\pv\vvab alors on a\quad
\fbox{\,$\ens{\ha\F_n>\ha\G\ha}\one\ens{\ha\F>\ha\G\ha}$\,}\quad et\quad
\fbox{\,$\ens{\ha\F_n\le\ha\G\ha}\one\ens{\ha\F\le\ha\G\ha}$\,}\ha\vc

\Def{B\ha.\,\numm}Une suite\; $\F_n\in\FO$\hh est\: \textbf{\underline{domin\e e \PP}}\;(\ha\Dpp\ha)\; ssi\vvb
\hs{40mm}\fbox{\;$\Sup{n\,\in\,\N}\ \ens{\hb|\hb\F_n\ha|>\alf\ha}\one0$\,\quad quand\quad$\alf\to\pin$\;}\vcd

\Th{B\ha.\,\numm}\fbox{\,\Cpp\hh$\imp$\lo\ \Dpp\hb}\ha\vb

\Dem On peut supposer\,\hh$\nn\,\hh\F_n\ge\ha0$\pt Soit\hh$0<\eps<1$\hh et soit\hh
$p\in\N$\hh tel\vvwa que\hh$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\,\Sup{n\:>\:p}\;\ens{\hb\F_n-\F_p>\eps\ha}\hb
\rbox{-.5mm}{\Big\|}_1\le\hb\eps$\pt Soit\hh$\alf>0$\hh tel que\:\hh
$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\,\Sup{n\:\le\:p}\;\ens{\ha\F_p\hs{-.4mm}>\alf-1}\hb\rbox{-.5mm}{\Big\|}_1
\le\hb\eps$\pv\vvwa on a\,\hh$\nn\,\hh\ens{\ha\F_n>\alf}=\ens{\ha\F_n>\alf}\,\ens{\ha\F_n\le\F_p+\ha\eps}\ha
+\hb\ens{\ha\F_n>\alf}\,\ens{\ha\F_n>\F_p+\ha\eps}$\vvwa
$\le\ha\ens{\ha\F_p+\ha\eps>\ha\alf}+\hb\ens{\ha\F_n>\F_p+\ha\eps}
\le\ha\ens{\ha\F_p>\alf-1}+\hb\ens{\ha\F_n>\F_p+\ha\eps}$\vwa
On peut donc \e crire\quad$\Sup{n\:>\:p}\;\ens{\ha\F_n>\alf}\le\ha\ens{\ha\F_p>\alf-1}
+\hb\Sup{n\:>\:p}\;\ens{\ha\F_n>\F_p+\ha\eps}$\vg\vvwa donc\,\hh
$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\,\Sup{n\:>\:p}\;\ens{\ha\F_n>\alf}\ha\rbox{-.5mm}{\Big\|}_1
\le\ha\rbox{-.5mm}{\Big\|}\,\Sup{n\:>\:p}\;\ens{\ha\F_p>\alf-1}\ha\rbox{-.5mm}{\Big\|}_1\ha
+\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}\,\Sup{n\:>\:p}\;\ens{\ha\F_n>\F_p+\ha\eps}\ha\rbox{-.5mm}{\Big\|}_1\le\,2\;\eps$\vwa
On en d\e duit\quad$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\,\Sup{n}\;\ens{\ha\F_n>\alf}\ha\rbox{-.5mm}{\Big\|}_1
\le\ha\rbox{-.5mm}{\Big\|}\,\Sup{n\:\le\:p}\;\ens{\ha\F_n>\alf}\ha\rbox{-.5mm}{\Big\|}_1\ha
+\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}\,\Sup{n\:>\:p}\;\ens{\ha\F_n>\alf}\ha\rbox{-.5mm}{\Big\|}_1\le\,3\;\eps$\vc

\Th{B\ha.\,\numm}$\FO$\hh est complet pour la convergence\, \PP\vvb

\Dem Soit\, $\F_n\in\FO$\, une suite\; \Cpp\pv alors\, $\F_n$\, est\; \Cms\pt\vva
Soit\, $\F\in\FO$\, tel que\,\hh$\F_n\ms\F$\pv nous allons montrer\,\hh$\F_n\pp\F$\va Soit\, $\eps>0$\pv
on a\,\hh$\all n\vv p\in\N\,\hh\ens{\ha|\ha\F_p-\F\ha|>\eps}
\le\ens{\ha|\ha\F_p-\F_n\ha|+|\ha\F_n-\F\ha|>\eps}$\vva
$\le\ens{\ha|\ha\F_p-\F_n\ha|>\eps\ha/\ha2\ha}+\ens{\ha|\ha\F_n-\F\ha|>\eps\ha/\ha2\ha}$\pv
on peut donc \e crire\,\hh$\nn$\vva$\Sup{p\:\ge\:n}\,\ \ens{\ha|\ha\F_p-\F\ha|>\eps}
\le\:\Sup{p\:>\:n}\,\ \ens{\ha|\ha\F_p-\F_n\ha|>\eps\ha/\ha2\ha}\,
+\,\ens{\ha|\ha\F_n-\F\ha|>\eps\ha/\ha2\ha}\one0$\vbc

\Th{B\ha.\,\numm}$\low{\EE}$\: est dense dans\hh$\FO$\hh pour la convergence\, \PP\vvab

\Dem Soit\, $(\tdf_n)\in\SX$\, un repr\e sentant de \, $\F$\pv
on a\,\hh$\tdf_n\exa\FC$\vg donc\,\hh$\tdf_n\pp\FC$\vw
Soit\,\hh$\nn\,\hh\tdg\ha_n\in\ha\EE$\,\hh tel que\:\hh$\sum\pos_n\,
\bnone{\hb\tdf_n-\tdg\ha_n\hb}<\ha\pin$\pv alors\,\hh$\tdf_n-\tdg\ha_n\pp0$\vg
donc\,\hh$\tdg\ha_n\ha=\ha\tdf_n\hb+\hb(\ha\tdf_n-\tdg\ha_n)\pp\F$\vb

\Th{B\ha.\,\numm*}$\low{\CC}$\: est dense dans\hh$\FO$\hh pour la convergence\, \PP\vvb

\Th{B\ha.\,\numm*}$\R\ha[\ha X]$\hh est dense dans\hh$\FO$\hh pour la convergence\, \PP\vvbc

\Def{B\ha.\,\numm}Une suite\hh$\F_n\in\FO$\hh est\hh\tsf{\fbox{\,domin\e e\ha\ dans\,\lo
$\FO\ph{\dot{t}}$\hs{-.85mm}}}\hb\hh
ss\ha'\ha il existe\vvw $\G\in\FO\,^+$\; tel que\,\hh$\nn\,\hh|\F_n|\le\G$\vbc

\Th{B\ha.\,\numm}Pour toute suite\hh$\F_p\in\FO$\; on a
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\F_p$\: \Dpp\hh$\sam\ \F_p$\: domin\e e dans\, $\FO$\: .}
\put(3,-3){\frm(68.5,8)}
\end{picture}\vvb

\Dem On peut supposer\,\hh$\all p\in\N\,\hh\F_p\ge0$\va
a)\hh$\imp$\dd Posons\,\hh$\nn\,\hh\tdg\ha_n\ha=\:\Sup{p}\ \big(\ha n\wa\FC_p\ha\big)\in\hb\BB\ha^+$\,;\:
la suite\: $\tdg\ha_n$\, est croissante\pv montrons que c'est une suite exacte\pv
posons\,\hh$\nn\,\hh\sig_n\hb=\:\Inf{\sbs{\\[.1mm]p}}\ \ens{\ha\F_p\le n}$\,;\vva
comme\, $\F_p$\; est\; \Dpp\vg la suite\, $\sig_n$\, est totale\pt
On a\,\hh$\nn\,\hh\ens{\ha\tdg\ha_{n+1}\le n}$\vva$=\hb\Big\{\ha\Sup{p}\ \big[\,(n+1)\wa\F_p\,\big]
\le\ha n\Big\}=\:\Inf{\sbs{\\[.1mm]p}}\;\Big\{\hw(n+1)\wa\F_p\le\ha n\hw\Big\}
=\;\Inf{\sbs{\\[.1mm]p}}\ \ens{\ha\F_p\le n}=\,\sig_n$\pv\vva
de plus\,\hh$\nn\quad n\wa\ha\tdg\ha_{n+1}=\,n\wa\,\Sup{p}\ \big[\,(n+1)\wa\F_p\,\big]
=\:\Sup{p}\ \big(\ha n\wa\F_p\ha\big)=\,\tdg\ha_n$\vg\\ donc\,\hh
$\nn\,\hh\ens{\ha\tdg\ha_{n+1}=\tdg\ha_n}=\ens{\ha\tdg\ha_{n+1}
=n\wa\ha\tdg\ha_{n+1}}=\ens{\ha\tdg\ha_{n+1}\le n}=\,\sig_n\one1$\va
La suite\, $\tdg\ha_n$\, est donc exacte\pv posons\,\hh$\G=(\hb\tdg\ha_n\hw)\in\ha\FO^+$\pv on a\,\hh
$\all n\vv p\in\N$\vva$n\wa\F_p\ha\le\,\tdg\ha_n\ha\le\hb\G$\pv en faisant\,\hh$n\to\pin$\,\hh
on obtient\,\hh$\all p\in\N\quad\F_p\ha\le\hb\G$\vb

b)\hh$\pmi$\dd On a\quad$\Sup{p\,\in\,\N}\ \ens{\hb\F_p>\alf\ha}\le\ens{\hb\G>\alf\ha}\fin0$\vc

B\ha.\,\numm\ \underline{\Theo\ha\ de convergence monotone dans\ho\ $\FO$}\vva
Soit\hh$\F_n\in\FO$\hh une suite\ha\ \tsf{\emph{monotone}}\ha\ et\ha\ \tsf{\emph{domin\e e dans\hb\ $\FO$}}\pv
alors\hh$\F_n$\hh converge\vvww\tsf{\emph{presque partout}}\hb\ vers une fonctionnelle\hh$\F\in\FO$\pt
On note\hh\fbox{\,F =\: Sup\ph{(}\ha$\F_n$\,\hh\underline{ou}\,\hh Inf\ph{(}\ha$\F_n$\hb}\vvww
suivant que la suite\, $\F_n$\, est croissante ou d\e croissante\vab

\Dem Comme la suite\, $\F_n$\, est monotone\vg il suffit de montrer que\, $\F_n$\, est\: \Cms\vw
On peut supposer la suite\, $\F_n $\, croissante\pt On a\,\hh$\all\alf>0\,\hh\all\ha p\vv q\ha\in\N$\vvw
$\F_p-\F_q\,\le\,\F_p-\,\alf\wa\F_q=\,\F_p\,-\,\alf\wa\F_p\,+\,\alf\wa\F_p\,
-\,\alf\wa\F_q$\vw Soit\, $\eps>0$\pv on a\quad$\ens{\ha\F_p-\F_q>\eps}\ha
\le\ha\ens{\ha\F_p-\alf\wa\F_p>0}\ha+\ha\ens{\ha\alf\wa\F_p-\alf\wa\F_q>\eps}$\vvwwa
$\le\ha\ens{\ha\F_p>\alf}\ha+\ha\ens{\ha\alf\wa\F_p-\alf\wa\F_q>\eps}\ha
\le\ha\ens{\ha\G>\alf}\ha+\ha\ens{\ha\alf\wa\F_p-\alf\wa\F_q>\eps}$\vwa
Soit\hh$\G\in\FO^+$\hh tel que\,\hh$\nn\quad|\ha\F_n\hw|\le\G$\pv choisissons\, $\alf$\, tel que\vvw
$\bnone{\ha\ens{\ha\G>\alf}\ha}\le\eps\ha/\ha2$\pv\ha la suite\, $\alf\wa\F_n\in\LL^1$\, est croissante\
et major\e e par\, $\alf$\pv\vvw elle converge donc en norme\, $\none{\ }$\, et donc aussi en mesure\pv
il existe donc\: $N\in\N$\vvw tel que\,\hh$\all p\vv q\ge N\,\hh
\bnone{\hb\ens{\ha\alf\wa\F_p-\alf\wa\F_q>\eps}\ha}\le\eps\ha/\ha2$\pv
on en d\e duit\,\hh$\all p\vv q\ge N$\vvwa$\bnone{\hb\ens{\ha\F_p-\F_q>\eps}\ha}\le\,\eps$\pt\ha
La suite\, $\F_n$\, est donc\: \Cms\vc

\Def{B\ha.\,\numm}Soit\hh$\F_n\in\FO$\hh une suite\, \underline{domin\e e dans\, $\FO$}\ha\pt
On pose\vvb\fbox{ $\Sup{\sbs{\\[-1.25mm]n}}\ \F_n\,=\,\Sup{\sbs{\\[-1.25mm]n}}\;\HO\F_0\ve\F_1\ve\,\ldots\,
\ve\F_n$ }\quad et\quad\fbox{ $\Inf{\sbs{\\[.05mm]n}}\;\F_n\,=\,\Inf{\sbs{\\[.05mm]n}}\;\HO\F_0
\wa\F_1\wa\,\ldots\,\wa\F_n$ }\ha\vbc

Ce sont respectivement le\, \underline{Supr\e mum}\: et\ha\ l'\,\underline{Infimum}\: de la suite\, $\F_n$\vbc

\Def{B\ha.\,\numm}Soit\hh$\F_n\in\FO$\hh une suite\, \underline{domin\e e dans\, $\FO$}\ha\pt
On pose\vvb\begin{picture}(,)
\put(26,0){$\Inflim{n}\,\ \F_n\ha=\,\Sup{\sbs{\\[-.25mm]n\:\in\:\N}}\ \Inf{\sbs{\\[.5mm]p\:\in\:\N}}\ \F_{n+p}$\hs{6mm}
et\hs{8mm}$\Suplim{\sbs{\\n}}\,\ \F_n\ha=\Inf{\sbs{\\[.5mm]n\:\in\:\N}}\
\Sup{\sbs{\\[-.25mm]p\:\in\:\N}}\ \F_{n+p}$\ha\hh.}
\put(23,-5.5){\frm(52.5,11)}
\put(89,-5.5){\frm(51.5,11)}
\end{picture}\vvc

Ce sont respectivement la\, \underline{Limite Inf\e rieure}\: et la\, \underline{Limite Sup\e rieure}\,
de la suite\, $\F_n$\vc

\Th{B\ha.\,\numm}Soient\hh$\F_n\vv\F\in\FO$\pv alors\,\hh$\F_n\pp\F$\ha\hh ssi\:\hh
\fbox{\:$\Suplim{\sbs{\\n}}\ \big|\hb\ha\F_n-\F\hb\big|=\ha0\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-.5mm}}\ha\vg\vvw
\cad\ha\ ssi\ha\ la suite\ha\hh\fbox{ $\Phi\ha_n=\hb\Sup{p\:\ge\:n}\ha\ \big|\hb\F_p-\F\hb\big|\ms0
\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-.15mm}}\ha\vc

\Dem On peut supposer\hh$\F=\ha0$\pv on a alors\vvaab
\hs{5mm}$\Big[\ha\ \all\eps>0\quad\Psi_n=\ha\ens{\hb|\hb\F_n\ha|>\eps\ha}\fin0\ha\ \Big]\
\sam\ \Big[\ha\ \all\eps>0\quad\Phi\ha_n=\,\Sup{p\:\ge\:n}\ \ens{\hb|\hb\F_n\ha|>\eps\ha}\one0\ha\ \Big]$\vva
\hs{72.75mm}$\sam\ \Big[\ha\ \all\eps>0\quad\Phi\ha_n
=\ha\rbox{-.5mm}{\Big\{}\:\Sup{p\:\ge\:n}\ |\hb\F_n\ha|>\eps\ha\rbox{-.5mm}{\Big\}}\one0\ha\ \Big]$\vvaab
\hs{72.75mm}$\sam\hh\Phi\ha_n=\,\Sup{p\:\ge\:n}\ha\ \big|\hb\F_p\hb\big|\ms0$\vbc

\Th{B\ha.\,\numm}\vvwa Une suite\hh$\F_n\in\FO$\hh converge\, \PP\, vers\hb\hh$\F\in\FO$\hb\hh
ssi\quad\fbox{\;$\F\ha=\;\Inflim{n}\,\ \F_n\ha=\;\Suplim{\sbs{\\n}}\,\ \F_n\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-1mm}}\ha\vg\vvk
\cad\, ssi\,\hh\fbox{\;$\F=\,\Sup{n}\ha\ \Inf{\sbs{\\[.05mm]p}}\ha\ \F_{n+p}\ha
=\hb\Inf{\sbs{\\[.05mm]n}}\ha\ \Sup{\sbs{\\[-1.25mm]p}}\ha\ \F_{n+p}\ph{\dot{\dot{t}}}$\rs\rr}\ha\vb

\Dem\vvw
a)\hh$\imp$\dd Soit\, $n\in\N$\pv on a\vva
$\Big|\hb\Big(\,\Sup{p\:\in\:\N}\ \F_{n+p}\Big)-\F\,\Big|
=\hb\Big|\ \Sup{p\:\in\:\N}\ \big(\hb\F_{n+p}-\F\hb\big)\,\Big|\le\:\Sup{p\:\in\:\N}\hh\big|\hb
\F_{n+p}-\F\hb\big|=\,\Sup{r\:\ge\:n}\hh\big|\hb\F_r-\F\hb\big|\ms0$\pv\vva
donc\,\hh$\F=\,\Suplim{n}\,\ \F_n$\pv on a de m\^eme\vva$\Big|\hb\Big(\,\Inf{p\:\in\:\N}\
\F_{n+p}\Big)-\F\,\Big|=\hb\Big|\ \Inf{p\:\in\:\N}\ \big(\hb\F_{n+p}-\F\hb\big)\,\Big|
\le\;\Sup{p\,\in\,\N}\hh\big|\hb\F_{n+p}-\F\hb\big|\ms0$\pv donc\,\hh$\F=\,\Inflim{n}\,\ \F_n$\vww

b)\hh$\pmi$\dd Soit\, $n\in\N$\pv on a\,\hh$\all r\ge n\quad\Big(\,\Inf{\sbs{\\[.05mm]p\:\ge\:n}}\
\F_p\Big)-\F\le\,\F_r-\F\le\Big(\,\Sup{p\:\ge\:n}\ \F_p\Big)-\F$\vg\vva
donc\quad$\all r\ge n\quad|\hb\F_r-\F\hb|\hb\le\hb\Big|\hb\Big(\,\Inf{\sbs{\\[.05mm]p}\:\ge\:n}\ \F_p\Big)-\F\,\Big|
\ve\Big|\hb\Big(\,\Sup{p\:\ge\:n}\ \F_p\Big)-\F\,\Big|$\pv\vva donc\hhh
$\Sup{r\:\ge\:n}\,\ |\hb\F_r-\F\hb|\hb\le\hb\Big|\hb\Big(\,\Inf{\sbs{\\[.05mm]p}\:\ge\:n}\
\F_p\Big)-\tdf\,\Big|\ve\Big|\hb\Big(\,\Sup{p\:\ge\:n}\ \F_p\Big)
-\F\,\Big|$\vvwa\hs{60mm}$=\,\Big|\hb\Big(\,\Inf{\sbs{\\[.05mm]p\:\in\:\N}}\ \F_{n+p}\Big)
-\F\,\Big|\ve\Big|\hb\Big(\,\Sup{p\:\in\:\N}\ \F_{n+p}\Big)-\F\,\Big|\ms0$\vbc

\Not On note\, \fbox{\,$\Lim{\sbs{\\n}}$\;\ho$\F_n$\hb}\, la limite d'une suite\, $\F_n$\, convergente\, \PP\,
Nous utilisons\vvwa la m\^eme notation que pour la convergence fine dans\, $\PM$\, car il est manifeste que
la\vvwa convergence\, \PP\, dans\: $\FO$\, g\e n\e ralise la convergence fine dans\, $\LL^1$\vc

\Th{B\ha.\,\numm}Soient\hh$\F_n\vv\F\in\FO$\pv alors\hh
$\F_n\pp\F$\,\hh ssi\,\hh\fbox{\:$\un\wa\big|\,\F_n-\F\hb\big|\,\fin\,0$\:}\vb

\Th{B\ha.\,\numm*}\vvwa
Une suite\hh$\F_n\in\FO$\hh est\; \Cpp\; ssi\ha\ la suite\ha\hh
\fbox{\;$\Psi_n=\,\Sup{p\:>\:n}\ \big|\,\F_p-\F_n\hb\big|\ms0\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-.25mm}}\ha\vbc

\Th{B\ha.\,\numm*}Soit\, $\F\in\ha\FO$\; et soit une suite\; $\F_n\in\FO$\; telle que\hh$\F_n\ms\F$\pv\vva
alors on a\,\hh\fbox{\,$\Inflim{n}\,\HO\F_n\hb\le\hb\F\ha\le\:\Suplim{\sbs{\\n}}\,\ \F_n$\,}\vbc

\Th{B\ha.\,\numm*} De toute suite\: \Cms\; on peut extraire une\ha\ sous-suite\: \Cpp\vb

\Th{B\ha.\,\numm*}Pour une suite\, \underline{monotone}\: dans\; $\FO$\: les quatre concepts\hh
\Cms\vg\vvk\Cpp\vv\ \Dms\vv\ \Dpp\hh sont \e quivalents\vd

\initnumm
\qquad C\,.\hh\underline{Convergence plate}\vvc

\Def{C\ha.\,\numm}Soient\hh$\F_n\vv\F_n\in\FO$\pv alors\,\hh$\F_n\pla\F$\hh ssi\vvaab\hs{50mm}
\fbox{\:$\ens{\F_n\ne\F}=\,\SZ\:(\hw\F_n-\F)\,\one\,0$\;}\ha\vbc

\Not On note\hh\fbox{\,$\dis^\tsf{A}\lim_n$\:\ho$\F_n$\hb}\hh la limite d'une suite\, $\F_n$\, convergeant
platement\vc

\Cor{C\ha.\,\numm}La topologie de\, $\FO$\, pour la convergence plate peut \^etre d\e finie par\vvwa la
pseudo-norme\hh\fbox{\,$\hi{$\|$}\ha\F\ha\hi{$\|$}_{\ha\tsf{A}}\ =\ \none{\,\SZ\,(\F)\hb}$\ha}\,
$\ge\ha\hi{$\|$}\ha\F\ha\hi{$\|$}_{\ha\mrom{m\hw s}}$\vb
\Th{C\ha.\,\numm}Soient\hh$\FC_n\vv\F\in\FO\,,\hh\F_n\pla\F$\pv alors on a\,\hh
\fbox{\,$\SZ\,(\F_n)\one\SZ\,(\F)$\,}\vc

\Def{C\ha.\,\numm}Une suite\, $\F_n\in\FO$\, est\, \underline{Cauchy-plate}\; (\ha C\ha-plate\ha)\;
ssi la suite\vvab\hs{32.5mm}\fbox{ $\alf\ha_n=\,\dis\sup_{p\,>\,n}\,\bnone{\ha\ens{\ha\F_p\ne\F_n}\ha}
=\,\sup_{p\,>\,n}\,\bnone{\:\SZ\:(\ha\F_p-\F_n\ha)\,}\to0\ph{\dot{\dot{l}}}$}\vc

\Th{C\ha.\,\numm}$\FO$\hh est complet pour la convergence plate\vb

\Th{C\ha.\,\numm}\!$\BB$\hh est dense dans\hh$\FO$\hh pour la convergence plate\vb

\Th{C\ha.\,\numm}$(\,\FO,\,|\hh|\vv\|\ \|\hb_\tsf{A}\,)$\hh est un espace pseudo-norm\e\,
\underline{complet}\, de Riesz\vd

\initnumm
\qquad D\,.\hh\underline{Convergence exacte}\vvc

\Def{D\ha.\,\numm}Soient\hh$\F_n\vv\F_n\in\FO$\pv alors,\hh$\F_n\exa\F$\hh ssi\vvab\hs{50mm}
\fbox{\:$\ens{\F_n\ne\F}=\,\SZ\:(\hw\F_n-\F)\,\fin\,0$\;}\ha\vbc

\Not On note\hh\fbox{\,$\dis^\tsf{E}\lim_n$\:\ho$\F_n$\hb}\hh la limite d'une suite\, $\F_n$\, convergeant
exactement\vb

\Th{D\ha.\,\numm}$\all\,\F=(\tdf_n)\in\SX$\hh on a\,\hh\fbox{\,$\tdf_n\exa\F$\:}\va

\Dem Il faut montrer\hh$\ens{\ha\tdf_n\ne\F\ha}\fin0$\ha\pv\ha on a\,\hh
$\nn$\vvwa$\ens{\ha\tdf_n\ne\F\ha}=\ens{\ha\tdf_n>\F\ha}\ve\ens{\ha\tdf_n<\F\ha}$\ha;\:
montrons par exemple\hh$\ens{\ha\tdf_n>\F\ha}\fin0$\pv\vvwa soit\, $\sig_n\in\KK$\, une pr\e sentation
de la suite\, $\tdf_n$\pv on a\,\hh$\nn$\vvwa$\ens{\ha\tdf_n>\F\ha}=\ha\big|\ha\ens{\ha\tdf_n>\F\ha}
-\ens{\ha\tdf_n>\tdf_n\hw}\hw\big|\le\hb1-\hb\sig_n$\ha\pv\ha donc\,\hh$\ens{\ha\tdf_n>\F\ha}\fin0$\vbc

\Def{D\ha.\,\numm}Une suite\; $\F_n\in\FO$\; est\, \underline{Cauchy\ha-\ha exacte}\;
(\ha C\ha-\ha exacte\ha)\; ssi la suite\vvab\hs{30mm}\fbox{\ $\alf\ha_n=\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\,>\,n}\
\ens{\ha\F_p\ne\F_n}\hb\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}=\ha\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\,>\,n}\,\
\SZ\:(\ha\F_p-\F_n\ha)\hb\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}\to0\ph{\dot{\dot{l}}}$}\ha\vbc

\Th{D\ha.\,\numm}La suite\; $\F_n\in\FO$\; est\: C\ha-\ha exacte\; ssi\,\hh
\fbox{\:$\SZ\,\rbox{.15mm}{(}\ha\F_{n\ha +1}-\F_n\rbox{.15mm}{)}\,\fin\,0\ph{\low{p}}$\hs{-1mm}}\ha\vg\vva
\cad\, ssi\,\hh\fbox{\,$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\,\ge\,n}\,\
\SZ\:(\ha\F_{p\ha+1}-\F_p\ha)\hb\rbox{-.5mm}{\Big\|}_{\hw1}\to0\ph{\dot{\dot{l}}}$}\ha\vbc


\Th{D\ha.\,\numm}Soient\hh$\F_n\vv\F\in\FO\,,\hh\F_n\exa\FC$\pv alors on a\,\hh
\fbox{\,$\SZ\,(\F_n)\fin\SZ\,(\F)$\,}\vb

\Th{D\ha.\,\numm}\!$\BB$\hh est dense dans\hh$\FO$\hh pour la convergence exacte\vb

\Th{D\ha.\,\numm}$\FO$\hh est complet pour la convergence exacte\vb

\Th{D\ha.\,\numm}De toute suite\, C\ha-plate\ha\ on peut extraire une\ha\ sous-suite\, C\ha-\ha exacte\vb

D\ha.\,\numm\ \underline{\Theo\ha\ de balayage dans\, $\FO$}\dd\vvab Soit\hh$\F\in\FO$\pv
alors on a\quad\fbox{\ha\ $\dis^\tsf{E}\hs{-3mm}\lim_{\alf\ha\to\ha\pin}\alf\wa\F\ha
=\,\F\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-.6mm}}\,\quad
et\,\quad\fbox{\ha\ $\dis^\tsf{E}\hs{-3mm}\lim_{\alf\ha\to\ha\pin}(-\ha\alf)\ve\F\wa\hb\alf\hb
=\,\F\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-.6mm}}\ha\vc

\Th{D\ha.\,\numm}Soit\hh$\F_n\in\FO$\pv supposons que\hh$\sum\pos_{n\,=\,0}^\infty\
\bnone{\,\SZ\,(\F_n)\ha}<\pin$\pv\vvw alors\,\hh$\sum\pos_{n\,=\,0}^\infty\ \F_n$\hh
converge exactement dans\: $\FO$\,\hh et\,\hh$\F_n\exa0$\vd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Equations lin\e aires dans\, $\FO$}}\vvbc

\oui On r\e soud l'\emph{\e quation}\hh\fbox{\,F X\ha\ho=\ha\lo H\,}\hh d'inconnue\, X\hb\vg\ha avec\hh
$\F\vv\X\vv\HZ\in\FO$\vb

\Th{\num}\vvaab
Soient\: $\F\in\FO$\hh  et\hh $c>0$\hh tels que\hh$\VF\ge\hw c$\,;\: alors il existe un unique\;
$\tdg\in\ha\BB$\; tel que\vvwa
$\F\:\tdg\hb=1$\pv on note\,\hh\fbox{\,$\tdg\ha=\hb\Inv{\F}$\,}\hb\pt On a de plus\quad
$\Big|\ha\Inv{\F}\hb\Big|=\ha\inv{\VF}\le\ha\inv{c}$\,\hh et\,\hh$\SZ\,\Big(\Inv{\F}\Big)=\hw1$\vbc

\Dem L'unicit\e\ se d\e montre comme dans\, $\LL^1$\ha\ (voir\ha\ \Theo\, VI\, 7\ha.\:31)\vwa
Montrons l'existence\pv soit une suite\;
$\tdf_n\in\ha\BB$\hh telle que\ha\hh$\tdf_n\exa\F$\,\hh et telle que\vva$\nn\,\hh|\ha\tdf_n\ha|\ge\ha c$\pv
on a\,\hh$\nn\,\hh\Inv{\tdf_n}\in\ha\BB$\,\hh et\,\hh$\Big|\Inv{\tdf_n}\Big|\le\inv{c}$\pv\vvww
de plus\,\hh$\nn\quad\SZ\,\Big(\ha\Inv{\tdf_{n\ha+1}}-\inv{\tdf_n}\ha\Big)
=\,\SZ\,\Big({\ha\frac{\tdf_{n\ha+1}\hs{-.5mm}-\tdf_n}{\tdf_{n\ha+1}\,\tdf_n}\ha}\Big)
=\:\SZ\,(\ha f_{n\ha+1}\hs{-.5mm}-f_n\ha)$\vw On en d\e duit que\, $\Inv{\tdf_n}$\,
est une suite exacte dans\, $\FO$\pv or cette suite est born\e e par\ha\ 1\vg\\
donc elle converge exactement vers une fonctionnelle\; $\tdg\in\ha\BB$\hh telle que\hh$\vtdg\le\Inv{c}$\pv\vva
on peut donc \e crire\,\hh$\F\:\tdg\,=\,\dis^\tsf{E}\lim_n\hb\ \tdf_n\:\Inv{\tdf_n}\hb=\ha1$\pt\ha
Par ailleurs\,\hh$\VF\,\vtdg\ha=\ha|\ha\F\:\tdg\ha|\ha=\hw1$\vg\vvww donc par unicit\e\,\hh
$\Inv{\VF}\hb=\hb\vtdg\hb=\hb\Big|\ha\inv{\F}\hb\Big|$\ha\pv
enfin on a\hh$1=\,\SZ\,(\ha\F\:\tdg\ha)=\hb\SZ\,(\F)\;\SZ\,(\tdg)=\hb\SZ\,(\tdg)$\vc

\Th{\num}Soient\hh$\F\vv\HZ\in\FO$\hh tels que\hh$\SZ\,(\HZ)\le\ha\SZ\,(\F)\le\VF$\pv alors il existe\vvww
un unique\hh$\G\in\FO$\: tel que\,\hh$\F\:\G\ha=\ha\HZ$\,\hh et\ha\hh$\SZ\,(\G)\le\ha\SZ\,(\F)$\vab

\Dem\vvwa
Posons\,\hh$\F^*=\F+1-\SZ\,(\F)$\pv on a\,\hh$\VF\wa\big[\ha1-\SZ\,(\F)\ha\big]
=\ha0$\vg donc\,\hh$|\hb\F^*|\ha=\ha\VF+1-\SZ\,(\F)\ge1$\vg\vva
donc\hh$\Inv{\F^*}\in\ha\BB$\hh existe\pv posons\,\hh$\G\ha
=\hb\Frac{\SZ\,(\F)\:\HZ}{\F^*}\hb\in\FO$\pv on a clairement\hh$\SZ\,(\G)
\le\ha\SZ\,(\F)$\pv\vva de plus\,\hh$\F\:\G\ha=\ha\Frac{\SZ\,(\F)\:\F\:\HZ}
{\F^*}\hb=\hb\frac{\SZ\,(\F)\:\big(\ha\F+[\,1-\SZ\,(\F)\,]\ha\big)\:\HZ}{\F^*}\hb
=\hb\frac{\SZ\,(\F)\:\F^*\:\HZ}{\F^*}\ha=\hb\SZ\,(\F)\:\HZ\ha=\hb\HZ$\vab
D\e montrons l'unicit\e\pv soient\,\hh$\G\ha_1\vv\G\ha_2\in\FO$\,\hh tels que\,\hh$\F\;\G\ha_1=\HZ$\,\hh
et\,\hh$\F\;\G\ha_2=\HZ$\hb;\:\vvwa on en d\e duit\,\hh$\F\,(\G\ha_1-\G\ha_2)=\ha0$\pv donc\,\hh
$\SZ\,(\F)\ \SZ\,(\G\ha_1-\G\ha_2)=\ha\SZ\,(\G\ha_1-\G\ha_2)=\ha0$\vg\vvwa donc\hh$\G\ha_1-\G\ha_2=\ha0$\vb

\Cor{\num}Soient\hh$\F\vv\HZ\in\FO$\hh tels que\hh$\SZ\,(\HZ)\le\ha\SZ\,(\F)$\pv
supposons qu'il existe\\$n\in\N^*$\hh tel que\hh$\SZ\,(\F)\le\ha n\:\VF$\pv alors il existe un unique\hh
$\G\in\FO$\: tel que\ha\hh$\F\:\G\ha=\ha\HZ$\vvw et\ha\hh$\SZ\,(\G)\le\ha\SZ\,(\F)$\va

\Dem On applique le \theo\ pr\e c\e dent\ha\ \ac\: $n\:\F$\: et\: $n\:\HZ$\vc

\num\ \underline{Th\ee or\ee me fondamental}\dd Soient\hh$\F\vv\HZ\in\FO$\hh tels que\hh
$\SZ\,(\HZ)\le\ha\SZ\,(\F)$\pv alors il existe un unique\: $\G\in\FO$\: tel que\,\hh
$\F\:\G\ha=\ha\HZ$\,\hh et\ha\hh$\SZ\,(\G)\le\ha\SZ\,(\F)$\vb

\Dem$\all n\in\N^*$\, l'\e quation\hh$\Big\{\VF\ge\Inv{n}\hw\Big\}\:\F\;\X
=\Big\{\VF\ge\inv{n}\hw\Big\}\:\HZ$\,\hh
satisfait les conditions\vvwa du corollaire pr\e c\e dent\pv  soit\, $\G\ha_n\in\FO$\, la solution unique
de cette \e quation v\e rifiant la\vvwa condition\,\hh$\SZ\,(\G\ha_n)\le\ha\Big\{\VF\ge\Inv{n}\hw\Big\}$\pv
on a alors aussi\,\hh$\all n\in\N^*\,\hh\F\;\G\ha_n=\Big\{\VF\ge\Inv{n}\hw\Big\}\:\HZ$\vwa
On en d\e duit\,\hh$\all n\in\N^*\,\hh(\G_{n\ha+1}-\G\ha_n)\,\F
=\Big[\Big\{\VF\ge\Inv{n\hw+1}\hw\Big\}-\Big\{\VF\ge\Inv{n}\hw\Big\}\Big]\:\HZ$\pv\vvwa
donc\,\hh$\all n\in\N^*\,\hh\SZ\,(\G_{n\ha+1}-\G\ha_n)\ \SZ\,(\F)
=\Big[\Big\{\VF\ge\Inv{n\hw+1}\hw\Big\}-\Big\{\VF\ge\Inv{n}\hw\Big\}\Big]\;\SZ\,(\HZ)$\vvwa
$\le\Big[1-\Big\{\VF\ge\Inv{n}\hw\Big\}\Big]\;\SZ\,(\HZ)=\Big\{\VF\le\Inv{n}\hw\Big\}\;\SZ\,(\HZ)
\le\ens{\VF\le\inv{n}\hw}\;\SZ\,(\F)$\pv\vvwa
or\,\hh$\SZ\,(\G_{n\ha+1}-\G\ha_n)\le\SZ\,(\F)$\vg donc\, $\all n\in\N^*\,\hh
\SZ\,(\G_{n\ha+1}-\G\ha_n)\le\Big\{\VF\le\Inv{n}\hw\Big\}\;\SZ\,(\F)$\pv\vvwa
de plus\,\hh$\Big\{\VF\le\Inv{n}\hw\Big\}\one1-\SZ\,(\F)$\vg
donc la suite\hh$\Big\{\VF\le\Inv{n}\hw\Big\}\;\SZ\,(\F)\one0$\ha\pv\ha par ailleurs\vvwa
cette suite est aussi d\e croissante\pv elle est donc d\e clinante\ha\ et la suite\, $\G\ha_n$\, est exacte\va
Soit\, $\G\in\FO$\, la limite de la suite\, $\G\ha_n$\pv on a\,\hh$\SZ\,(\G\ha_n)\fin\SZ\,(\G)$\vg donc\,
$\SZ\,(\G)\le\ha\SZ\,(\F)$\pv\vvwa en faisant\hh$n\to\pin$\hh dans l'\e quation de d\e part on obtient\,\hh
$\SZ\,(\F)\:\F\;\G\ha=\ha\SZ\,(\F)\;\HZ$\vg\vvwa\cad\ha\hh$\F\;\G\ha=\ha\HZ$\pt
L'unicit\e\ se d\e montre comme au\, \Theo\, 5\hb.\:2\vc

\Cor{\num*}\underline{\tsf{Inverse d'une fonctionnelle}}\vvaab
Soit\: $\F\in\FO$\hh tel que\hh\fbox{\,$\SZ\,(\F)=1\ph{\dot{t}}$\hs{-1.25mm}}\,;\: alors il existe un unique\;
$\G\in\ha\FO$\; tel que\hh$\F\:\G\hb=1$;\vva
on note\,\hh\fbox{\,$\G\ha=\hb\Inv{\F}$\,}\hb\pt On a de plus\,\hh
$\Big|\ha\Inv{\F}\hb\Big|=\ha\inv{\VF}$\,\hh et\,\hh$\SZ\,\Big(\Inv{\F}\Big)=\hw1$\vbc

\newpage\null\thispagestyle{empty}
\end{document}
