\documentclass[a4paper]{report}
\usepackage[top=10mm,bottom=20mm,left=25mm,right=25mm]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[french]{babel}

\begin{document}

\fontsize{12}{20}
\selectfont

\sloppy

\parindent=0mm
\unitlength=1mm

\setcounter{page}{55}

\newcounter{Num}
\newcounter{num}
\newcounter{numm}
\newcounter{nm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\new}{\newcommand}

\new{\initNum}{\setcounter{Num}{0}}
\new{\initnum}{\setcounter{num}{0}}
\new{\initnumm}{\setcounter{numm}{0}}
\new{\initnm}{\setcounter{nm}{1}}

\new{\Num}{\stepcounter{Num}\S\;\theNum\ha.\,\ }
\new{\num}{\stepcounter{num}\theNum\ha.\hb\thenum\ha.\,}
\new{\numm}{\stepcounter{numm}\thenumm\ha.\,}
\new{\nm}{\stepcounter{nm}\thenm\ha)\hh}

\new{\mrom}{\mathrm}
\new{\mcal}{\mathcal}
\new{\mbof}{\mathbf}

\new{\tsc}{\textsc}
\new{\tsf}{\textsf}
\new{\ttt}{\texttt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\new{\N}{\mrom{I}\hs{-.6mm}\mrom{N}}
\new{\R}{\mrom{I}\hs{-.6mm}\mrom{R}}

\new{\AZ}{\mrom{A}}
\new{\B}{\mrom{B}}
\new{\D}{\mrom{D}}
\new{\E}{\mrom{E}}
\new{\F}{\mrom{F}}
\new{\G}{\mrom{G}}
\new{\I}{\mrom{I}}
\new{\J}{\mrom{J}}
\new{\PZ}{\mrom{P}}
\new{\RZ}{\mrom{R}}
\new{\SZ}{\mrom{S}}
\new{\T}{\mrom{T}}
\new{\V}{\mrom{V}}
\new{\W}{\mrom{W}}
\new{\VV}{\V/\,\V}
\new{\VW}{\V/\,\W}
\new{\X}{\mrom{X}}
\new{\Z}{\mrom{Z\,}}

\new{\cz}{\mrom{c}}

\new{\II}{\mbof{\mrom{I}}}
\new{\JJ}{\mbof{\mrom{J}}}

\new{\A}{\mcal{A}}
\new{\EE}{\mcal{E}}
\new{\EK}{\mcal{E\hw K}}
\new{\EU}{\mcal{E\ha U}}
\new{\CC}{\mcal{C}}
\new{\CV}{\mcal{C\ha V}}
\new{\RR}{\mcal{R}}
\new{\PR}{\mcal{PR}}
\new{\FF}{\mcal{F}}
\new{\MM}{\mcal{M}}
\new{\PM}{\mcal{P\hs{-.5mm}M}}
\new{\PMB}{\PM\hw_B}
\new{\PN}{\mcal{PN}}
\new{\NN}{\mcal{N}}
\new{\LL}{\mcal{L}}
\new{\BB}{\,,\hs{-1.5mm}\mcal{B}}
\new{\KK}{\mcal{K}}
\new{\WW}{\mcal{W}}
\new{\MD}{\MM\hw_D}
\new{\ND}{\NN\hs{-.75mm}_D}
\new{\MR}{\MM\hw_\odot}
\new{\HH}{\mcal{H}}
\new{\BA}{\BB\A}
\new{\SC}{\mcal{S}}
\new{\ZZ}{\mcal{Z}}
\new{\FO}{\mcal{FO}}
\new{\AF}{\A_{\hb\phi}}
\new{\PA}{\mcal{P\hs{-.75mm}A}}

\new{\AX}{\tsf{A}}
\new{\BX}{\tsf{B}}
\new{\EX}{\tsf{E}}
\new{\FX}{\tsf{F}}
\new{\RX}{\tsf{R}}

\new{\alf}{\alpha}
\new{\gam}{\gamma}
\new{\del}{\delta}
\new{\Del}{\Delta}
\new{\eps}{\varepsilon}
\new{\lam}{\lambda}
\new{\sig}{\sigma}
\new{\Sig}{\Sigma}
\new{\om}{\omega}
\new{\Om}{\Omega}
\new{\sign}{\sig_{\hw n}}
\new{\taun}{\tau_{\hw n}}

\new{\tdf}{\tilde{f}}
\new{\tdg}{\tilde{g}}
\new{\tdh}{\tilde{h}}
\new{\tdk}{\tilde{k}}
\new{\tmu}{\tilde{\mu}}
\new{\vtdf}{\big|\ha\tdf\hb\big|}
\new{\vtdg}{|\hb\tdg\hb|}
\new{\TDF}{\wt{F}}
\new{\TDG}{\wt{G}}

\new{\rbox}{\raisebox}
\new{\under}{\underset}
\new{\sbs}{\substack}
\new{\stack}{\stackrel}
\new{\pos}{\limits}
\new{\tex}{\textstyle}
\new{\dis}{\displaystyle}
\new{\frm}{\framebox}
\new{\low}{\underline}

\new{\wh}{\widehat}
\new{\wt}{\widetilde}
\new{\wb}{\overline}
\new{\al}{\forall}
\new{\all}{\forall\:}
\new{\tim}{\times}
\new{\pin}{+\:\infty}
\new{\un}{1\hs{-1.5mm}1}
\new{\ab}{[\hb a\hb,b\hb]}
\new{\cd}{[\,c\hb,\hb d\,]}
\new{\nn}{\all n\in\N}
\new{\nnn}{\all n\in\N^*}
\new{\imp}{\Rightarrow}
\new{\pmi}{\Leftarrow}
\new{\sam}{\Leftrightarrow}
\new{\down}{\downarrow}
\new{\too}{\longrightarrow}
\new{\sub}{\subset}
\new{\tto}{\mapsto}
\new{\wa}{\land}
\new{\ve}{\vee}
\new{\bul}{\bullet}
\new{\cir}{\circ}
\new{\el}{\ell}
\new{\OP}{\big(\!\big(}
\new{\FP}{\big)\!\big)}
\new{\ze}{_{\hs{.15mm}\cir}}
\new{\leb}{\ens{\hs{-.35mm}\un\hs{-.35mm}}}
\new{\ph}{\phantom}
\new{\zero}{\mbof{0}}
\new{\uno}{\mbof{1}}
\new{\nin}{\not\in}
\new{\bop}{\bigoplus}
\new{\Fom}{F\hs{-.4mm}\cir\hw\om}
\new{\dda}{\ddagger}
\new{\Iab}{\int_a^{\,b}}
\new{\dec}{_{\down}}
\new{\fun}{\triangleright\hs{-3.25mm}\too\hs{-2.75mm}>}
\new{\Int}{\dis\int}
\new{\Inv}{\dis\inv}
\new{\Frac}{\dis\frac}

\new{\sm}{\stack{\cir}{\to}}
\new{\bb}{\stack{\mrom{b}}{\to}}
\new{\uu}{\stack{\mbof{u}}{\to}}
\new{\st}{\stack{\star}{\to}}
\new{\one}{\stack{1}{\to}}
\new{\two}{\stack{2}{\to}}
\new{\fin}{\stack{\tim}{\to}}

\new{\inv}[1]{\frac{1}{#1}}
\new{\ans}[1]{\{#1\}}
\new{\ens}[1]{\big\{#1\big\}}
\new{\db}[1]{[\hs{-.2mm}[#1]\hs{-.3mm}]}
\new{\nrm}[1]{\|\ha#1\ha\|}
\new{\nst}[1]{\|#1\|_\star}
\new{\bnst}[1]{\hi{\big\|}#1\hi{\big\|}_{\ha\star}}
\new{\none}[1]{\|#1\|_{\hw1}}
\new{\bnone}[1]{\hi{\big\|}#1\hi{\big\|}_1}
\new{\Bnone}[1]{\Big\|#1\Big\|_1}
\new{\ntwo}[1]{\|#1\|_{\ha2}}
\new{\bntwo}[1]{\hi{\big\|}#1\hi{\big\|}_{\ha2}}
\new{\nii}[1]{\|#1\|_{\hw\I\hs{-.2mm}\I}}
\new{\nbb}[1]{\|#1\|_{\hw\B}}
\new{\bnbb}[1]{\hi{\big\|}#1\hi{\big\|}_{\hw\B}}
\new{\nhh}[1]{\|#1\|\,_\HH}
\new{\hi}[1]{\rbox{.25mm}{#1}}

\new{\limone}[1]{\under{#1}{^1\hw\mrom{lim}}}
\new{\limtwo}[1]{\under{#1}{^2\hb\mrom{lim}}}

\new{\inflim}[1]{\under{#1}{\underline{\mrom{lim}}}}
\new{\suplim}[1]{\under{#1}{\overline{\mrom{lim}}}}

\new{\Inf}[1]{\under{#1}{\mrom{Inf}}}
\new{\Sup}[1]{\under{#1}{\mrom{Sup}}}
\new{\Lim}[1]{\under{#1}{\mrom{Lim}}}
\new{\Inflim}[1]{\under{#1}{\underline{\mrom{Lim}}}}
\new{\Suplim}[1]{\under{#1}{\overline{\mrom{Lim}}}}

\new{\rac}[1]{\surd\hs{-1.2mm}^/\overline{#1}}

\new{\hs}{\hspace}
\new{\hw}{\hs{.1mm}}
\new{\ha}{\hs{.3mm}}
\new{\hb}{\hs{.5mm}}
\new{\hh}{\ \ }
\new{\hhh}{\hh\hh}
\new{\dd}{\hh:\hh}
\new{\oui}{\hs{5mm}}
\new{\rr}{\hs{-.25mm}}
\new{\rs}{\hs{-.5mm}}

\new{\vs}{\vspace}
\new{\vk}{\vskip}

\new{\vvk}{\vk0mm}
\new{\vvx}{\vk.25mm}
\new{\vvww}{\vk.5mm}
\new{\vvw}{\vk1mm}
\new{\vvwwa}{\vk1.375mm}
\new{\vvwa}{\vk1.75mm}
\new{\vva}{\vk2.5mm}
\new{\vvaab}{\vk3.125mm}
\new{\vvab}{\vk3.75mm}
\new{\vvb}{\vk5mm}
\new{\vvbc}{\vk6.5mm}
\new{\vvc}{\vk8mm}
\new{\vvcd}{\vk10mm}
\new{\vvd}{\vk12.5mm}
\new{\vvf}{\vk15mm}

\new{\vpt}{\,.\vk.25mm}

\new{\vx}{\hb.\vvx}
\new{\vww}{\hb.\vvww}
\new{\vw}{\hb.\vvw}
\new{\vwwa}{\hb.\vvwwa}
\new{\vwa}{\hb.\vvwa}
\new{\va}{\hb.\vva}
\new{\vaab}{\hb.\vvaab}
\new{\vab}{\hb.\vvab}
\new{\vb}{\hb.\vvb}
\new{\vbc}{\hb.\vvbc}
\new{\vc}{\hb.\vvc}
\new{\vcd}{\hb.\vvcd}
\new{\vd}{\hb.\vvd}
\new{\vf}{\hb.\vvf}

\new{\ho}{\ph{\"{l}}}
\new{\HO}{\ph{\hat{\bar{l}}}}
\new{\lo}{\ph{\c i}}

\new{\e}{\'e}
\new{\ee}{\`e}
\new{\ac}{\`a}
\new{\cc}{\c c}
\new{\ou}{o\`{u}}
\new{\cad}{c-\`a-d}

\new{\vv}{\,,\,}
\new{\vvv}{\hb,\hb}
\new{\vg}{\vv\ }
\new{\pt}{\,.\,\ }
\new{\pv}{\,;\:\ }

\new{\theo}{th\e or\ee me}
\new{\Theo}{Th\e or\ee me}
\new{\pms}{\mbox{pseudo\ha-}mesure}

\new{\Def}[1]{#1 \underline{D\e finition}\dd}
\new{\Th}[1]{#1 \underline{Th\e or\ee me}\dd}
\new{\Cor}[1]{#1 \underline{Corollaire}\dd}
\new{\Lem}[1]{#1 \underline{Lemme}\dd}

\new{\Rem}{\underline{Remarque}\dd}
\new{\Not}{\emph{\underline{Notation}}\dd}
\new{\Dem}{\hhh\underline{D\e m}\dd}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initNum
\centerline{\textbf{CHAPITRE\, V}}\vva
\centerline{\textbf{ALGEBRES DE RIESZ}}\vvcd

\oui Une\ha\ \emph{alg\ee bre de Riesz}\ha\ est un espace de Riesz muni d'une multiplication v\e rifiant des
propri\e t\e s analogues \ac\ la multiplication dans\, $\R$\pt De nombreux espaces de fonctions constituent
des alg\ee bres de Riesz\pv il en est de m\^eme de certains espaces de fonctionnelles\vg comme nous le verrons
plus loin\vc

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Alg\ee bres de Riesz}}\vvb

\Def{\num}Une alg\ee bre est dite\, \underline{standard}\: ssi\, elle est\, \underline{associative}\;,\,
\underline{commutative}\; et\, \underline{unitaire}\vb

\Def{\num}Un espace de Riesz\, V\, muni d'une structure d'alg\ee bre\ha\ standard est\\
une\, \underline{alg\ee bre de Riesz}\, ssi\vvw

\begin{picture}(,)
\put(40,-5){1)\hh$\al\ u\vvv v\in\V^+\quad u\:v\in\V^+$}
\put(40,-13){2\ha)\hh$\al\ u\vvv v\in\V^+\hh\big(\,u\:v=\ha0\ \sam\ u\wa v=\ha0\,\big)$}
\put(37,-16){\frm(81.5,16.5)}
\end{picture}
\\[17.5mm]

\oui\underline{Exemples}\dd$\EE\vv\,\CC\vv\,\RR\vv\,\PR\vv\,\WW\vv\,\FF$\hh sont des alg\ee bres de Riesz\vbc

\Th{\num}Dans une alg\ee bre de Riesz\, V\, on a\vvb
\initnm
\qquad1)\hh$\all u\in\V^+\,\hh\all v\vv w\in\V\quad\big(\,v\le\ha w\,\imp\,u\:v\le\ha u\:w\,\big)$\vvaab
\qquad\nm$\all u\vv v\in\V\quad|\ha u\:v\ha|=|\ha u\ha|\,|\ha v\ha|$\vvaab
\qquad\nm$\all u\in\V\quad u\ha^2=\hb(v^+)\ha^2+\ha(v^-)\ha^2\ha=\hb|\ha u\ha|\ha^2\,\in\ha\V^+$\vvaab
\qquad\nm$\all u\vv v\in\V\quad u\:v=(u\wa v)\,(u\ve v)$\vvaab
\qquad\nm$\all u\in\V^+\,\hh\all v\,,\,w\in\V\quad u\:(v\wa w)=(u\,v)\wa(u\,w)$
\hh et\quad$u\:(v\ve w)=(u\,v)\ve(u\,w)$\vvaab
\qquad\nm$\all u\vv v\in\V^+\,\hh\nn^*\quad(u\wa v)^{\hb n}=\hb u^{\hb n}\wa v^{\hb n}$\quad
et\quad$(u\ve v)^{\hb n}=\hb u^{\hb n}\ve v^{\hb n}$\vvaab
\qquad\nm$\all u\in\V^+\,\hh\all n\in\N^*\quad\un\wa\hb u^{\ha n}\ha\le\ha u\ha\le\ha\un\ve u^{\ha n}$\vvaab
\qquad\nm$\all u\in\V\,\hh\nn^*\hh\,\big(\:\ha u^{\hb n}=\ha0\ \sam\ u\ha=\ha0\:\big)$\vvaab
\qquad\nm$\all u\vv v\vv w\in\V^+\,\hh\big[\,\big(\,u\le w$\quad\underline{et}\quad
$v\le w$\quad\underline{et}\quad$u\:w\le v\:w\,\big)\,\imp\:u\le v\,\hb\big]$\vvaab
\hs{-1.5mm}\qquad\nm$\all u\vv v\in\V^+\,\hh\nn^*\quad\big(\:u^{\ha n}\le\ha v^{\ha n}\,\hb\sam\
u\le\ha v\:\big)$\vvc

\initnm\Dem\vvb

1)\hh$v-u\ge\ha0$\ha\vg\ha donc\; $(v-u)\:x\ge\ha0$\pv de m\^eme\hh$y-x\ge\ha0$\vg
donc\hh$v\:(y-x)\ge\ha0$\vg\\donc\ha\hh$u\:x\ha\le\ha v\:x\ha\le\ha v\:y$\vaab

\nm$u\:v=(u^+-u^-)(v^+-v^-)=\ha\overbrace{(u^+v^++u^-v^-)}^{x}\ha-\ha\overbrace{(u^+v^-+u^-v^+)}^y$\pv\\
on a\ha\hh$x\ge0\:,\ha\ y\ge0$\hb\hh et\: $x\:y=\ha0$\,,\, donc aussi\hh$x\wa y=\ha0$\vg donc\hh$|\ha u\:v\ha|
=|\ha x-y\ha|$\vvww$=\ha x+y=(u^+v^++u^-v^-)+(u^+v^-+u^-v^+)=(u^++u^-)(v^++v^-)=|\ha u\ha|\:|\ha v\ha|$\vb

\nm$u^2=(u^+-u^-)^2=(u^+)^2+(u^-)^2+2\:u^+u^-=(u^+)^2+(u^-)^2\ge\ha0$\pv\vvww de m\^eme\hh
$|\ha u\ha|\ha^2=(u^++u^-)^2=(u^+)^2+(u^-)^2+2\:u^+u^-=(u^+)^2+(u^-)^2$\vb

\nm$(u\wa v)(u\ve v)=\ha\inv{2}\:\big(u+v-|\ha u-v\ha|\ha\big)\ \inv{2}\:\big(u+v+|\ha u-v\ha|\ha\big)
=\ha\inv{4}\,\big[\hb(u+v)\ha^2-|\ha u-v\ha|\ha^2\hb\big]$\vvww
$=\ha\inv{4}\,\big[\hb(u+v)\ha^2-(u-v)\ha^2\hb\big]=\hb u\:v$\vb

\nm $u\:(v\wa w)=\ha\inv{2}\:u\:\big(v+w-|\ha v-w\ha|\ha\big)
=\ha\inv{2}\,\big(u\:v+u\:w-u\,|\ha v-w\ha|\ha\big)$\vvww
$=\ha\inv{2}\,\big(u\:v+u\:w-|\ha u\ha|\,|\ha v-w\ha|\ha\big)
=\ha\inv{2}\,\big(u\:v+u\:w-|\ha u\:v-u\:w\ha|\ha\big)=\ha(u\,v)\wa(u\,w)$\vb

\nm $n=2\ha\ :\,\ u\ha^2\wa v\ha^2\le (u\:v)\ve(u\ha^2\wa v\ha^2)=(u\:v\ve u\ha^2)\wa(u\:v\ve v\ha^2)$\vvww
$=\big[u\:(u\ve v)\big]\wa\big[v\:(u\ve v)\big]=(u\wa v)\,(u\ve v)=\ha u\:v$\pv
donc\hh$u\ha^2\wa v\ha^2=(u\:v)\wa( u\ha^2\wa v\ha^2)$\vvw$=\ha(u\:v\wa u\ha^2)\wa(u\:v\wa v\ha^2)
=\big[u\:(u\wa v)\big]\wa\big[v\:(u\wa v)\big]=\ha(u\wa v)\ha^2$\vb

\hs{7mm}$n\ge3$\dd\emph{par r\e currence sur\, $n$}\, :\vvw
$u^{\hb n}\wa\hb v^{\hb n}\le\big[\ha(u\ve v)\,u^{\hb n-1}\big]\wa
\big[\ha(u\ve v)\,v^{\hb n-1}\big]=\ha(u\ve v)\,\big[\ha u^{\hb n-1}\wa\,
v^{\hb n-1}\big]=\ha(u\ve v)\,(u\wa v)^{\hb n-1}$\vvw
$=\ha u\:v\:(u\wa v)^{\hb n-2}$\pv donc\,\hh$u^{\hb n}\wa\hb v^{\hb n}
=\ha \big[\hb u\:v\:(u\wa v)^{\hb n-2}\hb\big]\wa\hb u^{\hb n}\wa\hb v^{\hb n}$\vvw
$=\big[\hb u\:v\:(u\wa v)^{n-2}\wa\hb u^{\hb n}\hb\big]\wa\big[\hb u\:v\:(u\wa v)^{n-2}\wa\hb v^{\hb n}\hb\big]
\le\big[\hb(\ha u\:v^{\hb n-1})\wa u^{\hb n}\hb\big]\wa\big[\hb(\ha u^{\hb n-1})\hb v\wa v^{\hb n}\hb\big]$\vvw
$=\big[\hb u\;(u^{\hb n-1}\wa\hb v^{\hb n-1})\hb\big]\wa\big[\hb v\;(u^{\hb n-1}\wa\hb v^{\hb n-1})\hb\big]
=\ha(u\wa v)\,(u^{\hb n-1}\wa v^{\hb n-1})=\ha(u\wa v)\,(u\wa v)^{n-1}$\vvw
$=\ha(u\wa v)^{\hb n}$\pv par ailleurs\hh$(u\wa v)^n\le u^{\hb n}$\hh et\hh
$(u\wa v)^n\le v^{\hb n}$\vg donc\hh$(u\wa v)^n\le u^{\hb n}\wa v^{\hb n}$\vb

\nm On a\,\hh$(\un\wa u)^{\hb n-1}\le\un\le(\un\ve u)^{\hb n-1}$\ha,\, donc\,\hh
$\un\wa u^{\hb n}=(\un\wa u)^n\le\hb\un\wa u\hb\le\hb u$\\
$\le\un\ve u\hb\le\ha(\un\ve u)^{\hb n}=\un\ve u^{\hb n}$\vb

\nm On a\, $\big(\ha u\ha^2=\ha0\,\imp\,u\wa u=\ha0\ha\big)$\hb,\, \cad\hh
$\big(\ha u\ha^2=\ha0\,\imp\,u=\ha0\ha\big)$\pv de plus\, soit\: $n\in\N^\star$\\
et\hh$u^{\ha n}=\ha0$\pv alors\hh$u\ha^{2^{\ha n}}\!=\ha0$\vg donc\hh$u\ha^{2^{\hb n-1}}\!=\ha0$\vg
donc par r\e currence\hh$u=\ha0$\vb

\nm On a\hh$-\,w\le v-u\le w$\vg donc\, $|\ha v-u\ha|\le w$\pv par ailleurs on a\,\hh
$0\le v\:w-u\:w$\\$=(v-u)\:w\ha=(v-u)^+\,w-(v-u)^-\,w$\vg donc\, $(v-u)^-\,w\le(v-u)^+\,w$\pv donc\vvx
$(v-u)^-\,w\ha=\big[(v-u)^+\,w\ha\big]\wa(v-u)^-\,w\ha=\big[\ha(v-u)^+\wa(v-u)^-\ha\big]\,w=\ha0$\pv
d'\ou\vvx$[\ha(v-u)^-\ha]\ha^2\le(v-u)^-\,|\ha v-u\ha|\le(v-u)^-\,w\ha=\ha0$\vg
donc\, $(v-u)^-=\,0$\vg\cad\hh$v-u\ge0$\vb

\nm Supposons $u^{\hb n}\le\ha v^{\hb n}$\hb;\: alors on a\,\hh$u\:(u\ve v)^{\hb n-1}
=\ha u\:(u^{\hb n-1}\ve v^{\hb n-1})=\ha u^{\hb n}\ve(u\:v^{\hb n-1})$\vvww$\le\ha v^{\hb n}\ve(u\:v^{\hb n-1})\ha
=\,v^{\hb n-1}\,(u\ve v)$\pv en multipliant cette \e galit\e\ha\ par\ha\ l'in\e galit\e\ha\ \e vidente\vvww
$u^{\hb n-2}\le(u\ve v)^{\hb n-2}$\hh on obtient\,\hh
$u^{\hb n-1}\:(u\ve v)^{\hb n-1}\le\,v^{\hb n-1}\,(u\ve v)^{\hb n-1}$\vg\ha donc par la propri\e t\e\vvww
pr\e c\e dente\hh$u^{\hb n-1}\le\ha v^{\hb n-1}$\vg donc par r\e currence\ha\hh$u\ha=\ha v$\vc

\Th{\num}Un espace de Riesz\, V\, muni d'une structure d'alg\ee bre standard est une alg\ee bre de Riesz\ha\
ssi\\

\begin{picture}(,)
\put(45,3){1'\ha)\hh$\all u\vvv v\in\V\quad|\ha u\:v\ha|=|\ha u\ha|\,|\ha v\ha|$}
\put(45,-5){2\hb'\ha)\hh$\all u\in\V\,\hh\big(\,u\ha^2=\ha0\ \imp\ u=\ha0\,\big)$}
\put(42,-8){\frm(67.75,16.5)}
\end{picture}\\[7.5mm]

\Dem Il suffit de d\e montrer\hh$\ens{\ha1'\ha,\hb2\hb'\hb}\imp\ens{\ha1\,,\hb2\hb}$\vab

1)\hh Si\, $u\vv v\ge\ha0$\hh on a\hh$u\:v=|\ha u\ha|\,|\ha v\ha|=|\ha u\:v\ha|\ge0$\vab
2\ha)\hh Soit\, $u\in\V$\pv on a\,\hh$(u^+)\ha^2+(u^-)\ha^2+\ha2\;u^+\hb u^-=(u^++u^-)\ha^2=|\ha u\ha|\ha^2
=\big|\ha u\,|\ha u\ha|\ha\big|$\vvx$=\big|\ha(u^+)\ha^2-(u^-)\ha^2\ha\big|\le(u^+)\ha^2+(u^-)\ha^2$\vg
donc\hh$u^+\hb u^-=\hb0$\ha\pv donc aussi\vvx
$u\ha^2=(u^+\!-u^-)\ha^2$ $=(u^+)\ha^2+(u^-)\ha^2=|\ha u\ha|\ha^2$\vw
On en d\e duit comme au \theo\ pr\e c\e dent\quad$\all u\vv v\in\V\quad u\:v=(u\wa v)\ha(u\ve v)$\pv\\
donc\,\hh$u\wa v=\ha0\ \imp\ u\:v=\ha0$\pt Par ailleurs\quad$\al\;u\vv v\in\V^+\quad
(u\wa v)\ha^2=(u\wa v)\ha(u\wa v)\le u\:v$\pv donc\,\hh$u\:v=\ha0\ \imp\ u\wa v=\ha0$\vbc

\Th{\num}Si\, V\, est archim\e dien la condition\, 2\hb'\ha)\, est redondante\va

\Dem Soit\, $u\in\V$\, tel que\, $u\ha^2=\ha0$\pt L'examen des d\e monstrations pr\e c\e dentes nous montre
que la condition\, 1')\, permet d'obtenir les propri\e t\e s\, 1)\, \ac\, 7)\, du\, \Theo\, 1.\ha\:3\vpt
En particulier la propri\e t\e\, 7\ha)\, donne\,\hh$\all\lam>0\quad\lam\:|\ha u\ha|\hb
\le\,\un\ve\big(\ha\lam^2\,u\ha^2\ha\big)\ha=\hb\un\ve0\hb=\ha\un$\vg
donc\,\hh$\all\lam>0\,\hh\lam\:|\ha u\ha|\ha\le\ha\un$\vg
donc\ha\hh$|\ha u\ha|=\ha0$\ha\vg\ha\cad\ha\hh$u=\ha0$\vc

\Def{\num}Un espace de Riesz\ha-Banach\, V\, muni d'une structure d'alg\ee bre de Riesz\vvw
est une\, \underline{alg\ee bre de Riesz\ha-Banach}\; ssi\hb\hh
$\all\ha u\vv v\in\V$\ha\hh\mbox{\fbox{\,$\nrm{\ha u\;v\ha}\le\ha\nrm{u}\,\nrm{v}\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\hb.}\vvbc

\Th{\num*}\vvwa
$\CC\vv\,\RR\vv\,\PR\vv\,\WW\vv\,\FF$\: sont des alg\ee bres de Riesz\ha-Banach pour la norme uniforme\vbc

\Def{\num}Soient\, V\, et\, V'\, deux alg\ee bres de Riesz\pv le morphisme de Riesz\vvw
$\phi\;:\:\V\to\V\,'$\hh est un\, \underline{alg\e bromorphisme\ha\ de Riesz}\, ssi\ha\hh
$\all u\vv v\in\V$\hh\fbox{\:$\phi\,(\hw u\:v\hw)=\ha\phi\,(u)\;\phi\,(v)$\hb}\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Modules de Riesz}}\vvc

\Def{\num}Soit\, V\, un\, \tsf{domaine de Riesz}\, sur une alg\ee bre de Riesz\, A\ha\pv
on dit que\, V\, est un\, \underline{module de Riesz}\, sur\hb\ A\, ssi\vvw

\begin{picture}(,)
\put(35,-5){1\ha)\hh$\all u\in\V\quad \un\,u=u$}
\put(35,-13){2\ha)\hh$\all a\vvv b\in\AZ\quad\all u\in\V\quad a\,(\hw b\:u)=(a\:b\hw)\,u$}
\put(35,-21){3\ha)\hh$\all a\in\AZ\quad\all u\in\V\,\hh\big(\,a\ha^2\,u=\ha0\ \imp\ a\:u=\ha0\,\big)$}
\put(32,-24){\frm(89.5,24.75)}
\end{picture}
\\[24mm]

\Th{\num}Si\, V\, est archim\e dien la condition\, 3\ha)\, est redondante\va
\Dem
Soient\hh$a\in\AZ$\hh et\hh$u\in\V$\hh tels que\hh$a\ha^2\:u=\ha0$\pv on a\,\hh
$\all\ha\lam>0\quad\lam\hb\:|\ha a\ha|\ha\le\ha\un\ve\big(\ha\lam^2\,a\ha^2\ha\big)$\vg donc\,\hh
$\lam\:|\ha a\:u\ha|\ha\le\hb|\ha u\ha|\ve\big(\hb\lam^2\,a\ha^2\:|\ha u\ha|\hb\big)
=\ha|\ha u\ha|\ve0\ha=\ha|\ha u\ha|$\pv donc\hh$a\:u=\ha0$\vc

\Th{\num*}Si\, V\, est un module de Riesz\ha\ sur\, A\, on a\\
\begin{picture}(,)
\put(30,-4){$\all a\in\AZ\,\hh\all u\in\V\,\hh\all n\in\N^*\:\ \big(\,a\ha^n\hb u=\ha0\
\sam\;a\:u=\ha0\,\big)$\: .}
\put(27.25,-6.5){\frm(100.75,8)}
\end{picture}\\[6mm]

\Th{\num*}1)\hh$\low{\RR}$\hh et\, $\PM$\: sont des modules de Riesz sur\, $\RR$\vww
\hs{36mm}2)\hh$\MM$\: et\, $\MD$\hh  sont des modules de Riesz sur\, $\WW$\vd

\quad\textbf{\Num\underline{Alg\e bromodules de Riesz}}\vvc

\Def{\num}Soient\: A\vv\hb V\: deux alg\ee bres de Riesz\pv
on dit que\, V\, est un\vvx \underline{alg\e bromodule de Riesz}\, sur\, A\, ssi\,
V\, est un\, \tsf{domaine de Riesz}\, sur\, A\, et ssi\vvw
\begin{picture}(,)
\put(40,-5){1\ha)\hh$\all u\in\V\quad1_{\hw\AZ}\,u\hw=\hw u$}
\put(40,-13){2\ha)\hh$\all a\vvv b\in\AZ\quad\all u\in\V\quad a\,(\hw b\:u)=(a\:b\hw)\,u$}
\put(40,-21){3\ha)\hh$\all a\in\AZ\quad\all\ha u\vvv v\in\V\,\hh(a\:u)\,v=\ha a\,(\hw u\:v)$}
\put(37,-24.25){\frm(81.5,25.2)}
\end{picture}\\[24mm]

\Th{\num}Si\, V\, est un alg\e bromodule de Riesz\ha\ sur\, A\, on a\\
\begin{picture}(,)
\put(25,-5){1\ha)\hh$\all a\vvv b\in\AZ\quad\all\ha u\vvv v\in\V\,\hh(a\:u)\,(\hw b\:v)=(a\:b\hw)\,(u\:v)$}
\put(25,-13){2\ha)\hh$\all a\in\AZ\,\hh\all u\in\V\,\hh\all m\vvv n\in\N^*\:\ \big(\,a\ha^m\,u\ha^n=\ha0\
\sam\;a\:u=\ha0\,\big)$}
\put(22.25,-16.5){\frm(117.25,17.5)}
\end{picture}\\[20mm]
En particulier un alg\e bromodule de Riesz est bien un module de Riesz\vb

\Dem1)\hh$(a\:u)\,(b\:v)=a\,[\hb u\,(\hw b\:v)\ha]=a\,[\ha(\hw b\:v)\,u\hb]
=a\,[\hb b\,(v\:u)\ha]=(a\:b)\,(v\:u)=(a\:b)\,(u\:v)$\vvwwa
\hs{20.75mm}2)\hh Si\ha\hh$a\ha^m\,u\ha^n=\ha0$\,\hh on a aussi\,\hh$0=\ha a\ha^{m+n}\,u\ha^{m+n}
=(a\:u\hw)\ha^{m+n}$\vg donc\, $a\:u=\ha0$\vb

\oui Bien entendu une alg\ee bre de Riesz est un alg\e bromodule de Riesz sur toute sous\ha-\ha alg\ee bre
coh\e rente\pt Plus g\e n\e ralement\vg soient\, A\, et\, B\, deux alg\ee bres de Riesz\, et\, $\phi$\,
un alg\e bromorphisme de Riesz\, de\, A\, dans\, B\pv on d\e finit\hh$\all a\in\AZ\hh\all\ha b\in\B\,\hh
a\hb.\,b\ha=\ha\phi\hb(a)\:b$\,;\\ muni de cette multiplication externe\vg B\, est un alg\e bromodule de
Riesz sur\, A\vx
R\e ciproquement si\, B\, est un alg\e bromodule de Riesz sur\, A\vg alors l'application\ha\hh
$\AZ\to\B\,:\,a\hw\tto a\,1\hw_\B$\hh est un alg\e bromorphisme de Riesz\vb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage\null\thispagestyle{empty}\newpage
\initNum
\centerline{\textbf{CHAPITRE\, VI}}\vva
\centerline{\textbf{FONCTIONNELLES HILBERTIENNES\,, BORNEES}}\vvw
\centerline{\textbf{ET CARACTERISTIQUES SUR\, \ab}}\vvcd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctionnelles hilbertiennes sur \ab}}\vvc

\oui L'espace\, $\LL^2$ des fonctionnelles\ha\ \emph{hilbertiennes}\ha\ est le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de
l'espace semi\hw-norm\e\, $\big(\ha\EE\ha,\hb\ntwo{\ }\ha\big)$;\, rappelons que\, $\LL^1$\, n'est qu'un\ha\
\emph{sous-espace}\ha\ du\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de\, $\big(\ha\EE\ha,\hb\|\ \|\hb\big)$.\,
Nous montrerons\vg ce qui n'a \emph{a priori} rien d'\e vident\vg que\; \fbox{\,$\LL^2\sub\ha\LL^1$\,}\pv
de plus\, $\LL^2$\, est un espace de Hilbert\vc

\Def{\num}\textbf{Une fonctionnelle\, \underline{hilbertienne}\, sur\, \ab\, est un \e l\e ment du\ha\
N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace semi\hw-norm\e\, $\big(\ha\EE\ha,\hb\ntwo{\ }\ha\big)$}\vab

\underline{Ou encore}\dd\textbf{Une fonctionnelle hilbertienne sur\, \ab\, est une forme lin\e aire
$\tdf$\vvwa sur\hb\ $\EE$\hb\ v\e rifiant la propri\e t\e\, :\, \fbox{\,il\ha\ existe\: $\mbof{M>0}$\;
\textbf{tel\ha\ que}\; $\mbof{\all\ha g\in\ha\EE\hh\hi{\big|}\hb\tdf\ha(g)\ha\hi{\big|}\hb\le\hb M\,
\ntwo{\hb g\hb}}$}\hb}\vvbc

Etant donn\e\ que\quad$\all g\in\ha\EE$\quad$\ntwo{\ha g\ha}\hb\le\hb\sqrt{b-a}\ \|\hb g\hb\|$\vg
on a n\e cessairement\hh$\tdf\in\ha\PM$\vb

On note\hh$\LL^2$\hh l'espace vectoriel des fonctionnelles hilbertiennes sur\, $\ab$\vb

Autrement dit\hh\fbox{\:$\LL^2$\,\ho est le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace semi\hw-norm\e\,
$\big(\ha\EE\ha,\hb\ntwo{\ }\ha\big)$\hb}\,\hh et\,\hh\fbox{\,$\LL^2$\hb\ho$\sub$\hb\lo$\PM$\,}\ha\vc

\Th{\num*}$\LL^2$\hh constitue un espace de Banach pour la norme\, $\nii{\ }$\vg
duale de la\vvwa semi\hw-norme\, $\ntwo{\ }$\vg d\e finie par\ha\hh
\fbox{\,$\hi{\big\|}\hb\tdf\hb\hi{\big\|}_{\hw\I\hs{-.2mm}\I}\HO
=\hs{-2.5mm}\sup\pos_{g\,\in\,\EE,\;\ntwo{\ha g\ha}\:=\,1}\!\big|\ha\tdf\ha(g)\hw\big|$\,}\ha\pt\vvc

\Th{\num*}$\low{\RR}\,\sub\,\LL^2$\,\hh et\,\hh$\all g\in\RR$\quad on a\quad$\nii{\ha g\ha}\hb=\hb\ntwo{\ha g\ha}$\pt\vvaab
\oui\tsf{On peut donc noter}\hh\fbox{\,$\boldsymbol{\all\tdf\in\LL^2\,\hh\bntwo{\hb\tdf\hb}\hb
=\hb\hi{\big\|}\hb\tdf\hb\hi{\big\|}_{\hw\I\hs{-.2mm}\I}\ph{\dot{\dot{t}}}}$\hs{-1mm}}\ha\vc

\Lem{\num*}$\all\tdf\in\LL^2$\hh$\bnst{\ha\tdf\ha}\le\sqrt{b-a}\ \bntwo{\ha\tdf\ha}$\vbc

\Def{\num}On \e crit\,\hh$\tdf_n\two\tdf$\,\hh ssi\:\hh$\bntwo{\hb\tdf_n-\tdf\hb}\to0$\:\hh et on note\:\hh
\fbox{\,$\tdf=\ha^2\dis\lim_n\,\tdf_n$\,}\pv\vvww on dit que la suite\, $\tdf_n$\, converge\; \underline{en norme}\hh$\ntwo{\ }$\; vers\, $\tdf$\vb

\oui Le \theo\ suivant est remarquable car il contraste compl\ee tement avec le cas de\, $\PM$\,
et souligne la sp\e cificit\e\ de la norme hilbertienne par rapport \ac\ la norme uniforme sur\, $\EE$\vbc

\num\ \underline{\Theo\ha\ fondamental}\dd\
\begin{picture}(,)
\put(1,0){$\low{\EE}$\hb\ est dense dans\, $\LL^2$\hh.}
\put(-1,-2){\frm(41,6.75)}
\end{picture}\\

\Dem Soit\; $\tdf\in\LL^2$\vg $\bntwo{\ha\tdf\ha}=1$\vg et soit\hh
$\AZ=\ens{\,g\in\ha\EE\:\|\:\tdf\ha(g)=1\ha}$\pv on a\hh$\AZ\ne\emptyset$\vab
Posons\,\hh$\alf=\inf\pos_{\sbs{\\g\,\in\,\A}}\,\ntwo{\ha g\ha}$\pv on a\,\hh$\all g\in\AZ\quad
1=\tdf\ha(g)\le\ntwo{\ha g\ha}$\vg donc\,\hh$\ntwo{\ha g\ha}\ha\ge\ha1$\pv\vva
on a donc aussi\,\hh$\alf\ge\ha1$\pt Soit\, $\eps$\, un r\e el tel que\hh
$0<\eps\le\ha\alf$\hh et choisissons\; $g\in\AZ$\vvwa tel que\hh
$\ntwo{\ha g\ha}\le\hb\alf+\eps$\pv on a donc\,\hh$1\le\hb\alf\le\hb\ntwo{\ha g\ha}
\le\hb\alf+\eps$\va Soit\; $\V=\ens{\ha h\in\ha\EE\:\big\|\hb\tdf\ha(h)=\ha0\ha}$\pv alors\hh
$\all t\in\R\,\hh\all h\in\V$\hh on a\,\hh$g+t\:h\in\AZ$\vg donc\vvab
\hs{25mm}$\alf^{\ha2}\le\hb\ntwo{\hb g+t\:h\ha}^{\ha2}\,
=\,\ntwo{\ha g\ha}^{\ha2}\,+\,2\;t\:g\hb(h)\,+\,t^{\ha2}\,\ntwo{\ha h\ha}^{\ha2}$\vvab
\hs{25mm}$\alf^{\ha2}\le\,\alf^{\ha2}\ha+\,2\;\alf\:\eps\,+\,\eps^2\,+\,2\;t\:g\hb(h)\,
+\,t^{\ha2}\,\ntwo{\ha h\ha}^{\ha2}$\vvab
\hs{25mm}$t^{\ha2}\:\ntwo{\ha h\ha}^{\ha2}\,+\,2\;t\:g\hb(h)\,+\,\eps\;(\ha 2\;\alf\,+\,\eps\ha)\,\ge\,0$\vvab
\hs{25mm}$t^{\ha2}\:\ntwo{\ha h\ha}^{\ha2}\,+\,2\;t\:g\hb(h)\,+\,3\;\alf\;\eps\,\ge\,0$\hb\pv\vvab
on en d\e duit\quad$\Del\ha'=\big[\ha g\hb(h)\hw\big]\hw^2-3\:\alf\:\eps\:\ntwo{\ha h\ha}^{\ha2}\,\le\,0$\vg
\cad\quad$|\hb g\hb(h)\hb|\le\sqrt{3\:\alf\:\eps}\ha\ \ntwo{\ha h\ha}$\vab
Posons\,\hh$\all k\in\ha\EE\,\hh\Phi\,(k)=\ha k-\tdf(k)\:g$\pv on a\hh$\tdf(g)=1$\vg
donc\,\hh$\all k\in\ha\EE\,\hh\Phi\,(k)\in\V$\,;\vva on a donc\,\hh$\all k\in\ha\EE\:\hh
\big|\,g\hb(k)-\tdf(k)\:\ntwo{\hb g\ha}^{\ha2}\,\big|\ha
=\ha\big|\,g\,[\hb\Phi\,(k)\ha]\ha\big|\ha\le\ha\sqrt{3\:\alf\:\eps}\ \ntwo{\ha\Phi\,(k)\ha}$\vvab
$\le\hb\sqrt{3\:\alf\:\eps}\;\Big(\ntwo{\ha k\ha}\hb+\hb\big|\hb\tdf(k)\ha\big|\:\ntwo{\ha g\ha}\Big)\ha
\le\ha\sqrt{3\:\alf\;\eps}\;\Big(\ntwo{\ha k\ha}\hb+\hb\ntwo{\hb g\ha}\,
\ntwo{\ha k\ha}\Big)$\vvab$=\ha\sqrt{3\:\alf\;\eps}\;\big(\ha1\ha+\ha\ntwo{\hb g\ha}\ha\big)
\,\ntwo{\ha k\ha}$\pv on en d\e duit\,\hh$\big\|\:g\ha-\ha\ntwo{\hb g\ha}^{\hw2}\;\tdf\:
\big\|_{\ha2}\hb\le\,\sqrt{3\:\alf\:\eps}\;\big(\ha1+\ntwo{\hb g\ha}\ha\big)$\pv\vvaab
donc en posant\,\hh$g\hw_\star=\,\Frac{g}{\ntwo{\hb g\ha}^{\ha2}}\,\in\,\EE$\vg
on obtient\vvw$\ntwo{\,g\hw_\star-\tdf\,}\hb\le\,\Frac{\sqrt{3\:\alf\:\eps}}
{\ntwo{\hb g\ha}}\;\Big(\inv{\ntwo{\hb g\ha}}+1\Big)\le\,2\:\sqrt{3\:\alf\:\eps}\ $\vc

\tsf{\underline{Remarque}\, :\, Cette d\e monstration permet plus g\e n\e ralement d'\e noncer le \theo\
suivant\, :\vvw
\oui Soit\, H\, un espace pr\e hilbertien r\e el quelconque\,;\, soit\, \low{H}\, l'espace vectoriel des
formes\vvw lin\e aires sur\, H\, de la forme\hh\fbox{\,$\ans{u}\hb:\:v\ha\tto\big<\ha u\,,\ha v\ha\big>$\,}\hh
avec\, $u\in$ H\,;\, \low{H}\, peut \^etre muni d'une\vvw structure d'espace pr\e hilbertien r\e el
en posant\,\hh
$\all\ha\ans{u}\vvv\ans{v}\ha\in$ \ha\low{H}\,\hh$\big<\hb\ans{u}\vvv\ans{v}\ha\big>\ha
=\ha\big<\ha u\,,\ha v\ha\big>$\ha;\vvw
alors\, \low{H}\, est\, \emph{dense}\, dans le\, N\ha-\ha dual\ha\ de\, H\vg\cad\ dans l'espace complet
de toutes les formes\vvw lin\e aires norm\e es sur\, H}\vc

\Cor{\num*}$\low{\CC}$\, est dense dans\; $\LL^2$\vb

\Cor{\num*}$\low{\R\ha[\ha X]}$\hh est dense dans\hh$\LL^2$\vbc

\Cor{\num}\fbox{\,$\LL^2\sub\ha\LL^1$\,}\,\hh et\quad$\all\tdf\in\LL^2\quad
\bnone{\hb\tdf\hb}\hb\le\hb\sqrt{b-a}\ \bntwo{\hb\tdf\hb}$\vb

\Dem Soit\hh$\tdf\in\LL^2$\hh et soit une suite\hh$f_n\in\ha\EE$\hh telle que\hh
$f_n\two\tdf$\pv on a\,\hh$\nn$\vva$\bnst{\ha f_n-\tdf\hb}\hb\le\hb\sqrt{b-a}\
\bntwo{\ha f_n-\tdf\hb}$\ha\pv donc\,\hh$f_n\st\tdf$\vg donc\,\hh$\tdf\in\LL^1$\pv
de plus on a\,\hh$\nn$\vvwa$\none{\hb f_n\hb}\hb\le\hb\sqrt{b-a}\ \ntwo{\hb f_n\hb}$\ha\vg
donc quand\hh$n\to\pin$\,\hh on obtient\,\hh$\bnone{\hb\tdf\hb}\hb\le\hb\sqrt{b-a}\ \bntwo{\hb\tdf\hb}$\vbc

\Cor{\num*}Soient\hh$\tdf_n\vv\tdf\in\LL^2$\pv alors on a\quad$\tdf_n\two\tdf\;\imp\;\tdf_n\one\tdf$\vbc

\Th{\num}
$\LL^2$\, est un\, sous-espace coh\e rent et\,\ \fbox{int\e gral}\: de\, $\PM$\vab

\Dem
La coh\e rence de\, $\LL^2$\, est une cons\e quence de la coh\e rence de\, $\EE$\, et de la densit\e\ de\,
$\EE$\, dans \,$\LL^2$\pt D\e montrons l'int\e gralit\e\ de\, $\LL^2$\pt
Soit\hh$\tdg\in\big(\LL^2\big)^+$\hh et soit\hh$\tdf\in\ha\PM^+$\hh tel que\hh
$\tdf\le\hb\tdg$\pv on a\,\hh$\all h\in\ha\EE\,\hh\big|\ha\tdf\ha(h)\hw\big|\hb\le\hb\tdf\ha
\big(|\ha h\ha|\big)\hb\le\hb\tdg\,\big(|\ha h\ha|\big)\hb\le\hb\ntwo{\ha g\ha}\:
\ntwo{\ha h\ha}$\vg donc\hh$\tdf\in\LL^2$\vbc

\Cor{\num}$\all\tdf\in\PM$\,\hh on a\quad\fbox{\,$\tdf\in\LL^2\,\sam\,\vtdf\in\LL^2$\hb}\vb

\Dem\vvwa

a)\hh$\imp$\dd Soit une suite\hh$f_n\in\ha\EE$\hh telle que\hh $f_n\two f$\pv alors\hh
$\nn\,\hh|\hw f_n\hw|\in\ha\EE$\,\hh et\,\hh$|\hw f_n\hw |\two\vtdf$\vg donc\hh$\vtdf\in\LL^2$\va
b)\hh$\pmi$\dd Soit\, $\tdf\in\PM$\hh tel que\, $\vtdf\in\LL^2$\pv on a\hh $\tdf^+\le\vtdf$\hh et\hh
$\tdf^-\le\vtdf$\vg donc\hh$\tdf^+\in\LL^2$\hh et\hh$\tdf^-\in\LL^2$\vg donc\hh
$\tdf=\tdf^+\hs{-1mm}-\ha\tdf^-\in\ha\LL^2$\vvbc

\Th{\num}$\LL^1$\, est un\, sous-espace coh\e rent et\,\ \fbox{int\e gral}\: de\, $\PM$\vab

\Dem La coh\e rence de\, $\LL^1$\, est une cons\e quence de la coh\e rence de\, $\EE$\, et de la densit\e\vvww
de\, $\EE$\, dans \,$\LL^1$\pt D\e montrons l'int\e gralit\e\ de\, $\LL^1$\pt
Soit\; $\tdg\in\big(\LL^1\big)^+$\hh et soit\hh$\tdf\in\ha\PM^+$\hh tel\vvww que\hh
$\tdf\le\hb\tdg$\pt Soit\hh$g\ha_n\in\ha\EE^+$\, tel que\ha\hh$g\ha_n\one\tdg$\pv
alors\,\hh$\nn$\,\hh on a\,\hh$\tdf\wa g\ha_n\le\hb g\ha_n\in\big(\LL^2\big)^+$\vg\vvww
donc\,\hh$\tdf\wa g\ha_n\in\big(\LL^2\big)^+\ha\sub\,\big(\LL^1\big)^+$\pv
or\hh$\tdf\wa g\ha_n\,\st\,\tdf\wa g\hb=\ha\tdf$\vg donc\hh$\tdf\in\big(\LL^1\big)^+$\vc

\Cor{\num}$\all\tdf\in\PM$\,\hh on a\quad\fbox{\,$\tdf\in\LL^1\,\sam\,\vtdf\in\LL^1$\ha}\vb

\Dem Idem que pour\, $\LL^2$\vbc

\Th{\num}Soit\, $\tdf\in\LL^2$\pv alors on a\:\hh\fbox{\:$\tdf^{\,2}\le\ha\tdf\ \sam\ 0\le\tdf\le1$\,}\vab

\Dem\vva On a\,\hh$\tdf\ge\tdf\ha^2\ge\ha0$\ha\pv par ailleurs\,\hh$(1-\tdf)\ha^2\ha
=\ha1-2\;\tdf+\tdf^2\ha\le\ha1-\tdf$\pv donc\hh$1-\tdf\ge\ha0$\vc

\Lem{\num*}$\all f,\,g\in\RR\quad\none{\hb f\,g\,}\ha\le\ha\ntwo{\ha f\ha}\:\ntwo{\ha g\ha}$\vb

\Def{\num}Dans\, $\LL^2$\, on  d\e finit le\, \underline{produit}\, de deux \e l\e ments par des limites\vvw
de produits de fonctions de\, $\EE$\pt Plus pr\e cis\e ment soient\hh$\tdf,\,\tdg\in\LL^2$\hh et soient des
suites\vvw$\tdf_n\vv\tdg\ha_n\ha\in\ha\EE$\hh telles  que\ha\hh$\tdf_n\two\tdf$\ha\hh et\hb\hh
$\tdg\ha_n\two\tdg$\pv alors on pose\,\hh\fbox{\hb$\tdf\:\tdg\,=\ha\limone{\hh n}\hb\
\tdf_n\:\tdg\ha_n$\hb}\, $\in\LL^1$\va

On montre facilement\vg\ac\ l'aide du lemme pr\e c\e dent\vg que le produit\ha\ $\tdf\,\tdg$\, est
bien d\e fini\vbc

\Th{\num*}$\all f,\,g\in\LL^2$\quad on a\quad1)\hh$\tdf\,\tdg\hb\in\hb\LL^1$\vva
\hs{74.5mm}2)\hh$\big|\hb\tdf\,\tdg\,\big|\hb=\hb\vtdf\,\vtdg$\vva
\hs{74.5mm}3)\hh$\bnone{\ha\tdf\,\tdg\,}\hb\le\hb\bntwo{\ha\tdf\ha}\:\ntwo{\hb\tdg\hb}$\vb

\Th{\num*}$\all\tdf\in\LL^2$\:\hh on a\quad$\vtdf\hb^2=\ha\tdf\hb^2$\vb

\Th{\num*}$\all\tdf\in\LL^2$\:\hh on a\quad$\bntwo{\ha\tdf\ha}\ha=\ha\rac{\bnone{\ha\tdf^{\,2}\ha}}$\vb

\Th{\num}On d\e finit le\, \underline{produit scalaire}\, de deux \e l\e ments de\, $\LL^2$\, en posant\vvab
\hs{35mm}$\all\tdf,\,\tdg\in\LL^2$\:\hh\fbox{\,$\big<\ha\tdf,\hb\tdg\ha\big>\ha
=\hb\big(\hw\tdf\,\tdg\ha\big)\hb(\un)\ha=\hs{-.5mm}\Int_a^{\ha b}\hs{-1mm}\tdf\,\tdg\ d\hb x$\,}\vc

\Th{\num*}$\all\tdf\in\LL^2\,\hh\all g\in\RR$\,\hh on a\quad
\fbox{\,$\big<\ha\tdf,\hb g\ha\big>\ha=\ha\tdf\hb(g)$\,}\vc

\Th{\num*}$\big(\hb\LL^2,\,|\hh|\vv\big<\ \vv\ \big>\ha\big)$\hh est un espace de Riesz\ha-Hilbert\vbc

\num\ \underline{\Theo\ha\ de balayage dans\, $\LL^2$}\dd\vvbc
\hs{10mm}$\all\tdf\in\LL^2$\,\hh on a\hhh
\begin{picture}(,)
\put(.5,0){$\limtwo{\,\ \alf\,\to\pin}\ \alf\wa\tdf\ha=\ha\tdf$\ \hhh
et\hb\hhh$\limtwo{\,\ \alf\,\to\pin}\ (-\ha\alf)\ve\tdf\wa\ha\alf\ha=\ha\tdf$\hh.}
\put(0,-4.5){\frm(35.5,10)}
\put(49.5,-4.5){\frm(50,10)}
\end{picture}\vvc

\Dem Analogue au cas de\, $\LL^1$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Racine carr\e e d'une fonctionnelle sommable positive sur \ab}}\vvc

\Lem{\num}$\all u\vv v\in\R^+$\hh on a\,\hh$\big(\sqrt{\ha u}-\sqrt{\ha v}\hb\big)\ha^2
\ha\le\ha|\hb u-v\ha|$\vab

\Dem$|\ha\sqrt{\ha u}-\sqrt{\ha v}\,|\ha\le\ha\sqrt{\ha u}+\sqrt{\ha v}$\vvwa
\hs{20mm}$|\ha\sqrt{\ha u}-\sqrt{\ha v}\,|\hb^2\ha\le\ha\big(\sqrt{\ha u}
+\sqrt{\ha v}\hb\big)\,|\ha\sqrt{\ha u}-\sqrt{\ha v}\,|$\vvwa
\hs{20mm}$\big(\sqrt{\ha u}-\sqrt{\ha v}\hb\big)\ha^2\ha\le\ha|\hb u-v\ha|$\vbc

\Cor{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\ha\EE^+$\,\hh on a\,\hh$\ntwo{\hb\sqrt{f}-\sqrt{\ha g}\:}
^{\hw2}\,\le\ha\none{\hb f-g\hb}$\vb

\Dem On a\,\hh$\all t\in\ab\,\hh\big[\rac{f\ha(t)}-\rac{\ha g\hb(t)}\:\big]\ha^2
\ha\le\ha|\hb f\ha(t)-g\hb(t)\ha|$\vg\vva donc\quad$\ntwo{\hb\rac{f}-\sqrt{\,g}\:}^{\hw2}\,
=\dis\Iab\big[\sqrt{f\ha(t)}-\sqrt{\ha g\hb(t)}\:\big]\ha^2\;d\hb t\,
\le\Iab|\hb f\ha(t)-g\hb(t)\ha|\;d\hb t\,=\,\none{\hb f-g\hb}$\vbc

\Th{\num*}Soit\hh\fbox{\hb$\tdf\in\big(\LL^1\big)^+$}\hh et soit une suite\: $f_n\in\ha\EE$\hh telle que\hh
$f_n\one\tdf$\pv\vvwa alors la suite\, $\rac{f_n}$\, converge dans\, $\big(\LL^2\ha\big)^+$\, vers une limite
ind\e pendante de la suite\vvwa particuli\ee re\, $f_n$\pt On note cette limite\hh\fbox{\hb$\rac{\tdf}$\,}\, $\in\big(\LL^2\ha\big)^+$\vbc

\Th{\num*}\vvwa$\all\tdf\in(\LL^1\big)^+\hh\Big(\rac{\tdf}\,\Big)^2\!=\ha\tdf$\pv
ce qui implique symboliquement\,\hh\fbox{\,$\big(\LL^2\ha\big)^2\!=\ha\big(\LL^1\big)^+$}\vbc

\Th{\num*}$\all\tdf\in\LL^1\,\hh\rac{\tdf^{\,2}}\hb=\,\vtdf$\vbc

\Th{\num*}$\all\tdf,\,\tdg\in\big(\LL^1\big)^+\hh\rac{\tdf\,\tdg}\,=\,\rac{\tdf}\,
\rac{\ph{\tdf}\hs{-2mm}\tdg}$\vbc

\Lem{\num}$\all f,\,g\in\LL^2$\,\hh on a\,\hh$\Big[\,\tdf\,\tdg\hb=\hb0\;\imp\:
\big|\ha\tdf+\tdg\hb\big|\hb=\hb\vtdf+\vtdg\,\Big]$\vb

\Dem$\big|\ha\tdf+\tdg\hb\big|^{\ha2}=\ha\tdf\ha^2+\hb\tdg\hb^2+\ha2\;\tdf\,\tdg\hb
=\hb\vtdf^2+\hb\vtdg\ha^2+\ha2\;\big|\ha\tdf\,\tdg\hb\big|\ha
=\ha\big(\ha\vtdf+\vtdg\ha\big)^2$\pv\vvwa
on en d\e duit\,\hh$\big|\ha\tdf+\tdg\hb\big|\hb=\hb\vtdf+\vtdg$\vbc

\Th{\num}$\all f,\,g\in\LL^2$\,\hh on a\,\hh$\Big[\,\tdf\,\tdg\ha=\ha0\ \sam\ \vtdf\wa\vtdg\ha=\ha0\,\Big]$\vab

\Dem a)\hh$\imp$\dd On a\,\hh$\big|\ha\tdf+\tdg\hb\big|=\vtdf+\vtdg$\vg
donc\,\hh$\vtdf\wa\vtdg\ha=\ha0$\va
\hs{20.5mm}b)\hh$\pmi$\dd On a\,\hh$\big|\ha\tdf+\tdg\hb\big|=\vtdf+\vtdg$\,\hh
et donc aussi\,\hh$\big|\ha\tdf-\tdg\hb\big|=\vtdf+\vtdg$\ha\pv\vvwa
\hs{37mm} donc\,\hh$(\ha\tdf+\tdg\hb)\ha^2\ha=\ha(\ha\tdf-\tdg\hb)\ha^2$\vg donc\,\hh$\tdf\,\tdg=\ha0$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctionnelles born\e es sur \ab}}\vvbc

\oui L'espace $\BB$\, des fonctionnelles\ha\ \emph{born\e es}\ha\ est le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace
semi\hw-norm\e\, $\big(\ha\EE\ha,\hb\none{\ }\ha\big)$\pt C'est aussi l'espace des fonctionnelles\, $\tdf$\,
de\, $\LL^1$\, pour lesquelles il existe\hh$M>0$\hh tel que\hh$\vtdf\le\ha M$\vb

\Def{\num}\vvw
\oui\textbf{Une fonctionnelle\, \underline{born\e e}\ha\, sur\, \ab\, est un \e l\e ment du\ha\
N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace semi\hw-norm\e\, $\big(\ha\EE\ha,\hb\none{\ }\ha\big)$}\vab

\underline{Ou encore}\dd\textbf{Une fonctionnelle born\e e sur\, \ab\, est une forme lin\e aire $\tdf$
sur\vvwa$\EE$\, v\e rifiant la propri\e t\e\ha\ :\, \fbox{\,il\ha\ existe\: $\mbof{M>0}$\;
tel\ha\ que\; $\mbof{\all\ha g\in\ha\EE\hh\big|\ha\tdf\ha(g)\hw\big|\hb\le\hb M\,\none{\hb g\hb}}$}}\hb\vbc

Etant donn\e\ que\,\hh$\all g\in\ha\EE\hh\,\none{\hb g\hb}\le\sqrt{\ha b-a}\ \ntwo{\hb g\hb}$\ha\vg
on a n\e cessairement\hh\fbox{\,$\tdf\in\LL^2$\,}\ha\vab

On note $\BB$\; l'espace vectoriel des fonctionnelles born\e es sur \ab\pt\vvw
(\ha Nous pr\e f\e rons cette notation \ac\ la notation usuelle\, $\LL\ha^\infty$,\, car les propri\e t\e s
de l'espace $\BB$\, nous paraissent trop diff\e rentes de celles des espaces\, $\LL^1$\ha\ ou\, $\LL^2$\ha)\vbc

Autrement dit\hh\fbox{$\BB$\;\ho est le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace semi\hw-norm\e\,
$\big(\ha\EE\ha,\hb\none{\ }\ha\big)$\hb}\,\hh et\,\hh\fbox{\,$\BB$\hb\ho$\sub$\hb\lo$\LL^2$\,}\ha\vc

\Th{\num*}\!$\BB$\hh constitue un espace de Banach pour la norme $\nbb{\ }$\vg duale de la\vvwa semi\hw-norme
$\none{\ }$\vg d\e finie par\ha\hh
\fbox{\,$\bnbb{\ha\tdf\hb}\ =\hs{-1mm}\sup\pos_{g\,\in\:\EE,\;\none{\ha g\ha}\,=\,1}
\hs{-1mm}\big|\ha\tdf\ha(g)\ha\big|$\,}\ha\pt\vvc

\Th{\num*}$\big(\BB\vv|\ \ |\vv\nbb{\ \ha}\ha\big)$\hh est un espace de Riesz\ha-Banach\vb

\Th{\num*}$\low{\RR}\;\sub\;\BB\,\sub\,\LL^2$\quad et on a\quad
$\all\tdf\in\ha\BB\quad\bntwo{\ha\tdf\hb}\hb\le\hb\sqrt{b-a}\ \bnbb{\ha\tdf\hb}$\vbc

\Th{\num}\fbox{\,Soit\, $\tdf\in\PM$\pv alors\hh$\tdf\in\hb\BB$\hh ss\ha'\ha il existe\hh$M>0$\hh
tel que\hh$\vtdf\le M\hw.$\,}\vvb

\Dem\vvwa

a)\hh$\imp$\dd Soit\, $\tdf\in\ha\BB$\pv alors il existe\, $M>0$\, tel que\,
$\all g\in\ha\EE\ha\hh\big|\ha\tdf\ha(g)\hw\big|\hb\le\hb M\,\none{\hb g\hb}$\pv\vvwa on peut donc
\e crire\,\hh$\all g\in\ha\EE^+\hh\vtdf\,(g)\,=\!\dis\sup_{h\,\in\:\EE\hw,\;|\ha h\ha|\,\le\:g}\hs{-2mm}
\big|\ha\tdf\ha(h)\ha\big|\,\le\!\sup_{h\,\in\:\EE\hw,\;|\ha h\ha|\,\le\:g}\hs{-3mm}M\,\none{\hb h\hb}
\le\ha M\,\none{\hb g\hb}$\vg\vvw\cad\ tr\ee s exactement\hh$\vtdf\le M$\vab

b)\hh$\pmi$\dd Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\, et soit\, $M>0$\, tel que\, $\vtdf\le M$\pv alors on peut
\e crire\vvw$\all g\in\ha\EE\ha\hh\big|\ha\tdf\ha(g)\ha\big|\ha\le\hb\vtdf\hb\big(\hw|\ha g\ha|\hw\big)
\le\ha M\,\none{\hb g\hb}$\vg\ha\cad\hh$\tdf\in\ha\BB$\vcd

\Cor{\num*}$\all\tdf\in\hb\BB$\,\hh on a\quad\fbox{\,$\bnbb{\ha\tdf\hb}\HO
=\hs{-1.5mm}\inf\pos_{\sbs{\\\hw\ M\hw\in\;\R^+\\[.5mm]M\ha\ge\:\left|\ha\tdf\ha\right|}}\!M$\,}\ha\vcd


\Th{\num*}1)\hh$\all f\in\RR$\quad\fbox{\hb$\nbb{\ha\ans{f}\ha}\ha\le\|\ha f\ha\|$\,}
\hs{7.5mm}2\ha)\hh$\all f\in\CC$\quad\fbox{\hb$\nbb{\ha\ans{f}\ha}\ha=\ha\|\ha f\ha\|$\,}\vc

\Th{\num}$\low{\RR}$\, est la fermeture de\, $\low{\EE}$\, dans $\BB$\vb

\Dem Nous aurons besoin d'un\, rappel relativement d\e taill\e\ de la\, structure de\, $\RR$\, :\vva

On note\, $\RR\hw^\bul$\, l'espace vectoriel des fonctions r\e gl\e es\, \underline{normalis\e es}\vg
\cad\ des fonctions\vvw r\e gl\e es telles que\hh$\all c\in\ab\,\hh f\ha(c)
=\Inv{2}\,\Big(\rs\lim\pos_{c^-}f+\hb\lim\pos_{c^+}f\hw\Big)$\ha.\hb\ $\RR\hw^\bul$\ha\ n'est pas une
alg\ee bre\va

On note\, $\RR\ha_\bul$\, l'alg\ee bre des fonctions r\e gl\e es\, \underline{presque nulles}\vg
\cad\ des fonctions r\e gl\e es\vvw telles que\hh$\all c\in\ab\,\hh\lim\pos_{c^-}f=\ha\lim\pos_{c^+}f=\ha0$\vg
ou encore des fonctions r\e gl\e es nulles sauf\vvw sur un ensemble\, fini ou d\e nombrable\, de points de\,
\ab\va

$\RR\hw^\bul$\, et\, $\RR\ha_\bul$\, sont des sous-espaces\, \underline{ferm\e s}\, de\, $\RR$\, pour la
topologie uniforme\vg et on a\vva
\hs{60mm}\fbox{\,$\RR=\RR\hw^\bul\oplus\ha\RR\ha_\bul\ph{\dot{l}}$\hs{-.75mm}}\ha\vb

Enfin on note\hh$\EE\hw^\bul=\ha\EE\ha\cap\ha\RR\hw^\bul$\hh l'espace vectoriel des fonctions \e tag\e es\,
normalis\e es\pv\vvww $\EE\hw^\bul$\ha\ est dense dans\, $\RR\hw^\bul$\ha\ pour la topologie uniforme\va

D\e montrons maintenant le \theo\pv nous utilisons la propri\e t\e\ \e l\e mentaire mais essentielle\, :\,
$\all f\in\RR\,\hh\big[\ f\in\RR\ha_\bul\ \sam\ \ans{f}=0\ \big]$\pv\vvw
on en d\e duit clairement\,\hh$\ha\low{\RR\hw^\bul}\ha=\ha\low{\RR}$\,\hh
et\,\hh$\low{\EE\hw^\bul}\ha=\ha\low{\EE}$\pv de plus\hh\fbox{\,$\all f\in\RR\hw^\bul\ha\hh
\nbb{\ha\ans{f}\ha}\ha=\ha\|\ha f\ha\|\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\ha\vwa L'application\ha\hh$\RR\hw^\bul\to\low{\RR}\, :\,
f\to\ans{f}$\ha\hh est donc une isom\e trie bijective entre les espaces\vvw norm\e s\,
$\big(\ha\RR\hw^\bul\hs{-.25mm},\,\nrm{\ }\ha\big)$\, et\: $\big(\ha\low{\RR}\ha\vv\nbb{\ }\ha\big)$\pv
elle fait en outre correspondre les espaces\, $\EE\hw^\bul$\ha\ et\, $\low{\EE}$\pv\vvw le \theo\, r\e sulte
alors de la densit\e\ de\, $\EE\hw^\bul$\ha\ dans\, $\RR\hw^\bul$\ha\ pour la norme\, $\nrm{\ }$\vb

\Rem La fermeture de\, $\low{\EE}$\, pour la norme\, $\nbb{\ }$\, n'apportant rien de fonci\ee rement
nouveau\vg l'int\e r\^et de cette topologie s'en trouve fortement r\e duit \pv en fait la norme\,
$\nbb{\ }$\, est plus utile comme\ha\ \emph{borne}\ha\ que comme\ha\ \emph{norme}\vc

\Th{\num*}$\all\tdf\in\hb\BB$\quad\fbox{\,$\vtdf\hb\le\hb\bnbb{\ha\tdf\ha}$\hb}\quad
et\quad\fbox{\,$\bntwo{\ha\tdf\ha}^{\ha2}\,\le\hb\bnbb{\ha\tdf\ha}\:\bnone{\ha\tdf\ha}$\hb}\ha\vbc

\Cor{\num*}Soit une suite\, $\tdf_n\in\BB$\hh telle que\hh$\tdf_n\one\tdf\in\ha\LL^1$\pv
supposons qu'il\vvwa existe\hh$M>0$\hh tel que\hh $\nn\,\hh\big|\ha\tdf_n\ha\big|\le M$\pv
alors on a\,\hh\fbox{\,$\bnbb{\ha\tdf\ha}\ha\le\ha M$\,\hh et\,\hh $\tdf_n\two\tdf$\;}\vc

\Th{\num}Soit une suite\, $\tdf_n\in\LL^2$\hh telle que\hh$\tdf_n\one\tdf\in\ha\LL^1$\pv
supposons qu'il\vvwa existe\,\hh$\TDF\in\big(\LL^2\ha\big)^+$\hh tel que\hh $\nn\,\hh\big|\ha\tdf_n\ha\big|
\le\ha\TDF$\pv alors on a\,\hh\fbox{\,$\tdf\in\LL^2$\,\hh et\,\hh$\tdf_n\two\tdf$\,}\vbc

\Dem On a\hh$\nn\,-\TDF\le\ha\tdf_n\le\ha\TDF$\vg donc\hh$\all h\in\ha\EE^+\,-\TDF(h)\le\ha
\tdf_n\ha(h)\le\ha\TDF(h)$\pv\vvw or\hh$\all h\in\EE\,\hh\tdf_n\ha(h)\to\tdf\ha(h)$\pv
donc\hh$\all h\in\ha\EE^+\,-\TDF(h)\le\ha\tdf\ha(h)\le\ha\TDF(h)$\vg\vvw donc\;
$-\TDF\le\ha\tdf\le\ha\TDF$\vg donc\,\hh$\vtdf\le\TDF$\vg donc\hh$\tdf\in\LL^2$\pv
posons\hh$\nn$\vvw$\tdg_{\ha n}=\big|\hb\tdf_n-\tdf\ha\big|\in\big(\LL^2\ha\big)^+$\pv
on a\,\hh$\tdg_{\ha n}\one0$\,\hh et\hh$\nn\,\hh\tdg_{\ha n}\le\ha2\:\TDF
=\ha\TDG\in\big(\LL^2\ha\big)^+$\vwa Soit\; $\eps>0$\hh et soit\; $k\in\N$\hh
tel que\hh$\bntwo{\hb\TDG-(k\wa\TDG)\ha}\le\ha\eps$\pv\vvw on a\,\hh
$\ntwo{\hb\tdg_{\ha n}\ha}\ha\le\hb\ntwo{\ha k\wa\tdg_{\ha n}\ha}\hb
+\hb\ntwo{\ha\tdg_{\ha n}-(k\wa\tdg_{\ha n})\ha}$\pv
or\hh$\nn$\hh on a\vvw$0\le\hb k\wa\TDG\hb-\hb k\wa\tdg_{\ha n}\ha\le\hb\TDG\ha
-\ha\tdg_{\ha n}$\pv donc\;\hh$\tdg_{\ha n}\ha-\ha(k\wa\tdg_{\ha n})\le\hb\TDG\ha
-\ha(k\wa\TDG)$\vg\vvw donc\,\hh$\ntwo{\hb\tdg_{\ha n}-(k\wa\tdg_n)\ha}\ha
\le\hb\bntwo{\hb\TDG-(k\wa\TDG)\ha}\le\ha\eps$\pv donc\,\hh
$\ntwo{\hb\tdg_{\ha n}\ha}\ha\le\hb\ntwo{\hb k\wa\tdg_{\ha n}\ha}\hb+\hb\eps$\pv\vvw
or la suite\; $k\wa\tdg_{\ha n}$\; est born\e e\, (\ha par\, $k$\ha)\: et on a\hh\hb
$k\wa\tdg_{\ha n}\one0$\vg donc\hh\hb$k\wa\tdg_{\ha n}\two0$\pv\vvw donc\,\hh
$\suplim{n}\,\ \ntwo{\hb\tdg_{\ha n}\ha}\le\hb\eps$\pv comme\, \hw$\eps$\, \hw est
arbitraire \hb on a\hh\hb$\tdg_{\ha n}\two0$\vg\cad\hh\hb$\tdf_n\two\tdf$\vc

\Th{\num*}$\all\tdf\in\ha\BB\quad\all\tdg\in\LL^2$\quad on a\quad
$\bntwo{\hb\tdf\,\tdg\,}\hb\le\hb\bnbb{\ha\tdf\ha}\:\ntwo{\hb\tdg\hb}$\vb

\Th{\num*}$\all\tdf,\,\tdg\in\hb\BB$\quad on a\quad1)\hh$\tdf\,\tdg\,\in\hb\BB$\vva
\hs{73mm}2\ha)\hh$\bnbb{\hb\tdf\,\tdg\,}\hb\le\hb\bnbb{\ha\tdf\ha}\:\nbb{\hb\tdg\hb}$\vb

\Th{\num*}$\BB$\, est un\, sous-espace coh\e rent et\, \fbox{int\e gral}\, de\, $\MM$\vbc

\Th{\num*}$\BB$\, est une\, \fbox{\ha alg\ee bre de Riesz-Banach\ha}\, pour la norme\hh$\nbb{\ }$\vbc

\Th{\num*}$\LL^1$\, et\, $\LL^2$\, sont des modules de Riesz sur $\BB$\vbc

\num\ \underline{\Theo\ha\ de convergence monotone dans\, $\LL^2$}\ :\vva
Soit\hh$\tdf_n\in\LL^2$\hh une suite\, \underline{monotone}\pv
supposons qu'il existe\hh$M>0$\hh tel que\hh $\nn$\vvw$\bntwo{\tdf_n}\le\ha M$\pv
alors\, $\tdf_n$\, converge en norme\hh$\ntwo{\ }$\hh vers une fonctionnelle\, $\tdf\in\LL^2$\pv\vvw
on a donc aussi\,\hh$\lim\pos_n\,\bntwo{\ha\tdf_n\ha}\hb=\hb\bntwo{\ha\tdf\ha}$\vb

\Dem On peut supposer la suite\, $\tdf_n$\, croissante et positive\pv on d\e montre comme\vvw
dans le cas de\, $\PM$\hh que\ha\hh$\all h\in\ha\EE\hh\tdf_n\ha(h)$\: converge dans\, $\R$\pv
on d\e finit\hh$\all h\in\ha\EE$\vvwa$\hb\tdf\ha(h)=\,\lim\pos_n\,\tdf_n\ha(h)$\pv $\tdf$\,
est une forme lin\e aire sur \,$\EE$\pv de plus\,\hh$\tdf_n\one\tdf$\hh et\hh
$\all h\in\ha\EE$\vvwa$\big|\ha\tdf\ha(h)\ha\big|=\,\lim\pos_n\,\big|\ha\tdf_n\ha(h)\ha\big|\ha
\le\,M\,\ntwo{\ha h\ha}$\pv donc\hh$\tdf\in\LL^2$\pv
on peut donc \e crire\hh$\nn$\vvw$0\le\hb\tdf_n\le\hb\tdf\in\LL^2$\pv on
en d\e duit\hh$\tdf_n\two\tdf$\vg d'apr\ee s\ha\ le\hb\ \Theo\, 3\ha.\,11\vbc

\Lem{\num*}$\all f,\,g\in\RR\quad\none{\hb f\,g\,}\ha\le\ha\nbb{\ha f\ha}\;\none{\ha g\ha}$\vbc

\Def{\num}\vvwa$\all\tdf\in\hb\BB$\hh et\hh$\all\tdg\in\LL^1$\hh on d\e finit le\, \underline{produit}\,
$\tdf\,\tdg$\; de la mani\ee re suivante\, :\, soit une suite\vvwa$g\ha_n\in\ha\EE$\; telle que\ha\hh
$g\ha_n\one\tdg$\ha\pv alors on a\,\hh$\nn\,\hh\bnone{\hb\tdf\,g\ha_n-\tdf\,\tdg\hb}
\le\bnbb{\ha\tdf\ha}\:\none{\ha g\ha_n-\tdg\ha}$\pv\vva$\tdf\,g\ha_n$\, \e tant une suite de Cauchy dans\,
$\LL^1$\, on peut donc poser\,\hh\fbox{\hb$\tdf\,\tdg\,=\hb\limone{\hh n}\hb\ \tdf\hb g\ha_n$\hb}\,
$\in\LL^1$.\vva
On montre facilement que le produit\, $\tdf\,\tdg$\, ne d\e pend pas de la suite particuli\ee re\;
$g\ha_n\one\tdg$\vbc

\Th{\num*}$\all\tdf\in\hb\BB\quad\all\tdg\in\LL^1$\quad on a\quad1)\hh$\tdf\,\tdg\hb\in\hb\LL^1$\vva
\hs{88mm}2\ha)\hh$\big|\,\tdf\,\tdg\,\big|\hb=\hb\vtdf\,\vtdg$\vva
\hs{88mm}3\ha)\hh$\bnone{\hb\tdf\,\tdg\,}\hb\le\hb\bnbb{\ha\tdf\ha}\:\none{\hb\tdg\hb}$\vc

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctions\,\ \emph{versus}\,\ fonctionnelles}}\vvc

\Def{\num}$\all f\in\WW$\,\hh on pose\,\hh\fbox{\,$\ans{f}=f\hw.\hb\leb$\,}\,$\;\in\ha\MM$\,;\vvbc
$\ans{f}$\, est donc la mesure\hb\hh\fbox{\:$\EE\to\R\::\ g\ha\tto\dis\Iab\!f\,g\ d\hb x$\,}\ha\vc

Nous verrons plus loin qu'en fait\ha\hh$\all f\in\WW\ha\hh\ans{f}\in\LL^1$;\:
on appelle\, $\ans{f}$\, la\, \underline{fonctionnelle}\vvww\underline{associ\e e}\, \ac\, $f$\pv
c'est la g\e n\e ralisation de la D\e finition\ha\ 2\ha.\ha6\ha. du\hw\ Chapitre\hw\ I\vbc

\fbox{\ho Comme dans\hh$\low{\RR}$\hh on remplacera commun\e ment la notation\, $\ans{f}$\,
par la notation\hb\ $f$.\hb}\vvc

\Th{\num*}\vva L'application\,\hh\fbox{\,$\WW\,\to\,\MM$\;\ho$:\ f\tto\ans{f}$\hb}\,\hh est un\,
\underline{morphisme de Riesz}\vcd

\Cor{\num*}
\begin{picture}(,)
\put(2,0){$\all f,\,g\in\WW\quad\ans{\hw f\ve g\hw}=\ans{f}\ve\ans{g}$\,\hh et\,\hh
$\ans{\hw f\wa g\hw}=\ans{f}\wa\ans{g}$\hh.}
\put(-.5,-3){\frm(112,8)}
\end{picture}
\\[5mm]

\Th{\num}
\begin{picture}(,)
\put(1,0){Soient\hh$f_n\vv f\in\WW$\,\hh tels que\,\hh$f_n\bb f$\pv alors\,\hh$\ans{f_n}\fin\ans{f}$\hh.}
\put(-1,-2.5){\frm(109,8)}
\end{picture}\vvb

\Dem C'est le \ha\theo\ de Lebesgue dans\, $\WW$\hb\ appliqu\e\ha\ \ac\hh$\tmu\hb=\leb$\vbc

\Not On note\,\hh$\low{\WW}\,=\ha\ens{\,\ans{f}\in\MM\ \big\|\:f\in\WW\,}\, \sub\:\MM$\pv c'est l'image
du morphisme\vvww du\ha\ \Theo\, 4\hb.\hb2\pt On utilise une notation analogue pour tous les\ha\
\emph{sous-ensembles}\ha\ de\, $\WW$.\vvbc

\Th{\num}\fbox{\,$\low{\WW}\:\sub\;\BB\ph{\big|}$\hs{-.5mm}}\quad et\,\hh$\all f\in\WW$\,\hh
\fbox{\hb$\nbb{\ha f\ha}\ha\le\|\ha f\ha\|$\hb}\vb

\Dem Soit d'abord\, $f\in\PR$\, et soit une suite\hh$f_n\in\ha\EE$\hh telle que\hh
$f_n\bb f$\,\hh et\vvw$\nn\,\hh\nbb{\ha f_n\ha}\le\|\ha f\ha\|$\pv
alors on a\,\hh$\ans{f_n}\st\ans{f}$\vg donc\hh$\ans{f}\in\LL^1$\pv de plus\vvwa
$\nbb{\ha\ans{f}\ha}\le\|\ha f\ha\|$\vg donc\hh$\ans{f}\in\hb\BB$\vab

Soit ensuite\, $f\in\WW$\; et soit\hh$\A\ha=\ha\ens{\hb\ans{g}\:\big\|\ g\in\PR\;\
\mrom{et}\;\ g\le f\,}\ha\sub\,\LL^1$\pv comme\, $\A$\, est\vvww une partie de\, $\LL^1$\,
domin\e e\ sup\e rieurement et stable pour la loi\, $\ve$\vg on a par d\e finition\vvww
$\ans{f}\ha=\,\Sup{}\ \A$\pv il existe donc une suite\hh$g_{\ha n}\in\PR$\hh telle que\hh
$\ans{g_{\ha n}}\st\ans{f}$;\, donc\; $\ans{f}\in\LL^1\hs{-.5mm}.$\vvw
De plus\,\hh$\all g\in\A$\,\hh on a\,\hh$\nbb{\ha g\ha}\le\|\ha g\ha\|
\le\|\ha f\ha\|$\vg donc\,\hh$\nbb{\ha\ans{f}\ha}\le\|\ha f\ha\|$\vg donc\hh$\ans{f}\in\hb\BB$\vbc

\Th{\num}\fbox{\,$\low{\WW}\,=\;\BB\ph{\big|}$\hs{-.5mm}}\vb

Ce \theo\ha\ signifie qu'en fait l'application\hh$\WW\ha\to\ha\BB\::\,f\ha\tto\ha\ans{f}$\hh est\,
\underline{surjective}\vww
{Plus} pr\e cis\e ment tout\, $\tdf\in\hb\BB$\hh peut \^etre repr\e sent\e e comme une\,
\underline{limite simple born\e e}\vvk de fonctions\, \underline{pseudo\ha-r\e gl\e es}\vb

\Dem Soit\, $\tdf\in\ha\BB$\pv soit une suite\, \underline{born\e e}\hh$f_n\in\ha\EE$\hh
telle que\hh$\ans{f_n}\,\one\,\tdf$\pv\vva en consid\e rant \e ventuellement une sous-suite
on peut supposer\,\hh\fbox{\hb$\ans{f_n}\,\fin\,\tdf$\hb}\va Posons\quad
$\all p\ge n\in\N\quad g\hb_{n\vv\hw p}\,=\,f_n\wa f_{n+1}\wa\,\ldots\,\wa f_p\,
\in\,\EE$\quad et\quad$\nn$\vvw$g\ha_n=\dis\inf_{\sbs{\\r\,\ge\,n}}\,f_r\hb\in\ha\PR$\pv
quand\hb\hh$p\to\pin$\,\hh on a\,\hh$\nn\:\hh g\hb_{n\vv\hw p}\,\bb\,g\ha_n$\ha\vg\ha
donc\vvw$\ens{g\hb_{n\vv\hw p}}\fin\ens{g\ha_n}$\vg\ha\cad\,\hh
$\ans{f_n}\wa\ans{f_{n+1}}\wa\,\ldots\,\wa\ans{f_p}\,\fin\,\ans{g\ha_n}$\vg
\cad\quad$\Inf{r\,\ge\,n}\ \ans{f_r}\ha=\;\ens{g\ha_n}$\vww
Posons\quad$g=\,\dis\sup_{n}\ g\ha_n=\,\inflim{n}\hb\ f_n\hb\in\WW$\pv\hb
on a\,\hh$g\ha_n\,\bb\,g$\vg\hb donc\,\hh$\ens{g\ha_n}\,\fin\,\ans{g}$\vg\hb
\cad\quad$\Sup{n}\ \ens{g\ha_n}\ha=\,\ans{g}$\vg\hb\cad\quad
$\Inflim{n}\ha\ \ans{f_n}\ha=\;\Sup{n}\ \Big(\,\Inf{\sbs{\\r\,\ge\,n}}\ \ans{f_r}\ha\Big)
=\,\ans{g}$\ha\pv\hb or\,\hh$\ans{f_n}\,\fin\,\tdf$\vg\vvw
donc\quad$\tdf\ha=\:\Inflim{n}\hb\ \ans{f_n}\hb=\:\ans{g}\;\in\:\low{\WW}$\pt La fonctionnelle born\e e\,
$\tdf$\, peut donc \^etre\vvwa repr\e sent\e e par\; $g\in\WW$\; qui est limite simple born\e e des fonctions\:
$g\ha_n\in\PR$\vbc

\Th{\num*}\vva L'application\,\hh\fbox{\,$\WW\,\to\;\BB$ \ho$:\ f\tto\ans{f}$\hb}\,\hh est un\,
\underline{alg\e bromorphisme de Riesz}\vc

\Cor{\num*}
\begin{picture}(,)
\put(2,0){$\all f,\,g\in\WW\quad\ans{\hw f\,g\hw}=\ans{f}\,\ans{g}=f\hw.\hb\ans{g}$\hh.}
\put(-.5,-3){\frm(73.5,8.25)}
\end{picture}\vvbc

\Th{\num*}1)\hh$\LL^1$\, et\,$\LL^2$\; et\ha\ $\BB$\; sont des\ha\ modules\ha\ de Riesz\ha\ sur\, $\WW$\hb.\vvw
\hs{36mm}2)\, $\BB$\; est un alg\e bromodule de Riesz\ha\ sur\, $\WW$\vb

\Def{\num}On pose\,\hh$\ZZ\ha=\ha\ens{\hb f\in\WW\ \big\|\:\ans{f}=\hb0\,}$\pv
c'est l'espace des fonctions universelles\, \emph{\underline{nulles presque partout}}\vb

\Th{\num*}$\all f\in\WW$\:\hh on a\,\hh$\Big[\:f\in\ZZ\ \sam\dis\Iab\!|\ha f\ha |\ d\hb x=\ha0\;\Big]\hb.$\vvbc

\Th{\num*}$\ZZ$\, est un id\e al coh\e rent et int\e gral\ha\ de\, $\WW$\pv
de plus on a\,\hh\fbox{$\BB\hb\cong$\hb\ho$\WW/\hw\ZZ$\,}\vvd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctionnelles caract\e ristiques sur\, \ab}}\vvc

\oui Les fonctionnelles\ha\ \emph{caract\e ristiques}\ha\ jouent dans notre th\e orie le r\^ole des\ha\
(\ha classes de\ha)\ha\ sous\ha-\ha ensembles mesurables de\hb\ \ab\vc

\Def{\num}$\tdf\in\LL^2$ est une fonctionnelle\, \underline{caract\e ristique}\, sur\, \ab\,\hh ssi\,\hh
\fbox{\ha$\tdf^{\,2}=\tdf$\hb}\vb

On note\quad$\KK=\ens{\,\tdf\in\LL^2\ \big\|\ \tdf^{\,2}=\tdf\,}$\vb

\Th{\num}$\all\tdf\in\KK$\,\hh on a\quad$0\le\tdf\le1$\quad et\quad$1-\tdf\in\KK$\vb

\Dem On a\hh$\tdf=\tdf^{\,2}\ge\ha0$\ha\pv de plus\,\hh$(1-\tdf)\ha^2=\ha1-2\;\tdf
+\tdf^{\,2}=\ha1-\tdf$\vg\vvw donc\hh$1-\tdf\in\KK$\hh et\hh$1-\tdf\ge\ha0$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\KK$\,\hh on a\quad$\tdf\le\hb\tdg\ \sam\ \tdf\hb\tdg=\tdf$\vab

\Dem\vva
a)\hh$\imp$\dd On a\quad$\tdg\le\un$\vg donc\,\hh$\tdf\hb\tdg\le\ha\tdf$\pv
par ailleurs\,\hh$\tdf\,(\ha\tdg-\tdf)\ge0$\vg donc\,\hh$\tdf\,\tdg\ge\tdf$\ha\vab
b)\hh$\pmi$\dd On a\quad$\tdg-\tdf=\:\tdg-\tdf\hb\tdg\,=\,\tdg\:(\ha1-\tdf\ha)\ge\ha0$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\KK$\,\hh on a\quad$\tdf\le\hb\tdg\ \sam\ \tdg-\tdf\in\KK$\vab

\Dem On a\quad$(\ha\tdg-\tdf\hw)^2-\hb(\ha\tdg-\tdf\hw)=\tdf+\hb\tdg-2\:\tdf\hb\tdg\hb
-\hb\tdg\hb+\tdf=\,2\:(\ha\tdf-\tdf\hb\tdg\ha)$\vg\vvwa donc\,\hh$\tdg-\tdf\in\KK$\hb\hh
ssi\,\hh$\tdf\hb\tdg=\tdf$\vg\cad\,\hh ssi\,\hh$\tdf\le\tdg$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\KK$\hh on a\quad$\tdf\ve\tdg\in\KK\,,\hh
\tdf\wa\tdg\in\KK$\,\hh et\,\hh$\big|\ha\tdf-\tdg\hb\big|\in\KK$\vb

\Dem$(\hw\tdf\ve\tdg\hw)^{\ha2}\ha=\ha\tdf^{\hb2}\hw\ve\hw\tdg^{\hb2}\ha
=\ha\tdf\ve\tdg$\quad et\quad$(\hw\tdf\wa\tdg\hw)^{\hb2}\ha
=\ha\tdf^{\hb2}\wa\ha\tdg^{\hb2}\ha=\ha\tdf\wa\tdg$\pv\vvwa
d'autre part\,\hh$\big|\ha\tdf-\tdg\hb\big|\ha=\ha\tdf\ve\tdg-\tdf\wa\tdg$\vg\,
or\,\hh$\tdf\wa\tdg \le\tdf\ve\tdg$\vg donc\,\hh$\big|\ha\tdf-\tdg\hb\big|\in\KK$\vb

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\KK$\hh on a\quad$\tdf\,\tdg\ha=\ha\tdf\wa\tdg$\vb

\Dem On a\,\hh$\big|\ha\tdf-\tdg\hb\big|\ha=\ha\big|\ha\tdf-\tdg\hb\big|^{\ha2}
=\ha(\tdf-\tdg)^{\ha2}\ha=\tdf+\tdg-2\:\tdf\,\tdg$\ha\vg\vvwa
donc\,\hh$\tdf\,\tdg\ha=\ha\inv{2}\,\big(\,\tdf+\tdg-\big|\ha\tdf-\tdg\hb\big|\,\big)\ha=\ha\tdf\wa\tdg$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf\in\KK$\hh on a\quad\fbox{\,$\bnone{\ha\tdf\ha}\ha=\ha\bntwo{\ha\tdf\ha}^{\hw2}$\,}\vbc

\Th{\num*}$\all\tdf_n\vv\tdf\in\KK$\:\hh on a\quad\fbox{\,$\tdf_n\one\tdf\ \sam\ \tdf_n\two\tdf$\,}\vbc

\Th{\num*}$\KK$\, est une partie\, \underline{ferm\e e}\, de\, $\LL^2$\, et de\, $\LL^1$\vab

\Dem Soit\; $f_n\in\KK$\; convergeant en norme\; $\ntwo{\ }$\hh vers\hh$f\in\LL^2$\pv
alors\ha\hh$f_n\, (1-f_n)$\, converge en norme\; $\none{\ }$\hh vers\hh$f\, (1-f)\in\LL^1$\pv
or\ha\hh$\nn\,\hh f_n\, (1-f_n)=\ha0$\pv donc\,\hh$f\, (1-f)=\ha0$\,\hh et\hh$f\in\KK$\vb

\Cor{\num*}Soit\, $\A$\, une partie de\, $\KK$\pv alors\,\hh$\Inf{}\,\ \A\in\KK$\hh et\hh$\Sup\,\ \A\in\KK$\vb

\Def{\num}On note\quad\fbox{\,$\EK\ha=\ha\ens{\hb f\in\ha\EE\ \big\|\;f^{\,2}=f\ha}
=\ha\ens{\hb f\in\RR\ \big\|\;f^{\,2}=f\ha}$\ha}\vbc

\Th{\num}
\begin{picture}(,)
\put(1,0){$\low{\EK}=\low{\EE}\cap\KK$\: est dense dans\, $\KK$\hh.}
\put(-1,-2){\frm(59.25,6.75)}
\end{picture}\vvbc

\Dem Soit\: $\tdf\in\KK$\pv soient\; $\eps>0$\,\hh et\; $g\in\ha\EE^+$\; tel que\;
$\bnone{\ha\tdf-g\hb}\le\eps$\ha\pv\vva posons\,\hh$h=\un\wa g$\pv on a\,\hh
$\bnone{\ha\tdf-h\hb}\ha=\hb\bnone{\ha\un\wa\tdf-\un\wa g\hb}\ha\le\ha\none{\ha\tdf-g\hb}\ha\le\ha\eps$\pv\vva
on peut \e crire\,\hh$h\ha=\sum\pos_{r\hb=\hb1}^n\hb\alf\ha_r\,1_{\ha\II_{\ha r}}$\vg
\ou\ les\, $\II_{\hb r}$\, sont des intervalles formant une\, \underline{partition}\vva de\, $\ab$\,
et\hb\ \ou\,\hh$\all r\in\db{\ha1\hb,\ha n\hb}\,\hh\alf\ha_r\in[\hb0\,,\ha1\ha]$\vab
On a\,\hh$\all r\in\db{\ha1\hb,\ha n\hb}\quad(\tdf-\alf\ha_r)\,1_{\ha\II_{\ha r}}
=(1-\alf\ha_r)\,\tdf\,1_{\ha\II_{\ha r}}-\alf\ha_r\,(1-\tdf)\,1_{\ha\II_{\ha r}}$\pv\vva
or\,\hh$\tdf\wa(1-\tdf)=\ha0$\ha\vg\ha donc\,\hh$\big|\hb(\tdf-\alf\ha_r)\hb 1_{\ha\II_{\ha r}}\ha\big|\hb
=\hb(1-\alf\ha_r)\hb\tdf\hb1_{\ha\II_{\hb r}}\ha+\,\alf\ha_r\hb(1-\tdf)\hb1_{\ha\II_{\hb r}}$\vg\vva
donc\quad$\bnone{\hb(\tdf-\alf\ha_r)\hb1_{\ha\II_{\ha r}}\ha}\hb=\hb(1-\alf\ha_r)\:
\bnone{\hb\tdf\hb1_{\ha\II_{\ha r}}\ha}\ha+\,\alf\ha_r\:\bnone{\hb(1-\tdf)\hb1_{\ha\II_{\ha r}}\ha}$\pv\vvab

par convexit\e\ on peut donc \e crire\vvab\quad\fbox{\,ou bien\,\hh
$\bnone{\,\tdf\hb1_{\ha\II_{\ha r}}\ha}\hb\le\hb\bnone{\hb(\tdf-\alf\ha_r)\hb1_{\ha\II_{\ha r}}\ha}$\ha\vg\hb
ou bien\, $\HO\bnone{\hb(1-\tdf)\hb1_{\ha\II_{\ha r}}\ha}\hb
\le\hb\bnone{\hb(\tdf-\alf\ha_r)\hb1_{\ha\II_{\ha r}}\ha}$\ha}\pv\vvb

$\all r\in\db{\ha1\hb,\ha n\hb}$\hh posons\,\hh$\beta\ha_r=\hb0$\; ou\hb\ 1\hh suivant que\vvab
\hs{18.5mm}\fbox{\,$\bnone{\,\tdf1_{\hb\II_{\hb r}}\ha}\le\bnone{\hb(\tdf-\alf\ha_r)\hb
1_{\hb\II_{\ha r}}\ha}$\quad ou\,\hh$\HO\bnone{\hb(1-\tdf)\hb1_{\ha\II_{\ha r}}\ha}
\le\bnone{\hb(\tdf-\alf\ha_r)\hb1_{\ha\II_{\ha r}}\ha}$\ha}\pv\vvbc

on a donc\hh$\all r\in\db{\ha1\hb,\ha n\hb}\hh\bnone{\hb(\tdf-\beta\ha_r)\hb1_{\ha\II_{\ha r}}\ha}\ha
\le\hb\bnone{\hb(\tdf-\alf\ha_r)\hb1_{\ha\II_{\ha r}}\ha}$\pv\\[3.25mm] posons\,\hh
$k=\sum\pos_{r\hb=\hb1}^n\,\beta\ha_r\:1_{\ha\II_{\ha r}}\hb\in\hb\EK$\pv on a\,\hh
$\tdf-k\hb=\hb\sum\pos_{r\hb=\hb1}^n\,(\tdf-\beta\ha_r)\,1_{\ha\II_{\ha r}}$\vg donc\vvw
$\bnone{\hb\tdf-k\hb}\hb=\hb\sum\pos_{r\hb=\hb1}^n\,\bnone{\hb(\tdf-\beta\ha_r)\,1_{\ha\II_{\ha r}}\ha}
\le\hb\sum\pos_{r\hb=\hb1}^n\,\bnone{\hb(\tdf-\alf\ha_r)\hb1_{\ha\II_{\ha r}}\ha}\ha
=\,\none{\hb\tdf-h\hb}\ha\le\,\eps$\vd

\textbf{\emph{\underline{Notation}}}\dd Dans certains contextes\vg \ac\ des fins de clarification et de
simplification\vg nous noterons les fonctionnelles caract\e ristiques\vg \cad\ les \e l\e ments de\, $\KK$\vg
par des\, \tsf{lettres grecques minuscules\ha\ sans tilde}\vc

\newpage
\Th{\num}\vvwa
Soit une suite\ha\hh$\sign\in\KK$\ha\hh telle que\ha\hh$\sign\one0$\ha\pv\ha
alors\:\hh$\all\tdf\in\LL^1$\hh on a\,\hh$\sign\:\tdf\ha\one\ha0$\vb

\Dem Soit\, $\eps>0$\pv\ha soit\; $\alf>0$\; tel que\,\hh$\big\|\ha\vtdf-\vtdf\wa\ha\alf\:
\big\|_1\le\hb\eps$\ha\pv\ha soit\, $N\in\N$\vvwa tel que\,\hh$\all n\ge N\,\hh\none{\hb\sign\hb}
\le\hb\eps\ha/\ha\alf$\ha\pv on a\quad$\sign\:\vtdf\ha=\,\sign\,\big(\ha\vtdf\wa\ha\alf\ha\big)
+\,\sign\,\big(\hb\vtdf-\vtdf\wa\ha\alf\hb\big)$\vvwa
$\le\,\sign\;\alf\,+\,\vtdf-\vtdf\wa\ha\alf$\ha\pv on en d\e duit\,\hh
$\all n\ge N$\vvwa$\bnone{\hb\sign\,\tdf\hb}\le\hb\alf\;\none{\hb\sign\hb}\,
+\,\big\|\ha\vtdf-\vtdf\wa\ha\alf\:\big\|_1\le\hb2\ \eps$\pv\hb donc\,\hh$\sign\:\tdf\one\ha0$\vcd

\Th{\num}Soit\, $\RX$\, un ouvert de\, \ab\pv alors\, $\RX$\, est r\e union finie ou d\e nombrable\vvwa
d'intervalles ouverts disjoints\, $\JJ\ha_k$\pv\ha de plus\hh$\un\ha_{\RX}\in\PR$\ha\hh et\,\hh
\fbox{\,$\none{\hb\un\hw_{\RX}\hb}\ha=\hb\sum\pos_{k}\,|\ha\JJ\ha_k\ha|\ph{\dot{l}}$\hs{-1mm}}\ha\vb

\Dem$\all x\in\RX$\; notons\: $\JJ\hw_x$\: l'intervalle\ha\ \emph{ouvert}\ha\ de longueur maximum
contenant\, $x$\pv\vvw il est clair que\, $\big[\;\JJ\ha_x\ha\cap\ha\JJ\hw_y\ha\ne\ha\emptyset\,\ \imp\
\JJ\hw_x=\ha\JJ\hw_y\;\big]$\pv les\: $\JJ\ha_x$\: sont donc disjoints\pt Consid\e rons\vvw$\nn^*$\:
l'ensemble des\: $\J\hw_x$\: tels que\hh$|\ha\JJ\hw_x\ha|\ge\ha\Inv{n}$\pv puisque la somme des
longueurs de ces\vvw intervalles est inf\e rieure\, \ac\hh$b\ha-\ha a$\vg leur nombre est n\e cessairement
fini\pv on en conclut que\vvw l'ensemble de\ha\ \emph{tous}\ha\ les\: $\JJ\hw_x$\: est fini ou
d\e nombrable\pv par ailleurs\ha\hh$\nn^*$\; notons\: $\RX\ha_n$\vvw la r\e union des\, $\J\hw_x$\,
tels que\hh$|\ha\JJ\hw_x\ha|\ge\ha\Inv{n}$\pv $\RX\ha_n$\: est une suite croissante et on a\,\hh
$\RX\hb=\hb\bigcup\pos_n\;\RX\ha_n$\vg\vvw donc\ha\hh$\un\hw_{\RX}\ha=\hb\sup\pos_n\:\un\ha_{\RX\hw_n}$\pv
on en d\e duit\hh$\un\ha_{\RX}\in\PR$\ha\hh et\hh$\none{\hb\un\hw_{\RX}\hb}\ha
=\,\sup\pos_{n}\,\none{\ha\un\ha_{\RX\hw_n}\ha}\ha=\,\sum\,|\ha\JJ\hw_x\ha|$\vbc

\Th{\num}Soit\, $\tdf\in\KK$\pv alors il existe une suite d\e croissante d'ouverts\, $\RX\ha_n$\, de\,
\ab\hh telle que\hh$\tdf=\hb\Inf{n}\ \un\ha_{\RX\hw_n}$\pv de m\^eme il existe une suite croissante de
ferm\e s\, $\FX_n$\, de\, \ab\hh telle que\hh$\tdf=\:\Sup{n}\ha\ \un\ha_{\FX_n}$\vab

\Dem Soit\, une suite de\, $\EK$\, convergeant en norme\, $\none{\ }$\, vers\, $\tdf$\pv on peut en extraire\vvww
une sous-suite\, $f_n\in\EK$\, convergeant\, \underline{finement}\, vers\, $\tdf$\pt
Identifions les fonctions\, $f_n$\, \ac\ des\vvww fonctions caract\e ristiques d'ouverts\ha\ de\, \ab\pv
soient donc\, $\AX\hb_n$\, des ouverts de\, \ab\, tels\vvww que\hh$\nn\ha\hh f_n=\un\ha_{\AX\hw_n}$\pv
alors la suite\hh$\tdg\ha_n=\,\Sup{p\,\ge\,n}\ \un_{\AZ_{\hw  p}}$\hh est d\e croissante\ha\ et\hh$\tdf=\,\Inf{n}\ha\ \tdg\ha_n$\vww
En identifiant la fonctionnelle\, $\tdg\ha_n$\, \ac\ la fonction caract\e ristique de l'ouvert\hh
$\RX\ha_n=\bigcup\pos_{p\,\ge\,n}\hs{-.75mm}\AX\ha_p$\vg\vk-.75mm on obtient bien\hh$\tdf=\,\Inf{n}\ \un\ha_{\RX\ha_n}$\vw

\oui De m\^eme nous pouvons identifier  les fonctions\, $f_n$\, \ac\ des fonctions caract\e ristiques de\vvww
ferm\e s de\, \ab\pv soient\, $\BX\hb_n$\, des ferm\e s de\, \ab\, tels que\hh$\nn\ha\hh f_n=\un\ha_{\BX\hw_n}$\pv
alors la\vvww suite\hh$\tdh\ha_n=\,\Inf{p\,\ge\,n}\ \un_{\BX_{\hw  p}}$\hh est croissante et\hh$\tdf=\,\Sup{n}\ha\ \tdh\ha_n$\pt
En identifiant la fonctionnelle\, $\tdh\ha_n$\, \ac\ la fonction caract\e ristique du ferm\e\hh$\FX_n=\bigcap\pos_{p\,\ge\,n}\hs{-.75mm}\BX\ha_p$\vg
on obtient bien\hh$\tdf=\,\Sup{n}\ \un\ha_{\FX_n}$\vbc

\Cor{\num*}$\all\tdf\in\ha\KK$\; on a\quad\fbox{ $\bnone{\hb\tdf\hb}\ha
=\hs{-1mm}\inf\pos_{\sbs{\\[.5mm]\RX\;\mrom{ouvert}\\[.75mm]\un\hw_\RX\:\ge\:\tdf}}\hs{-1mm}
\none{\ha\un\hw_\RX\ha}\ha=\sup\pos_{\sbs{\\\FX\;\mrom{ferm\acute{e}}\\[.75mm]\un\hw_\FX\:\le\:\tdf}}
\none{\ha\un\hw_\FX\ha}\ph{\dot{\big|}}$\hs{-.75mm}}\vc

\Rem Ce r\e sultat correspond \ac\ la d\e finition\ha\ \emph{classique}\ha\ de la\, ``\,mesure de Lebesgue\vvww
d'un ensemble mesurable\,"\vc

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Pseudo\ha-mesures bool\e ennes}}\vvc

\Def{\num} Un  treillis\, T\, est\, \underline{distributif}\; ss\ha'\ha il v\e rifie la double
distributivit\e\dd\vvab\quad\fbox{\,$\al\ a\vv b\vv c\in\T$\ho\quad
$a\wa(\hw b\ve c\hw)\ha=\ha(\hw a\wa b\hw)\ve(\hw a\wa c\hw)$\quad et\quad
$a\ve(\hw b\wa c\hw)\ha=\ha(\hw a\ve b\hw)\wa(\hw a\ve c\hw)$\,}\vc

\Th{\num}Chacune des deux distributivit\e s\ha\ implique l'autre\va

\Dem Supposons la premi\ee re distributivit\e\ v\e rifi\e\hw e\pv alors on peut \e crire\hh
$\al\ a\vv b\vv c\in\T$\vvwa$(\hw a\ve b\hw)\wa(\hw a\ve c\hw)\ha
=\ha[\hb(\hw a\ve b\hw)\wa a\,]\ve[\hb(\hw a\ve b\hw)\wa c\,]\ha
=\,(\hw a\wa a\hw)\ve(\hw a\wa b\hw)\ve(\hw a\wa c\hw)\ve(\hw b\wa c\hw)$\vvw
$=\,a\ve(\hw a\wa b\hw)\ve(\hw a\wa c\hw)\ve(\hw b\wa c\hw)\ha
=\,a\ve(\hw a\wa c\hw)\ve(\hw b\wa c\hw)\ha=\,a\ve(\hw b\wa c\hw)$\vbc

\Def{\num}\vvwa
Un treillis\ha\ \emph{distributif}\hb\  T\, est un\, \underline{treillis\ha\lo de Boole}\; ss\ha'\ha il
satisfait aux conditions suivantes\dd\vva

\quad1)\hh T\, poss\ee de un \e l\e ment\, \underline{minimum}\, not\e\: $\zero$\, et un \e l\e ment\,
\underline{maximum}\, not\e\ha\ $\uno$\va

\quad2\ha)\hh$\all a\in\T$\; il existe\; $b\in\T$\: tel que\ha\hh
\fbox{\,$a\wa b\ha=\ha\zero$\;\hh et\lo\, $a\ve b\ha=\uno\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\pv\vva\hs{8.5mm}
(\ha$b$\, est totalement d\e termin\e\ par\, $a$\, et se note\, $\bar{a}$\ha)\vb

\underline{Exemples}\dd$\EK$\, et\: $\KK$\: sont des treillis de Boole\vb

\Def{\num}Une\, \underline{fonction additive\ph{p}\hs{-.5mm}born\e e}\: sur un\, treillis de Boole\, $\T$\,
est une\vvw application\hh$\phi\::\,\T\to\R$\,\hh v\e rifiant les conditions suivantes\dd\vvab

\qquad1)\hh$\all a\vv b\in\T$\:\hh\fbox{\,$a\wa b\ha=\ha0\hb\ \imp\
\phi\,(\hw a\ve b\hw)\ha=\hb\phi\,(\hw a\hw)\ha+\ha\phi\,(\hw b\hw)\ph{\big|}$\hs{-.75mm}}\ha\pv\vvab
\hs{15mm}en particulier\hh\fbox{\hb$\phi\,(\hw\zero\hw)=$\hb\ho0\,}\ha\vb

\qquad2\ha)\hh Il existe\hh$M>\ha0$\hh tel que\,\hh\fbox{\,$\all a\in\T$\hh\ho$|\ha\phi\,(a)\ha|\le M$\,}\ha\vbc

La condition\, 1)\hh implique\,\hh$\all a\vv b\in\T$\:\hh\fbox{\:$\phi\,(\hw a\ve b\hw)\ha
+\ha\phi\,(\hw a\wa b\hw)$\ha\ho$=\hb\phi\,(\hw a\hw)\ha+\ha\phi\,(\hw b\hw)$\hb}\ha\vcd

\newpage
\Def{\num}Une\, \underline{pseudo\ha-mesure bool\e enne}\, sur\, \ab\, est une fonction additive\vva born\e e
sur le\, \fbox{\,treillis de Boole\, $\EK\ph{p\dot{t}}$\hs{-3mm}}\ha\vb

\Not On note\; $\PMB$\; l'espace vectoriel des pseudo\ha-mesures bool\e ennes\ha\ sur\hb\ \ab\vbc

\Th{\num}Toute pseudo\ha-mesure\ha\ bool\e enne\ha\ sur\, \ab\, s'\e tend de mani\ee re\hb\ \underline{unique}\,
en une pseudo\ha-mesure\ha\ sur\, \ab\va

\Dem\vvwa Soit\, $\phi\in\PMB$\pv soit\hh$h\in\EK$\pv on peut \e crire\,\hh
$h\ha=\hb\sum\pos_r\:\alf\ha_r\,1\hw_{\II\ha_r}$\, (\hb avec\ha\hh$\all r\hh\alf\ha_r\in\R$\hb)\vg\ou\
les\, $\II\ha_r$\, sont des intervalles disjoints deux \ac\ deux\pv on pose alors\hb\hh
\fbox{\,$\phi\,(h)\ha=$\hb\ho$\sum\pos_r\,\alf\ha_r\:\phi\,(1_{\II\ha_r})$\,}\pv\vvwa
on voit\vg gr\^ace \ac\ la propri\e t\e\, 1)\vg que cette valeur est ind\e pendante de la d\e composition\vvwa
choisie pour\, $h$\pt De plus on a\,\hh$\big|\hb\tdf\hb(h)\ha\big|\ha\le\,\sum\pos_r\,|\ha\alf\ha_r\ha|\:
|\hb\phi\,(1\hw_{\II\ha_r})\ha|\ha\le\ha\|\ha h\hb\|\:\sum\pos_r\,|\hb\phi\,
(1\hw_{\II\ha_r})\ha|\le\ha M\,\|\ha h\hb\|$\vw Il n'est pas difficile de montrer que cette extension de\,
$\tdf$\, \ac\; $\EE$\, est lin\e aire\pv donc\hh$\tdf\in\ha\PM\hb.$\vvwa L'unicit\e\ est \e vidente car\ha\hh
$\all\phi\in\PM$\ha\hh on a n\e cessairement\hh$\phi\,(h)\hw=\,\sum\pos_r\,\alf\ha_r\:\phi\,(1_{\II\ha_r})$\vbc

\Cor{\num}\vvwa L'application\,\hh$\PM\to\PMB\,\ :\ha\ \tdf\to\tdf\hb|\hb_{\EK}$\,\hh est un\, \underline{isomorphisme}\, lin\e aire\va
\oui Autrement dit une pseudo\ha-mesure bool\e enne n'est ni plus ni moins que la restriction\vvw
d'une pseudo\ha-mesure \ac\, $\EK$\ha,\, ce qui peut s'\e crire\,
\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\PMB\ha=\,\PM\hb|\hs{9mm}.$}
\put(31.25,-2){$\EK$}
\put(2.25,-3.5){\frm(36.5,9)}
\end{picture}\\[7.5mm]
\Not Soit\, $a\ha_n$\, une suite dans un treillis de Boole\,;\, \emph{en cas d'existence}\hb,\hb\ on note\;
$\under{n}{\bigvee}\ a\ha_n$\; le\, \underline{majorant minimum}\, de\, $a\ha_n$\;
et\; $\under{n}{\bigwedge}\;a\ha_n$\; le\, \underline{minorant\ph{p}\hs{-.5mm}maximum}\, de\, $a\ha_n$\vc

\Def{\num}Un treillis de Boole\, T\, est\, \underline{complet}\: ssi\; $\under{n}{\bigvee}\ a\ha_n$\; et\;
$\under{n}{\bigwedge}\;a\ha_n$\; existent\vvww pour toute suite\, $a_n\in\T$\vab

\underline{Exemple}\dd$\KK$\, est un treillis complet de Boole\vbc

\Def{\num}Une fonction additive born\e e\, $\phi$\: sur un treillis\ha\ \emph{complet}\ha\ de Boole\, T\vvww
est dite\, \underline{$\sig$-\ha additive}\; ssi\ha\ elle satisfait l'une des trois conditions \e quivalentes
suivantes\,\ :\vvb

\hhh\underline{Condition\, (1)}\dd\vva\emph{Soit une suite\hh$a\ha_n\in\T$\; telle que\hb\hh
$\all i\ne j\,\hh a\ha_i\wa a\ha_j\ha=\ha0$\pv alors\ha\hh$\phi\,
\big(\ha\under{n}{\ha\bigvee}\;a\ha_n\hw\big)\ha=\:\under{n}{\sum}\ \phi\,(\hw a\ha_n\hw)$}\vab

\hhh\underline{Condition\, (\ha2\ha)}\dd\emph{Soit une suite\hh$a\ha_n\in\T$\vg
\underline{d\e croissante}\pv alors\ha\hh$\phi\,\big(\ha\under{n}{\bigwedge}\;a\ha_n\ha\big)\ha
=\:\lim\pos_n\;\phi\,(\hw a\ha_n\hw)\ha.$}\vvab

\hhh\underline{Condition\, (\ha3\ha)}\dd\emph{Soit une suite\hh$a\ha_n\in\T$\vg
\underline{d\e croissante}\: et\ha\ telle que\hh\fbox{\,$\under{n}\bigwedge\
a\ha_n\ha=\hb\zero\ph{\dot{l}}$\hs{-.5mm}}}\,;\\\emph{alors\ha\hh$\phi\,(\hw a\ha_n\hw)\to0$}\va

\oui La condition\, (\ha3\ha)\, est remarquable\ha\ car\vg contrairement aux deux autres\vg elle a un sens
pour n'importe quel treillis de Boole\vg complet ou non\vpt
\oui Appliqu\e e au treillis de Boole\, $\EK$\vg cette condition\ha\ s'\e crit\, :\vvb

\Def{\num}\vvwa Soit\, $\tdf\in\PM$\pv alors\, $\tdf$\, est\, \underline{$\sig$-\ha additive}\;
ssi\, $\tdf$\, v\e rifie la condition suivante\, :\vvab

\hhh\underline{Condition\, (\ha4\ha)}\dd\vva\emph{Soit une suite\; $\sig_{\hw n}\in\EK$\hb,\,
\underline{d\e croissante}\: et\ha\ telle que\ha\hh
\fbox{\,$\sig_{\hw n}\sm0$\,}\,;\: alors\hh$\tdf\hb(\hw \sig_{\hw n})\to0$}\vbc

\oui Par ailleurs la condition d'hypercontinuit\e\vg donn\e e au\, I\, 8\hb.\ha1\vg peut se r\e \e crire\, :\vvb

\Def{\num}Soit\, $\tdf\in\PM$\pv alors\: $\tdf\in\MM$\; ssi\, $\tdf$\, v\e rifie la condition suivante\, :\vva

\hhh\underline{Condition\, (\ha5\ha)}\dd\emph{Soit une suite\, \underline{d\e croissante}\,
d'\ha\underline{intervalles ouverts}\; $\JJ_{\hb n}\ha\sub\ha\ab$\vg\vvwa telle que\hh
$\bigcap\pos_n\,\JJ_{\hb n}=\hb\emptyset$}\; \big(\ha\emph{\cad}\: $\un_{\JJ_{\ha n}}\hs{-.5mm}\sm0$\,\big)\pv
\emph{alors\hh$\tdf\hb(\hw\un_{\JJ_{\ha n}})\to0$}\vb

\oui Le \theo\ha\ de Lebesgue dans\, $\EE$\, nous assure que la condition\, (\ha5\ha)\vg a priori plus faible\\
que la condition\, (\ha4\ha)\vg lui est en fait \e quivalente\pt On en tire la conclusion suivante\dd\vvb

\Th{\num}Soit\, $\tdf\in\PM$\pv alors\,\hh\fbox{\,$\tdf\in\MM\ \sam\:\tdf$\hb\ est\hb\ $\sig$-\ha
additive\,}\ha\vb

\oui Autrement dit \tsf{une \pms\ est\, $\sig$-\ha additive\ha\ ssi\ha\ elle est une mesure}\vaab

\oui Le \theo\ha\ de Lebesgue dans\, $\EE$\, nous permet aussi d'\e noncer le \theo\ha\ suivant\, :\vvaab

\Th{\num}Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv alors\, $\tdf\in\MM$\; ssi\ha\ pour toute suite\hh$\sign\in\EK$\hh
on a\\[-2.5mm]$$\boxed{\:\sign\sm0\,\ \imp\ \tdf\,(\sign)\to0\:}\pt$$\vvd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Support d'une pseudo\ha-mesure}}\vvc

\oui Le\ha\ \emph{support}\ha\ d'une fonctionnelle correspond \ac\ la notion classique du support d'une
fonction\vg mais notre d\e finition est suffisamment g\e n\e rale pour s'appliquer de fait \ac\ toutes
les\ha\ \mbox{pseudo\ha-mesures\ha.}\, Cette extension se r\e v\ee lera tr\ee s pr\e cieuse pour la bonne
compr\e hension\ha\ (\ha et la d\e monstration\ha)\ha\ du \theo\ha\ de Radon-Nikodym\vcd

\Def{\num}On pose\,\hh$\all\tdf\in\ha\PM$\, :
\begin{picture}(,)
\put(3.5,0){\underline{support}\, de\, $\tdf\ha=\,\SZ\,(\tdf)\,=\:\Sup{n\,\in\,\N}\:\
\un\wa\big(\ha n\,\vtdf\hb\big)$\; .}
\put(1,-5.5){\frm(82.25,11.25)}
\end{picture}\vvc

$\SZ\,(\tdf)$\, est bien d\e fini gr\^ace au \theo\ha\ de convergence monotone\, :\, en effet\,
$\un\wa\big(\ha n\,\vtdf\hb\big)$\vvx est une suite croissante\ha\ et major\e e par\, $\un$\, dans\hh$\PM^+$\pv
remarquons de plus qu'on a\vvx$\SZ\,(\tdf)\le\un$,\; donc\hh$\SZ\,(\tdf)\in\ha\BB\hb^+$;\, nous verrons
qu'en fait\hh$\SZ\,(\tdf)\in\KK$\vww Cette d\e finition s'interpr\ee te ais\e ment en constatant que\, :\vvw
\hs{30mm}\textbf{$\mbof{\SZ\,(\tdf)=0}$\, ``\,l\ac\hb\ \ou\,"\ha\ $\mbof{\tdf=\ha0}$}\hh
et\hh\textbf{$\mbof{\SZ\,(\tdf)=1}$\,``\,l\ac\hb\ \ou\,"\ha\ $\mbof{\tdf\ne\ha0}$}\ha\vc

\Th{\num*}$\all\tdf\in\ha\PM $\quad on a\quad1)\ha\hh\fbox{\:$0\le\SZ\,(\tdf)\le\un$\,}\vvab
\hs{71.5mm}2\ha)\hh\fbox{\:$\SZ\,\big(\hb\vtdf\hb\big)=\,\SZ\,(\tdf)$\,}\vvab
\hs{71.5mm}3\ha)\hh\fbox{\:$\all\lam\in\R^\star\ha\hh\SZ\,(\lam\,\tdf)=\,\SZ\,(\tdf)$\,}\vvab
\hs{71.5mm}4\ha)\hh\fbox{\:$\SZ\,\big(\un\wa\hi{$\vtdf$}\ha\big)\ha=\,\SZ\,(\tdf)$\,}\ha\vc

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\ha\PM^+$\,\hh on a\quad1)\hh
\fbox{\:$\SZ\,(\tdf\wa\tdg)\ha=\,\SZ\,(\tdf)\wa\hb\SZ\,(\tdg)$\hb}\vvab
\hspace{75.5mm}2\ha)\hh\fbox{\:$\SZ\,(\tdf\ve\tdg)\ha=\,\SZ\,(\tdf)\ve\hb\SZ\,(\tdg)$\hb}\va

\Dem\vva
1)\hh$1\wa\big[\hb n\,\big(\tdf\wa\tdg)\hb\big]=\ha\big[\,1\wa(n\,\tdf)\,\big]
\wa\big[\,1\wa(n\,\tdg)\,\big]$\vg\ha donc\quad
$\SZ\,(\tdf\wa\tdg)\ha=\,\SZ\,(\tdf)\wa\hb\SZ\,(\tdg)$\vvw
2\ha)\hh$1\wa\big[\hb n\,\big(\tdf\ve\tdg)\hb\big]=\ha\big[\,1\wa(n\,\tdf)\,\big]
\ve\big[\,1\wa(n\,\tdg)\,\big]$\vg\ha donc\quad$\SZ\,(\tdf\ve\tdg)\ha=\,\SZ\,(\tdf)\ve\hb\SZ\,(\tdg)$\vbc

\Th{\num*}$\all\tdf,\,\tdg\in\ha\PM^+$\,\hh on a\,\hh
$\Big[\:\tdf\le\tdg\ \imp\;\SZ\,(\tdf)\le\SZ\,(\tdg)\,\Big]$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\ha\PM^+$\,\hh on a\,\quad
\fbox{\:$\SZ\,(\tdf+\tdg)=\,\SZ\,(\tdf)\ve\SZ\,(\tdg)\le\hb\SZ\,(\tdf)+\SZ\,(\tdg)$\ha}\ha\vbc

\Dem On a\hh$\tdf\ve\tdg\ha=\inv{2}\,\big(\ha\tdf+\tdg+\big|\ha\tdf+\tdg\hb\big|\ha\big)
\le\ha\inv{2}\,(\ha\tdf+\tdg+\tdf+\tdg\ha)\ha=\tdf+\tdg$\vg\vvwwa
donc\hh$\SZ\,(\tdf\ve\tdg)\le\ha\SZ\,(\tdf+\tdg)$\pv de plus on a clairement\hh
$\tdf\ve\tdg\ge\inv{2}\,(\tdf+\tdg)$\pv\vvwwa donc\hh$\SZ\,(\tdf\ve\tdg)
=\ha\SZ\,\big[\inv{2}\,(\tdf\ve\tdg)\big]\le\ha\SZ\,(\tdf+\tdg)\le\ha\SZ\,(\tdf\ve\tdg)$\vbc

\Cor{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\ha\PM^+$\,\hh on a\quad$\Big[\;\tdf\wa\tdg\ha=\ha0\
\imp\ \SZ\,(\tdf+\tdg)\ha=\,\SZ\,(\tdf)+\SZ\,(\tdg)\,\Big]$\vb

\Dem$\SZ\,(\tdf+\tdg)=\,\SZ\,(\tdf\ve\tdg)=\ha\SZ\,(\tdf)\ve\SZ\,(\tdg)
=\,\SZ\,(\tdf)+\SZ\,(\tdg)-\SZ\,(\tdf)\wa\SZ\,(\tdg)$\vvw
$=\,\SZ\,(\tdf)+\SZ\,(\tdg)-\SZ\,(\tdf\wa\tdg)=\,\SZ\,(\tdf)+\SZ\,(\tdg)$\vc

\Cor{\num*}$\all\tdf\in\ha\PM$\quad\fbox{\,$\SZ\,(\tdf)\ha=\ha\SZ\,(\tdf^+)
\ve\SZ\,(\tdf^-)=\ha\SZ\,(\tdf^+)+\SZ\,(\tdf^-)$\,}\ha\vc

\Lem{\num}$\all\tdf\in\LL^2$\,\hh on a\quad\fbox{\,$\un\wa\tdf^{\ha2}
\le\ha\un\wa\vtdf\le\ha\un\ve\vtdf\ha\le\ha\un\ve\tdf^{\ha2}$\,}\ha\vb

\Dem Vrai dans\, $\EE$,\, donc vrai dans\, $\LL^2$\, par densit\e\vcd

\Th{\num}$\all\tdf\in\LL^2$\,\hh on a\quad\fbox{\,$\big[\ha\SZ\,(\tdf)\ha\big]^2
=\,\SZ\,(\ha\tdf^{\ha2}\ha)\ha=\,\SZ\,(\tdf)$\,}\ha\vc

\Dem$\big[\ha\SZ\,(\tdf)\ha\big]^2=\hb\Sup{n\,\in\,\N}\
\big(\ha\un\wa n\,\vtdf\hb\big)^2\ha=\,\Sup{n\,\in\,\N}\ \ha\un\wa
\big(\hw n^{\ha2}\ha\tdf^{\ha2}\hb\big)\ha=\,\SZ\,\big(\ha\tdf^{\ha2}\ha\big)$\pv\vvwa
or\hh$\nn\,\hh\un\wa\big(\hw n^{\ha2}\ha\tdf^{\ha2}\hb\big)\le\ha\un\wa\big(\hw n\,\vtdf\ha\big)$\ha\vg\ha\
donc\hh$\SZ\,\big(\ha\tdf^{\ha2}\ha\big)\le\hb\SZ\,(\tdf)$\pv\vvwa par ailleurs\hh
$\nnn\,\hh n^{\ha2}\,\vtdf\le\un\ve\big(\hw n^{\ha4}\ha\tdf^{\hb2}\ha\big)\hb$\vg\ha\
donc\,\hh$n\,\vtdf\le(1\ha/\ha n)\ve\big(\hw n^{\ha3}\ha\tdf^{\ha2}\ha\big)$\vg\vvwa donc\,\hh
$\un\wa\big(\ha n\,\vtdf\hb\big)\le\un\wa\big[\ha(1/n)\ve\big(\hw n^{\ha3}\hb\tdf^{\ha2}\ha\big)\ha\big]
=\big[\ha\un\wa(1/n)\hb]\ve\big[\ha\un\wa\big(\hw n^{\ha3}\hb\tdf^{\ha2}\ha\big)\ha\big]$\vvwa
$=\ha(1/n)\ve\big[\ha\un\wa\big(\hw n^{\ha3}\hb\tdf^{\ha2}\ha\big)\big]$\vwa
En faisant tendre\: $n$\, vers\, $\pin$\: on obtient\,\hh
$\SZ\,(\tdf)\le\hb0\ve\SZ\,\big(\tdf^{\ha2}\big)\ha=\,\SZ\,\big(\tdf^{\ha2}\big)$\vc

\Cor{\num*}$\all\tdf\in\LL^2$\,\hh on a\,\hh\fbox{\,$\SZ\,(\tdf)\in\KK$\,}\vbc

\Cor{\num}$\all\tdf\in\ha\PM$\,\hh on a\,\hh\fbox{\,$\SZ\,(\tdf)\in\KK$\,}\vb

\Dem On a\,\hh$\un\wa\vtdf\in\ha\BB\ha\sub\ha\LL^2$\vg donc\,\hh $\SZ\,(\tdf)
=\hb\SZ\,\big(\un\wa\vtdf\ha\big)\in\KK$\vbc

\Cor{\num*}$\all\tdf,\,\tdg\in\ha\PM^+$\,\hh on a\quad$\SZ\,(\tdf\wa\tdg\hw)\ha
=\hb\SZ\,(\tdf)\ \SZ\,(\hw\tdg\hw)$\vbc

\Th{\num}Soit $\tdf\in\ha\PM$\pv alors les trois conditions suivantes sont \mbox{\e quivalentes\, :}\vvab
\hs{25mm}\fbox{\;1)\: $\tdf\in\KK$\hs{8.5mm}2\ha)\hh$\nnn\ha\hh\un\wa(n\hb\tdf)
=\tdf$\hs{8.5mm}3\ha)\hh$\SZ\,(\tdf)=\tdf$ }\ha\vab

\Dem\vva
a)\hh$(1)\imp(\ha2\ha)$\dd vrai dans\, $\EK$\vg donc vrai dans\, $\KK$\vwa
b)\hh$(\ha2\ha)\imp(\ha\ha3\ha)$\dd on a\,\hh$\nnn\,\hh\un\wa(n\hb\tdf)=\tdf$\vg donc\hh$\SZ\,(\tdf)=\tdf$\vwa
c)\hh$(\ha3\ha)\imp(1)$\dd$\tdf=\hb\SZ\,(\tdf)\in\KK$\vc

\Th{\num}$\all\tdf\in\ha\PM$\:\hh on a\quad\fbox{\,$\SZ\,(\tdf)=\ha0\ \sam\ \un\wa\vtdf=\ha0$\,}\vab

\Dem\vvwa

a)\hh$\imp$\dd$\un\wa\vtdf\le\hb\SZ\,(\tdf)=\ha0$\vwa
b)\hh$\pmi$\dd$\nnn\,\hh\un\wa\big(\hw n\,\vtdf\ha\big)\le\hb n\wa\big(\hw n\,\vtdf\ha\big)
=\hb n\,\big(\hw\un\wa\vtdf\ha\big)=\ha0$\vg donc\hh$\SZ\,(\tdf)=\ha0$\vc

\Th{\num}$\all\tdf\in\big(\LL^2\ha\big)^+$\,\hh on a\quad$\tdf\:\SZ\,(\tdf)=\tdf$\vab

\Dem On a\hh$\nn\quad\tdf\ge\hb\tdf\wa\big(\ha n\,\tdf\ha^2\ha\big)
=\tdf\,\big[\ha\un\wa(n\hb\tdf)\ha\big]$\vg donc\hh$\tdf\ge\tdf\:\SZ\,(\tdf)$\pv\vvwa
par ailleurs on peut \e crire\,\hh$\nnn\hh n\,\tdf\le\un\ve\big(\hw n\ha^2\ha\tdf\ha^2\ha\big)$\vg\vvwa
donc\,\hh$\tdf\le\hb\tdf\wa\big[\hb(1\ha/\ha n)\ve\big(\hw n\,\tdf\ha^2\ha\big)\hb\big]
=\big[\hb(1\ha/\ha n)\wa\tdf\hb\big]\ve\big[\hb\tdf\wa\big(\hw n\,\tdf\ha^2\ha\big)\hb\big]$\vg\vvwa
donc\,\hh$\tdf\le\ha(\ha0\wa\tdf\ha)\ve\big[\,\tdf\:\SZ\,(\tdf)\hb\big]
=\,0\ve\big[\,\tdf\,\SZ\:(\tdf)\hb\big]=\tdf\;\SZ\,(\tdf)$\vc

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\LL^2$\,\hh on a\,\hh
$\big[\;\tdf\,\tdg\ha=\ha0\ \sam\ \tdf\;\SZ\,(\tdg)=\ha0\;\big]$\hw.\vva

\Dem\vvwa
a)\hh$\imp$\dd On a\,\hh$\nn\quad0\ha=\ha\vtdf\wa\big(\ha n\:\big|\ha\tdf\,\tdg\hb\big|\,\big)
=\vtdf\,\big[\ha\un\wa(\ha n\hb\vtdg\ha)\ha\big]$\pv donc\hh$\tdf\;\SZ\,(\tdg)=\ha0$\va

b)\hh$\pmi$\dd On a\quad$0\ha=\ha\big|\hb\tdf\;\SZ\,(\tdg)\ha\big|
=\vtdf\;\SZ\,\big(\ha\vtdg\ha\big)$\pv\vvwwa
donc\quad$0\ha=\vtdf\,\vtdg\;\SZ\,\big(\ha\vtdg\ha\big)=\vtdf\,\vtdg
=\big|\ha\tdf\,\tdg\hb\big|$\pv donc\hh$\tdf\,\tdg\ha=\ha0$\vc

\Lem{\num}$\all\tdf\in\LL^2$\,\hh on a\quad$\tdf\;\SZ\,(\tdf)=\tdf$\va

\Dem$\tdf\;\SZ\,(\tdf)=(\ha\tdf^+\!-\tdf^-)\;\SZ\,(\ha\tdf^+\!-\tdf^-)
=\ha(\ha\tdf^+\!-\tdf^-)\,\big[\,\SZ\,(\tdf^+)+\SZ\,(\tdf^-)\hb\big]$\vvwa
$=\hb\tdf^+\:\SZ\,(\tdf^+)-\tdf^-\:\SZ\,(\tdf^-)=\hb\tdf^+\!-\tdf^-=\hb\tdf$\vc

\Th{\num}$\all\tdf\in\LL^1$\,\hh on a\quad\fbox{\,$\tdf\;\SZ\,(\tdf)=\tdf$\,}\vab

\Dem Posons\,\hh$\nn\,\hh\tdg\ha_n=\hb n\wa\tdf^+-n\wa\tdf^-\in\,\BB$\pv on a\,\hh
$\nn\,\hh\tdg\ha_n\,\SZ\,(\tdg\ha_n)=\hb\tdg\ha_n$\pv\vvw or\,\hh$\SZ\,(\tdg\ha_n)
=\hb\SZ\,(n\wa\tdf^+)+\hb\SZ\,(n\wa\tdf^-)=\hb\SZ\,(\tdf^+)+\ha\SZ\,(\tdf^-)
=\hb\SZ\,(\tdf)$\pv donc\vvwa$\nn\,\hh\tdg\ha_n\,\SZ\,(\tdf)=\hb\tdg\ha_n$\pv
de plus\,\hh$\tdg\ha_n\one\tdf^+\!-\tdf^-=\hb\tdf$\vg donc\hh$\tdf\;\SZ\,(\tdf)=\tdf$\hw.\vvc

\Cor{\num*}$\all\tdf\in\LL^1$\,\hh on a\quad$\big[\;\SZ\,(\tdf)=\ha0\ \sam\ \tdf=\ha0\,\big]$\hw.\vvc

\Th{\num}Soient\, $\tdf\in\big(\LL^1\big)^+$\, et\, $\tdg\in\ha\PM^+$\pv alors on a
\begin{picture}(,)
\put(4.5,0){$\Sup{n}\ \big[\,\tdf\hs{-.4mm}\wa(\ha n\,\tdg\ha)\hb\big]
=\ha\tdf\:\SZ\,(\tdg)$\hh.}
\put(2.5,-5){\frm(50.5,11)}
\end{picture}\vvbc

\Dem C'est \e vident si\, $\tdf\in\ha\EE^+$\pv soit alors\, $\tdf\in\big(\LL^1\big)^+$\, et soit
une suite\hb\ $f_n\in\ha\EE^+$\vvw telle que\, $f_n\one\tdf$\pv on a\hh$\all n\vv p\in\N\,\hh
\big|\hb f_n\wa(\ha p\:\tdg\ha)-\tdf\hs{-.4mm}\wa(\ha p\:\tdg\ha)\hb\big|\le\hb\big|\ha f_n-\tdf\hb\big|$\pv
on pose\vvw$\tdh=\Sup{n}\ \big[\,\tdf\hs{-.4mm}\wa(\ha n\,\tdg\ha)\hb\big]$\pv quand\: $p\to\pin$\hh
on trouve\hh$\nn\,\hh\big|\hb f_n\:\SZ\,(\tdg)-\tdh\,\big|\le\hb\big|\ha f_n-\tdf\hb\big|$\vg\vvw
et quand\: $n\to\pin$\hh on trouve\hh$\big|\hb\tdf\,\SZ\,(\tdg)-\tdh\,\big|=\ha0$\vg
\cad\,\hh$\tdh=\tdf\,\SZ\,(\tdg)$\vcd

\Th{\num}Soient\hh$\tdf_n\vv\tdf\ha\in\ha\PM\vg\tdf_n\st\tdf$\pv alors on a
\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\bnone{\:\SZ\,(\tdf)\hb}\le\;\inflim{n}\hh\bnone{\:\SZ\,(\tdf_n)\hb}$\, .}
\put(2,-4.5){\frm(53,10.5)}
\end{picture}\vvb

\newpage
\Dem\vvw On a\,\hh$\all\ha n\vv p\ha\in\N\,\hh1\wa\big(\,p\:\big|\ha\tdf_n\ha\big|\hb\big)
\le\,\SZ\,\big(\ha\big|\ha\tdf_n\ha\big|\ha\big)$\vg donc\quad
$\bnone{\,1\wa\big(\,p\:\big|\ha\tdf_n\ha\big|\hb\big)\ha}
\le\ha\bnone{\:\SZ\,\big(\ha\big|\ha\tdf_n\ha\big|\ha\big)\hb}$\pv\vva donc\,\hh
$\all p\in\N\,\hh\bnone{\,1\wa\big(\,p\:\vtdf\hb\big)\ha}\le\;\inflim{n}\hh
\bnone{\:\SZ\,\big(\ha\big|\ha\tdf_n\ha\big|\ha\big)\hb}$\pv en faisant\,\hh$p\to\pin$\,\hh on obtient\vvwwa
$\bnone{\:\SZ\,(\tdf)\hb}\le\;\inflim{n}\hh\bnone{\:\SZ\,(\tdf_n)\hb}$\vc

\Th{\num}Soient\hh$\tdf_n\vv\tdf\ha\in\ha\PM\vg\tdf_n\st\tdf$\pv alors on a
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\SZ\,(\tdf)\le\:\Suplim{n}\hh\SZ\,(\tdf_n)$\: .}
\put(3,-4.5){\frm(39,10.5)}
\end{picture}\vvab

\Dem\vvw
On a\,\hh$\all\ha n\vv p\ha\in\N\,\hh1\wa\big(\,p\:\big|\ha\tdf_n\ha\big|\hb\big)
\le\,\SZ\,\big(\ha\big|\ha\tdf_n\ha\big|\ha\big)$\vg donc\quad
$1\wa\big(\,p\:\big|\ha\tdf_n\ha\big|\hb\big)
\le\:\Sup{r\:\ge\:n}\hh\SZ\,\big(\ha\big|\ha\tdf_r\ha\big|\ha\big)$\pv\vvw donc\,\hh$\all p\in\N\,\hh
1\wa\big(\,p\:\vtdf\hb\big)\le\:\Suplim{n}\hh\SZ\,\big(\ha\big|\ha\tdf_n\ha\big|\ha\big)$\pv
en faisant\,\hh$p\to\pin$\,\hh on obtient\vvw$\SZ\,(\tdf)\le\:\Suplim{n}\hh\SZ\,(\tdf_n)$\vbc

\Cor{\num}\vvwa Soient\hh$\tdf_n\vv\tdf\ha\in\ha\PM^+\vg\tdf_n\st\tdf\vg\tdf_n$\hh
suite\, \underline{croissante}\pv alors on a\quad\fbox{\,$\SZ\,(\tdf_n)\one\SZ\,(\tdf)$\,}\vb

\Dem La suite\, $\SZ\,(\tdf_n)$\, est croissante\vg donc\; $\nn\,\hh\SZ\,(\tdf_n)
\le\SZ\,(\tdf)$\vg\vvwa donc\,\hh$\Sup{n}\,\ \SZ\,(\tdf_n)\le\,\SZ\,(\tdf)$\pv
par ailleurs\hh$\SZ\,(\tdf)\le\,\Suplim{n}\:\ \SZ\,(\tdf_n)\ha=\:\Sup{n}\,\ \SZ\,(\tdf_n)$\vc

\Lem{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\big(\LL^2\ha\big)^+$\hh on a\quad
$(\tdf\wa\tdg)^2\le\hb\tdf\,\tdg\hb=\hb(\tdf\ve\tdg)\,(\tdf\wa\tdg)$\vab

\Dem Vrai dans\, $\EE\ha^+$,\, donc vrai dans\, $\big(\LL^2\ha\big)^+$\vbc

\Lem{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\ha\BB\ha^+$\hh on a\quad$\SZ\,\big(\ha\tdf\,\tdg\ha\big)
=\hb\SZ\,(\tdf)\ \SZ\,(\tdg)$\vab

\Dem Soit\, $M\in\R\vv\, M>0$\hb\hh tel que\hh$\tdf\ve\tdg\le\ha M$\pv alors on a\hh$\nn$\vvwa
$\un\wa\big[\hb n\,\big(\tdf\wa\tdg\big)^2\hb\big]\le\,\un\wa\big[\hb n\,\big(\tdf\,\tdg\big)\hb\big]
\le\hb\un\wa\big[\hb n\,M\,\big(\tdf\wa\tdg\big)\hb\big]$\pv\vva donc quand\: $n\to\pin$\hh
on obtient\hh$\SZ\hb\big[\hb\big(\tdf\wa\tdg\big)^2\hb\big]\le\hb\SZ\,\big(\ha\tdf\,\tdg\ha\big)
\le\hb\SZ\,\big(\tdf\wa\tdg\big)$\pv\vva or on a\,\hh$\SZ\hb\big[\hb\big(\tdf\wa\tdg\big)^2\hb\big]
=\,\SZ\,\big(\tdf\wa\tdg\big)=\hb\SZ\,(\tdf)\ \SZ\,(\tdg)$\vg donc\,\hh
$\SZ\,\big(\ha\tdf\,\tdg\ha\big)=\hb\SZ\,(\tdf)\ \SZ\,(\tdg)$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\LL^2$\,\hh on a\quad
\fbox{\,$\SZ\,\big(\hw\tdf\,\tdg\hw\big)\ha=\hb\SZ\,(\tdf)\ \SZ\,(\tdg)$\,}\vb

\Dem Supposons d'abord\hh$\tdf,\,\tdg\in\big(\LL^2\ha\big)^+$\pv posons\,\hh$\nn\,\hh
\tdf_n\ha=\ha n\wa\tdf\in\hb\BB^+$\vvwa et\,\hh$\tdg\ha_n=n\wa\tdg\in\hb\BB^+$\pv
on a\,\hh$\nn\,\hh\SZ\,\big(\ha\tdf_n\:\tdg\ha_n\big)\ha=\hb\SZ\,(\ha\tdf_n)\ \SZ\,(\ha\tdg\ha_n)$\pv
or on sait que\vvwa$\tdf_n\two\tdf$\vg $\tdg\ha_n\two\tdg$\hh et donc\,\hh
$\tdf_n\:\tdg\ha_n\one\tdf\,\tdg$\pv de plus ces trois suites sont croissantes\vg\vvwa
donc\hb\hh$\SZ\,\big(\tdf\,\tdg\big)=\ha\SZ\,(\tdf)\ \SZ\,(\tdg)$\vwa
Soient alors\; $\tdf\vv\tdg\in\LL^2$\pv on a\,\hh$\SZ\,\big(\ha\tdf\,\tdg\ha\big)\ha
=\,\SZ\,\big(\ha\big|\ha\tdf\,\tdg\hb\big|\ha\big)\ha=\,\SZ\,\big(\hw\vtdf\hw\big)\;\SZ\,
\big(\hw\vtdg\hw\big)\ha=\,\SZ\,(\tdf)\,\SZ\,(\tdg)$\vbc

\Cor{\num}$\all\tdf\in\big(\LL^1\big)^+$\hh on a\,\hh\fbox{\:$\SZ\,\Big(\!\rac{\tdf}\,\Big)=\,\SZ\,(\tdf)$\,}\vb

\Dem$\rac{\tdf}\in\big(\LL^2\,\big)^+$\vg donc\,\hh$\SZ\,(\tdf)=\,\SZ\hb
\Big[\ha\Big(\!\rac{\tdf}\,\Big)^2\,\Big]=\Big[\,\SZ\,\Big(\!\rac{\tdf}\,\Big)\Big]^2
\hs{-1mm}=\,\SZ\,\Big(\!\rac{\tdf}\,\Big)$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf\in\ha\BB\quad\all\tdg\in\LL^1$\,\hh on a\quad
\fbox{\,$\SZ\,(\ha\tdf\,\tdg\ha)\ha=\,\SZ\,(\tdf)\ \SZ\,(\tdg)$\,}\ha\va

\Dem analogue \ac\ la pr\e c\e dente\vb

\Th{\num}$\all\tdf\in\LL^1$\hh on a\,\hh$\SZ\,(\tdf)=\ha\Inf{}\ \ens{\,\sig\in\KK\;\big\|\;\sig\hw\tdf=\tdf\,}$\va

\Dem Posons\hh$\tdh=\ha\Inf{}\ \ens{\,\sig\in\KK\;\big\|\;\sig\tdf=\tdf\,}$\pv on a\hb\hh$\SZ\,(\tdf)\,\tdf
=\tdf$\vg donc\hh$\SZ\,(\tdf)\ge\tdh$\pv\vvw par ailleurs soit\; $\sig\in\KK$\; tel que\hh$\sig\tdf=\tdf$\pv
on a\hh$\SZ\,(\tdf)=\hb\SZ\,(\sig\hw\tdf)=\hb\SZ\,(\sig)\,\SZ\,(\tdf)$\vvw$=\hb\sig\;\SZ\,(\tdf)\le\hb\sig$\pv
donc\hh\hb$\SZ\,(\tdf)\le\hb\tdh$\vbc

\Th{\num}$\all f\in\RR\,\hh\all\tdg\in\ha\PM$\quad on a\quad
\fbox{\,$\SZ\,(\hw\tdf\,\tdg\hw)\ha=\hb\SZ\,(\tdf)\ \SZ\,(\tdg)$\,}\vb

Pour d\e montrer le \theo\ha\ on utilise les lemme suivants\ :\vvab

\underline{\emph{Lemme\hb\ 1}}\dd$\all\sig\in\EK\quad\all\tdg\in\ha\PM^+$\,\hh on a\quad
$\un\wa(\ha\sig\,\tdg\ha)\ha=\,\sig\wa\tdg$\vab

\Dem\vva
On a\,\hh$\un\wa(\ha\sig\,\tdg\ha)=\hb(\sig+\un\!-\sig)\wa(\ha\sig\,\tdg\ha)
=\hb\sig\wa(\ha\sig\,\tdg\ha)+(\un\!-\sig)\wa(\ha\sig\,\tdg\ha)
=\hb\sig\wa(\ha\sig\,\tdg\ha)$\pv\vvw de m\^eme\quad$\sig\wa\hb\tdg\ha
=\hb\sig\wa[\hb(\sig+\un\!-\sig)\,\tdg\,]=\hb\sig\wa(\ha\sig\,\tdg\ha)
+\sig\wa[\hb(\un\!-\sig)\,\tdg\,]=\hb\sig\wa(\ha\sig\,\tdg\ha)$\vb

\underline{\emph{Lemme\;\ 2}}\dd$\all\sig\in\EK\quad\all\tdg\in\ha\PM^+$\,\hh on a\quad
$\SZ\,(\hw\sig\,\tdg\hw)\ha=\hb\SZ\,(\sig)\ \SZ\,(\tdg)$\vab

\Dem$\SZ\,(\hw\sig\,\tdg\hw)=\hb\SZ\,\big[\un\wa(\ha\sig\,\tdg\ha)\ha\big]
=\hb\SZ\,(\sig\wa\tdg\ha)=\hb\SZ\,(\sig)\ \SZ\,(\tdg)$\vb

\underline{\emph{Lemme\;\ 3*}}\dd$\all f\in\ha\EE^+\,\hh\all\tdg\in\ha\PM^+$\,\hh
on a\quad$\SZ\,(\hw f\,\tdg\hw)\ha=\hb\SZ\,(f)\ \SZ\,(\tdg)$\vb

\underline{\emph{Lemme\;\ 4*}}\dd$\all f\in\RR^+\,\hh\all\tdg\in\ha\PM^+$\,\hh
on a\quad$\SZ\,(\hw f\,\tdg\hw)\ha=\hb\SZ\,(f)\ \SZ\,(\tdg)$\vcd

\Th{\num}\underline{Inverse d'une fonctionnelle sommable}\vvaab Soient\: $\tdf\in\LL^1$\, et\hh $c>0$\hh
tels que\hh$\vtdf\ge\ha c$\pv\ha alors il existe un unique\;
$\tdg\in\ha\BB$\; tel que\vva$\tdf\,\tdg\ha=1$\,;\; on note\,\hh\fbox{\,$\tdg\ha
=\hb\Inv{\tdf}$\,}\hb\pt\ha On a de plus\quad$\Big|\ha\Inv{\tdf}\hb\Big|\ha
=\ha\inv{\vtdf}\le\ha\inv{c}$\,\hh et\,\hh$\SZ\,\Big(\Inv{\tdf}\Big)=\ha1$\ha.\vvbc
\newpage
\Dem Montrons d'abord l'unicit\e\pv soient\hh$\tdg\ha_1\vv\tdg\ha_2\in\ha\BB$\hh
tels que\hh$\tdf\,\tdg\ha_1=\tdf\,\tdg\ha_2\ha=\ha1$\pv\vvwa on en d\e duit\hh$\tdf\,
(\tdg\ha_1-\tdg\ha_2)=\ha0$\vg donc\,\hh$\SZ\,(\tdf)\;\SZ\,(\tdg\ha_1-\tdg\ha_2)
=\hb\SZ\,(\tdg\ha_1-\tdg\ha_2)=\ha0$\vg donc\hh$\tdg\ha_1=\ha\tdg\ha_2$\va

Montrons maintenant l'existence\pt Soit une suite\hh$f_n\in\ha\EE$\hh telle que\ha\hh$f_n\one\tdf$\,\hh
et telle que\vva$\nn\,\hh|f_n|\ge\ha c$\pv on a\,\hh$\nn\,\hh\Big|\Inv{f_n}\Big|\le1$\,\hh et\,\hh
$\all m\vv n\in\N\,\hh\Bnone{\ha\Inv{f_m}-\inv{f_n}\ha}\!=\hb\Bnone{\ha\frac{f_m-f_n}{f_m\,f_n}\ha}$\vvw
$\le\ha\Inv{c\ha^2}\ \none{\ha f_m-f_n\ha}$\pv on en d\e duit que\, $\Inv{f_n}$\, est une suite
de Cauchy dans\, $\LL^1$,\, donc\vvww convergente vers un \e l\e ment\, $\tdg\in\LL^1$\ha;\:
on a clairement\hh$\vtdg\le\ha\Inv{c}$\vg donc\hh$\tdg\in\ha\BB$\pv\vvw de plus on a bien\,\hh$\tdf\,\tdg\hb
=\,\limone{n}\hb\ \tdf_n\hb\Inv{f_n}\hb=\ha1$\vw Par ailleurs\,\hh
$\vtdf\,\vtdg\ha=\ha\big|\ha\tdf\,\tdg\ha\big|\ha=\ha1$\vg donc par unicit\e\,\hh
$\Inv{\vtdf}\hb=\ha\vtdg\ha=\hb\Big|\ha\inv{\tdf}\hb\Big|$\ha\pv enfin on a\\
$1=\,\SZ\,(\hw\tdf\hb\tdg\hw)=\,\SZ\,(\tdf)\;\SZ\,(\tdg)=\,\SZ\,(\tdg)$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\initNum

\centerline{\textbf{CHAPITRE\, VII}}\vva
\centerline{\textbf{THEOREME DE RADON-NIKODYM}}\vvw
\centerline{\textbf{COMPLEMENTS}}\vvcd

\oui Le \theo\ de\ha\ \emph{Radon-Nikodym}\ha\ affirme que l'espace des pseudo\ha-mesures de\ha\ support nul
est un suppl\e mentaire de\, $\LL^1$\, dans\, $\PM$\vc

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{\Theo\ha\ de Radon-Nikodym}}\vvc

\Def{\num}On pose\,\hh$\all\tdf\in\ha\PM^+$\,\hh\fbox{\;$\tdf^{\hb\bul}
=\,\Sup{n\,\in\,\N}\ (\ha n\wa\ha\tdf\ha)$\,}\vb

$\tdf^{\ha\bul}$\, est bien d\e fini par le \theo\ha\ de convergence monotone car\hh$n\wa\ha\tdf$\hh est une
suite croissante et domin\e e  par\, $\tdf$\, dans\hh
$\PM^+$\pv de plus\,\hh$\nn\,\hh\tdf\ha_n\le\ha n\ha\in\ha\LL^1_+$\vg donc\,\hh
$\nn\,\hh\tdf\ha_n\in\big(\LL^1\big)^+$\,,\hh donc\hh$\tdf^{\ha\bul}\in\big(\LL^1\big)^+$\vbc

\Def{\num}On pose\,\hh$\all\tdf\in\ha\PM$\quad\fbox{\,$\tdf^{\ha\bul}
=\hb(\tdf^+)^{\ha\bul}-(\tdf^-)^{\ha\bul}$\,}\ha\ $\in\LL^1$.\vvab
$\tdf^{\ha\bul}$\hh se nomme la\, \underline{partie fonctionnelle}\, de\, $\tdf$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf\in\PM$\quad on a\quad$\big|\ha\tdf^{\ha\bul}\big|=\vtdf^{\ha\bul}\le\vtdf$\va

\Dem\vva
On a\,\hh$\nn\,\hh\vtdf\ge\hb n\wa\vtdf=\hb n\wa\tdf^+\!+\hb n\wa\tdf^-$\pv
donc\,\hh$\vtdf\ge\ha\vtdf^{\ha\bul}=(\tdf^+)^{\ha\bul}+(\tdf^-)^{\ha\bul}$\pv\vvw
or\,\hh$(\tdf^+)^{\ha\bul}\wa(\tdf^-)^{\ha\bul}\le\hb\tdf^+\wa\tdf^-\!=\hb0$\vg
donc\,\hh$(\tdf^+)^{\ha\bul}\wa(\tdf^-)^{\ha\bul}=\hb0$\vg
donc\hh$\vtdf^{\ha\bul}=\ha\big|\ha\tdf^{\ha\bul}\big|$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf\in\LL^1$\,\hh on a\hh\,$\tdf^{\ha\bul}=\hb\tdf$\va

\Dem$(\tdf^+)^{\ha\bul}=\tdf^+$\hh et\,\hh$(\tdf^-)^{\ha\bul}=\tdf^-$\hh
\vg donc\hh$\tdf^{\ha\bul}=(\tdf^+)^{\ha\bul}-(\tdf^-)^{\ha\bul}=\tdf$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf\in\PM$\quad on a\quad$\SZ\,(\tdf^{\ha\bul})\ha=\,\SZ\,(\tdf)$\va

\Dem Soit d'abord\, $\tdf\in\PM^+$\pv on a\hh$\tdf^{\ha\bul}\le\tdf$\vg donc\hh
$\SZ\,(\tdf^{\ha\bul})\le\ha\SZ\,(\tdf)$\pv\vvwa par ailleurs\hh
$\tdf^{\ha\bul}\ge1\wa\tdf$\vg donc\hh$\SZ\,(\tdf^{\ha\bul})\ge\,\SZ\,(1\wa\tdf)\ha=\hb\SZ\,(\tdf)$\vwa
Soit alors\, $\tdf\in\PM$\pv on a\,\hh$\SZ\,(\tdf^{\ha\bul})
=\hb\SZ\,\big[\ha(\tdf^+)^{\ha\bul}-(\tdf^-)^{\ha\bul}\ha\big]
=\hb\SZ\,\big[\ha(\tdf^+)^{\ha\bul}+(\tdf^-)^{\ha\bul}\ha\big]$\vvwa
$=\,\SZ\,\big[\ha(\tdf^+)^{\ha\bul}\ha\big]+\hb\SZ\,\big[\ha(\tdf^-)^{\ha\bul}\ha\big]
=\,\SZ\,(\tdf^+)+\hb\SZ\,(\tdf^-)\ha=\hb\SZ\,(\tdf)$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf\in\PM^+$\ha\hh on a\quad
$\tdf^{\ha\bul}=\ \Sup{}\ \ens{\,\tdg\in\big(\LL^1\big)^+\:\big\|\ \tdg\le\tdf\,}$\va

\newpage
\Dem\vva
On a\hh$\tdf^{\ha\bul}\in\big(\LL^1\big)^+$\hh et\hh$\tdf^{\ha\bul}\le\tdf$\vg donc\hh
$\tdf^{\ha\bul}\le\,\Sup{}\ \ens{\,\tdg\in\big(\LL^1\big)^+\:\big\|\ \tdg\le\tdf\,}$\pv
par ailleurs soit\, $\tdg\in\LL^1_+$\, tel que\hh$\tdg\le\tdf$\pv alors\hh
$\nn\,\hh n\wa\tdg\le\ha n\wa\tdf$\pv on trouve donc\hh$\tdg=\ha\tdg^{\ha\bul}\le\ha\tdf^{\ha\bul}$\pv
donc\,\hh$\Sup{}\;\ens{\,\tdg\in\big(\LL^1\big)^+\,\big\|\;\tdg\le\tdf\,}\le\hb\tdf^{\ha\bul}$.\vvb

\Th{\num}$\all\tdf\in\PM$\quad on a\quad$\SZ\,(\tdf-\tdf^{\ha\bul})\ha=\ha0$\va

\Dem\vva
Soit d'abord\, $\tdf\in\PM^+$\pv posons\hh$\tdh=\tdf-\tdf^{\ha\bul}\in\PM^+$\hh et
supposons\hh$\SZ\,(\tdh)\ne0$\pv on a\vvw donc aussi\,\hh$\SZ\,(\un\wa\hb\tdh)
=\SZ\,(\tdh)\ne0$\vg donc\hh$\un\wa\hb\tdh\ha\ne\ha0$\pv
par ailleurs\hh$\tdf^{\ha\bul}+\un\wa\hb\tdh\in\LL^1_+$\vvw et\hh
$\tdf^{\ha\bul}+\,\un\wa\hb\tdh\,\le\ha\tdf^{\ha\bul}+\,\tdh\ha=\ha\tdf$\vg donc\hb\hh
$\tdf^{\ha\bul}+\,\un\wa\hb\tdh\,\le\hb\tdf^{\ha\bul}$\pv contradiction\vw
Soit alors\, $\tdf\in\PM^+$\pv on a\,\hh$\SZ\,(\tdf-\tdf^{\ha\bul})\ha
=\,\SZ\,\big[\hb\tdf^+\!-(\tdf^+)^{\ha\bul}-\tdf^-\!+(\tdf^-)^{\ha\bul}\ha\big]$\vvw
$=\,\SZ\,\big[\hb\tdf^+\!-(\tdf^+)^{\ha\bul}\ha\big]+\,\SZ\,\big[\hb\tdf^-\!
-(\tdf^-)^{\ha\bul}\ha\big]=\ha0$\vbc

\Def{\num}\vvwa$\tdf\in\PM$\hh est\, \underline{totalement singuli\ee re}\; ssi\hh
$\SZ\,(\tdf)=\ha0$\ha\vg\cad\hh ssi\hh$\un\wa\vtdf=\ha0\ha.$\vvab
On note\quad$\PN=\ens{\,\tdf\in\PM\ \big\|\:\tdf$ totalement singuli\ee re\hb}\vbc

\Th{\num*}$\PN$\, est un\hh sous-espace coh\e rent\vg \fbox{int\e gral}\, et\, \underline{ferm\e}\, de\,
$\PM$\pv\vvw$\PN$ est donc un espace de Riesz-Banach\vb

\Th{\num*}$\PN$\, est un module de Riesz sur\, $\RR$\vb

\Th{\num}$\all\tdf\in\PM$\,\hh on a\,\hh$\Big[\;\tdf\in\PN\ \sam\ \tdf^{\ha\bul}=\,0\:\Big]$\vab

\Dem\vva
a)\hh$\imp$\dd$\all n\in\N$\,\hh on a\,\hh$n\wa\tdf^+\le\hb n\wa\big(\ha n\hb\tdf^+\big)
\le\hb n\wa\big(\ha n\hb\vtdf\ha\big)=\ha n\,\big(\ha\un\wa\vtdf\ha\big)=\ha0$\pv\vvwa donc\hh
$(\tdf^+)^{\ha\bul}=\,0$\pv de m\^eme\hh$(\tdf^-)^{\ha\bul}=\,0$\pv donc\hh$\tdf^{\ha\bul}=\,0$\va
b)\hh$\pmi$\dd$\un\wa\vtdf=\un\wa\big(\ha\tdf^++\tdf^-\big)\le\hb\un\wa\tdf^++\un\wa\tdf^-
\le\hb(\tdf^+)^{\ha\bul}+(\tdf^-)^{\ha\bul}=\,0$\vb

\Th{\num}$\all\tdg\in\big(\LL^1\big)^+\,\hh\all\tdh\in\PN^+$\hh on a\,\hh$\tdg\wa\tdh\ha=\ha0$\vab

\Dem On a\,\hh$\tdg\wa\tdh\in\big(\LL^1\big)^+$\,\hh et\,\hh$\tdg\wa\tdh\le\tdh$\vg
donc\,\hh$\tdg\wa\tdh\le\tdh^{\ha\bul}=\hb0$\vg donc\,\hh$\tdg\wa\tdh\ha=\ha0$\vb

\Th{\num}$\LL^1\cap\,\PN=\ans{0}$\vab

\Dem Si\hh$\tdf\in\LL^1$\hh et\hh$\SZ\,(\tdf)=\ha0$\hb\hh on a\hh$\tdf=\,0$\vbc

\num\ \underline{\Theo\ha\ de Radon-Nikodym}\dd\fbox{\,$\PM=\ha\LL^1\bop\hb\PN\ph{\breve{t}}$\hs{-1mm}}\ha\va

\Dem\vvwa On a\,\hh$\LL^1\cap\,\PN=\ans{0}$\pv de plus si\, $\tdf\in\PM$\vg alors\,\hh
$\tdf=\tdf^{\ha\bul}+\tdf-\tdf^{\ha\bul}\in\hb\LL^1\bop\hb\PN$.\vvc

\Not On pose\quad\fbox{\;$\NN=\ha\MM\cap\ha\PN\ph{\low{\breve{t}}}$\hs{-1mm}\hb}\quad et\quad
\fbox{\;$\ND\ha=\ha\NN\cap\ha\MD\ph{\low{\breve{t}}}$\hs{-1.5mm}\hb}\ha\vab
$\NN$\, et\: $\ND$\: sont les espaces des mesures et des mesures diffuses\, \underline{totalement
singuli\ee res}\vbc

\Th{\num*}\vvwa$\NN$\, et\: $\ND$\: sont des\ha\ sous-espaces coh\e rents\vg \fbox{int\e graux}\,
et\, \underline{ferm\e s}\, de\, $\PM$\vww
$\NN$\, et\: $\ND$\: sont des espaces de Riesz-Banach\vww
$\NN$\, et\: $\ND$\: sont des modules de Riesz sur\, $\WW$\vbc

\num*\ \underline{\Theo\ha\ de Radon-Nikodym}\dd
\fbox{\,$\MM=\ha\LL^1\bop\hb\NN\ph{\breve{t}}\hs{-.75mm}$}\quad
et\quad\fbox{\,$\MD\ha=\ha\LL^1\bop\hb\ND\ph{\breve{t}}$\hs{-1mm}}\ha\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{\Theo s divers}}\vvbc

\oui Nous donnons\vg entre autres r\e sultats\vg des caract\e risations remarquables des\ha\
\emph{fonctionnelles sommables}\ha\ et des pseudo\ha-mesures\ha\ \emph{totalement singuli\ee res}\vc

\Th{\num}Soient\hh$\tdf\in\PM$\hh et\hh$h\in\ha\EE^+$\pv alors on a\,\hh
\fbox{\,$\tdf^+(h)\HO=\!\sup\pos_{\sbs{\ha\ k\:\in\:\EE^+\\[.75mm]k\:\le\:h}}\tdf\ha(k)$\,}\\[-5mm]

\Dem\vvwa
$\tdf^+(h)=\inv{2}\,\big[\,\tdf\ha(h)+\vtdf\ha(h)\hb\big]=\inv{2}\,\big[\,\tdf\ha(h)
+\sup\pos_{\sbs{k\:\in\:\EE\\[.75mm]|\hw k\hw|\,\le\,h}}\tdf\ha(k)\hb\big]
=\sup\pos_{\sbs{k\:\in\:\EE\\[.75mm]|\hw k\hw|\,\le\,h}}\tdf\hb\big[\,\inv{2}\,(h+k)\ha\big]
=\!\sup\pos_{\sbs{\ha\ \el\,\in\:\EE^+\\[.75mm]\el\,\le\,h}}\tdf\ha(\el)$\vbc

\Cor{\num}Soient\hh$\tdf,\,\tdg\in\PM$\hh et\hh$h\in\ha\EE^+$\pv alors on a\vvb
\hs{45mm}$(\tdf\ve\tdg)\,(h)\ =\!\!\sup\pos_{\sbs{\ h\ha_1,\,h\ha_2\,\in\:\EE^+\\[.75mm]
h\ha_1\hw+\hb h\ha_2\,=\,h}}\big[\,\tdf\hw(h\ha_1)+\tdg\hb(h\ha_2)\hb\big]$\vva
\hs{45mm}$(\tdf\wa\tdg)\,(h)\ =\!\!\inf\pos_{\sbs{\\\ h\ha_1,\,h\ha_2\,
\in\:\EE^+\\[.5mm]h\ha_1\hw+\hb h\ha_2\,=\,h}}\big[\,\tdf\hw(h\ha_1)+\tdg\hb(h\ha_2)\hb\big]$\\

\begin{picture}(,)
\put(42.5,5.25){\frm(76,30.5)}
\end{picture}\vs{-.5mm}

\Dem$(\tdf\ve\tdg)\,(h)=\tdf\hw(h)+(\tdg-\tdf)^+(h)
=\tdf\hw(h)+\sup\pos_{\sbs{\ha\ k\:\in\:\EE^+\\[.75mm]k\,\le\,h}}\big[\,\tdg\hb(k)-\tdf\hw(k)\hb\big]$\vvw
$=\sup\pos_{\sbs{\ha\ k\:\in\:\EE^+\\[.75mm]k\,\le\,h}}\big[\hb\tdf\hw(h-k)+\tdg\hb(k)\hb\big]
=\sup\pos_{\sbs{\ h\ha_1,\,h\ha_2\,\in\:\EE^+\\[.75mm]
h\ha_1\hw+\hb h\ha_2\,=\,h}}\big[\,\tdf\hw(h\ha_1)+\tdg\hb(h\ha_2)\hb\big]$\vcd

\Th{\num}$\all\tdf\in\PM$\,\hh on a\quad\fbox{\,$\bnst{\ha\tdf^+\ha}\HO
=\sup\pos_{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\,\tdf\hw(\sig)$\,}\vc

\Dem On a\,\hh$\bnst{\ha\tdf^+}\hb=\:\tdf^+(\un)
=\!\sup\pos_{\sbs{\ha\ h\:\in\:\EE^+\\[.75mm]h\,\le\,1}}\tdf\ha(h)
\ge\sup\pos_{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\,\tdf\ha(\sig)$\pv par ailleurs soit\, $\eps>0$\\
et\hh$h\in\ha\EE^+$\, tel que\hh$h\le1$\hh et\hh$\tdf(h)\ge\tdf^+(\un)-\eps$\ha\pv\ha
on a\hh$h=\sum\pos_{r=1}^n\,\alf\ha_r\,1_{\II\hw_r}$\hh \ou\ les\, $\II\hw_r$\,
sont\vva des intervalles formant une\, \underline{partition}\, de\,\ $\ab$\hh et\hb\
\ou\hh$\all r\in\db{\hb0\hb,\hb n\hb}\hh\alf\ha_r\in[\,0\hb,\hb1\ha]$\pv\vva
posons\hh$\all r\in\db{\hb1\hb,\hb n\hb}\,\hh\gam\hw_r=\ha0$\,\hh si\hh
$\tdf\ha(1_{\II\hw_r})\le0$\hh\,et\hh$\gam\hw_r=1$\hh si\hh$\tdf\ha(1_{\II\hw_r})\ge0$\,;\:
posons de plus\vva$\sig=\sum\pos_{r=1}^n\,\gam\hw_r\,1_{\II\hw_r}$\pv
on a\,\hh$\sig\in\EK$\hw\hh et\hh$\tdf(\sig)\ge\tdf(h)\ge\tdf^+(\un)-\eps$\pv\vva
donc\: $\sup\pos_{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\,\tdf(\sig)\ge\tdf^+(\un)-\eps$\pv comme\, $\eps$\,
est arbitraire on a\hh$\sup\pos_{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\,\tdf(\sig)\ge\tdf^+(\un)$\vc

\Not On note\quad$\EU\ha=\ha\ens{\,h\in\ha\EE\ \big\|\,|\ha h\ha|=1\ha}\hb=\,1-\,2\ \EK$\vc

\Cor{\num}$\all\tdf\in\PM$\,\hh on a\,\quad\fbox{\,$\bnst{\ha\tdf\ha}=\sup\pos_{\sbs{\\h\,\in\;\hw\EU}}
\tdf\ha(\hw h\hw)=\sup\pos_{\sbs{\\h\,\in\;\hw\EU}}\big|\ha\tdf\ha(\hw h\hw)\hw\big|
\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-.75mm}}\ha\vbc

\Dem On a\quad$\vtdf=\tdf+\hb2\:\tdf^-=\tdf+\hb2\;(-\tdf)^+$\vg donc\hh
$\bnst{\ha\tdf\ha}=\vtdf\ha(\un)$\vvwa$=\tdf(\un)+\hb2\;(-\tdf)^+\ha(\un)
=\tdf(\un)+\hb2\sup\pos_{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\,(-\tdf)\hb(\sig)
=\sup\pos_{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\,\tdf\hb(\un-2\:\sig)=\sup\pos_{\sbs{\\h\,\in\;\hw\EU}}\tdf\ha(\hw h\hw)$\vc

\Th{\num}$\all\tdf\in\PM$\,\hh on a\quad\fbox{\,$\tdf^+\hs{-.35mm}
=\ha\Sup{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\HO\sig\ha\tdf$\,}\vab

\Dem\vva
$\all\sig\in\EK$\; on a\,\hh$\sig\ha\tdf=\,\sig\ha\tdf^+-\sig\ha\tdf^-\le\,\sig\ha\tdf^+\le\,\tdf^+$\vg
donc\hh$\Sup{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\ \sig\ha\tdf\le\,\tdf^+$\,;\vvwa par ailleurs soit une suite\,
$\sig_n\in\EK$\, telle que\, $\tdf\ha(\sig_n)\to\bnst{\ha\tdf^+}$\pv alors on a\vva$\bnst{\hb\tdf^+\!
-\ha\sig_n\hb\tdf\hb}\ha=\hb\big(\hb\tdf^+\!-\ha\sig_n\hb\tdf\hb\big)\,(\un)\hb=\hb\tdf^+(\un)
-\sig_n\hb\tdf\ha(\un)\hb=\,\bnst{\tdf^+}-\tdf\ha(\sig_n)\to0$\pv\vva donc\hh
$\sig_n\hb\tdf\st\tdf^+$\pv or on a\hh$\nn\hh\Sup{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\ \sig\ha\tdf
\ge\hb\sig_n\hb\tdf$\vg donc\hh$\Sup{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\ \sig\ha\tdf\ge\hb\tdf^+$\vc

\Cor{\num}$\all\tdf,\,\tdg\in\PM$\,\hh on a\,\quad\fbox{\,$\tdf\ve\tdg\ =\,\Sup{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}
\ \big[\,\sig\ha\tdf+(1-\sig)\,\tdg\hb\big]$\,}\vvab\hs{65mm}et\,\quad\fbox{\,$\tdf\wa\tdg\
=\,\Inf{\sbs{\\[.25mm]\sig\,\in\;\EK}}\ \big[\,\sig\ha\tdf+(1-\sig)\,\tdg\hb\big]$\,}\va

\Dem\vvwa
$\tdf\ve\tdg\ha=\tdf+(\tdg-\tdf)^+=\tdf+\Sup{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\ \sig\,(\tdg-\tdf)
=\Sup{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\ \big(\hb\tdf+\sig\ha\tdg-\sig\ha\tdf\ha\big)
=\Sup{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\ \big[\,\sig\ha\tdf+(1-\sig)\,\tdg\hb\big]$\vvc

\Cor{\num}$\all\tdf\in\PM$\,\hh on a\,\quad\fbox{\,$\vtdf\ha=\Sup{\sbs{\\h\,\in\;\hw\EU}}\ha\HO
h\ha\tdf$\,}\vab

\Dem\vva$\vtdf=\tdf+\ha2\:\tdf^-=\ \tdf+\ha2\:(-\tdf)^+=\ \tdf+\hb2\:\Sup{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}
(-\,\sig\ha\tdf)=\Sup{\sbs{\\\sig\,\in\;\EK}}\ (1-2\:\sig)\ha\tdf=\Sup{\sbs{\\h\,\in\;\hw\EU}}\ha\
h\ha\tdf$\vcd

\Th{\num}\underline{Caract\e risation\ha\lo des\ha\ \e l\e ments\ha\ de\, $\PN$}\vva
Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv alors\, $\tdf\in\PN$\hh ss\ha'\ha il existe une suite\hh$\sign\in\ha\EK$\hh
telle que\\[-2.5mm]
$$\boxed{\:\sign\one0$\quad et\,\hh$\sign\,\tdf\st\tdf\ph{\underline{p}}\hs{-.75mm}}\pt$$

\Dem\vva
a)\hh$\imp$\dd On a\,\hh$0\ha=\ha\un\wa\tdf^+=\Inf{\sig\,\in\;\EK}\ \big[\,\sig+(1-\sig)\,\tdf^+\big]$\pv
il existe donc une suite\vvwa$\sign\in\EK$\, telle que\hh$\sign+(1-\sign)\,\tdf^+\st0$\pv on a donc aussi\hh
$\sign\one0$\hh et\hh$(1-\sign)\,\tdf^+\st0$\vg\vva\cad\,\hh$\sign\one0$\quad et\,\hh
$\sign\,\tdf^+\st\tdf^+$\pv de m\^eme il existe une suite\hh$\taun\in\EK$\hh telle que\hh$\taun\one0$\vvwa
et\,\hh$\taun\hb\tdf^-\st\tdf^-$\pv posons\, $\nn\,\hh\chi\hw_n=\,\sign\ve\taun$\pv on a\,\hh$\chi\hw_n\one0$\pv
de plus\vvwa$\sign\,\tdf^+\le\hb\chi\hw_n\hb\tdf^+\le\ha\tdf^+$\vg donc\,\hh$\chi\hw_n\hb\tdf^+\st\tdf^+$\pv
de m\^eme\,\hh$\chi\hw_n\hb\tdf^-\st\tdf^-$\vg donc\hh$\chi\hw_n\hb\tdf\st\tdf$\vb

b)\hh$\pmi$\dd Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv d'apr\ee s le \theo\ha\ de Radon-Nikodym il existe\hh$\tdg\in\LL^1$\; et\hh
$\tdh\in\PN$\hh tels que\hh$\tdf=\,\tdg\hb+\hb\tdh$\pv soit une suite\hh$\sign\in\EK$\hh telle que\hh
$\sign\one0$\,\hh et\hh$\sign\,\tdf\st\tdf$\pv\vvw on a alors\,\hh$\nn\,\hh\sign\,\tdf
=\,\sign\:\tdg\hb+\hb\sign\:\tdh$\ha\pv quand\hh$n\to\pin$\hh on obtient donc\,\hh$\sign\,\tdh\st\tdf$\pv\vvw
or\hh$\nn\,\hh\sign\,\tdh\in\PN$\vg donc\hh$\tdf\in\PN$\vbc

\Cor{\num}\vvwa Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv alors\, $\tdf\in\PN$\hh ss\ha'\ha il existe une suite\hh$\taun\in\EK$\;
telle que\\[-2.5mm]
$$\boxed{\:\taun\one\un$\quad et\:\hh$\vtdf\,(\ha\taun\ha)\to0\:}\pt$$\vvb

\Dem$\sig_{\hw n}\,\tdf\st\tdf\,\ \sam\,\ (\ha1-\sign\ha)\, \tdf\st0$\vvwa
\hs{40.25mm}$\sam\,\ (\ha1-\sign\ha)\, \vtdf\st0$\vvwa
\hs{40.25mm}$\sam\,\ \big[\,(\ha1-\sign\ha)\,\vtdf\,\big]\,(\un)\to0$\vvwa
\hs{40.25mm}$\sam\,\ \vtdf\,(\ha1-\sign\ha)\to0$\vc

\newpage
\Th{\num}\underline{Caract\e risation des\ha\ \e l\e ments\ha\ de\, $\LL^1$}\vva
Soit $\tdf\in\PM$\pv alors\, $\tdf\in\LL^1$\: ssi pour toute suite\hh$\sign\in\EK$\hh
on a\\[-2.5mm]$$\boxed{\:\sign\one0\,\ \imp\ \sign\,\tdf\st0\:}\pt$$

\Dem\vvwa
a)\hh$\imp$\dd Soit une suite\, $\sig_{\hw n}\in\EK$\, telle que\, $\sign\one0$\pv
soit\, $\eps>0$\hh et\hh$g\in\ha\EE$\hh tel que\vvw $\bnone{\hb\tdf-g\hb}\le\eps$\pv
il existe\, $N\in\N$\; tel que\hh$\all n\ge N\,\hh\none{\,\sign\;g\,}
\le\|\ha g\ha\|\hb\none{\hb\sign\hb}\le\eps$\pv\vvww on a donc\,\hh$\all n\ge N\hh
\bnone{\hb\sign\hb\tdf\hb}\le\none{\,\sign\;g\,}\ha+\ha\big\|\hb\sign\hb(\tdf-g)\hb\big\|_1\le\hb\eps\ha
+\ha\bnone{\hb\tdf-g\,}\le\ha2\;\eps$\pv\vvww donc\hh$\sign\hb\tdf\one0$\vb

b)\hh$\pmi$\dd Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv d'apr\ee s le \theo\ha\ de Radon-Nikodym il existe\hh$\tdg\in\LL^1$\,
et\; $\tdh\in\PN$\; tels que\hh$\tdf=\,\tdg\,+\,\tdh$\ha\pv il existe de plus une suite\hh$\sign\in\EK$\;
telle que\; $\sign\one0$\,\hh et\hh$\sign\,\tdh\st\tdh$\ha\pv on a alors\hh$\nn\,\hh\sign\,\tdf
=\,\sign\,\tdg\hb+\hb\sign\,\tdh$\hb\pv quand\hh$n\to\pin$\hh on obtient donc\ha\hh$0\ha=\hb\tdh$\ha\vg
donc\hh$\tdf=\,\tdg\hb\in\ha\LL^1$\vbc

\Cor{\num}Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv alors\, $\tdf\in\LL^1$\, ssi pour toute suite\hh$\sign\in\EK$\hh
on a\\[-2.5mm]$$\boxed{\:\sign\one0\,\ \imp\ \vtdf\,(\sign)\to0\:}\pt$$\vvb

\Dem$\sig_{\hw n}\,\tdf\st0\,\ \sam\,\ \sign\,\vtdf\st0$\vvwa
\hs{40.25mm}$\sam\,\ \big[\ \sign\,\vtdf\:\big]\,(\un)\to0$\vvwa
\hs{40.25mm}$\sam\,\ \vtdf\,(\sign)\to0$\vc

\Lem{\num}Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv alors les deux conditions suivantes sont \e quivalentes\, :\vvab
\qquad(1)\hh Pour toute suite\; $\sign\in\EK\hh\Big[\:\sign\one0\,\ \imp\ \vtdf\,(\sign)\to0\:\Big]$\vva
\qquad(2)\hh  Pour toute suite\; $\sign\in\EK\hh\Big[\:\sign\one0\,\ \imp\ \tdf\,(\sign)\to0\:\Big]$\vbc

\Dem$(1)\,\imp\,(2)$\hh est \e vident\pv montrons\hh$(2)\,\imp\,(1)$\va

Soit\; $\eps>0$\ha\hh et soit\hh$h\in\ha\EU$\hh tel que\,\hh$\bnst{\ha\tdf\hb}\ha\le\ha\tdf\hb(h)
+\eps$\ha\pv\ha soit une suite\ha\hh$\sign\in\EK$\vvw telle que\ha\hh
$\sign\one0$\pv\ha on a\,\hh$\vtdf\,(\sign)\ha+\ha\vtdf\,(\hw1-\sign\hw)\ha
=\ha\vtdf\hb(\un)\ha=\ha\nst{\ha\tdf\ha}\ha\le\ha\tdf\hb(h)\ha+\ha\eps$\vvwa
$=\ha\tdf\,(\hw h\:\sign\hw)\ha+\ha\tdf\,\big[\hb h\,(\hw1-\sign\hw)\big]\ha+\ha\eps\ha
\le\ha\tdf\hb(\hw h\:\sign\hw)\ha+\ha\vtdf\,(\hw1-\sign\hw)\ha+\ha\eps$\pv\vvwa
donc\,\hh$\vtdf\,(\sign)\ha\le\ha\tdf\,(\hw h\:\sign\hw)\ha+\ha\eps\hb=\ha\tdf\,
(\hw h\ha^+\,\sign\hw)+\tdf\,(\hw h\ha^-\,\sign\hw)\ha+\ha\eps$\pv or\,\hh
$h\ha^+,\,h\ha^-\in\EK$\hb;\vvwa de plus\,\hh$h\ha^+\:\sign\one0$\;\hh et\,\hh
$h\ha^-\,\sign\one0$\ha\vg\ha donc\ha\hh$\tdf\,(\hw h\ha^+\,\sign\hw)\to0$\:\hh et\hh
$\tdf\,(\hw h\ha^-\:\sign\hw)\to0$\pv\vvwa donc\,\hh$\suplim{n}\;\ \vtdf\,(\sign)\ha
\le\ha\eps$\pv donc\,\hh$\vtdf\,(\sign)\to0$\vbc

\newpage
\Cor{\num*}Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv alors\; $\tdf\in\LL^1$\; ssi\ha\ pour toute suite\hh$\sign\in\EK$\hh
on a\\[-2.5mm]$$\boxed{\:\sign\one0\,\ \imp\ \tdf\,(\sign)\to0\:}\pt$$\vvb

\Rem Ce dernier corollaire est \ac\ contraster avec le \Theo\, VI\, 6\hb.\hb13\vg
que nous rappelons ci-dessous\, :\vvb

\underline{\emph{\Theo\hb\ VI\, 6\,.\,13}}\; :\; Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv alors\, $\tdf\in\MM$\;
ssi pour toute suite\hh$\sign\in\EK$\hh on a\\[-2.5mm]
$$\boxed{\:\sign\sm0\,\ \imp\ \tdf\,(\sign)\to0\:}\pt$$\vvbc

\Cor{\num*}Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv alors\; $\tdf\in\LL^1$\: ssi\hh$\all\eps>\hw0$\hh il existe\hh
$\del>\hw0$\hh tel que\vvab\hs{40mm}$\all\sig\in\EK$\quad\fbox{\:$\none{\ha\sig\ha}\le\ha\del\,\ \imp\
\big|\hb\tdf\,(\sig)\ha\big|\le\ha\eps\ph{\big{|}}$}\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Mesures atomiques}}\vvc

\Def{\num}$\all c\in\ab$\quad on note\quad$\del\hw_c\,:\ \EE\to\R\::\;h\,\tto\,h\hb(c)$\vw
$\del\hw_c$\; s'appelle la\: \underline{mesure de Dirac}\: en\, $c$\vbc

\Th{\num*}$\all c\in\ab$\quad on a\quad\fbox{\:$\del\hw_c\in\ha\NN\ph{\breve{t}}$\hs{-.25mm}}\hh
et\,\hh\fbox{\:$\del\hw_c\ha\nin\ND\ph{\breve{t}}$\hs{-1mm}}\vbc

\Def{\num}$\tdf\in\MM$\hh est une mesure\, \underline{atomique}\hh ssi\,\hh
$\tdf\hb=\hs{-1.75mm}\sum\pos_{c\,\in\,\ab}\!\gam\hw_c\ \del\hw_c$\ha\vg\ha
avec\vvww$\all c\in\ab\,\hh\gam\hw_c\in\R$\ha\hh et$\sum\pos_{c\,\in\,\ab}\!|\ha\gam\hw_c\ha|<\pin$\va
L'ensemble\, $\ens{\,c\in\ab\,\|\ \gam\hw_c\,\ne\,0\,}$\, est donc fini ou d\e nombrable\vab

On note\quad$\A=\ens{\,\tdf\in\MM\ \big\|\;\tdf\ \mrom{atomique}\,}$\vb

\Def{\num}On note\, $\HH$\, l'espace vectoriel des fonctions\, $f\in\FF$\, telles que\vvw
$\sum\pos_{a\,\le\,x\,\le\,b}\!|\hw f(x)|<\pin$\pv on munit\, $\HH$\, de la norme\hw\hh
$\nhh{\ha f\ha}\,=\hs{-1mm}\sum\pos_{a\,\le\,x\,\le\,b}|\ha f(x)\hw|$\vbc

\Th{\num*}$\big(\ha\HH\vv|\,\ |\vv\nhh{\ }\hb\big)$\: est un espace de Riesz\ha-Banach\vbc

\Th{\num}$\A$\, est un\hh sous-espace coh\e rent\vg \fbox{int\e gral}\, et\, \underline{ferm\e}\, de $\MM$\va

\Dem\vvwa
\quad a)\, \underline{$\A$\, est coh\e rent}\vvwa
On a\,\hh$\all c\in\ab\hh\,\del\hw_c\wa\del\hw_c=\hb\del\hw_c$\hh\;et\,\hh $\all c\ha_1\vv c\ha_2\in\ab$\,\hh
avec\hb\hh$c\ha_1\ne c\ha_2\hh\,\del\hw_{c\ha_1}\wa\del\hw_{c\ha_2}=\ha0$\vab

\quad b)\, \underline{$\A$\, est ferm\e\ dans\, $\MM$}\vva
Les espaces de Riesz-Banach\, $\A$\, et\, $\HH$\, sont canoniquement isom\e triques\pv or\, $\HH$\, est
complet\vg donc\, $\A$\, est ferm\e\ dans\, $\MM$\vab

\quad c)\, \underline{$\A$\, est int\e gral dans $\MM$}\vva Soit\, $\tdf\in\ha\A\hw^+$\, et\hh$\tdg\ha\in\MM^+$\,
tel que\hh$\tdg\le\tdf$\pv il faut montrer\hh$\tdg\in\A\hw^+$\pv notons\; $\AF$\vvw l'espace
des combinaisons lin\e aires\ha\ \emph{finies}\ha\ des\: $\del\hw_c$\ha\vg avec\; $c\in\ab$\pv
on suppose\vg\vvwwa ce qui est \e vident\vg que le \theo\ha\ est vrai si\; $\tdf\in\big(\hw\AF\big)^+$\va
On peut \e crire\,\hh$\tdf\hb=\hs{-2mm}\sum\pos_{c\:\in\,\ab}\hs{-1mm}\gam\hw_c\
\del\hw_c$\vg avec\hh$\all c\in\ab\,\hh\gam\hw_c\in\R\hw^+$\:\hh
et\,$\sum\pos_{c\,\in\,\ab}\hs{-1mm}\gam\hw_c\ha<\pin$\ha\pv\vvwa
posons\,\hh$\nnn\,\hh\tdf_n\,=\hs{-3mm}\sum\pos_{\sbs{\\[-.1mm]c\:\in\,\ab\\[.75mm]
\gam\hw_c\:\ge\;1\hw/\ha n}}\hs{-2.25mm}\gam\hw_c\ \del\hw_c\hb$\pv\ha on a\,\hh
$\tdf_n\wa(\tdf-\tdf_n)=\ha0\hb$\vg donc\vvwa$\tdg\ha\hw=\,\tdg\wa\tdf_n\hb
+\hb\tdg\wa(\tdf-\tdf_n)$\pv or\,\hh$\tdg\wa\tdf_n\le\tdf_n\in\big(\hw\AF\big)^+$\vg
donc\,\hh$\tdg\wa\tdf_n\in\big(\hw\AF\big)^+$\pv\vvwa par ailleurs\hh$\tdf_n\st\tdf$\hb\vg\hb
donc\,\hh$\tdg\wa\tdf_n\st\tdg\hb$\pv or\, $\A$\, est ferm\e\ dans\, $\MM$\vg donc\hh$\tdg\ha\in\A\hw^+$.\vvc

\Th{\num}\fbox{\,$\MM=\MD\,\bop\ha\A$\,}\quad et\quad\fbox{\,$\NN=\ND\,\bop\ha\A$\,}\vb

\Dem D\e montrons la premi\ee re \e galit\e\vg la seconde s'en d\e duisant simplement\vwa
Soit\, $\tdf\in\MM$\pv on pose\,\hh$\EX^+=\ens{\ha c\in\ab\;\big\|\:\tdf\ha\rbox{-.15mm}
{\big(}\un_{\ans{c}}\rbox{-.15mm}{\big)}>0\ha}$\,,\vvwa
$\EX^-=\ens{\ha c\in\ab\;\big\|\:\tdf\ha\rbox{-.15mm}{\big(}\un_{\ans{c}}\rbox{-.15mm}{\big)}<0\ha}$\,\hh
et\:\hh$\EX\ha=\ha\EX^+\cup\,\EX^-$;\vvaab soit\,\hh$h=\ha\sum\pos_i\ha\un_{\ans{c\hw_i}}\in\hb\EE\ha^+$\vg
\ou\ les\, $c\ha_i$\, constituent une partie finie de\, $\EX^+$\pv\vvwa
on a\quad$0\hw<\ha\tdf\ha(h)=\ha\sum\pos_i\ha\tdf\ha\rbox{-.15mm}{\big(}\un_{\ans{c\hw_i}}\rbox{-.15mm}{\big)}
\le\ha\bnst{\ha\tdf\ha}\:\|\ha h\ha\|=\bnst{\ha\tdf\ha}$\pv\ha donc\, $\sum\pos_{c\,\in\,\EX^+}
\tdf\ha\rbox{-.15mm}{\big(}\un_{\ans{c}}\rbox{-.15mm}{\big)}\ha\le\ha\bnst{\ha\tdf\ha}$\pv\vvw
idem pour\, $\EX^-$\pv donc\ha\hh$\tdg\hb=\sum\pos_{c\,\in\,\EX}
\tdf\ha\rbox{-.15mm}{\big(}\un_{\ans{c}}\rbox{-.15mm}{\big)}\,\del_c\hb\in\ha\A$\ha\pv\ha
de plus il est clair que\hh$\tdf-\tdg\hb\in\ha\MD$\vc

\oui Compte tenu de leur forme\vg les mesures atomiques peuvent a priori s'appliquer \ac\
\emph{n'importe quelle}\ha\ fonction d\e finie sur\, \ab\pv d\ee s lors toute fonction peut \^etre consid\e r\e e
comme ``\,mesurable\," pour les mesures atomiques\pt Qu'en est-il de la sommabilit\e\hh?\vvb

\Def{\num}$g\ha\in\ha\hat{\FF}$\; est sommable pour\ha\hh$\tdf\ha=\hs{-1.75mm}\sum\pos_{c\,\in\,\ab}\!
\gam\hw_c\;\del\hw_c\:\in\ha\A$\,\hh ssi\vvwa\hs{50mm}\fbox{\:$\vtdf\hb\big(\ha|\ha g\ha|\ha\big)=\hs{-1.75mm}
\sum\pos_{c\,\in\,\ab}\!|\hb\gam\hw_c\hb|\:|\hb g\hb(c)\ha|\ha<\pin\ph{\Big|}$}\ha\vc

\Th{\num}$g\ha\in\ha\hat{\FF}$\: est sommable pour\, \underline{toutes}\, les mesures atomiques\hb\ ssi\;
$g$\; est\vvww born\e\vg\ha\cad\: ssi\hh$g\ha\in\ha\FF$\vab

\newpage
\Dem\vvw
a)\hh$\imp$\dd Supposons\, $g\ha\in\ha\hat{\FF}$\, non born\e\pv il existe d\ee s lors une suite\hh
$c\ha_n\in\ab$\hh telle que\vvw$|\hb g\hb(c\ha_n)\ha|\to\pin$\pv on peut supposer\hh$g\ge0$\ha\vg\ha
et aussi\ha\hh$\nn\hh g\hb(c\ha_n)\ge\ha n\ha^2$\vg en prenant\vvw au besoin une sous-suite de\, $c\ha_n$\pv
d\e finissons alors la mesure atomique positive\vvwa$\tdf=\ha\sum\pos_n\ha\Inv{g\hb(c\ha_n)}\
\del\hw_{c\hw_n}$\pv on a bien\hh$\tdf\in\A$\ha\hh car\,\hh$\sum\pos_n\ha\Inv{g\hb(c\ha_n)}\ha
\le\,\tex\sum\pos_{n}\hb\Inv{n\ha^2}\ha<\pin$\pv mais par ailleurs\vvw$\tdf\ha(g)
=\,\sum\pos_n\ha\Inv{g\hb(c\ha_n)}\ g\hb(c\hw_n)\ha=\,\tex\sum\pos_n\,1\ha=\ha\pin$\pv donc\, $g$\,
n'est pas sommable pour\, $\tdf$\vbc

b)\hh$\pmi$\dd Trivial\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\quad\textbf{\Num\underline{Pseudo\ha-mesures atomiques}}\vvc
\Def{\num}$\all c\in\ab$\quad on note\hhh
$\del_{\ha c\hw^+}\,:\ \EE\to\R\::\ h\,\tto\lim\pos_{\sbs{\\\ x\ha\to\ha c^+}}\:h\hb(c)\hhh(c\ne b)$\vva
\hs{71.5mm}et\hhh$\del_{\ha c^-}\,:\ \EE\to\R\::\ h\,\tto\lim\pos_{\sbs{\\\ x\ha\to\ha c^-}}\:
h\hb(c)\hhh(c\ne a)$\vab

$\del_{\ha c\hw^+}$\hh et\hh$\del_{\ha c^-}$\hh sont les\, \underline{pseudo\ha-mesures droite\ha\ et gauche
de Dirac}\: en\, $c$\vc

\Th{\num*}$\all c\in\ab$\quad on a\quad
\fbox{\,$\del_{\ha c\hw^+}\vv\del_{\ha c^-}\in\ha\PN\ph{\breve{t}}$\hs{-.75mm}}\,\hh
et\quad\fbox{\,$\del_{\ha c\hw^+}\vv\del_{\ha c^-}\nin\NN\ph{\breve{t}}$\hs{-1mm}}\vbc

\Def{\num}\vvwa$\tdf\in\PM$\hh est une pseudo\ha-mesure\hh\underline{atomique\ha\ droite}\quad ssi\quad
$\tdf\hb=\hs{-1.75mm}\sum\pos_{c\,\in\,\ab}\gam\hw_c\ \del_{\ha c\hw^+}$\vvwa
\hs{61mm}\underline{atomique\ha\ gauche}\quad ssi\quad
$\tdf\hb=\hs{-1.75mm}\sum\pos_{c\,\in\,\ab}\gam\hw_c\ \del_{\ha c^-}$\vg\vva
avec les m\^emes conditions que pour les mesures atomiques\vb

On note\quad$\A_+=\,\ens{\,\tdf\in\PM\ \big\|\;\tdf$\: atomique\ha\ droite\hb$}$\vva
\hs{11.25mm}et\quad$\A_-=\,\ens{\,\tdf\in\PM\ \big\|\;\tdf$\: atomique\ha\ gauche\hb$}$\ha;\vvb

de plus on pose\,\hh\fbox{\,$\PA\ha=\A\hb\bop\A_+\bop\A_-$\,}\pv\vvb les \e l\e ments de\, $\PA$\, sont
appel\e s les\, \underline{pseudo\ha-mesures atomiques}\vbc

\Th{\num*}\vvw$\A\vv\ha\A_+$\, et\,  $\A_-$\hh  sont des espaces de Riesz\ha-Banach canoniquement isomorphes\vb

\Th{\num*}\vvw$\A_+$\, et\, $\A_-$\, sont des\hh sous-espaces coh\e rents\vg \fbox{int\e graux}\,
et\, \underline{ferm\e s}\, de\, $\PM$\vc

\Th{\num*}\fbox{\,$\PM=\MM\hb\bop\hb\A_+\bop\hb\A_-=\hb\MD\hb\bop\hb\PA$\,}\vvbc
\hs{39.75mm}\fbox{\,$\PN=\ha\NN\hb\bop\hb\A_+\bop\hb\A_-=\,\ND\hb\bop\hb\PA$\,}\,\vbc
Les deux premi\ee res \e galit\e s montrent que les \pms s sont en fait des mesures\vg et m\^eme des mesures
diffuses ``\,\ac\ des \pms s atomiques pr\ee s\,"\vf
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Mesures de Radon sur\,\ \ab}}\vvc

\oui Les\ha\ \emph{mesures de Radon}\ha\ constituent la d\e finition classique\vg bien que malcommode\vg
des mesures\pt Nous montrerons que l'espace des mesures de Radon est effectivement isom\e trique \ac\, $\MM$\vbc

\Def{\num}\textbf{Une\, \underline{mesure de Radon}\, sur\, \ab\, est un \e l\e ment du\ha\ N\hw-\hw dual\ha\
de l'espace norm\e\, $\big(\ha\CC\ha,\hb\|\ \|\ha\big)$}\vab

\underline{Ou encore}\dd \textbf{Une mesure de Radon sur\, \ab\, est une forme lin\e aire\, $\tmu$\,
sur\, $\CC$\vvwa v\e rifiant la propri\e t\e}\, :\: \fbox{\:\textbf{il\ha\ existe\: $\mbof{M>0}$\;
tel\ha\ que\; $\mbof{\all\ha g\in\CC\hh|\hb\tmu\,(g)\ha|\le\ha M\,\|\ha g\ha\|}\ph{\big|\dot{l}}$
\hs{-3.75mm}}}\ha\vab

\oui On note\, $\MR$\, l'espace vectoriel des mesures de Radon\vab

\oui Autrement dit\hh\fbox{\:$\MR$\,\ho est le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace norm\e\,
$\big(\ha\CC\ha,\hb\|\ \|\ha\big)$\ha}\ha\vc

\Th{\num*}$\MR$\, constitue un espace de Banach pour la norme\, $\nst{\ }$\vg
duale de la\vvwa norme\, $\|\ \|$\vg d\e finie par\,\hh\fbox{\,$\nst{\hb\tmu\hb}\
=\hs{-1.5mm}\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]g\,\in\:\CC\ha,\;\|\ha g\ha\|\,=\,1}}\hs{-1.5mm}|\hb\tmu\hb(g)\ha|\
=\hs{-1.5mm}\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]g\,\in\:\CC\ha,\;\|\ha g\ha\|\,=\,1}}\hs{-1.5mm}\tmu\hb(g)\ph{\big|}$\hs{-1mm}}\:.\vvcd

\oui On peut appliquer int\e gralement la th\e orie des\hb\ Chapitres\, I\,--\,IV\, \ac\, $\MR$\, en lieu et
place de\, $\PM$\pv nous mentionnons ci-dessous les \theo s essentiels ainsi obtenus\, (\ha les num\e ros de
ces \theo s sont suivis d'un\, $\odot$\hb)\hb;\, ceux-ci vont nous permettre d'\e tablir l'existence
d'une\, \underline{isom\e trie bijective canonique}\,\ entre\, $\MR$\, et\, $\MM$\vbc

\Th{\num\,$\odot$\,}$\big(\ha\MR\vv|\hh|\vv\nst{\ }\ha\big)$\hh est un espace de Riesz\ha-Banach\vbc

\num\,$\odot$\,\ \underline{\Theo\ha\ de Lebesgue dans\: $\CC$}\vva

Soit une suite\, $f_n\in\hb\CC$\hh telle que\hh$f_n\bb f\in\hb\CC$\pv
alors\,\hh$\all\tmu\in\MR$\ha\hh on a\,\hh$f_n\ \tmu\fin f\ha\tmu$\pv\vvww
en cons\e quence\,\hh$\tmu\,(f_n)\to\tmu\,(f)$\vb

\Def{\num}$f\in\FF$\, est une\, \underline{fonction de Baire}\; ss\ha'\ha il existe une suite\: $f_n\in\hb\CC$\vvw
telle que\; $f_n\bb f$\vab

On note\hh$\BA\hb=\hb\ens{\,f\in\FF\ \big\|\;f$ fonction de Baire\,$}\ha\supset\:\CC$\vbc

\Th{\num\,$\odot$}$\BA$\, est une alg\ee bre de Riesz\ha-Banach pour la convergence uniforme\vbc

\Cor{\num}
\begin{picture}(,)
\put(1,0){$\RR\sub\:\BA\hb\sub\hb\PR$\hb\hh.}
\put(-1,-2.5){\frm(34,7.5)}
\end{picture}\vvb

\Dem Il est facile de voir que\hh$\EE\sub\:\BA$\ha\pv or $\BA$\, est ferm\e\ pour la convergence uniforme\vg
donc\hh$\RR\sub\:\BA$\vbc

\num\,$\odot$\,\ \underline{\Theo\ha\ d'extension}\, :\,
Soit une suite\, $f_n\in\hb\CC$\hh telle que\hh$f_n\bb f\in\hb\BA$\pv alors\,\hh
$\all{\tmu}\in\MR\ha\hh f_n\ \tmu$\hh converge finement dans\, $\MR$\, vers une limite qui ne d\e pend
que de\, $f$\\ (\ha et non de la suite\, $f_n$\ha)\vbc

\Def{\num}$\all f\in\,\BA\hh\all\tmu\in\MR$\hh nous pouvons donc d\e finir\, $f\hb\tmu\in\MR$\, de la\vvwa
mani\ee re suivante\dd\fbox{$\,f\hb\tmu\,$\ho$=\,\Lim{n}\ \big(\ha f_n\;\tmu\ha\big)$\,}\,\hh
\ou\, $f_n$\, est n'importe quelle suite dans\; $\CC$\\ telle que\: $f_n\bb f$\vbc

\Def{\num}Tout\, $\tmu\in\MR$\: s'\e tend canoniquement \ac\ $\BA$\, en posant
$$\boxed{\:\all f\in\,\BA$\,\hh\ho$\tmu\,(f)=\hb(f\ha\tmu)\,(\un)\hb}\pt$$\vvbc

\Th{\num\,$\odot$\,}$\all f\in\,\BA\,\hh\all\tmu\in\MR$\,\hh on a
\begin{picture}(,)
\put(4,0){\,$\tmu\,(f)=\hb\lim\pos_n\,\tmu\,(f_n)$\, \vg\ha\ou\, $f_n$\, est}
\put(2.5,-3.75){\frm(36.25,8.75)}
\end{picture}\vvwa
n'importe quelle suite dans\; $\CC$\, telle que\: $f_n\bb f$\vc

\Th{\num\,$\odot$\,}$\all f\in\,\BA\,\hh\all\tmu\in\MR$\,\hh on a\quad
1)\hh$|\ha f\ha\tmu\hb|\ha=\ha|\ha f\ha|\,|\,\tmu\,|$\vva
\hs{96.5mm}2\ha)\hh$|\,\tmu\,(f)\ha|\le|\,\tmu\,|\,(\ha|f|\ha)\le\nst{\,\tmu\,}\,\|\ha f\ha\|$\vva
\hs{96.5mm}3\ha)\hh$\nst{\ha f\hb\tmu\,}\le\|\ha f\ha\|\,\nst{\,\tmu\,}$\vvc

\Lem{\num}Soit\, F\, un\ha\ \emph{intervalle}\ha\ ferm\e\ de\, \ab\pv alors\,\hh
$\un\ha_\F\in(\ha\CC\ha^+)\hb\dec$\va

\Dem Il suffit de faire un dessin\, !\vvc

\Th{\num}Soit\, F\, un ferm\e\ de\, \ab\pv alors\,\hh\fbox{\,$\un\ha_\F\in(\ha\CC\ha^+)\ha\dec$\ha}\ha\vaab

\Dem M\^eme d\e monstration qu'au \Theo\, III\ha\ 9\vbc

\Th{\num}\fbox{\,$(\ha\CC\ha^+)\ha\dec=\:\SC\,\sub\ \BA\ha^+$\,}\vb

\Dem M\^eme d\e monstration qu'au \Theo\, III\ha\ 10\pv de plus par d\e finition de\;$\BA$\,
on a \e videmment\hh$(\ha\CC\ha^+)\ha\dec\,\sub\ \BA\ha^+$\vbc

\num\,$\odot$\,\ \underline{Lemme d'approximation dans $\BA\ha^+$}\vva
$\all f\in\BA\ha^+\hh\all\tmu\in\MR^{\ha+}\,\hh\all\eps>0$\quad il existe\,\hh$g\ha\in\ha\SC$\,\hh
tel que\,\hh\fbox{\:$g\le f$\,\hh et\ho\hh$\tmu\,(f-g)\le\ha\eps$\:}\vbc

\num\,$\odot$\,\ \underline{\Theo\ha\ de Lebesgue dans\ha\ $\BA$}\vva

Soit une suite\, $f_n\in\hb\BA$\hh telle que\hh$f_n\bb f\in\hb\BA$\pv alors\,\hh$\all\tmu\in\MR$\ha\hh
on a\,\hh$f_n\ \tmu\fin f\ha\tmu$\pv\vvw en cons\e quence\,\hh$\tmu\,(f_n)\to\tmu\,(f)$\vbc

\num\,$\odot$\,\ \underline{\Theo\ha\ d'isomorphisme}\vva
\L'application\,\hh$\phi\ :\ \MR\ha\to\MM\ :\ \tmu\,\tto\,\tmu\,|\,_{\EE}$\,\hh est une isom\e trie
de Riesz\ha-Banach\vww L'application\,\hh$\psi\ :\ \MM\to\MR\ :\ \tmu\tto\tmu\hb|_{\,\CC}$\,\hh
est l'isom\e trie r\e ciproque de\, $\phi$\vww
\underline{\underline{On peut donc identifier\, $\MR$\, avec\, $\MM$}}\vbc

\Dem On a clairement\hh$\tmu\,|\,_{\EE}\ha\in\hw\PM$\pv de plus on montre facilement que\vvw
$\bnst{\,\tmu\,|\,_{\EE}\hb}=\,\nst{\hb\tmu\hb}$\hb\vg donc aussi\,\hh
$\big|\,\tmu\,|\,_{\EE}\ha\big|=\ha|\hb\tmu\ha|$\pt Par ailleurs soit\,
$c\in\ab$\pv\vvw on a\hh$1\hb_{]\,\gam\ha,\;c\,[}\hb\bb\hb0$\hb\hh quand\hh$\gam\to c$\pv
donc\,\hh$\tmu\,\big(\ha1\hb_{]\,\gam\ha,\;c\,[}\ha\big)\to\hb\tmu\,(\ha0\ha)\ha
=\ha0$\pv donc\,\hh$\tmu\,|\,_{\EE}\in\MM$\vf

\hh\textbf{\underline{R\e capitulatif}}\: $\big($\,Seul\, $\FO$\, reste encore \ac\ d\e finir\pv
ce sera l'objet du Chapitre\, XI\hb\big) :\vvcd

\hs{62mm}\rbox{-.25mm}{$\widehat{\WW}$}\hs{35mm}$\FO$\vvk
\hs{62.75mm}$\cup\hs{38.25mm}\cup$\vvww
\hs{10mm}$\EE\;\sub\ \RR\ \sub\ \BB\A\ \sub\ \PR\ \sub\:\WW\ \under{surj.}{\fun}\
\BB\ \sub\ \LL^2\ \sub\ \LL^1\hb\sub\ \MD\ \sub\ \MM\ \sub\ \PM$\vvww
\hs{21.5mm}$\cup\hs{9.25mm}\cup\hs{25mm}\cup\hs{11.75mm}\cup\hs{35mm}
\cup\hs{11.25mm}\cup\hs{11mm}\cup$\vvww
\hs{21.5mm}$\CC\hs{10.25mm}\SC\hs{25.5mm}\mcal{Z}\hs{12.5mm}\KK\hs{34.5mm}\ND
\,\ \sub\:\ \NN\ha\ \sub\hb\ \PN$\vvww
\hs{132.5mm}$\cup\hs{12mm}\cup$\vvk
\hs{131.75mm}$\A\hh\sub\,\ \PA$

\begin{picture}(,)
\put(7,3){\frm(149,55)}
\end{picture}\vvb

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\initNum
\centerline{\textbf{CHAPITRE\, VIII}}\vva
\centerline{\textbf{PRIMITIVES\,, DIFFERENTIELLES\,, DERIVEES}}\vvcd

\oui Nous g\e n\e ralisons le concept de\ha\ \emph{primitive}\ha\ \ac\ toute pseudo\ha-mesure diffuse\pt
Invers\e ment nous d\e finissons la\ha\ \emph{diff\e rentielle}\ha\ de toute fonction continue \ac\ variation
born\e e\pt On peut ainsi \e tendre le domaine de validit\e\ de la plupart des formules classiques du calcul
diff\e rentiel et int\e gral\vc

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctions continues \ac\ variation born\e e}}\vvc

\Def{\num}Une fonction\, $F\in\hb\FF$\, est dite\, \underline{\ac\ variation born\e e}\,
ss'il existe\, $M>0$\vvww tel que pour toute famille finie d'intervalles disjoints\;
$[\hb\alf\ha_k\hb,\hb\beta\ha_k\hb]\ha\sub\ha\ab$\hh on ait\vvb\hs{50mm}
\fbox{ $\sum\pos_k\:|\,F\ha(\beta\ha_k)-F\ha(\alf\ha_k)\hb|\ha\le\ha M\ph{\dot{\big|}}$\hs{-.5mm}}\ha\vb

La valeur minimum de\, $M$\, s'appelle la\, \underline{variation totale}\, de\, $F$\, et se note\hh$V(F)$\vab

On note\; $\CV$\: l'alg\ee bre des fonctions\, $\ab\to\R$\hh \underline{continues}\;
et\: \underline{\ac\hw\ variation born\e e}\vw

Les fonctions\, \underline{lipschitziennes}\, sont dans\, $\CV$\vbc

\Th{\num*}$\all F\in\ha\CV$\hb\hh on a\hb\hh$V\big(\hw|\hw F\hw|\hw\big)\le V(F)$\pv
on en d\e duit que\: \big(\,$\CV$\,,\;$|\:\ |$\,\big)\vvww est une alg\ee bre de Riesz\vb

\Def{\num}Soit\, $\tdf\in\MD$\pv on pose\,\hh
$F_\cir\,:\ \ab\to\R\;:\;x\tto\tdf\,(\ha1\ha_{[\ha a\hb,\hb x\ha]}\hw)$\va
Toute fonction de la forme\hh$F=F_\cir+\hb\cz\hh(\ha\cz\in\R\ha)$\hh s'appelle une\, \underline{primitive}\,
de\, $\tdf$\vb

\Th{\num}$F\in\ha\CV$\,\hh et\,\hh$V(F)=\hw\bnst{\ha\tdf\ha}$\vvab

\Dem$V(F)\ha=\sup\pos_{\sbs{\\h\,\in\;\hw\EU}}\tdf\ha(\hw h\hw)\ha=\hb\bnst{\ha\tdf\ha}$\vbc

\Def{\num}R\e ciproquement\hh$\all F\in\ha\CV$\hh on d\e finit\hh$d\ha F\in\ha\PM$\vg appel\e\,
\underline{diff\e rentielle}\vva de\, $F$\ha,\, de la mani\ee re suivante\, :\,
$\all a\le\hb\alf\le\hb\beta\le\hb b$\hh on pose
\begin{picture}(,)
\put(3,0){$(\hw d\ha F\hw)\,\big(\ha1\ha_{[\:\alf\hb,\:\beta\,]}\ha\big)\ha=\hb F\ha(\beta)-F\ha(\alf)$\;\pv}
\put(1.5,-3){\frm(58.5,8)}
\end{picture}\vvk
\begin{picture}(,)
\put(0,-3){en particulier\,\hh$\all a\le\hb c\le\hb b\;\quad(\hw d\ha F\hw)\,
\big(1\ha_{\ans{\hw c\hw}}\big)=\hb0$\hh.\, On prolonge ensuite par lin\e arit\e\ \ac\ tout\, $\EE$\pt}
\put(52.5,-5.75){\frm(32.25,7.5)}
\end{picture}\vvd

\Th{\num}1)\hh\fbox{\hb$d\ha F\in\MD$\ha}\quad et\,\hh$\nst{\hb d\ha F\hw}=\hb V(F)$\va
\hs{34mm}2\ha)\,\hh$d\ha F=\,0\:\ \sam\,\ F=\hb c\in\R$\vab

\Dem1)\hh$\nst{\hb d\ha F\hw}=\sup\pos_{h\,\in\;\hw\EU}\ (\hw d\ha F\hw)\ha(\hw h\hw)=\ha V(F)$\hs{17.5mm}
2\ha)\hh trivial\vbc

\Cor{\num*}$V$\, est une norme sur\: $\CV/\ha\R$\hh et\, l'op\e rateur lin\e aire\vva

\begin{picture}(,)
\put(3,0){$d\;:\ \CV/\hb\R\ha\to\MD\ :\ F\tto d\ha F$\hhh est une\, \underline{isom\e trie}\pt}
\put(1,-2.5){\frm(60.75,7.5)}
\end{picture}\vvcd

\Th{\num}Soit\, $\tdf\in\MD$\hh et soit\, $F\in\ha\CV$\, une primitive de\, $\tdf$\hb;\: alors on a\,\hh
$d\ha F=\tdf\ha.$\, L'isom\e trie ci-dessus est donc bijective\vab

\Dem On a\quad$\all a\le\hb\alf\le\hb\beta\le\hb b$\quad$(\hw d\hb F\hw)\,
\big(\hw1\ha_{[\hb\alf\hb,\hb\beta\ha]}\ha\big)\ha=\ha F\hb(\beta)-F\hb(\alf)$\vvwa
$=\ha\tdf\,\big(\hw1\ha_{[\hb a\hb,\hb\beta\ha]}\ha\big)-\tdf\,\big(\hw1\ha_{[\hb a\hb,\hb\alf\ha]}\ha\big)
=\tdf\,\big(\hw1\ha_{[\hb a\hb,\hb\beta\ha]}-1\ha_{[\hb a\hb,\hb\alf\ha]}\ha\big)\ha
=\ha\tdf\,\big(\hw1\ha_{[\hb\alf\hb,\hb\beta\ha]}\hb\big)$\pv donc\,\hh$d\ha F=\tdf$\vc

\Th{\num}$F\in\hb\CV$\, est lipschitzienne\, ssi\hh\fbox{\hb$d\ha F\in\,\BB$\,}\va

\Dem\vvwa
a)\hh$\imp$\dd Supposons que\, $\F$\, soit lipschitzienne de constante\, $K\!>0$\pv
soit\, $h\in\ha\EE$\pv\vva on peut \e crire\hh$h=\sum\pos_{r\hb=\hb1}^n\,\alf\ha_r\,1_{\II\hw_r}$\hh
\ou\ les\, $1_{\II\hw_r}$\, sont des intervalles formant une\, \underline{partition}\\
de\,\ $\ab$\hh et\hb\ \ou\hh$\all r\in\db{\hb0\hb,\hb n\hb}\hh\alf\ha_r\in\R$\pv alors on a\,\hh
$\big|\ha(\hw d\ha F\hw)\hb(h)\ha\big|\le\hb\sum\pos_{r\hb=\hb1}^n\:|\ha\alf\ha_r\hw|\,
\big|\ha(\hw\ha d\ha F\hw)\hw(1_{\II\ha_r})\hw\big|$\\
$\le\hb K\hb\sum\pos_{r\hb=\hb1}^n\:|\ha\alf\ha_r\hw|\,|\ha\II\ha_r\hw|\hb
=\,K\dis\Iab|\hb h\hb(t)\ha|\;d\ha t\hb=\,K\:\none{\ha h\ha}$\pv donc\, $|\hb d\ha F\ha|\le K$\vab

b)\hh$\pmi$\dd Soit\hh$K\!>0$\hh tel que\hh$|\hb d\ha F\ha|\le K$\pv alors\hh
$\all\alf\vv\beta\in\ab$\hh on a\vvw
$\big|\hw F\ha(\alf)-F\ha(\beta)\ha\big|=\ha\big|\hb(\hw d\ha F\hw)\,
\big(\ha1\ha_{[\,\alf\hb,\hb\beta\,]}\ha\big)\ha\big|\ha\le\,K\!\dis\Iab
1\ha_{[\,\alf\hb,\hb\beta\,]}\ d\hb t\hb=\hb K\:|\,\beta-\alf\ha|$\vc

\Def{\num}$F\in\ha\CV$\; est\, \underline{absolument continue}\hh ssi\hw\hh
\fbox{\,$d\ha F\in\ha\LL^1$\ha}\pv\vvw on dit alors que\; $d\ha F$\, est la\,
\underline{d\e riv\e e}\, de\, $F$\, et on note\hh\fbox{\hb$d\ha F=\ha F\,'$}\vbc

\Th{\num}$F\in\ha\CV$\; est absolument continue\hb\ ssi\hh$\all\eps>\hw0$\hh il existe\hh$\del>\hw0$\hh tel
que pour toute famille finie d'intervalles disjoints\; $[\hb\alf\ha_k\hb,\hb\beta\ha_k\hb]\ha\sub\ha\ab$\hh
on a\vvb\hs{30mm}\fbox{ $\sum\pos_k\ (\,\beta\ha_k-\alf\ha_k\ha)\ha\le\ha\del\,\HO\imp\
\rbox{-.5mm}{\Big|}\hb\sum\pos_k\ [\hb F\ha(\beta\ha_k)-F\ha(\alf\ha_k)\hb]\,\rbox{-.5mm}{\Big|}\ha\le\ha\eps$\:}\vbc

\Dem C'est une reformulation du\, Corollaire\, VII\, 2\,.\,14\vbc

\Th{\num}$F\in\ha\CV$\; est absolument continue\hb\ ssi\hh$\all\eps>\hw0$\hh il existe\hh$\del>\hw0$\hh
tel que pour toute famille finie d'intervalles disjoints\;$[\hb\alf\ha_k\hb,\hb\beta\ha_k\hb]\ha\sub\ha\ab$\hh
on a\vvb\hs{34mm}\fbox{ $\sum\pos_k\ (\,\beta\ha_k-\alf\ha_k\ha)\ha\le\ha\del\,\HO
\imp\ha\ \sum\pos_k\:|\,F\ha(\beta\ha_k)-F\ha(\alf\ha_k)\hb|\ha\le\ha\eps$\:}\vc

\newpage
\Dem Si nous notons\, (1)\, la condition du\hb\ \Theo\, 1\ha.\hb11\, et\, (\ha2\ha)\,
la condition du\hb\ \Theo\, 1\ha.\hb12\pv il faut montrer\,\hh$(1)\,\sam\,(\ha2\ha)$\va

\quad a)\hh$\pmi$\dd Trivial\va

\quad b)\hh$\imp$\dd Soit\; $\eps>\hw0$\ha\hh et soit\; $\del>\hw0$\hh tel que\vvwa
$\sum\pos_k\ (\,\beta\ha_k-\alf\ha_k\ha)\ha\le\ha\del\ \imp\
\rbox{-.5mm}{\Big|}\hb\sum\pos_k\ [\hb F\ha(\beta\ha_k)-F\ha(\alf\ha_k)\hb]\,\rbox{-.5mm}{\Big|}\ha\le\ha\eps/\hw2$\pv\vvwa
soit une famille finie d'intervalles disjoints\; $[\hb\alf\ha_k\hb,\hb\beta\ha_k\hb]\ha\sub\ha\ab$\; telle que\;
$\sum\pos_k\ (\,\beta\ha_k-\alf\ha_k\ha)\ha\le\ha\del$\,;\vvwa soit\, $P$\, l'ensemble des indices\, $k$\,
tels que\; $F\ha(\beta\ha_k)-F\ha(\alf\ha_k)>\ha0$\vvwa et\, $N$\, l'ensemble des indices\, $k$\,
tels que\; $F\ha(\beta\ha_k)-F\ha(\alf\ha_k)<\hw0$\pv\vvwa bien entendu\hh
$\sum\pos_{k\,\in\,P}\,(\,\beta\ha_k-\alf\ha_k\ha)\ha\le\ha\del$\:\hh et\:
$\sum\pos_{k\,\in\:N}\,(\,\beta\ha_k-\alf\ha_k\ha)\ha\le\ha\del$\pv on a alors\vvwa
$\sum\pos_k\:|\hb F\ha(\beta\ha_k)-F\ha(\alf\ha_k)\hb|\ha
=\ha\rbox{-.5mm}{\Big|}\sum\pos_{k\,\in\,P}\,[\hb F\ha(\beta\ha_k)-F\ha(\alf\ha_k)\hb]\,\rbox{-.5mm}{\Big|}\ha
+\ha\rbox{-.5mm}{\Big|}\sum\pos_{k\,\in\:N}\,[\hb F\ha(\beta\ha_k)-F\ha(\alf\ha_k)\hb]\,\rbox{-.5mm}{\Big|}$\vva
\hs{40mm}$\le\hb\eps/2\hb+\hb\eps/2\hb=\hb\eps$\vd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Sommes de Riemann-Stieltjes}}\vvc

\oui Soit\hh $a\ha=\,a\ha_0<a\ha_1<\ldots<a\ha_p=\hb b$\hh une subdivision\: D\: de\, $\ab$\pv\vvwa on pose\,\hh
$\|\ha\D\ha\|=\max\pos_{\sbs{\\[0.1mm]0\:\le\:r\:\le\;p\hb-1}}(a\ha_{r+1}-a\ha_r)$\ha\pv choisissons\,\hh
$\all r\in\db{\,0\hb,\,p\hs{-.1mm}-\hs{-.3mm}1\hb}\:\hh c\ha_r\in[\,a\ha_r\vv a\ha_{r+1}]$\vc

\Def{\num}Soit\hh$\tdf\in\MD$\hh et soit\, $F$\, une primitive de\, $\tdf$\pv
on d\e finit\\[-2mm]$$\tex{\all h\in\RR\hh\hh\Om_{\,\D}\,(h)\,
=\,\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\ h\,(c\ha_r)\,\tdf\,\big(1\ha_{[\ha a\ha_r\ha,\,a\ha_{r+1}]}\hb\big)\,
=\,\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\ h\,(c\ha_r)\hb\big[\hb F\,(a\ha_{r+1})-F\,(a\ha_r)\ha\big]}\pt$$\vva

Ce sont les\, \underline{sommes de Riemann-Stieltjes}\, de\: $h$\: pour la mesure diffuse\,  $\tdf$\vcd

\Th{\num}$\all h\in\RR$\,\hh on a\quad$|\,\Om_{\,\D}\,(h)\hw|\le\bnst{\ha\tdf\hb}\:\|\ha h\ha\|$\vab

\Dem$|\,\Om_{\,\D}\,(h)\hw|\le\hb\|\ha h\ha\|\,\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{\;p\hb-1}\,
\big|\ha F\ha(a\ha_{r+1})-F\ha(a\ha_r)\ha\big|\le\hb\|\ha h\ha\|\:V(F)=\|\ha h\ha\|\:\bnst{\ha\tdf\hb}$\vc

\Lem{\num*}$\all h\in\ha\EE$\,\hh on a\quad$\Om_{\,\D}\,(h)\to\tdf\ha(h)$\quad quand\quad$\|\ha\D\ha\|\to0$\vc

\Th{\num}$\all h\in\RR$\,\hh on a\quad$\Om_{\,\D}\,(h)\to\tdf\ha(h)$\quad quand\quad$\|\ha\D\ha\|\to0$\vab

\Dem On applique le\, \emph{LFAF}\, aux op\e rateurs lin\e aires\,\hh$\Om_{\,\D}-\tdf\ :\ \RR\to\R$\vd

\newpage
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Formules classiques}}\vvc

\num\ \underline{Int\e gration par parties}\; (``\,g\e n\e ralis\e e\,")\vvb
Soient\hh$\tdf\ha,\,\tdg\ha\in\MD$\hh et soient\, $F$\, et\, $G$\, des primitives de\, $\tdf$\, et\, $\tdg$\pv
alors on a\vvb

\hs{41mm}\fbox{\,$\tdf\hb(G)\ha+\,\tdg\,(F)\,=\,F\ha(b)\;G\hb(b)-F\ha(a)\;G\hb(a)$\hb}\vvbc
\cad\hs{33mm}\fbox{\ $\dis\Iab\!G\;d\ha F\,+\ha\Iab\!F\:d\hb G\,=\,\big[\,F\ha(x)\;G\hb(x)\,\big]_{\,a}^{\,b}$\;}\vvb

\Dem\vva
Soit\hh $a\ha=\,a\ha_0<a\ha_1<\ldots<a\ha_p=\hb b$\hh une subdivision\, D\, de\, $\ab$\pv on pose\,\hh
$\all h\in\RR$\vva$\Phi\ha_\D\,(h)=\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\ h\,(a\ha_r)\hb
\big[\,F\ha(a\ha_{r+1})-F\ha(a\ha_r)\hb\big]$\quad et\quad
$\Psi_\D\,(h)=\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\ h\,(a\ha_{r+1})\hb
\big[\,G\hb(a\ha_{r+1})-G\hb(a\ha_r)\hb\big]$\pv\vva on peut donc \e crire\vvw
$\Phi\ha_\D\,(G)\ha+\,\Psi_\D\,(F)=\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\ G\hb(a\ha_r)\hb
\big[\,F\ha(a\ha_{r+1})-F\ha(a\ha_r)\hb\big]+\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\
F\ha(a\ha_{r+1})\hb\big[\,G\hb(a\ha_{r+1})-G\hb(a\ha_r)\hb\big]$
$=\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\ \big[\,F\ha(a\ha_{r+1})\,G\hb(a\ha_{r+1})-F\ha(a\ha_r)\,
G\hb(a\ha_r)\,\big]=\,F\ha(b)\;G\,(b)-F\ha(a)\;G\hb(a)$\pv\vvwa et de plus\quad
$\Phi\ha_\D\,(G)\ha+\,\Psi_\D\,(F)\to\tdf\ha(G)\ha+\,\tdg\,(F)$\,\hh quand\,\hh$\|\ha\D\ha\|\to0$\vc

\num\ \underline{Diff\e rentielle d'un produit}\vva
$\all F\ha,\,G\in\ha\CV$\,\hh on a\,\hh$F\:G\in\ha\CV$\,\hh et\quad
\fbox{\hb$d\,(F\,G)$\ha\ho$=\hb F\:d\,G\ha+\ha G\;d\ha F$\hb}\vb

\Dem Soit\hh $a\ha=\,a\ha_0<a\ha_1<\ldots<a\ha_p=\hb b$\hh une subdivision de\, $\ab$\pv\vva on a\,\hh
$\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\ \big|\,F\ha(a\ha_{r+1})\,G\hb
(a\ha_{r+1})-F\ha(a\ha_r)\,G\hb(a\ha_r)\,\big|$\vvwa
$=\ha\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\ \big|\,F\ha(a\ha_{r+1})\,G\hb(a\ha_{r+1})
-F\ha(a\ha_{r+1})\,G\hb(a\ha_r)+F\ha(a\ha_{r+1})\,G\hb(a\ha_r)-F\ha(a\ha_r)\,G\hb(a\ha_r)\,\big|$\vvwa
$\le\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\ \big|\ha F\ha(a\ha_{r+1})\ha\big|\hb\big|\,
G\hb(a\ha_{r+1})-G\,(a\ha_r)\hb\big|+\big|\ha G\hb(a\ha_r)\ha\big|\,\big|\hb F\ha
(a\ha_{r+1})\,-F\ha(a\ha_r)\hb\big|$\vvab
$\le\hb\|\ha F\hw\|\:V(G)\hb+\hb\|\ha G\hw\|\:V(F)$\ha\pv
donc\,\hh$V(F\:G)\le\hb\|\ha F\hw\|\:V(G)\hb+\hb\|\ha G\hw\|\:V(F)$\vg donc\hh$F\:G\in\ha\CV$\vab

Par ailleurs\hh$\all a\le\alf\le\beta\le b$\hh le \theo\ha\ d'int\e gration par parties appliqu\e\
\ac\ l'intervalle\vva$[\hb\alf\hb,\ha\beta\hb]$\, nous permet d'\e crire\,\hh
$\Int_\alf^{\ha\beta}\hs{-1.5mm}G\;d\ha F\,+\ha\int_\alf^{\ha\beta}
\hs{-1.5mm}F\:d\,G\,=\,[\,F(x)\:G(x)\,]_{\,\alf}^{\ha\beta}$\vg\vvwa\cad\quad
$\Int_\alf^{\ha\beta}\hs{-1.5mm}G\;d\ha F\,+\ha\int_\alf^{\ha\beta}\hs{-1.5mm}
F\:d\,G\,=\,\int_\alf^{\ha\beta}\hs{-1mm}d\,(F\,G)$\pv on en d\e duit\hh
$\all h\in\RR$\vvwa$\dis\Iab\hs{-1mm}h\;G\;d\ha F\,+\ha\Iab\hs{-1mm}
h\:F\:d\,G\,=\Iab\hs{-1mm}h\;d\,(F\,G)$\vg\cad\,\hh$d\,(F\,G)=F\:d\,G\ha+\ha G\;d\ha F$\vcd

\num\ \underline{Diff\e rentielle d'un inverse}\vva Soit\: $F\in\ha\CV$\; et supposons qu'il existe\:
$A\in\R^+_{\ha\star}$\: tel que\hh$|F|\ge A$\pv alors\hh$\Inv{F}\in\ha\CV$\vvw
et\quad\fbox{\,$\dis d\,(\inv{F})\ha=\ha-\ \inv{F\ha^2}\ d\ha F$\,}\vc

\Dem Soit\hh $a\ha=\,a\ha_0<a\ha_1<\ \ldots\ <a\ha_p=\hb b$\hh une subdivision de\, $\ab$\pv on a\vvaab
$\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\ \big|\,\Inv{F\,(a\ha_{r+1})}
-\inv{F\,(a\ha_r)}\,\big|\hb=\;\tex\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\
\Frac{\big|\,{F\ha(a\ha_{r+1})}-F\ha(a\ha_r)\,\big|}{\big|\hb F\ha(a\ha_r)\,F\,
(a\ha_{r+1})\hb\big|}\,\le\,\Inv{A\ha^2}\;V(F)$\hb\vg donc\hh$\Inv{F}\in\ha\CV$\va

Par ailleurs posons\,\hh$G=\Inv{F}$\hb\pv on a\,\hh$F\:G=1$\vg donc\,\hh
$d\,(F\,G)=\hb F\:d\,G+G\;d\ha F=\hb0$\vg\vvw donc\,\hh
$d\,G=-\,\Frac{G}{F}\ d\ha F=-\ \Inv{F\ha^2}\ d\ha F$\vcd

\num\ \underline{Diff\e rentielle d'une fonction compos\e e}\vvab
Soit\, $F\in\ha\CV$\: et\hb\ soient\,\hh$c=\min\pos_{\sbs{\\[.2mm]x\,\in\,\ab}}F\ha(x)$\,\hh
et\,\hh$d=\max\pos_{\sbs{\\[.2mm]x\,\in\,\ab}}F\ha(x)$\pv
soit\hh $g\ :\ \cd\to\R$\vvwa continuement d\e rivable\pv
alors\,\hh$g\cir F\in\ha\CV$\,\hh et\quad\fbox{\,$d\,(\ha g\cir\hs{-.2mm}F\hw)$\ha\ho
$=\hb(\ha g\hb'\hs{-.5mm}\cir F\ha)\;d\ha F$\hb}\vbc

\Dem Soient\, $\alf\vv\beta\in\ab$\pv il existe\; $e\in\big[\ha F\ha(\alf)\hb,\hb
F\ha(\beta)\ha\big]$\; tel que\vvw$g\,[\ha F\ha(\beta)\ha]-g\,[\ha F\ha(\alf)\hb]
=\hb g\ha'(e)\,[\ha F\ha(\beta)-F\ha(\alf)\hb]$\pv comme\, $F$\, est continue\vg il existe\,
$\gam\in[\hb\alf\hb,\hb\beta\hb]$\vvwa tel que\hh$e=F\ha(\gam)$\pv donc\, $\all\alf\vv\beta\in\ab$\,
il existe\; $\gam\in[\hb\alf\hb,\hb\beta\hb]$\; tel que\vvwa
$g\,[\ha F\ha\beta)\ha]-g\,[\ha F\ha(\alf)\hb]=\hb g\ha'\ha[\ha F\ha(\gam)\ha]\:
[\ha F\ha(\beta)-F\ha(\alf)\ha]$\va
Soit\hh$a\ha=\,a\ha_0<a\ha_1<\ \ldots\ <a\ha_p=\hb b$\hh une subdivision\, D\, de\, $\ab$\pv
$\all r\in\db{\,0\hb,\,p-1\hb}$\vvwa soit\hh$c\ha_r\in[\hb a\ha_r\hb,\hb a\ha_{r+1}\ha]$\hh tel que\,\hh
$g\,[\ha F(a\ha_{r+1})\ha]-g\,[\ha F\ha(a\ha_r)\ha]\ha=\,g\ha'\hb[\ha F\ha(c\ha_r)\ha]\,
\big[\ha F\ha(a\ha_{r+1})-F\ha(a\ha_r)\ha\big]$\hb;\vvwa
on peut donc \e crire\hh$\all h\in\ha\EE$\vva$\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\,h\ha(c\ha_r)\,
\Big(g\,[\ha F\ha(a\ha_{r+1})\ha]-g\,[\ha F\ha(a\ha_r)\hb]\Big)\ha
=\hb\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{p\hb-1}\,h\hb(c\ha_r)\:
g\ha'\hb[\ha F\ha(c\ha_r)\ha]\,\big[\ha F\ha(a\ha_{r+1})-F\ha(a\ha_r)\ha\big]$\pv\vvw
quand\hh$\|\ha\D\ha\|\to0$\hh on obtient\,\hh$\dis\Iab h\hb(t)\;d\hb(\ha g\cir\hs{-.2mm}F\hw)\hb(t)\hb
=\Iab h\,(t)\;(\ha g\ha'\hs{-.5mm}\cir F\hw)\hb(t)\;d\hb F\ha(t)$\vd

\newpage\null\thispagestyle{empty}\newpage
\initNum

\centerline{\textbf{CHAPITRE\, IX}}\vva
\centerline{\textbf{CHANGEMENT DE VARIABLE}}\vvcd

\oui Nous \e tudions le\ha\ \emph{changement de variable}\ha\ pour une fonction r\e gl\e e et un changement
de variable continu\vg puis pour une fonctionnelle sommable et un changement de variable \ac\ d\e riv\e e
r\e gl\e e\vc
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctions r\e gl\e es}}\vvc

\oui Soit\; $\cd$\; (\ha$c<d$\ha)\, un intervalle compact de\, $\R$\: et\ha\ soit\,\hh$\om\;:\;\cd\to\ab$\\
une fonction\hb\ \emph{continue\,,\hb\ monotone\,,\hb\  bijective}\vb

\Th{\num}\vvwa$\all F\in\ha\CV\ha\big(\hw\ab\hw\big)$\,\hh on a\;\hh
\fbox{\,$\Fom\ha\in\ha\CV\ha\big(\hw\cd\hw\big)$\,}\;\hh et\;\hh
\fbox{\,$V\hw(\Fom)\ha=\hb V(F)$\,}\vab

\Dem\vvwa\oui La fonction\; $\Fom$\; est clairement continue\pv montrons qu'elle est \ac\ variation born\e e\vww
Supposons par exemple\, $\om$\, croissante\pv soit\hh$c\ha=\ha c\hb_0<c\ha_1<\ldots<c\ha_p=d$\hh une
subdivision de\, $\cd$\pv on peut \e crire\dd\vvw$\sum\pos_{r\,=\,0}^{p\ha-1}\ \big|\hb(\Fom)\hb(c\ha_{r+1})
-(\Fom)\hb(c\ha_r)\hb\big|\ha=\sum\pos_{r\,=\,0}^{p\ha-1}\ \big|\hb F\hb
[\,\om\,(c\ha_{r+1})\hb]-F\hb[\,\om\,(c\ha_r)\hb]\hb\big|\le\V\hb(F)$\vvw
car\,\hh$\om\,(a\hb_0)<\ha\om\,(a\ha_1)<\ldots<\ha\om\,(a\ha_p)$\,\hh
est une subdivision de\, $\ab$\pv on en d\e duit\vvw$V\hw(\Fom)\ha\le\ha V(F)$\pv
on peut donc aussi \e crire\,\hh$V(F)\ha=\hb V\hw(\Fom\cir\ha\om^{-1})
\le V\hw(\Fom)$\vg\vvw donc\,\hh$V\hw(\Fom)\ha=\hb V(F)$\vb

\Th{\num}\vvwa\oui Soit\, $h\in\RR\big(\hw\ab\hw\big)$\pv alors\hh
$h\cir\om\in\RR\big(\hw\cd\hw\big)$\hh et on a\hh$\all F\in\ha\CV\ha\big(\hw\ab\hw\big)$
$$\boxed{\,\Int_c^{\ha d}\!(\hw h\cir\om)\;d\hb(\Fom)\hb=\,\pm\Iab\hs{-1mm}h\ d\hb F\,}$$\vva

\emph{avec le signe\: $+$\: si\; $\om$\hb\ est croissant et le signe\, $-$\, si\; $\om$\hb\ est d\e croissant}\vb

\Dem Soit\; $\sig_n=\ha(c\hb_{n\:r})$\: une suite de subdivisions de\, $\cd$\,
telle que\: $\|\ha\sig_n\hw\|\to0$\pv\vvwa on a\,\hh$\Int_c^{\ha d}\!(\hw h\cir\om)
\;d\hb(\Fom)\hb=\lim\pos_{n\,\to\pin}\ \tex\sum\pos_{r\,=\,0}^{p\ha_n-1}\ (h\cir\om)
\hb(c\hb_{n\:r})\:\big[\hb(\Fom)\hb(c\hb_{n\:r+1})-(\Fom)\hb(c\hb_{n\:r})\hb\big]$
$=\lim\pos_{n\,\to\pin}\ \sum\pos_{r\,=\,0}^{p\ha_n-1}\:h\:[\,\om\,(c\hb_{n\:r})\hb]\;
\ens{\ha F\hb[\,\om\,(c\hb_{n\:r+1})\hb]-F\hb[\,\om\,(c\hb_{n\:r})\hb]\hb}$\va
Posons\,\hh$\al\;n\vv r\,\hh a\hb_{n\:r}=\hb\om\,(c\hb_{n\:r})$\pv
alors\hh$\tau_n=\ha(a\hb_{n\:r})$\hh est une\hw\ suite\hw\ de\hw\ subdivisions de\, $\ab$\vg
croissantes ou d\e croissantes\ha\ suivant que\; $\om$\: est croissant ou d\e croissant\pv\vvww
de plus\; $\|\ha\tau_n\hw\|\to0$\hh car\; $\om$\: est uniform\e ment continu\pt On peut donc \e crire\vva
$\Int_c^{\ha d}\!(\hw h\cir\om)\;d\hb(\Fom)\hb=\lim\pos_{n\,\to\pin}\
\sum\pos_{r\,=\,0}^{p\ha_n-1}\,h\,(a\hb_{n\:r})\:\big[\ha F\hb(a\hb_{n\:r+1})
-F\hb(a\hb_{n\:r})\hb\big]=\, \pm\Iab\hs{-1mm}h\ d\hb F$\vcd

\underline{Sch\e ma fonctionnel}\dd\hs{2.5mm}
\begin{picture}(,)
\put(3,0){$\cd\hs{14mm}\ab$}
\put(16,1){\vector(1,0){9}}
\put(19.5,2.5){$\om$}
\put(31.25,-4){\vector(0,-1){12.5}\hs{3mm}\vector(0,-1){12.5}}
\put(31,-22.5){$\R$}
\put(25.75,-11.5){$F\hs{7.25mm}h$}
\end{picture}\\[27.5mm]

\Cor{\num}$\all h\in\RR\big(\hw\ab\hw\big)$\,\hh on a\quad\fbox{\,$\Int_c^{\ha d}\!(\hw h\cir\om)\
d\;\om\hb=\,\pm\Iab\hs{-1.5mm}h\ha\ d\hb t$\,}\vb

\Dem On applique le \theo\ pr\e c\e dent avec\hh$F\hb(t)=\ha t$\vbc

\Cor{\num}Supposons\; $\om$\, absolument continu\pv alors\,\hh
$\all h\in\RR\big(\hw\ab\hw\big)$\\[-2mm]$$\boxed{\,\Int_c^{\ha d}\!
(\hw h\cir\om)\ |\hb\om\,'\hw|\:d\,u\hb=\Iab\hs{-1.5mm}h\ha\ d\hb t\,}\pt$$\vvd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctionnelles\ha\ sommables}}\vvb

\oui Soit\; $\cd$\; (\ha avec\, $c<d$\ha)\, un intervalle compact de\, $\R$\: et\ha\ soit\,\hh
$\om\;:\;\cd\to\ab$\\une fonction\hb\ \emph{continue\,,\hb\ monotone\,,\hb\ bijective\,,\hb\ \ac\
d\e riv\e e r\e gl\e e non nulle}\vb

\Def{\num}\vvwa Soit\, $\tdf\in\LL^1\big(\hw\ab\hw\big)$\pv alors on pose\,\hh
$\all k\in\RR\ha\big(\hw\cd\hw\big)$\,\hh\fbox{\,$(\tdf\!\cir\om)\,(k)\ha
=\ha\tdf\hb\Big(\hw\Frac{k\cir\om\hb^{-1}}{|\hb\om\,'|\hs{-.3mm}\cir\hw\om\hb^{-1}}\Big)$\hb}\ha\vb

$\tdf\!\cir\om$\hh est bien d\e fini\ha\ car\hh$\all k\in\RR\ha\big(\hw\cd\hw\big)
\,\hh k\cir\hw\om\hb^{-1}\in\ha\RR\ha\big(\hw\ab\hw\big)$\vg et donc aussi\vvw
$|\hb\om\,'|\hs{-.3mm}\cir\hw\om\hb^{-1}\in\RR\ha\big(\hw\ab\hw\big)$\vc

\underline{Sch\e ma fonctionnel}\dd\hs{2.5mm}
\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\tdf\cir\om\hs{18.5mm}\tdf$}
\put(19.5,-4.5){$\om$}
\put(16,-6){\vector(1,0){9}}
\put(3,-7){$\cd\hs{14mm}\ab$}
\put(6.75,-11.5){\vector(0,-1){12.5}\hs{3mm}\vector(0,-1){12.5}}
\put(0.75,-19){$\om\,'\hs{6mm}k$}
\put(6.25,-30){$\R$}
\end{picture}\vskip20mm

\newpage
\Lem{\num*}$\all\tdf\in\LL^1\big(\hw\ab\hw\big)$\,\hh on a\;\hh
\fbox{\,$\tdf\!\cir\om\hb\in\ha\PM\ha\big(\hw\cd\hw\big)$\ha}\vvb et\;\hh
\fbox{\hb$\nst{\hb\tdf\!\cir\om\hb}\le\hw M\,\none{\ha\tdf\ha}$\ha}\hb\vg avec\,\hh
$M=\Big\|\hb\Inv{|\hb\om\,'|\hs{-.3mm}\cir\hw\om\hb^{-1}}\hb\Big\|$\vc

\Th{\num}Soit\; $\tdf=\ha f\in\RR\ha\big(\hw\ab\hw\big)$\pv alors\; $f\!\cir\om$\; repr\e sente effectivement
la compos\e e des\ha\ fonctions\: $\om$\, et\ha\ $f$\hb;\: en particulier\hh
$f\!\cir\om\ha\in\RR\ha\big(\hw\cd\hw\big)$\vb

\Dem Soit\hh$h\in\RR\ha\big(\hw\ab\hw\big)$\pv en appliquant la d\e finition de\:
$f\cir\om$\hh\ac\vvww$k\ha=\ha(h\cir\om)\hb.\,|\hb \om\,'\hw|\ha\in\RR\ha\big(\hw\cd\hw\big)$\vg on obtient\vvab
\hs{50mm}$\Int_c^{\ha d}(h\cir\om)\,(f\!\cir\om)\,|\hb \om\,'\hw|\;d\,u\,=\Iab\!h\,f\ d\,t$\vb
En comparant cette formule avec la formule classique du changement de variable dans\\
une int\e grale on en d\e duit que\; $f\!\cir\om$\hh est bien la compos\e e de\: $\om$\, et\ha\ $f$\vcd

\Th{\num}\vvwa$\all\tdf\in\LL^1\big(\hw\ab\hw\big)$\hh on a\;\hh
\fbox{\,$\tdf\!\cir\om\hb\in\ha\LL^1\big(\hw\cd\hw\big)$\ha}\;\hh et\;\hh
\fbox{\hb$\bnone{\hb\tdf\!\cir\om\hb}\le M\,\bnone{\ha\tdf\hb}$\ha}\vvb

\Dem Soit une suite\; $f_n\in\RR\ha\big(\hw\ab\hw\big)$\; telle que\hh
$f_n\one\tdf$\ha;\: alors\,\hh$\nn$\vvww$f_n\cir\om\ha\in\RR\ha\big(\hw\cd\hw\big)$\pv
or\,\hh$\nn\,\hh\bnst{\hb f_n\cir\om-\tdf\!\cir\om\hb}=\ha\bnst{\hb(f_n-\tdf)\cir\om\hb}
\le\hw M\:\bnst{\hb f_n-\tdf\hb}$\hb;\vvw
donc\,\hh$f_n\cir\om\ha\st\tdf\cir\om\ha\in\LL^1\big(\hw\cd\hw\big)$\vb

\Th{\num}$\all\tdf\in\LL^1\big(\hw\ab\hw\big)$\hhh\fbox{\,$\Int_c^{\ha d}
(\tdf\!\cir\om)\,|\hb \om\,'\hw|\;d\,u\,=\Iab\hs{-1mm}\tdf\ d\hb t$\,}\ha\vb

\Dem On applique la d\e finition de\; $\tdf\cir\om$\ha\hh\ac\ha\hh
$k\ha=\ha|\hb\om\,'\hw|\ha\in\RR\ha\big(\hw\cd\hw\big)$\vcd

\underline{\tsf{Exemples}}\, :\vvab

1°)\hh\underline{Translation}\pt\hhh$\om\;:\;[\hb a\rr-\rs\lam\vv b\rr-\rs\lam\hb]\to\ab\;:\;x\tto
x+\lam$\vvab alors\ha\hh$\all\ha k\in\ha\LL^1\big(\ha[\hb a\rr-\rs\lam\vv b\rr-\rs\lam\hb]\ha\big)$\hh
on a\hh$\Int_{a\ha-\lam}^{\,b\hb-\lam}\tdf\ha(x+\lam)\:k\hb(x)\;d\,x\,=\Iab\hs{-1mm}
\tdf\ha(x)\:k\hb(x\rs-\rs\lam)\;d\hb x$\ha\vbc

2°)\hh\underline{Homoth\e tie}\pt\hhh$\om\;:\;[\hb a/\lam\vv b/\lam\hb]\to\ab\;:\;x\tto\lam\:x$\vvab
alors\ha\hh$\all\ha k\in\ha\LL^1\big(\ha[\hb a/\lam\vv b/\lam\hb]\ha\big)$\hh on a\hh
$\Int_{a\ha/\hw\lam}^{\,b\ha/\hw\lam}\tdf\ha(\lam\,x)\:k\hb(x)\;d\,x\,
=\,\inv{\lam}\Iab\hs{-1mm}\tdf\ha(x)\:k\hb(x/\lam)\;d\hb x$\ha\vbc

\newpage\null\thispagestyle{empty}

\end{document}
