\documentclass[a4paper]{report}
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\setcounter{page}{1}

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\newcounter{numm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\new}{\newcommand}

\new{\initNum}{\setcounter{Num}{0}}
\new{\initnum}{\setcounter{num}{0}}
\new{\initnm}{\setcounter{nm}{1}}
\new{\initnumm}{\setcounter{numm}{0}}

\new{\Num}{\stepcounter{Num}\S\;\theNum\ha.\,\ }
\new{\num}{\stepcounter{num}\theNum\ha.\hb\thenum\ha.\,}
\new{\nm}{\stepcounter{nm}\thenm\ha)\hh}
\new{\numm}{\stepcounter{numm}\thenumm\ha.\,}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\new{\R}{\mrom{I}\hs{-.6mm}\mrom{R}}

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\new{\II}{\mbof{\mrom{I}}}

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\new{\A}{\mcal{A}}
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\new{\PM}{\mcal{P}\hs{-.5mm}\MM}
\new{\PMS}{\PM\ha_S}
\new{\MD}{\MM\hw_D}
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\new{\rbox}{\raisebox}
\new{\under}{\underset}
\new{\sbs}{\substack}
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\new{\tim}{\times}
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\new{\un}{1\hs{-1.5mm}1}
\new{\ab}{[\hb a\hb,b\hb]}
\new{\nn}{\all n\in\N}
\new{\imp}{\Rightarrow}
\new{\pmi}{\Leftarrow}
\new{\sam}{\Leftrightarrow}
\new{\too}{\longrightarrow}
\new{\down}{\downarrow}
\new{\sub}{\subset}
\new{\tto}{\mapsto}
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\new{\ve}{\vee}
\new{\cir}{\circ}
\new{\el}{\ell}
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\new{\ph}{\phantom}
\new{\Iab}{\int_a^{\ha b}}
\new{\dec}{_\down}
\new{\fun}{\triangleright\hs{-3.25mm}\too\hs{-2.5mm}>}
\new{\Int}{\dis\int}
\new{\Inv}{\dis\inv}
\new{\Frac}{\dis\frac}

\new{\sm}{\stack{\cir}{\to}}
\new{\bb}{\stack{\mrom{b}}{\to}}
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\new{\st}{\stack{\star}{\to}}
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\new{\fin}{\stack{\tim}{\to}}

\new{\inv}[1]{\frac{1}{#1}}
\new{\ans}[1]{\{#1\}}
\new{\ens}[1]{\big\{#1\big\}}
\new{\db}[1]{[\hs{-.2mm}[#1]\hs{-.3mm}]}
\new{\nrm}[1]{\|\ha#1\ha\|}
\new{\nq}[1]{\|\ha#1\ha\|\rbox{-.25mm}{$_\bul$}}
\new{\nnq}[1]{\big\|\ha#1\ha\big\|\rbox{-.5mm}{$_\bul$}}
\new{\nst}[1]{\|#1\|_\star}
\new{\bnst}[1]{\hi{\big\|}#1\hi{\big\|}_{\ha\star}}
\new{\bns}[1]{\big\|#1\big\|\rbox{-.5mm}{$_\star$}}
\new{\none}[1]{\|#1\|_{\hw1}}
\new{\bnone}[1]{\hi{\big\|}#1\hi{\big\|}_1}
\new{\ntwo}[1]{\|#1\|\ha_2}
\new{\snrm}[1]{\|\ha#1\ha\|_{\hw s}}
\new{\hi}[1]{\rbox{.25mm}{#1}}
\new{\hj}[1]{\rbox{.1mm}{#1}}
\new{\limone}[1]{\under{#1}{^1\hw\mrom{lim}}}

\new{\inflim}[1]{\under{#1}{\underline{\mrom{lim}}}}
\new{\suplim}[1]{\under{#1}{\overline{\mrom{lim}}}}

\new{\Inf}[1]{\under{#1}{\mrom{Inf}}}
\new{\Sup}[1]{\under{#1}{\mrom{Sup}}}
\new{\Lim}[1]{\under{#1}{\mrom{Lim}}}
\new{\Inflim}[1]{\under{#1}{\underline{\mrom{Lim}}}}
\new{\Suplim}[1]{\under{#1}{\overline{\mrom{Lim}}}}

\new{\hs}{\hspace}
\new{\hw}{\hs{.1mm}}
\new{\ha}{\hs{.3mm}}
\new{\hb}{\hs{.5mm}}
\new{\hh}{\ \ }
\new{\hhh}{\hh\hh}
\new{\dd}{\hh:\hh}
\new{\oui}{\hs{5mm}}
\new{\rr}{\hs{-.25mm}}
\new{\rs}{\hs{-.5mm}}

\new{\vs}{\vspace}
\new{\vk}{\vskip}

\new{\vvk}{\vk0mm}
\new{\vvx}{\vk.25mm}
\new{\vvww}{\vk.5mm}
\new{\vvw}{\vk1mm}
\new{\vvwwa}{\vk1.375mm}
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\new{\vvwaa}{\vk2.125mm}
\new{\vva}{\vk2.5mm}
\new{\vvaab}{\vk3.125mm}
\new{\vvab}{\vk3.75mm}
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\new{\vvcd}{\vk10mm}
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\new{\vvf}{\vk15mm}

\new{\vpt}{\,.\vk.25mm}

\new{\vww}{\hb.\vvww}
\new{\vw}{\hb.\vvw}
\new{\vwwa}{\hb.\vvwwa}
\new{\vwa}{\hb.\vvwa}
\new{\vwaa}{\hb.\vvwaa}
\new{\va}{\hb.\vva}
\new{\vaab}{\hb.\vvaab}
\new{\vab}{\hb.\vvab}
\new{\vb}{\hb.\vvb}
\new{\vbc}{\hb.\vvbc}
\new{\vc}{\hb.\vvc}
\new{\vcd}{\hb.\vvcd}
\new{\vd}{\hb.\vvd}
\new{\vf}{\hb.\vvf}

\new{\ho}{\ph{\"{l}}}
\new{\HO}{\ph{\hat{\bar{l}}}}
\new{\lo}{\ph{\c i}}

\new{\e}{\'e}
\new{\ea}{\acute{e}}
\new{\ac}{\`a}
\new{\ee}{\`e}
\new{\cc}{\c c}
\new{\ou}{o\`u}
\new{\cad}{c-\`a-d}
\new{\scs}{\tsf{s\ha c\ha s}}

\new{\vv}{\,,\,}
\new{\vvv}{\hb,\hb}
\new{\vg}{\vv\ }
\new{\pt}{\,.\,\ }
\new{\pv}{\,;\:\ }

\new{\theo}{th\e or\ee me}
\new{\Theo}{Th\e or\ee me}
\new{\pms}{\mbox{pseudo\ha-}mesure}

\new{\Def}[1]{#1 \underline{D\e finition}\dd}
\new{\Th}[1]{#1 \underline{\Theo}\dd}
\new{\Cor}[1]{#1 \underline{Corollaire}\dd}
\new{\Lem}[1]{#1 \underline{Lemme}\dd}

\new{\Rem}{\oui\underline{Remarque}\dd}
\new{\Dem}{\oui\underline{D\e m}\dd}

\new{\Not}{\emph{\underline{Notation}}\dd}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\centerline{\fbox{\,\textbf{PREMIERE PARTIE}$\ph{\big|\dot{l}}$\hs{-2mm}}}\vvbc
\centerline{\fbox{ \Large{\textbf{\tsf{Int\e gration sur un intervalle compact de $\R\ph{\big|}$}}}\!}}\vs{12.5mm}

\initNum
\centerline{\textbf{CHAPITRE\, I}}\vva
\centerline{\textbf{PSEUDO\hw-MESURES\,, MESURES\,,}}\vvw
\centerline{\textbf{FONCTIONNELLES SOMMABLES SUR\ha\ \ab}}\vvcd

\oui Comme annonc\e\ dans l'introduction\vg ce premier chapitre a pour objectif de fournir le plus rapidement
possible une d\e finition totalement op\e rationnelle de l'espace\, $\LL^1$\, des classes de fonctions
sommables sur sur un intervalle\, \ab\pt Nous y arriverons en consid\e rant le dual de l'espace des fonctions
\e tag\e es sur\, \ab\, muni de la norme uniforme\hh$\|\ha f\ha\|=\dis\sup_{x\:\in\:\ab}\,|\ha f\ha(x)\ha|$\pt
Ce dual nous fournira d'ailleurs tous les objets de base de notre th\e orie\: :\,
\emph{\tsf{pseudo-mesures}}\hb,\hb\ \emph{\tsf{fonctionnelles sommables}}\ha\ et plus loin\ha\
\emph{\tsf{mesures}}\vwa

\oui Tout d'abord nous inroduisons les notations standards\vc

\quad\textbf{\S\ 0.\,\ \underline{Notations}}\vvb

\qquad A\pt\underline{\ttt{Intervalles}}\vvb

\begin{picture}(,)
\put(0,-2){1)\quad\ab\, est un intervalle compact de\, $\R$\, (\,a\:$<$\:b\,)\,.}
\put(6,-4.5){\frm(90,7.5)}
\end{picture}\\[5mm]

\begin{picture}(,)
\put(0,0){2\ha)\quad Si\, $\II$\, est un intervalle born\e\ de\, $\R$\, on note\, $|\ha\II\ha|$\, sa longueur\,.}
\put(6,-2){\frm(111,7)}
\end{picture}\\[3mm]

\qquad B\pt\underline{\ttt{Alg\ee bres de fonctions}}\vvbc

\oui Les fonctions r\e elles sur l'intervalle\, \ab\, constituent une alg\ee bre pour les op\e rations naturelles d'addition et de multiplication\pt 
On distingue les sous-alg\ee bres suivantes\, :\vvab

$\EE\,=$\hh alg\ee bre des fonctions\hh$\ab\to\R$\quad\underline{\e tag\e es}\hh(\,= en escalier\vk-1mm
\hs{94mm}= constantes par morceaux\,)\vvk

$\CC\:=\ha$\hh alg\ee bre des fonctions\hw\hh$\ab\to\R$\quad\underline{continues}\vvw

$\RR\,=$\hh alg\ee bre des fonctions\hw\hh$\ab\to\R$\quad\underline{r\e gl\e es}\vvw

$\FF\,=$\hh alg\ee bre des fonctions\hw\hh$\ab\to\R$\quad\underline{born\e es}\vvw

$\widehat{\FF}\,=$\hh alg\ee bre des fonctions\hw\hh$\ab\to\R$\vvb

\qquad C\pt\underline{\ttt{Supr\e mum et infimum de deux fonctions r\e elles}}\vvbc

$\all f,\,g\hw\in\ha\widehat{\FF}$\hh on note\quad\fbox{\,$f\ve g\ha=\hb\sup\;\ens{f,\,g}\,:
\,x\tto\max\;\ens{\ha f\ha(x)\hb,\,g\hb(x)\ha}\ph{\dot{t}}$\hs{-1.25mm}}\vvb
\hs{32mm}et\quad\fbox{\,$f\wa g\ha=\hb\inf\:\ens{f,\,g}\,:
\,x\tto\min\;\ens{\ha f\ha(x)\hb,\,g\hb(x)\ha}\ph{\dot{t}}$\hs{-1.25mm}}\ha\vb

Les lois\, $\ve$\, et\, $\wa$\, sont commutatives\vg associatives et distributives l'une par rapport \ac\ l'autre\pv 
les alg\ee bres\hh$\EE,\ \CC,\ \RR\hb,\ \FF,\ \widehat{\FF}$\hh sont stables pour ces lois\vc

\qquad D\pt\underline{\ttt{Normes\ha,\;semi-normes\ha,\;convergences}}\vvb

$\all f\in\FF$\ha\hh on pose\quad$\|\ha f\ha\|=\,\dis\sup_{x\:\in\:\ab}|\ha f\ha(x)\ha|$\pv c'est la norme\, \underline{uniforme}\va

$\all f\in\RR$\ha\hh on pose\quad$\none{\ha f\ha}=\dis\Iab|\ha f\ha(x)\ha|\:d\hb x$\quad
et\quad$\ntwo{\ha f\ha}=\Big[\dis\Iab f\ha(x)\ha^2\;d\hb x\,\Big]^{1/\ha2};$\vvab ce sont des\, \underline{semi\hw-normes}\, (voir d\e finition au paragraphe suivant)\vb

\oui Dans\; $\widehat{\FF}$\hb\ on note\, :\vva

1)\hh$f_n\sm f$\hh ssi\hh$f_n$\hb\ converge\, \underline{simplement}\, (\ha ou\, \underline{ponctuellement}\,)\, vers\ha\ $f$\hb\ sur\: \ab\vg\vva\cad\hh 
ssi\hh\fbox{\:$\all c\in\ab$\hh\ho$f_n\ha(c)\to f(c)$\,}\vb

2\ha)\hh$f_n\bb f$\hh ssi\hh$f_n$\hb\ converge simplement vers\ha\ $f$\hb\ sur\: \ab\; et\hb\ ssi\ha\ la suite\: $\|\ha f_n\ha\|$\: est born\e e\hb;\: 
c'est la convergence\hb\ \underline{born\e e}\vb

3\ha)\hh$f_n\uu f$\hh ssi\hh$f_n$\hb\ converge \underline{uniform\e ment} vers\ha\ $f$\hb\ sur\: \ab\vg\cad\hh 
ssi\hh\mbox{$\|\ha f_n-f\ha\|\to0$\pt}\vvbc

\Rem$[\ \uu\ ]\ \imp\ [\ \bb\ ]$\hhh et\hhh$[\ \bb\ ]\ \imp\ [\ \sm\ ]$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{N\hw -\hw dual d'un espace norm\e\ ou semi\hw -norm\e}}\vvc

\oui Nous commen\cc ons par rappeler les r\e sultats classiques sur le dual d'un espace norm\e\vab

\Def{\num}\vvw Soit\, V\, un \underline{espace norm\e}\vg \cad\, un espace vectoriel muni d'une norme not\e e\, $\|\ \|$\vpt 
Une\ha\ forme lin\e aire\,\hh$\phi\ :\:\V\to\R$\,\hh est\, \underline{norm\e e}\, (ou\, \underline{continue}\,)\, ss\ha'\ha il existe\: $M>0$\hh tel que\vva

\begin{picture}(,)
\put(53,0){$\all u\in\V\hh|\ha\phi\,(u)\ha|
\le M\,\|\ha u\ha\|$\, .}
\put(51,-2.5){\frm(49.5,7.5)}
\end{picture}\vva

L'espace vectoriel de toutes les formes lin\e aires norm\e es sur\, V\, s'appelle le\, \underline{dual norm\e}\, de\, V\ha,\, 
 abr\e g\e\ le\, \underline{N\hw-\hw dual}\, de\, V\ha,\, et se note\, V$^\star.$\vvbc

\Def{\num}$\all\phi\in\V^\star$\, on note\vvw

\begin{picture}(,)
\put(40,-5){$\nst{\hb\phi\hb}\ =\!\dis\sup_{\sbs{\\[.05mm]u\,\in\,\V,\;u\,\ne\,0}}\!
\frac{|\hb\phi\,(u)\ha|}{\nrm{u}}\hh=\!\dis\sup_{\sbs{\\[.05mm]u\,\in\,\V,\;u\,\ne\,0}}\ha
\frac{\phi\,(u)}{\nrm{u}}$}
\put(53,-16){$=\hs{-1.5mm}\dis\sup_{\sbs{\\[.05mm]u\,\in\,\V,\;\nrm{u}\hb=\hb1}}\hs{-2mm}
|\ha\phi\,(u)\ha|\hh=\hs{-1.5mm}\dis\sup_{\sbs{\\[.05mm]u\,\in\,\V,\;\nrm{u}\hb=\hb1}}\hs{-2mm}\phi\,(u)$}
\put(38,-23){\frm(82,26.4)}
\end{picture}\\[25mm]

\num\ \underline{\Theo\ha\ fondamental}\dd$\nst{\ }$\; est une\,\hh \fbox{\ph{pt}\hs{-3.75mm}norme}\,\hh sur\, $\V^\star$,\, appel\e e\, \underline{norme duale}\vvwa 
de la norme\, $\nrm{\ }$\hb\vg\ha et\, $\V^\star$\ha\ est\, \fbox{complet}\, pour cette norme\pv en d'autres termes\, :\vvb
\hs{30mm}\fbox{\,Le\ha\ N\hw-\hw dual\ho\ha d'un espace norm\e\ha\ est un espace de Banach\,.}\vvb

\Dem C'est un cas particulier du \theo\ sur les espaces semi-norm\e s\ha\ (\ha voir \emph{infra}\ha)\vb

\Th{\num}\vvwa
Le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ d'un espace norm\e\ co\"incide naturellement avec le N\hw-\hw dual\ha\ de son \mbox{\underline{compl\e t\e}\hb.}\vvb

\Dem Soient\, V\, un espace vectoriel norm\e\ de norme\, $\nrm{\ }$\, et\, $\V\ha^c$\, son compl\e t\e\pv
soient\, $\V\ha^\star$\, et\, $\V\ha^{c\hb\star}$\, leurs\, N\hw-\hw duaux\,  respectifs\vwa

a)\hh Montrons\hh$\V\ha^\star\sub\V\ha^{c\hb\star}$\dd soit\, $\phi\in\V\ha^\star$\pv
soit\, $u\in\V\ha^c$\, et choisissons une suite\, $u\ha_n\in\V$\, convergente en norme vers\, $u$\pv on pose\, $\phi\,(u)=\ha\lim\,\phi\,(u\ha_n)$\pv 
il est facile de montrer que cette limite est bien d\e finie et et qu'elle ne d\e pend pas de la suite\, $u\ha_n$\, choisie\pv 
on a donc \e tendu\, $\phi$\, en une forme lin\e aire sur\, $\V\ha^\star$\vg dont on v\e rifie facilement qu'elle a la m\^eme norme que\, $\phi$\va

b)\hh  Montrons\, $\V\ha^{c\hb\star}\sub\V\ha^\star$\dd  soit\, $\phi\in\V\ha^{c\hb\star}$\pv
en restreignant\, $\phi$\, \ac\, V\, on d\e finit une forme lin\e aire sur\, $V$\, de norme inchang\e e\vb

\oui Dans les premiers chapitres nous ne travaillerons qu'avec des espaces norm\e s\vg mais nous g\e n\e ralisons d\ee s maintenant ce r\e sultat 
aux espaces semi\hw-norm\e s\vg qui feront leur apparition au\ha\ Chapitre VI\vb

\Def{\num}Une\, \underline{semi-norme}\, sur un espace vectoriel\, V\, est une application\vvw
non identiquement nulle\hh$\snrm{\ }\ :\ \V\to\R^+$\, v\e rifiant les propri\e t\e s suivantes\, :\vva

\hs{20mm}1)\hh$\all u\,,v\in\V\quad\snrm{u+v}\le\hb\snrm{u}+\snrm{v}$\vva

\hs{20.5mm}2\ha)\hh$\all\lam\in\R\quad\all u\in\V\quad\snrm{\ha\lam\,u\ha}=\hb|\lam|\,\snrm{u}$\vb

\oui Autrement dit une semi-norme se distingue d'une norme par le fait qu'elle peut s'annuler pour des
vecteurs non nuls\vwa

\oui Un espace vectoriel muni d' \fbox{\ph{t}\hs{-1.75mm}\textbf{une}}\hb\ semi\hw-norme s'appelle un
\underline{espace semi\hw -norm\e}\pt\vvwa

\oui Un exemple fondamental d'espace semi\hw-norm\e\vg que nous utiliserons plus loin\vg est
l'espace\: $\EE$\, muni de la semi\hw-norme\, $\none{\ }$\, ou\, $\ntwo{\ }$\vb

\Th{\num}Soit\, V\, un espace\ha\ semi\hw-norm\e\ de semi\hw-norme\, $\snrm{\ }$\pv on pose
\vvwa\fbox{\,$\V_0=\ens{\,u\in\V\;\big\|\:\snrm{u}=\hb0\hb}$\ha}\pv alors\, $\V_0$\, est un sous-espace de\, V\, et\, $\V/\,\V_0$\; est\vvwwa 
naturellement un espace norm\e\ pour la norme\,\hh$\nrm{\wh{u}}=\snrm{u}$\vb

\Dem Le fait que\, $\V_0$\, est un sous-espace de\, V\, est trivial\vpt 
Montrons que\,\hh$\all u\in\V$\,\hh$\all w\in\V_0$\,\hh on a\,\hh$\snrm{u+w}=\snrm{u}$\pt En effet on a\\$\snrm{u}-\snrm{w}\le\snrm{u+w\hw}
\le\snrm{u}+\snrm{w}$\vg donc\hh$\snrm{u}\le\snrm{u+w}\le\snrm{u}$\vww On peut donc poser\,\hh
$\all\wh{u}\in\V/\,\V_0\,\hh\nrm{\wh{u}}=\snrm{u}$\pv$\nrm{\ }$\, est une norme sur\, $\V/\,\V_0$\\
car si\hh$\nrm{\wh{u}}=\ha0$\vg alors\hh$\snrm{u}=\ha0$\ha\vg donc\hh $u\in\V_0$\vg\cad\hh$\wh{u}=\ha0$\vbc

\Def{\num}Soit\, V\, un espace\ha\ semi\hw-norm\e\ de semi\hw-norme\, $\snrm{\ }$\pv
une\ha\ forme lin\e aire\vvw$\phi\ :\:\V\to\R$\,\hh est\, \underline{norm\e e}\, ss\ha'\ha il existe\: $M>0$\hh tel que\hh
\begin{picture}(,)
\put(3,0){$\all u\in\V\hh|\hb\phi\,(u)\ha|\le M\,\snrm{u}$\,\ .}
\put(1,-2.5){\frm(51.5,7.5)}
\end{picture}\vvb

\oui De m\^eme que pour un espace norm\e\vg nous appelerons l'espace vectoriel de toutes les formes lin\e aires norm\e es sur\, V\, 
le\, \underline{N\hw-\hw dual}\, de\, V\, et nous le noterons\, $\V\ha^\star$\vb

Remarquons\ha\ que\,\hh\underline{\underline{$\all\phi\in\V\ha^\star\ph{\low{p}}\,\all u\in\V_0$}}\:\hh\fbox{\hb$\phi\,(u)=\ha0$\hb}\ha\vc

\Def{\num}On note\hb\hh\fbox{\,$\V_{\!\times}=\V\rs\rr-\rr\V_0\ph{\dot{t}}$\hs{-.9mm}}\:\hh et\hb\hh$\all\ha\phi\in\V\ha^\star$\vvab

\begin{picture}(,)
\put(45,-5){$\nst{\hb\phi\hb}\ =\,\dis\sup_{\sbs{\\[.05mm]u\,\in\,\V_{\!\times}}}\,\frac{|\hb\phi\,(u)\ha|}
{\snrm{u}}\;=\,\dis\sup_{\sbs{\\[.05mm]u\,\in\,\V_{\!\times}}}\ \frac{\phi\,(u)}{\snrm{u}}$}
\put(58,-16){$=\hs{-2.5mm}\dis\sup_{\sbs{\\[.05mm]u\,\in\,\V,\;\snrm{u}\hb=\hb1}}\hs{-4mm}
|\hb\phi\,(u)\ha|\ =\hs{-2.5mm}\dis\sup_{\sbs{\\[.05mm]u\,\in\,\V,\;\snrm{u}\hb=\hb1}}\hs{-4mm}\phi\,(u)$}
\put(43,-23){\frm(78,26.4)}
\end{picture}\\[20mm]

\oui De mani\ee re remarquable\, $\nst{\ }$\, est encore une\ha\ \emph{norme}\ha\ sur\, $\V\ha^\star$\, comme l'\e nonce le \theo\ suivant\, :\vvb

\num\ \underline{\Theo\ha\ fondamental}\dd$\nst{\ }$\; est une\,\hh \fbox{\ph{pt}\hs{-3.75mm}norme}\,\hh sur\, $\V\ha^\star$,\, appel\e e\, \underline{norme duale}\vvwa 
de la semi\hw-norme\, $\snrm{\ }$\hb\vg\ha et\, $\V\ha^\star$\ha\ est\, \fbox{complet}\, pour cette norme\pv en d'autres termes\, :
\hs{22.5mm}\fbox{\,Le\ha\ N\hw-\hw dual\ho\ha d'un espace semi\hw-norm\e\ha\ est un espace de Banach\ha.\ha}\vvc

\newpage
\Dem Soit\, $\phi\ha_n$\, une suite de Cauchy dans\, $\V\ha^\star$;\: alors\hh$\all\eps>0$\hh il existe\, $p\in\N$\vvw 
tel que\ha\hh$\all q\ge p\ha\hh\nst{\hb\phi\ha_p-\phi\ha_q\hb}\le\ha\eps$\vg
ce qui \e quivaut \ac\ \e crire que\ha\hh$\all u\in\V_{\!\times}\hh\all q\ge p$\vvw$|\hb\phi\ha_p\hb(u)-\phi\ha_q\hb(u)\ha|\le\ha\eps\,\snrm{u}$\pv 
d'autre part\ha\ on a\ha\hh$\all u\in\V_0\ha\hh\nn\ha\hh\phi\hb_n\hb(u)=\ha0$\pv\vvw 
on en conclut que\hh$\all\eps>0$\hh il existe\: $p\in\N$\: tel que\hh$\all u\in\V\hh\all q\ge p$\vvw$|\hb\phi\ha_p\hb(u)-\phi\ha_q\hb(u)\ha|\le\ha\eps\,
\snrm{u}$\ha;\; $\all u\in\V$\hh la suite\, $\phi\hb_n\hb(u)$\, est donc de Cauchy dans\, $\R$\vg\vvw
\cad\ convergente\pv posons d\ee s lors\hh$\all u\in\V\hw\hh\phi\hb(u)\ha=\,\lim\pos_n\,\phi\ha_n\ha(u)$\vwa

\oui La lin\e arit\e\ de\: $\phi$\: est \e vidente\pv montrons\hh$\phi\in\V\ha^\star$;\;
soit\, $p\in\N$\hh tel que\hh$\all u\in\V$\vvw$\all q\ge p\ha\hh|\hb\phi\ha_p\hb(u)-\phi\ha_q\hb(u)\ha|\le\ha\snrm{u}$\pv 
on en d\e duit\ha\hh$\all u\in\V$\hh$|\hb\phi\ha_p\hb(u)-\phi\,(u)\ha|\le\ha\snrm{u}$\pv\vvw
soit par ailleurs\hh$M>0$\hh tel que\,\hh$\all u\in\V\hh|\ha\phi\,(u)\ha|\le\ha M\,\snrm{u}$\pv
on peut alors \e crire\vvw$\all u\in\V\hh|\hb\phi\,(u)\hb|\le|\hb\phi\ha_p\hb(u)\ha|+\snrm{u}\le(M+1)\,\snrm{u}$\vwa

\oui Montrons enfin\ha\hh$\phi\ha_n\st\phi$\pv soit\hh$\eps>0$\hh et soit\: $n\in\N$\: tel que\ha\hh$\all u\in\V\ha\hh\all\ha p\vvv q\ge n$\vvw
$|\hb\phi\ha_p\hb(u)-\phi\hw_q\hb(u)\ha|\le\ha\eps\,\snrm{u}$\pv
on en d\e duit\ha\hh$\all u\in\V\ha\hh\all p\ge n\ha\hh|\hb\phi\ha_p\hb(u)-\phi\hb(u)\ha|\le\ha\eps\,\snrm{u}$\vg\vvw
\cad\,\hh$\all p\ge n\ha\hh\nst{\hb\phi\ha_p-\phi\,}\le\ha\eps$\vbc

\Th{\num*}Le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace semi\hw-norm\e\, V\, est canoniquement isom\e trique\vvww
au\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace norm\e\, $\V/\,\V_0$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Pseudo\ha-mesures sur\ha\ \ab}}\vvc

\num\ \underline{D\e finition fondamentale}\dd

\begin{picture}(,)
\put(-5,-6){\textbf{Une\, \underline{\pms}\, sur\, \ab\, est un \e l\e ment du\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de
l'espace norm\e\hb\ $\mbof{\big(\ha\EE\ha,\hb\|\ \|\ha\big)}$\ha.}}
\put(-7,-9.5){\frm(181.5,9.5)}
\end{picture}\vvd

$\big($\hb Rappelons que\, $\|\ \|$\, est la norme\, \underline{uniforme}\, sur\, $\EE\hb\big)$\vb

\underline{Ou encore}\, :\,
\textbf{Une \pms\ sur\, \ab\, est une forme lin\e aire\, $\bos{\tdf}\;\mbof{:\,\EE\to\R}$\vva
v\e rifiant la propri\e t\e}\, :\: \fbox{\,\textbf{il\ha\ existe\: $\mbof{M>0}$\; tel\ha\ que\;
$\mbof{\all\ha g\in\ha\EE\hh\hi{\big|}\hb\bos{\tdf}\ha(g)\ha\hi{\big|}\le\hb M\,\|\ha g\ha\|}$\ha}}\ha\vb

\oui On note\hh$\PM$\hh l'espace vectoriel des \pms s sur\, \ab\vb
\oui Autrement dit\hh\fbox{\:$\PM$\,\ho est le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de l'espace norm\e\, $\big(\ha\EE\ha,\hb\|\ \|\ha\big)$\ha.\ha}\vvbc

\Rem\emph{Les \pms s seront\, \underline{toujours}\, repr\e sent\e es par des lettres \mbox{``\:tild\e es"}
pour les diff\e rencier clairement des\hw\ (\hw vraies\hw)\hw\ fonctions}\vb

\newpage
\oui Gr\^ace \ac\ cette d\e finition le lecteur vient de franchir d'un seul coup plusieurs niveaux dans le grand jeu des math\e matiques\pt 
Les \pms s constituent en effet un outil d'analyse si performant qu'elles permettent de p\e n\e trer avec une aisance presque surnaturelle 
dans les notions les plus subtiles et les secrets les mieux gard\e s de la ``\,th\e orie de la mesure\,"\pt 
Un seul autre \e nonc\e\ contient en germe autant de puissance concentr\e e\vg c'est ``\,Que la lumi\ee re soit\hh!\:\ldots\,"\vvbc

\Th{\num}$\PM$\, constitue un espace de Banach pour la norme\, $\nst{\ }$\vg duale de la\vva norme\, $\|\ \|$\vg d\e finie par\,\hh
\fbox{\,$\bnst{\ha\tdf\ha}\ =\hs{-1.5mm}\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]g\,\in\:\EE\ha,\;\|\ha g\ha\|\,=\,1}}
\hs{-1.5mm}\big|\ha\tdf\ha(g)\hw\big|\
=\hs{-1.5mm}\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]g\,\in\:\EE\ha,\;\|\ha g\ha\|\,=\,1}}\hs{-1.5mm}
\tdf\ha(g)\ph{\dot{\big|}}$\hs{-1mm}}\:.\vvbc

\Dem C'est l'application directe du\ha\ \Theo\ha\ 1\ha.\:3\: \ac\ha\ l'espace norm\e\, $\big(\ha\EE\ha,\hb\|\ \|\ha\big)$\vc

\oui\Not On \e crit\,\hh$\tdf_n\st\tdf$\:\hh ssi\:\hh$\bnst{\ha\tdf_n-\tdf\ha}\to0$\;\hh et on note\,\hh
\fbox{\,$\tdf=\ha^{\star}\dis\lim_n\,\tdf_n$\,}\pv\vvw on dit que la suite\, $\tdf_n$\, converge\;
\underline{en norme\hh$\nst{\ }$}\; vers\, $\tdf$\vbc

\Th{\num}Une suite\hh$\tdf_n\in\ha\PM$\: est convergente en norme\, $\nst{\ }$\, dans\: $\PM$\, ssi\vvab 
la suite\ha\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\del_{\ha n}=\hb\sup\pos_{p\,>\,n}\ \bnst{\hb\tdf_p-\tdf_n\hb}\to0$\hh.}
\put(3,-5){\frm(52,11)}
\end{picture}\\\vvwa

\Dem C'est le crit\ee re de Cauchy\ha.\vvbc

\Def{\num}Tout\, $\tdf\in\ha\PM$\, s'\e tend canoniquement \ac\, $\RR$\, en posant\hh$\all g\in\RR$\\[-2mm]
$$\boxed{\,\tdf\ha(g)=\,\lim_n\:\tdf\ha(g\ha_n)\quad\mrom{avec}\quad g\ha_n\in\ha\EE\quad
\mrom{et}\quad g\ha_n\uu g\ }\:.$$\vvb

\emph{\underline{Notation\ha\ int\e grale}}\dd$\all\tdf\in\ha\PM\quad\all g\in\RR$\quad
on note\quad\mbox{\fbox{\:$\dis\Iab\hs{-1mm}g\hb(x)\:\tdf\ha(x)\ha=\Iab\hs{-1mm}g\:\tdf\ha
=\ha\tdf\ha(g\ha)$\,}\pt}\vvcd

\Th{\num}$\PM$\, est naturellement isom\e trique au\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de\, $\big(\ha\RR\:,\,\|\ \|\ha\big)$\vaab

\Dem La ``\,restriction \ac\, $\EE$\," est une isom\e trie naturelle du N\hw-\hw dual\ha\ de\,
$\big(\ha\RR\:,\,\|\ \|\ha\big)$\, sur le N\hw-\hw dual\ha\ de\, $\big(\ha\EE\ha,\,\|\ \|\ha\big)$\pt
Les d\e tails de la d\e monstration sont laiss\e s au lecteur\vbc

Passons maintenant \ac\ des\, \underline{\tsf{exemples}}\, de \pms s\vb

\newpage
\num*\ \underline{\Theo\,-\,D\e finition}\dd\vvab
$\all f\in\RR$\hh la forme lin\e aire\,\hh
\fbox{\,$\ans{f}\;:\ \EE\to\R\::\ g\ha\tto\dis\Iab\!g\,f\;d\hb x$\:}\,\hh est une pseudo\ha-mesure\vg\vvb
appel\e e la \pms\, \underline{associ\e e}\, \ac\, $f$\pt En particulier \ac\ la fonction constante\vvab
\fbox{\,$\un=$\ha\ho$1_{\ha\ab}\in\,\EE$\,}\hh est associ\e e la \pms\hh\fbox{\:$\leb\,:\ \EE\to\R\::\ g\ha\tto\dis\Iab\!g\ d\hb x$\;}\hb\vbc

\Not On note\,\hh$\low{\RR}=\ens{\ans{f}\,\big\|\,f\in\RR}\ha\sub\ha\PM$\vb

On utilise une\, \underline{notation analogue}\, pour tous les\ha\ \emph{sous-ensembles}\ha\ de\, $\RR$\vbc
\fbox{\ho Dans la pratique on remplacera souvent abusivement la notation\, $\ans{f}$\, par la notation\hb\ $f$.\hb}\vvbc

\Rem Nous verrons plus loin que\hh$\all f\in\RR$\hh la pseudo\ha-mesure\, $\ans{f}$\, est en fait\vvw
une\ha\ \emph{mesure}\vg et plus pr\e cis\e ment une\ha\ \emph{fonctionnelle sommable}\pv
c'est en particulier le cas\vvw pour\hh\fbox{\hw$\leb$\hw}\hh appel\e e\: \fbox{\ha mesure de Lebesgue$\ph{\dot{t}}$\hs{-1.2mm}}\pt
En cons\e quence nous parlerons de\, $\ans{f}$\vvwa comme la\: \underline{fonctionnelle associ\e e}\: \ac\, $f$,\: 
plut\^ot que comme la pseudo-mesure associ\e e\, \ac\, $f$.\vvab

\oui Un autre exemple de \pms\ est constitu\e\ par les ``\,mesures de Dirac\hb" d\e finies par\hh
$\del_{\ha c}:\, \EE\to\R\,:\,f\tto f\ha(c)$\,\hh\ou\, $c$\, est un r\e el fix\e\ de l'intervalle \ab\pv
nous en ferons l'\e tude d\e taill\e e au\hb\ Chapitre VII\va

\oui Donnons aussi un exemple d'une \pms\ \emph{qui n'est pas une mesure} :\, il s'agit de la \pms\hh
$\del_{\ha0^{\ha+}}:\,\EE\to\R\,:\,f\tto \lim\pos_{\sbs{\\\,x\,\to\,0^+}}\ha f\ha(x)\ha=$\, limite \ac\ droite en\, 0\, de\, $f$.\vvc

\Th{\num}$\all f\in\RR$\quad on a\quad$\nst{\ha f\ha}\ha=\hb\none{\ha f\ha}$\vb

\Dem Soit\, $f\in\RR$\pv il faut montrer\,\hh$\dis\sup_{\sbs{g\:\in\;\EE\\[.3mm]
\|\ha g\ha\|\,=\,1}}\Big|\Iab\!g\,f\ d\hb x\,\Big|\hb=\hb\none{\ha f\ha}$\vaab
C'est \e vident si\, $f\in\ha\EE$\pv soit alors\, $f\in\RR$\ha\pv\ha
$\all g\in\ha\EE$\hh tel que\hh$\|\hb g\hb\|=1$\hh on a\vvab$\Big|\dis\Iab
\!g\,f\ d\hb x\hb\Big|\hb\le\Iab\!|\ha g\ha|\hb|f|\ d\hb x\hb\le\dis\Iab\!|f|\ d\hb x\ha
=\ha\none{\ha f\ha}$\ha\vg\ha donc\,\hh$\nst{\ha f\ha}\le\none{\ha f\ha}$\pt\vvab
\oui Par ailleurs soit une suite\hh$f_n\in\ha\EE$\hh telle que\ha\hh$f_n\uu f$\pv on a\,\hh$\nn$\vvab
$\none{\ha f_n\ha}\hb=\dis\sup_{\sbs{g\:\in\;\EE\\[.3mm]\|\ha g\ha\|\,=\,1}}\Big|
\Iab\!g\,f_n\ d\hb x\,\Big|\,\le\sup_{\sbs{g\:\in\;\EE\\[.3mm]\|\ha g\ha\|\,=\,1}}\Big|\Iab\! g\,f\ d\hb x\,
\Big|\ +\sup_{\sbs{g\:\in\;\EE\\[.3mm]\|\ha g\ha\|\,=\,1}}\Big|\Iab\!g\:(\ha f_n-f\ha)\;d\hb x\,\Big|$\vvaab
$\le\ha\nst{\ha f\ha}\ha+\,(\ha b-a\ha)\,\|\ha f_n-f\ha\|$\pv en faisant\hh$n\to\pin
$\hh on trouve\,\hh$\none{\ha f\ha}\ha\le\ha\nst{\ha f\ha}$\vc

\oui Outre sa structure d'espace vectoriel\vg $\PM$\, poss\ee de une multiplication externe plus g\e n\e rale
que la simple multiplication par les r\e els\, :\, la multiplication par des \emph{fonctions r\e gl\e es}\vg
ce qui conf\ee re \ac\, $\PM$\, une structure de \emph{module} sur\, $\RR$\pt Nous nous contenterons pour le
moment de d\e finir cette multiplication\vg r\e servant l'\e tude des modules pour le Chapitre V\vab

\Def{\num}$\all g\in\RR\quad\all\tdf\in\ha\PM$\quad on d\e finit
$$\boxed{\:g\hb.\ha\tdf\;:\ \EE\to\R\ :\ h\tto\tdf\hb(\ha g\:h\hw)\,}\pt$$\vvaab

\Th{\num*}\vvwa$\all\tdf\in\ha\PM\quad\all g\in\RR$\quad on a\quad
\fbox{\,$g\hb.\ha\tdf\in\hb\PM$\,}\quad et\quad$\bnst{\,g\ha.\hw\tdf\,}\ha\le\hb\|\ha g\ha\|\:\bnst{\ha\tdf\ha}$\vc

\Th{\num*}$\all f,\,g\in\RR$\,\hh on a \,\hh\fbox{\:$g\hb.\hb\ans{f}\ha=\ha\ans{\hw g\,f}
\ph{\dot{t}}$\hs{-1.15mm}}\ha\vc

\Cor{\num*}$\all f\in\RR$\,\hh on a \,\hh\fbox{\,$\ans{f}\ha=\ha f\hw.\hb\leb$\hb}\ha\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctionnelles sommables sur \ab}}\vvc

\oui Nous pouvons maintenant d\e crire\vg avec un degr\e\ de clart\e\ jamais atteint auparavant\vg
les \emph{classes de fonctions sommables} pour la mesure de Lebesgue sur\, \ab\,, classes que nous nommerons simplement\, \emph{fonctionnelles sommables}\, sur\, \ab\vb

\num\ \underline{D\e finition fondamentale}\vvb

\begin{picture}(,)
\put(22.5,0){\textbf{$\LL^1$\, est la fermeture de\: $\low{\EE}$\: dans\, $\PM$\, pour la norme\, $\nst{\ }$\,.}}
\put(20.5,-2.5){\frm(121,7.5)}
\end{picture}\\

\oui Les \e l\e ments de\, $\LL^1$\, s'appellent les\, \underline{fonctionnelles sommables}\,
\mbox{(on dit aussi\, \underline{int\e grables}\ha)}\ha\ sur\, \ab\vb

\oui Vu le caract\ee re fondateur et novateur de cette d\e finition nous en donnons ci-dessous quatre versions
de plus en plus explicites\, :\vvb

\underline{Version 1}\dd\vvwa Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv alors\hh$\tdf\in\LL^1$\hh ssi\hh
$\all\eps>0$\,\hh il existe\hh$g\in\ha\EE$\hh tel que\hh$\bnst{\hb\tdf-g\hb}\le\ha\eps$\vb

\underline{Version 2}\dd\vvwa Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv alors\hh $\tdf\in\LL^1$\hh
ss\ha'\ha il existe une suite\hh$g\ha_n\in\ha\EE$\hh telle que\hh$\bnst{\ha\tdf-g\ha_n\ha}\to0$\vb

\underline{Version 3}\dd Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv alors\hh$\tdf\in\LL^1$\hh ssi\hh
$\all\eps>0$\,\hh il existe\hh$g\in\ha\EE$\hh tel que\vvwa
$\all h\in\ha\EE\:\hh\Big|\:\tdf\ha(h)\ha-\hs{-.5mm}\dis\Iab\hs{-1mm}g\hb(x)\;h\hb(x)\;d\hb x\;\Big|\hb
\le\hb\eps\;\|\ha h\ha\|$\vb

\underline{Version 4}\dd Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv alors\hh$\tdf\in\LL^1$\hh
ss\ha'\ha il existe une suite\hh$\eps\hw_n\to0$\hh et une suite\hh$g\ha_n\in\ha\EE$\hh
telles que\:\hh$\all h\in\ha\EE\:\hh\Big|\:\tdf\ha(h)\ha-\hs{-.5mm}\dis\Iab\hs{-1mm}g\ha_n\ha(x)\;h\hb(x)\;
d\hb x\;\Big|\hb\le\hb\eps\hw_n\;\|\ha h\ha\|$\vbc

\oui En r\e sum\e\vg les fonctionnelles sommables ne sont rien d'autre que des \pms s particuli\ee res\, :\, celles que l'on peut approcher en norme\, $\nst{\ }$\, 
par des\ha\ (\ha fonctionnelles associ\e es \ac\ des\ha)\ha\ fonctions \e tag\e es\pt On constate d'ailleurs que c'est la connaissance pr\e alable de l'espace\, $\PM$\, 
qui permet de d\e finir aussi ais\e ment l'espace\, $\LL^1$,\, confirmant ainsi le r\^ole crucial et fondamental des \mbox{\pms s\ha.} 
Insistons aussi sur le fait qu'une fonctionnelle sommable est un objet parfaitement et totalement d\e termin\e\vg ayant une\ha\ \emph{vraie valeur}\ha\ 
pour\ha\ \emph{chaque}\ha\ fonction \e tag\e e\vg et non pas\hw\ un ``\,machin d\e fini presque partout\,"\vc

\Not1)\hh$\all\tdf\in\LL^1$\hh on note\,\hh\fbox{\,$\bnone{\ha\tdf\ha}\ha=\ha\bnst{\ha\tdf\ha}$\,}\va
\hs{23mm}2\ha)\hh On \e crit\,\hh$\tdf_n\one\tdf$\,\hh ssi\:\hh$\none{\ha\tdf_n-\tdf\ha}\to0$\:\hh et on note\:\hh
\fbox{\,$\tdf=\ha\limone{\:\ n}\,\tdf_n$\,}\pv\vvw \hs{23mm}on dit que la suite\, $\tdf_n$\, converge\; \underline{en norme\hh$\none{\ }$}\; vers\, $\tdf$\vc


\Th{\num*}1)$\hh\low{\RR}\,\sub\,\LL^1$\vvwa
\hs{36mm}2\ha)\hh$\LL^1$\, est un\, \fbox{\ha espace de Banach\ha}\, pour la norme\, $\none{\ }$\vvwa
\hs{36mm}3\ha)\hh$\LL^1$\, est ferm\e\ dans\, $\PM$\vvwa
\hs{36mm}4\ha)\hh$\low{\EE}$\, est dense dans \,$\LL^1$\vc

\emph{\underline{Notation\ha\ int\e grale}}\dd$\all\tdf\in\LL^1$\hh on \e crit\:
$\Int_a^{\ha b}\!\tdf\ha(x)\;d\hb x$\hh au lieu de\: $\Int_a^{\ha b}\! \tdf\ha(x)$\pv on a donc\vvab
\hs{40mm}\fbox{\ha\,$\Int_{a}^{\ha b}\!\tdf\ha(x)\;d\hb x\ha=\int_a^{\ha b}\!\tdf\ha(x)\hb=\hb\tdf\ha(\un)\,$}\ha\vcd

\Lem{\num}Soit\hh$g\in\ha\EE$\hh et\hh$\eps>\ha0$\pv alors il existe\hh$h\in\CC$\hh tel que\,\hh$\none{\hb g-h\ha}\le\ha\eps$\va

\Dem Il suffit de faire un dessin\; !\vvb

\Cor{\num*}$\low{\CC}$\, est dense dans\, $\LL^1$\vg et par application du \theo\ha\ de Weierstrass\vg\vvww
$\low{\R\ha[\ha X]}$\hh est dense dans\hh$\LL^1$\vc

\oui\textbf{\underline{R\e capitulatif}}\dd\fbox{ $\EE+\,\CC\,\sub\:\RR\ \underset{surj.}{\fun}\
\underline{\RR}\;\sub\:\LL^1\,\sub\:\PM\ph{\dot{\big|}}$}\ha\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Sommes de Lebesgue}}\vvc

\oui Nous \e non\cc ons et d\e montrons d'abord ci-dessous un lemme \e l\e mentaire d'analyse fonctionnelle\vg absent des livres de cours 
malgr\e\ sa simplicit\e\vg sa g\e n\e ralit\e\ et sa tr\ee s grande utilit\e\pv nous y ferons d'ailleurs plusieurs fois appel dans cet ouvrage\vbc

\num\ \underline{Lemme fondamental de l'analyse fonctionnelle}\, (\ha\emph{LFAF}\ha)\vvab

\oui\underline{\emph{\textbf{Enonc\e}}}\dd Soient\, X\, et\, Y\, des espaces de Banach et soit une suite d'applications\vvww l
in\e aires\hh$\T_n\ :\ \X\to\Y$\,\hh avec\,\hh $\dis\sup_n\ \|\ha\T_n\hw\|\ha<\pin$\pt
On suppose qu'il existe un sous\hw-espace\vvww dense\, $\AZ$\, de\, X\hh tel que\ha\hh$\all a\in\AZ\hh\T_n\ha(a)\to0$\pv alors\,\hh$\all x\in\X\,\hh\T_n\ha(x)\to0$\vw
(\ha Ce lemme s'\e tend sans peine aux suites g\e n\e ralis\e es\ha)\vb

\Dem Posons\hh$M=\dis\sup_n\ \|\ha\T_n\hw\|$\pv soit\, $x\in\X$\pv soit\, $\eps>0$\,
et soit\, $a\in\AZ$\, tel que\vvw $\|\ha x-a\ha\|\le\ha\eps/\hw M$\pv on a\,\hh
$\nn\,\hh\|\ha\T_n\ha(x)\hw\|\ha\le\ha\|\ha\T_n\ha(a)\hw\|\ha+\ha\|\ha\T_n\ha(x)-\T_n\ha(a)\hw\|$\vvw$
\le\ha\|\ha\T_n\ha(a)\hw\|\ha+\ha\|\ha\T_n\hw\|\hb\|\ha x-a\hw\|\ha\le\ha\|\ha\T_n\ha(a)\hw\|\ha+\ha\eps$\ha\pv\ha soit\, $N\in\N$\,\hh tel que\,\hh$\all n\ge N$\vvw
$\|\ha\T_n\ha(a)\hw\|\le\eps$\pv alors\,\hh$\all n\ge N\,\hh\|\ha\T_n\ha(x)\hw\|\le\ha2\;\eps$\ha\pv donc\hh$\T_n\ha(x)\to0$\vc

\Def{\num}Soit\hh $a\,=\,a\ha_0<a\ha_1<\ldots<a\ha_p\,=\,b$\hh une subdivision\, D\, de\, $\ab$\pv\vvw
on pose\,\hh$\|\ha\D\ha\|=\ha\dis\max_{\,r}\ (a\hb_{r+1}-a\ha_r)$\pv on d\e finit\,\hh$\all\tdf\in\LL^1$\vva
\hs{30mm}$\dis\W_\D\,(\tdf)\,=\,\sum_{r\hb=\,0}^{p\hb-1}\ \inv{a\hb_{r+1}-a\ha_r}\
\Big(\int_{a\ha_r}^{\ha a\hb_{r+1}}\!\tdf\ha(u)\;d\hb u\hw\Big)\,\un\ha_{]\hb a\ha_r\hb,\;a\hb_{r+1}\ha[}$\vab

\oui$\W_\D\,(\tdf)$\, est la fonction \e tag\e e dont les valeurs sont les\, \underline{moyennes}\, de\hb\ $\tdf$\, 
 les intervalles\vvww$]\hb a\ha_r\hb,\hb a\ha_{r+1}\hb[$\pt Ces fonctions constituent les\, \underline{sommes de Lebesgue}\, associ\e es \ac\, $\tdf$\vbc

\Th{\num*}$\all\tdf\in\LL^1$\hh on a\,\hh$\W_\D\,(\tdf)\in\ha\EE$\hb\hh et\hh$\dis\Iab\!\W_\D\,(\tdf)\:dx=\!\int_a^b\!\tdf\,dx$\vb

\Th{\num}$\all\tdf\in\LL^1$\hh on a\,\hh$\big|\ha\W_\D\,(\tdf)\ha\big|\ha\le\ha\W_\D\,\big(\ha\vtdf\ha\big)$\,\hh 
et donc\,\hh$\bnone{\ha\W_\D\,(\tdf)\ha}\le\bnone{\ha\tdf\hb}$\vb

\Dem La premi\ee re in\e galit\e\ est triviale\pv de plus on a\vvab
$\bnone{\ha\W_\D\,(\tdf)\ha}=\dis\Iab\big|\ha\W_\D\,(\tdf\big)\ha|\:dx\,\le\Iab\!\W_\D\,(\vtdf)\:dx\hb=\Iab\!\vtdf\:dx\hb=\none{\ha\tdf\ha}$\vbc

\Th{\num}$\all f\in\CC$\,\hh on a\,\hh$\W_\D\,(f)\uu f$\,\hh quand\,\hh$\|\D\|\to0$\vb

\Dem Soit\, $\eps>o$\, et soit\, $\eta>0$\, tel que\, $\all x\vv y\in\ab$\, on ait\vvwa
$|\ha x-y\ha|\le\eta\,\ \imp\ |\ha f(x)-f(y)\ha|\le\eps$\pv\ha
soit\hh$a\,=\,a\ha_0<a\ha_1<\ldots<a\ha_p\,=\,b$\vva une subdivision\, D\, de\, $\ab$\, telle que\,
$\|\ha\D\ha\|\le\eta$\pv\ha$\all r\in\db{\,0\vv p-1\,}$\hh choisissons\vva
$\xi\ha_r\in[\,a\ha_r\hb,\hb a\ha_{r+1}\hb]$\hh tel que\,
$\Int_{a\ha_r}^{\ha a\ha_{r+1}}\hs{-1.5mm}f\ha(u)\;d\hb u\ha=\ha f\ha(\xi\ha_r)\,(a\ha_{r+1}-a\ha_r)$\pv\\
\vs{-1mm}on a alors\,\hh$\W_\D\,(f)\hb=\hb\dis\sum_{r\hb=\,0}^{p\hb-1}\,f(\xi\ha_r)\,\un\ha_{[\hb a\ha_r,\,a\ha_{r+1}\ha]}$\pv on en d\e duit\hh
$\all x\in[\,a\ha_r\hb,\hb a\ha_{r+1}\hb]$\vva$\big|\ha\W_\D\,(f)\ha(x)-f\ha(x)\ha\big|
=\ha|\ha f\ha(\xi\ha_r)-f\ha(x)\ha|\le\hb\eps$\pv donc\,\hh$\W_\D\,(\tdf)\uu f$\vc

\Th{\num}$\all\tdf\in\LL^1$\hh on a\,\hh$\W_\D\,(\tdf)\one\tdf$\,\hh quand\,\hh$\|\D\|\to0$\vb

\Dem On applique le\, \emph{LFAF}\, aux op\e rateurs lin\e aires\,\hh$\W_\D-\I\ :\ \LL^1\to\LL^1$\vb

\oui Les sommes de Lebesgue constituent donc une suite\ha\ (\hw g\e n\e ralis\e e\hw)\ha\ explicite de fonctions \e tag\e es convergeant en norme\, $\none{\ }$\, 
vers\, une fonctionnelle sommable donn\e e\vd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Espaces ordonn\e s\,.\, Ordre dans\, $\PM$}}\vvc

\oui Les espaces vectoriels munis d'un ordre compatible avec la structure d'espace vectoriel constituent un cadre fondamental pour toutes les th\e ories expos\e es 
dans ce livre\vg en particulier sous la forme des espaces de Riesz\pt Nous donnons ci-dessous les d\e finitions et propri\e t\e s de base relatives \ac\ ces espaces\vc

\Def{\num}Si\, V\, est un espace vectoriel muni d'un ordre on note\vva
\hspace{50mm}\fbox{\,$\V^+=\ens{\,u\in \V\:\|\ u\ge0\,}$\,}\vbc

\Def{\num}Un espace vectoriel\, V\, muni d'un ordre est un\, \underline{espace ordonn\e}\, ssi\\
\begin{picture}(,)
\put(35,-5){1)\hh$\all\lam\in\R^+\hh\all u\in\V^+\hh\lam\:u\ge\ha0$}
\put(35,-13){2\ha)\hh$\al\ u\vv v\in\V\hh\big[\ v\ge u\ \sam\ v-u\ha\ge\hb0\ \big]$}
\put(32.5,-16){\frm(77,16.75)}
\end{picture}
\\[15mm]

\Th{\num*}Si\, V\, est un espace ordonn\e\, il en est de m\^eme de tous ses\, \mbox{sous-espaces\ha.}\vvbc

\Th{\num}Soit\, V\, un espace ordonn\e\pv alors
\begin{picture}(,)
\put(4.25,0){$u\vv v\in\V^+\,\imp\ u+v\in\V^+$\hh.}
\put(2,-2){\frm(51.5,6.75)}
\end{picture}\vvab

\Dem On a\,\hh$u\ha+\ha v-u\hb=\,v\ha\ge\hb0$\vg donc\,\hh$u\ha+\ha v\ge\ha u\ge\hb0$\vbc

\Def{\num}Un espace ordonn\e\, V\, est\, \underline{archim\e dien}\, ssi\\
\begin{picture}(,)
\put(30,-3){$\al\ u\vv v\in\V^+\hh\big[\ \big(\,\all\lam\in\R_{\ha\star}^+\,\
\lam\:u\le\ha v\,\big)\hb\imp\hb u=\ha0\ \big]$\hh,}
\put(27,-6){\frm(92,8)}
\end{picture}\\\vva

ou de mani\ee re \e quivalente\ha\ ssi\quad
\begin{picture}(,)
\put(3,0){$\al\ u\vv v\in\V^+\hh\big[\ \big(\,\all\lam\in\R_{\ha\star}^+\:\
u\le\ha\lam\:v\,\big)\hb\imp\hb u=\ha0\ \big]$\: .}
\put(0,-3){\frm(92,8)}
\end{picture}\vvc

\Th{\num*}Si\, V\, est un espace ordonn\e\ archim\e dien il en est de m\^eme de tous ses\, sous-espaces\va

\underline{Exemple}\dd $\FF$\, est un espace ordonn\e\, archim\e dien pour l'ordre naturel\, :\vva
\hs{30mm}$\all f,\,g\in\FF\quad\Big[\ f\le g$\quad ssi\quad$\all x\in \ab\hh f\ha(x)
\le\ha g\,(x)\ \Big]$\vbc

\Def{\num}Un sous-espace\hb\ W\hb\ d'un espace ordonn\e\ha\ V\ha\ est\, \underline{int\e gral}\,
(\ha ou\, \underline{solide}\,)\vva ssi\,\hh
\fbox{ $\all v\in\V^+\ha\hh\all w\in\W^+\:\ \big(\,v\le w\ \imp\ v\in W^+\ha\big)$\ha}\ha\vc

\Th{\num*}W\, est un sous-espace int\e gral de l'espace ordonn\e\, V\, ssi\vva\hs{35mm}
\fbox{ $\all v\in\V\ha\hh\all x\vvv y\in\W\:\ \big(\,x\le v\le y\ \imp\ v\in W\ha\big)$\ha}\ha\vc

\Th{\num*}Soit\, V\, un espace ordonn\e\ et\, W\, un sous-espace\, \tsf{int\e gral}\, de\, V;\\
alors\, V/\hb W\, poss\ee de une structure naturelle d'espace ordonn\e\ avec l'ordre d\e fini par\dd\vvaab

\hs{15mm}$\al\ \wh{u}\vv\wh{v}\hb\in\V/\hb\W$\,\hh
\fbox{\:$\wh{u}\ha\le\ha\wh{v}\ph{\big|\dot{t}}$\hb ss\ha'\ha il existe\: $w\in\W$\: tel que\; $u\le\hw v+w$\:}\ha\vc

\num\ \underline{D\e finition fondamentale}\dd On d\e finit un ordre naturel dans\, $\PM$\, en posant\vvab
\hs{30mm}$\all\tdf,\,\tdg\hb\in\ha\PM$\quad \fbox{\,$\tdf\le\ha\tdg$\;\hh
ssi\;\hh$\all h\in\ha\EE^+\,\ \tdf\ha(h)\le\ha\tdg\,(h)$\,}\vc

\Th{\num}$\PM$\, muni de cet ordre est un espace ordonn\e\ archim\e dien\vaab

\Dem On a\,\hh$\PM^+=\ha\ens{\,\tdf\in\PM\ \big\|\ \all h\in\ha\EE^+\,\ \tdf\ha(h)\ge0\,}$\pv
montrons que\, $\PM$\, est\vvww archim\e dien\pv soient\hh$\tdf,\,\tdg\in\PM^+$\hh 
tels que\,\hh$\all\lam\in\R_{\ha\star}^+\hh\lam\:\tdf\le\ha\tdg$\pv soit\, $h\in\ha\EE^+$\ha;\, on a\vvww 
donc\,\hh$\all\lam\in\R_{\ha\star}^+\hh\lam\:\tdf\ha(h)\le\ha\tdg\,(h)$\vg donc aussi\,\hh$0\ha\le\ha\tdf\ha(h)\le\ha\lam\;\tdg\,(h)$\pv 
en faisant\,\hh$\lam\to0^+$\vvww on trouve\,\hh$\tdf\ha(h)=\ha0$\pv 
donc\,\hh$\all h\in\ha\EE\,\hh\tdf\ha(h)\ha=\ha\tdf\ha(\hw h^+)-\tdf\ha(\hw h^-)=\ha0$\vg (\ha\ou\hh$h\ha^+$\, 
et\, $h\ha^-$\, sont\vvww les parties positive et n\e gative de\, $f$\ha)\vg donc\hh$\tdf=\ha0$\vbc

\Th{\num*}Soit\, $\tdf_n\in\ha\PM^+$\, une suite convergente en norme\; $\nst{\ }$\hh vers\,
$\tdf\in\ha\PM$\hb;\vvw alors\, $\tdf\in\ha\PM^+$.\, Ce r\e sultat \e quivaut \ac\ la\,
\underline{conservation des in\e galit\e s}\, par passage \ac\ la\vvw limite dans\, $\PM$\vbc

\Th{\num*}$\all\tdf\in\ha\PM^+$\hh on a\quad\fbox{\,$\bnst{\ha\tdf\ha}=\tdf\ha(\un)$\,}\ha\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{\Theo\ha\ de convergence monotone}}\vvc

\oui  Nous donnons pour commencer la d\e finition des \pms s \emph{sp\e ciales}\vg qui cons-tituent la forme\ha\ \emph{native}\ha\ sous laquelle se pr\e sentent 
souvent les \pms s\pt Elles nous serviront entre autres \ac\ la d\e monstration du \theo\ha\ de convergence monotone\vc

\Def{\num}Une\, \underline{\pms\ sp\e ciale}\; sur\, \ab\: est une application\vvw
$\phi\ :\ \EE\ha^+\!\to\R$\hh telle que\vvbc
\hs{24.25mm}$1)\hh\al\;h\,,\hb k\in\ha\EE\ha^+\hh\all\lam\vv\mu\in\R^+\,\hh\phi\:(\lam\:h+\mu\:k)\hb=\hb\lam\;\phi\,(h)+\ha\mu\;\phi\,(k)$\vvw
\hs{24.25mm}2\ha)\hh il existe\hh$M>0$\,\hh tel que\,\hh$\all h\in\ha\EE\ha^+\hh
|\hb\phi\,(h)\ha|\le\hb M\,\|\ha h\ha\|$\\
\begin{picture}(,)
\put(21.25,3.5){\frm(122.5,17.25)}
\end{picture}\vvw

\oui Une \pms\ sp\e ciale constitue donc en quelque sorte une ``\,forme lin\e aire norm\e e\," d\e finie sur les fonctions \e tag\e es \emph{positives}\vab

\Not On note\; $\PMS$\; l'espace vectoriel des pseudo\ha-mesures sp\e ciales\ha\ sur\hb\ \ab\vb

\Th{\num}Toute \pms\ha\ sp\e ciale\, $\phi$\: s'\e tend de mani\ee re\hb\ \underline{unique}\, en une pseudo-mesure\vg appel\e e\, 
\underline{prolongement}\, de\, $\phi$\: \ac\; $\EE$\vab

\Dem Soit\: $\phi\ha\in\ha\PMS$\pv on pose\,\hh$\all h\in\ha\EE$\,\hh
\fbox{\,$\phi\,(h)$\ho$=\ha\phi\,(h\ha^+)-\ha\phi\,(h\ha^-)$\,}\ha\vg$h\ha^+$\, et\, $h\ha^-$\vvw
\e tant les parties positive et n\e gative de\, $h$;\: montrons que\hh$\phi\in\PM$\va

a)\hh On a clairement\,\hh$\all h\in\ha\EE\,\hh\all\lam\in\R^+\hh\phi\,(\lam\:h)=\lam\:\phi\,(h)$\vwa

b)\hh On a\quad$\all h\in\ha\EE\,\hh\phi\,(-\hb h)=\phi\,[\ha(-\hb h)^+\hw]-\phi\,[\ha(-\hb h)^-\hw]=\phi\,(h^-)-\phi\,(h^+)=-\,\phi\,(h)$\vwa

c)\hh On a\quad$(h+k)^+-(h+k)^-=h+k=h^+-h^-+k^+-k^-$\vvww
donc\quad$(h+k)^++h^-+k^-=(h+k)^-+h^++k^+$,\vvww
donc\quad$\phi\,\big[(h+k)^+\big]+\phi\,(h^-)+\phi\,(k^-)=\hb\phi\,\big[(h+k)^-\big]+\phi\,(h^+)+\phi\,(k^+)$\vvww
donc\quad$\phi\,\big[(h+k)^+\big]-\phi\,\big[(h+k)^-\big]=\hb\phi\,(h^+)-\phi\,(h^-)+\phi\,(k^+)-\phi\,(k^-)$\vvww
\cad\quad$\phi\,(h+k)=\ha\phi\,(h)+\phi\,(k)$\vwa

d)\hh On a\;\hh$\all h\in\ha\EE\quad\phi\,(h)=\big|\ha\phi\,(h^+)-\phi\,(h^-)\ha\big|\ha\le\hb|\hb \phi\,(h^+)\ha|\ha+\ha|\hb\phi\,(h^-)\ha|$\vvww
$\le\hb M\,\big(\ha\|\hb h^+\|\hw+\hw\|\hb h^-\|\ha\big)\le\hb2\:M\,\|\ha h\ha\|$\vwa

e)\hh L'unicit\e\ est \e vidente car si\hh$\phi\in\PM$\vg par lin\e arit\e\ on a n\e cessairement\\
$\all h\in\ha\EE\,\hh\phi\,(h)=\ha\phi\,(h^+)-\phi\,(h^-)$\vab

\Cor{\num*}\vvwa
\begin{picture}(,)
\put(0,0){L'application\:\hh$\PM\to\PMS\hb\ :\ha\ \tdf\to\tdf\hb|$\hs{7.5mm} est un\,
\underline{isomorphisme}\, lin\e aire\hb.}
\put(72.35,-2){$\EE\ha^+$}
\end{picture}\vva

Autrement dit une pseudo\ha-mesure\ha\ sp\e ciale n'est ni plus ni moins que la restriction\vvwa
d'une pseudo\ha-mesure \ac\hh$\EE\ha^+$,\, ce qui peut s'\e crire\,
\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\PMS\ha=\,\PM\hb|\hs{8mm}.$}
\put(30.5,-2){$\EE\ha^+$}
\put(2,-3.5){\frm(35.25,9)}
\end{picture}\vvcd

\num\ \underline{\Theo\ha\ de convergence monotone dans\, $\PM$}\vvab
\oui\underline{\emph{\textbf{Enonc\e}}}\dd Soit\hh$\tdf_n\in\ha\PM$\hh une suite\, \underline{monotone}\pv
supposons qu'il existe\; $M>0$\hh tel\vvw que\hh$\nn$\,\hh$\bnst{\ha\tdf_n\ha}\le\ha M$\pv alors\, $\tdf_n$\,
converge en norme\hh$\nst{\ }$\hh vers une pseudo-mesure\vvw$\tdf\in\ha\PM$\pv on a donc aussi\,\hh
$\dis\lim_n\,\bnst{\ha\tdf_n\ha}\ha=\ha\bnst{\ha\tdf\ha}$\vb

\Dem On peut supposer la suite\, $\tdf_n$\, croissante et positive\pv on pose\,\hh $\all g\in\ha\EE^+$\vvwa
$\tdf\ha(g)=\,\dis\lim_n\,\tdf_n\,(g)$\pv la limite existe bien car la suite\, $\tdf_n\,(g)$\: est croissante\ha\ et\hh$\nn$\vvwa
$\tdf_n\,(g)\ha\le\ha\bnst{\ha\tdf_n\ha}\,\|\hb g\hb\|\ha\le\hb M\,\|\ha g\ha\|$\pt\ha
On a donc\hh$\tdf\in\PMS$\pv notons encore\, $\tdf$\, le prolongement\vvwa de\, $\tdf$\: \ac\; $\EE$\pt\ha
On a clairement\,\hh$\nn\,\hh\tdf-\tdf_n\ge\ha0$\ha\vg\ha donc\hh$\bnst{\ha\tdf-\tdf_n\ha}\ha=\ha(\tdf-\tdf_n)\hb(\un)$\vvwa
$=\tdf\ha(\un)-\tdf_n\ha(\un)\to0$\pv donc\hb\hh$\tdf_n\st\tdf$\vc

\Not On note\,\hh\fbox{\:$\tdf\,=\ \Sup{\sbs{\\[-1.5mm]n}}\ \tdf_n$\:\hh\low{ou}  \hh$\Inf{\sbs{\\[-.25mm]n}}\;\tdf_n
\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-.5mm}}\ha\hh suivant que la suite\, $\tdf_n$\, est croissante\\ou d\e croissante\vb

\oui Remarquons \ac\ quel point la d\e monstration de ce \theo\ c\e l\e brissime se r\e v\ee le \e l\e mentaire dans notre th\e orie\vbc

\Cor{\num*}Soit\hh$\tdf_n\in\ha\PM$\hh une\ha\ suite\, \underline{croissante}\, telle que\,\hh
$\sup\pos_n\,\bnst{\ha\tdf_n\ha}\ha<\ha\pin$\pv\\ alors on a\vvab
\hs{10mm}\fbox{ $\all g\in\ha\EE^+$\,\hh$\rbox{-.5mm}{\Big(}\Sup{\sbs{\\[-2mm]n}}\ \tdf_n\hs{-.25mm}\rbox{-.5mm}{\Big)}\hb(\hw g\hw)
=\:\sup\pos_{\sbs{\\[-2mm]n}}\,\big[\hb\tdf_n\ha(\hw g\hw)\ha\big]$\,}\quad et\quad
\fbox{ $\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{\sbs{\\[-2mm]n}}\ \tdf_n\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star=\ \sup\pos_{\sbs{\\[-2mm]n}}\ \bnst{\ha\tdf_n\ha}$\,}\ha\vc

\oui Le \theo\ha\ de convergence monotone est manifestement vrai dans n'importe quel sous-espace ferm\e\ de\, $\PM$\pv en particulier on a le\vvb

\num*\ \underline{\Theo\ha\ de convergence monotone dans\, $\LL^1$}\vva
Soit\: $\tdf_n\in\LL^1$\: une suite\, \underline{monotone}\pv supposons qu'il existe\; $M>0$\hh tel que\hh
$\nn$\vvw$\bnone{\ha\tdf_n\ha}\le\ha M$\pv alors\, $\tdf_n$\, converge en norme\hh$\none{\ }$\hh vers une fonctionnelle\, $\tdf\in\LL^1$\hb;\vvw 
on a donc aussi\,\hh$\dis\lim_n\,\bnone{\ha\tdf_n\ha}\ha
=\ha\bnone{\ha\tdf\ha}$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Valeur absolue d'une pseudo\ha-mesure}}\vvc

\oui La valeur absolue constitue un \e l\e ment structurel fondamental de\, $\PM$\, et lui conf\ee re le statut d'espace de Riesz\pt 
Elle permet d'importer dans\, $\PM$\, une partie significative des concepts et des outils de l'analyse r\e elle\vc

\Def{\num}Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\pv on pose\,\hh$\all h\in\ha\EE^+$
\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\vtdf\hb(h)\ha=\hb\bnst{\,h\ha\tdf\,}$\; .}
\put(2,-2.5){\frm(35,8)}
\end{picture}\\[1mm]

\Lem{\num*}$\all h\in\ha\EE^+\,\hh\all\lam\in\R^+$\,\hh on a\:\hh$\vtdf\hb(\lam\:h)\hw=\hw\lam\:\vtdf\hb(h)$\vbc

\Lem{\num*}$\all h\in\ha\EE^+$\hh on a\quad$\vtdf\hb(h)\le\ha\bnst{\ha\tdf\ha}\;\|\ha h\ha\|$\vbc

\Th{\num}
\begin{picture}(,)
\put(0,0){$\all h\in\ha\EE^+\hhh\vtdf\,(h)\ =\!\dis\sup_{\sbs{\\[.05mm]k\,\in\:\EE\hw,\;
|\ha k\ha|\,\le\:h}}\!\big|\ha\tdf\ha(k)\ha\big|\ =\!\dis\sup_{\sbs{\\[.05mm]k\,\in\:\EE\hw,\;
|\ha k\ha|\,\le\:h}}\!\tdf\ha(k)$\hh.}
\put(19.5,-6){\frm(83.75,12)}
\end{picture}\\[2.5mm]

\Dem On a\,\hh$\all h\in\ha\EE^+\,\hh\vtdf\hb(h)\hb=\hb\bnst{\,h\ha\tdf\,}
=\!\dis\sup_{\sbs{\\[.05mm]k\,\in\:\EE,\;\|\ha k\ha\|\,\le\,1}}\!\big(h\ha\tdf\big)\ha(k)\
=\!\dis\sup_{\sbs{\\[.05mm]k\,\in\:\EE,\;\|\ha k\ha\|\,\le\,1}}\!\tdf\ha\big(\hw k\hb h\big)$\vvk
$=\!\!\dis\sup_{\sbs{\\[.05mm]k\,\in\:\EE,\;|\ha k\ha|\,\le\:h}}\!\tdf\hw(k)$\vc

\Lem{\num}Soient\, $h_{\ha1}\vv h_{\ha2}\in\ha\EE^+$\, tels que\hh\hb$h_{\ha1}\hb.\:h_{\ha2}\ha=\ha0$\pv
alors\,$$\vtdf\hb(h_{\ha1}+h_{\ha2})\hb=\hb\vtdf\hb(h_{\ha1})+\vtdf\hb(h_{\ha2})\,.$$\vs{-2mm}
\Dem $\vtdf\hb(h_{\ha1}+h_{\ha2})\ =\hs{-2mm}\dis\sup_{\sbs{k\,\in\:\EE\\[.75mm]
|k|\,\le\;h_{\ha1}+h_{\ha2}}}\hs{-2mm}\tdf\ha(k)\ =\hs{-2mm}\dis\sup_{\sbs{k_{\ha1},\,k_{\ha2}\,\in\:\EE\\[.75mm]
|k_{\ha1}|\,\le\:h_{\ha1},\,|k_{\ha2}|\,\le\:h_{\ha2}}}\hs{-2mm}\tdf\ha(k_{\ha1}+k_{\ha2})$\vvb
$=\hs{-2mm}\dis\sup_{\sbs{k_{\ha1},\,k_{\ha2}\,\in\:\EE\\[.75mm]|k_{\ha1}|\,\le\:h_{\ha1},\,
|k_{\ha2}|\,\le\:h_{\ha2}}}\hs{-2mm}\tdf\ha(k_{\ha1})+\tdf\ha(k_{\ha2})
=\ \hs{-2mm}\dis\sup_{\sbs{k_{\ha1}\,\in\:\EE\\[.75mm]|k_{\ha1}|\,\le\:h_{\ha1}}}
\hs{-2mm}\tdf\ha(k_{\ha1})\ +\dis\sup_{\sbs{k_{\ha2}\,\in\:\EE\\[.75mm]
|k_{\ha2}|\,\le\:h_{\ha2}}}\hs{-2mm}\tdf\ha(k_{\ha2})\,=\,\vtdf\hb(h_{\ha1})+\vtdf\hb(h_{\ha2})$\vc

\Th{\num}$\vtdf\in\ha\PMS$\vb
\Dem Il reste \ac\ montrer que\,\hh$\all h\vv k\in\ha\EE\ha^+\hh\vtdf\hb(h+k)
=\vtdf\hb(h)+\vtdf\hb(k)$\vwa Soient\, $h\vv k\in\ha\EE\ha^+$;\: on peut trouver une\, \underline{partition}\,
de\, \ab\, en intervalles\, \mbox{$\II_{\ha r}\ (\ha1\le r\le n$\ha)}\vvwa
telle que\hh$h=\sum\pos_{r=1}^n\,\alf_{\ha r}\,\un_{\ha\II_{\ha r}}$\hh et\hh$k=\sum\pos_{r=1}^n\,\beta_{\ha r}\,
\un_{\ha\II_{\ha r}}$\hh avec\hh$\all r\in\db{\ha1\hb,\ha n\ha}\hh
\alf_{\ha r}\in\R^+$\, et\, $\beta_{\ha r}\in\R^+$.\\
On a alors\quad$\vtdf\hb(h+k)\ha=\hb\vtdf\,\Big[\hb\sum\pos_{r=1}^n\,(\alf_{\ha r}
+\beta_{\ha r})\,\un_{\ha\II_{\ha r}}\Big]=\,\sum\pos_{r=1}^n\,\vtdf\hb
\big[\hb(\alf_{\ha r}+\beta_{\ha r})\,\un_{\ha\II_{\ha r}}\big]$\vvw
$=\,\sum\pos_{r=1}^n\,(\alf_{\ha r}+\beta_{\ha r})\,\vtdf\hb(\un_{\ha\II_{\ha r}})
=\,\sum\pos_{r=1}^n\,\alf_{\ha r}\,\vtdf\hb(\un_{\ha\II_{\ha r}})\hb
+\,\sum\pos_{r=1}^n\,\beta_{\ha r}\,\vtdf\hb(\un_{\ha\II_{\ha r}})\ha=\hb\vtdf\hb(h)+\vtdf\hb(k)$\vbc

\Not Nous continuons \ac\ noter\, $\vtdf$\, le prolongement de\, $\vtdf$\: \ac\; $\EE$\vbc

\Th{\num}$\vtdf\in\ha\PM^+$\,\hh et\quad
\fbox{\,$\bnst{\hb\vtdf\hb}=\ha\bnst{\ha\tdf\ha}$\,}\vbc

\Dem$\all h\in\ha\EE$\,\hh on a\quad$\big|\ha\vtdf\ha(h)\ha\big|
=\big|\ha\vtdf\,(h^+)-\vtdf\,(h^-)\ha\big|\le\,\vtdf\,(h^+)+\vtdf\,(h^-)$\vvwa
$=\,\vtdf\,(h^++h^-)=\,\vtdf\,\big(\ha|\ha h\ha|\ha\big)=\big\|\ha|\ha h\ha|\,\tdf\hb\big\|_\star
\le\ha\nst{\ha\tdf\ha}\,\|\ha h\ha\|$\pv donc\, $\vtdf\in\PM$\pv\vvwa d'autre part on a clairement\,\hh
$\vtdf\ge0$\:,\: donc\,\hh$\big\|\ha\hw\vtdf\ha\hw\big\|_\star=\ha\vtdf\hb(\un)=\ha\bnst{\ha\tdf\ha}$\vbc

\Def{\num}$\all\tdf\in\ha\PM$\hh on appelle\, $\vtdf$\, la\, \fbox{\,\textbf{valeur\lo
absolue$\ph{\dot{t}}$}\hs{-1mm}}\, de\, $\tdf$\vc

\Th{\num}$\all\tdf\in\ha\PM\,\hh\all h\in\RR$\,\hh on a\quad
\fbox{\,$\big|\ha\tdf\ha(h)\ha\big|\ha\le\hb\vtdf\hb\big(\hw|\ha h\ha|\hw\big)$\ha}\vaab
\Dem\vvwa
a)\hh$h\in\ha\EE^+$\ha\ :\hh on a\,\hh$\big|\ha\tdf\ha(h)\ha\big|
\le\!\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]k\,\in\,\EE,\;|\hw k\hw|\,\le\,h}}\!|\ha\tdf\ha(k)\ha|=\vtdf\,(h)$\vvab
b)\hh$h\in\ha\EE$\, :\hh on a\,\hh$\big|\ha\tdf\ha(h)\ha\big|=\big|\hb\tdf\ha(\ha h^++h^-)\big|
=\big|\ha\tdf\ha(h^+)+\tdf\ha(h^-)\ha\big|\le\big|\ha\tdf\ha(h^+)\ha\big|
+\big|\ha\tdf\ha(h^-)\ha\big|$\vvwa$\le\vtdf\ha(h^+)+\vtdf\ha(h^-)=\vtdf\hb(h^++h^-)
=\vtdf\big(\hw|\ha h\ha|\hw\big)$\vvab
c)\hh$h\in\RR$\; :\hh vrai par densit\e\ de\, $\EE$ \hb dans\, $\RR$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf\in\ha\PM\,\hh\all\tdg\in\ha\PM^+$\hh on a
$$\boxed{\,\vtdf\le\,\tdg\ \sam\,\Big[\;\all h\in\ha\EE\,\hh\big|\ha\tdf\ha(h)\ha\big|
\le\hb\tdg\,\big(\hw|\ha h\ha|\hw\big)\hb\Big]\,}\ha\pt$$

\Dem\vvwa
a)\hh$\imp$\dd On a\,\hh$\all h\in\ha\EE\,\hh\big|\ha\tdf(h)\ha\big|\le\hb\vtdf\ha\big(\hw|\ha h\ha|\hw\big)
\le\hb\tdg\ha\big(\hw|\ha h\ha|\hw\big)$\va
b)\hh$\pmi$\dd On a\,\hh$\all h\in\ha\EE^+\,\hh\vtdf\,(h)\ =\!\sup\pos_{k\,\in\,\EE,\;
|\hw k\hw|\,\le\,h}\!\big|\ha\tdf\ha(k)\ha\big|\ \le\!\sup\pos_{k\,\in\,\EE,\;|\hw k\hw|\,\le\,h}\!\tdg\,
\big(\hw|\ha k\ha|\hw\big)=\,\tdg\hb(h)$\vc

\Th{\num}$\all\tdf\in\ha\PM\hh\,\all h\in\RR$\,\hh on a\quad
\fbox{\,$\vtdf\ha\big(\hw|\ha h\hw|\ha\big)\le\bnst{\ha\tdf\ha}\:\|\ha h\ha\|$\,}\vb
\Dem a)\hh$h\in\ha\EE$\: :\hh c'est l'in\e galit\e\ de la norme\vw
\hs{20.5mm}b)\hh$h\in\RR$\; :\hh vrai par densit\e\ de\, $\EE$ \hb dans\, $\RR$\vc

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\hb\in\ha\PM$\,\hh on a\quad\fbox{\,$\vtdf\le\vtdg\ \imp\ \bnst{\ha\tdf\ha}\le\nst{\hb\tdg\hb}$\,}\vb
\Dem$\vtdf\le\vtdg\,\imp\,\bnst{\ha\tdf\ha}=\vtdf\hb(\un)\le\vtdg\hb(\un)=\nst{\hb\tdg\hb}$\ha\vc

\oui Les \theo s qui suivent montrent que la valeur absolue dans\, $\PM$\, jouit des m\^emes prori\e t\e s\ha\ que dans\, $\RR$\pt
La valeur absolue dans\, $\PM$\, est donc \ac\ la fois l'``\,image par dualit\e\," de la valeur absolue dans\, $\RR$\vg et sa g\e n\e ralisation puisque\;
$\underline{\RR}\ha\sub\ha\PM$\vbc

\Th{\num}$\all\tdf\in\ha\PM\quad\all\tdg\in\PM^+$\quad on a \quad\fbox{\,$\vtdf\le\tdg\hh\sam\ -\,\tdg\ha\le\tdf\le\tdg$\,}\vab

\Dem\vvwa
a)\, $\imp$\dd On a\quad$\all h\in\ha\EE^+\hh\big|\ha\tdf\ha(h)\ha\big|\le\vtdf\ha(h)\le\ha\tdg\hb(h)$\vg\hb
\cad\,\hh$-\,\tdg\,(h)\le\tdf\ha(h)\le\,\tdg\,(h)$\vab

b)\, $\pmi$\dd On a\quad$\all k\in\ha\EE^+\hh\big|\ha\tdf\ha(k)\ha\big|\le\,\tdg\hb(k)$\pv
donc\quad$\all k\in\ha\EE$\vva$\big|\ha\tdf(k)\ha\big|=\big|\ha\tdf\ha(k^+)
-\tdf\ha(k^-)\ha\big|\le\,\big|\ha\tdf\ha(k^+)\ha\big|+\ha\big|\ha\tdf\ha(k^-)\ha\big|
\le\,\tdg\,(k^+)+\tdg\,(k^-)=\,\tdg\,\big(\ha|\ha k\ha|\ha\big)$\pv\vva on a donc\quad
$\all h\in\ha\EE^+\quad\vtdf\hb(h)\ =\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]k\,\in\,\EE\vv|k|\,\le\;h}}\vtdf\hb(k)\
\le\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]k\,\in\,\EE\vv|k|\,\le\;h}}\tdg\,\big(\ha|\ha k\ha|\ha\big)\,=\,\tdg\hb(h)\pt$\vvb

\Cor{\num*}$\all\tdf\in\PM$\,\hh\fbox{\ha$-\,\vtdf\ha\le\ha\tdf\ha\le\ha\vtdf$\,}\ha\vb

\Th{\num}$\all\tdf,\,\tdg\hb\in\ha\PM$\,\hh on a\,\hh\fbox{\,$\big|\ha\tdf+\tdg\hb\big|\le\ha\vtdf+\vtdg$\,}\ha\vb

\Dem On a\hh$\all h\in\ha\EE^+\,\hh\big|\ha\tdf+\tdg\hb\big|\,(h)=\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]|k|\,\le\;h}}
\big[\ha\tdf\ha(k)+\tdg\hb(k)\big]\le\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]|k|\,\le\;h}}\ \tdf\ha(k)
+\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]|k|\,\le\;h}}\ \tdg\hb(k)$\vvw$=\vtdf\ha(h)+\vtdg\hb(h)=\big(\ha\vtdf+\vtdg\ha\big)\ha(h)$\vb

\Cor{\num*}$\all\tdf,\,\tdg\hb\in\ha\PM$\hh\,on a\,\hh$\big|\,\vtdf-\vtdg\,
\big|\ha\le\ha\ha|\ha\tdf-\tdg\ha|$\vbc
\Cor{\num*}$\all \tdf,\,\tdg\in\PM$\,\hh on a\,\hh$\big\|\,\vtdf-\vtdg\,\big\|_\star\ha
\le\hb\bnst{\ha\tdf-\tdg\ha}$\vb

\Cor{\num*}L'application\hh$\PM\to\PM^+\ :\ \tdf\tto\vtdf$\hh est continue pour la toplologie de la norme\,
$\nst{\ }$\vb

\Th{\num}Si\, $f\in\RR$\vg la valeur absolue de\, $f$\, d\e finie dans\, $\PM$\, co\"\i ncide avec la valeur
absolue ordinaire de\, $f$\vab

\Dem C'est \e vident si\, $f\in\ha\EE$\pt Notons provisoirement la valeur absolue d\e finie\vvwa dans\, $\PM$\,
par\, $|\ \,|\ha_\alf$\pt Soit\, $f\in\RR$\, et soit\, $f_n\in\ha\EE$\, telle que\, $f_n\uu f$\pv on a\hh
$|\ha f\hw_n\ha|\ha_\alf\st|\ha f\ha|\ha_\alpha$\vvwa \cad\hh$|\ha f\hw_n\ha|\st|\ha f\ha|\ha_\alf$\pv
or on a\hh$f\hw_n\uu f$\vg donc\hh $|\ha f\hw_n\ha|\uu|\ha f\ha|$\vg donc\hh$|\ha f_n\ha|\st|\ha f\ha|$\pv
donc\vvwa$|\ha f\ha|\ha_\alf=|\ha f\ha|$\vb

\Cor{\num}\fbox{\,$\tdf\in\LL^1\ \imp\;\vtdf\in\LL^1$\ha}\ha\vb

\Dem Soit une suite\hh$f_n\in\ha\EE$\hh telle que\hh $f_n\one f$\pv alors\hh$\nn\,\hh|\ha f_n\ha|\in\ha\EE$\,\hh
et\vvww$|\ha f_n\ha|\one\vtdf$\vg donc\hh$\vtdf\in\LL^1$\vb

\Rem Etonnament la r\e ciproque de cette proposition est vraie elle aussi\, :\vvw si\hh$\tdf\in\PM$\hh
et si\hh$\vtdf\in\LL^1$\vg alors\hh$\tdf\in\LL^1$\, (\ha Corollaire\, VI\ha\ 1\ha.\,14\ha)\vc

\Th{\num}$\all\tdf\in\ha\PM\quad\all g\in\RR$\,\hh on a\,\hh$\big|\hb g\hb\tdf\ha\big|=\ha|\ha g\ha|\,\vtdf$\vb

\Dem Soit d'abord\, $g\in\ha\EE$\pv alors\hh$\all h\in\ha\EE^+$\hh on a\quad
$\big|\,g\hb\tdf\ha\big|\hb(h)=\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]|\hw k\hw|\,\le\;h}}\,(g\ha\tdf)\hb(k)$\vvw$
=\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]|\hw k\hw|\,\le\;h}}\,\tdf\big(\ha g\,k\big)
=\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]|\hw k\hw|\,\le\;h}}\,\tdf\ha\big(\ha|\ha g\ha|\:k\ha\big)\,
\le\hs{-1.5mm}\sup\pos_{\sbs{\\[.05mm]|\ha\el\ha|\;\le\;|\ha g\ha|\ha h}}\hs{-1.5mm}\tdf\ha(\el\ha)\,
=\,\vtdf\ha\big(\ha|\ha g\ha|\,h\ha\big)=\big(\ha|\ha g\ha|\hb\vtdf\ha\big)\hb(h)\pv$\vva
par ailleurs\, donnons-nous\hh$h\in\ha\EE^+$\pv soit\hh$\eps>0$\hh et\hh$\el\in\ha\EE$\hh
tel que\hh$|\el|\le|\ha g\ha|\,h$\hh et\vvwa$\vtdf\ha(\ha|\ha g\ha|\,h\ha\big)-\eps
\le\tdf(\el)$\pv d\e finissons\hh$k\in\ha\EE$\hh par\dd$\all x\in\ab\quad k\ha(x)=\ha0$\hh
ssi\hh$g\hb(x)=\ha0$\vg\vvwa sinon\hh$k\hb(x)=\el\hb(x)\ha/\ha g\hb(x)$\pv on a\hh$|k|\le h$\hh et donc\hh
$\big(\ha|\ha g\ha|\hb\vtdf\ha\big)\hb(h)-\eps=\vtdf\ha(\ha|\ha g\ha|\,h\ha\big)-\eps\le\ha\tdf\ha(\el)$\vva
$=\tdf\ha\big(\ha g\:k\big)=\ha\big(\ha g\ha\tdf\big)\ha(k)\le\big|\hb g\hb\tdf\ha
\big|(h)$\pv donc\hh$\all h\in\ha\EE^+\hh\big|\hb g\hb\tdf\ha\big|\hb(h)=\big(\ha|\ha g\ha|\hb\vtdf\ha\big)\hb(h)$\vg
donc aussi\vva$\all h\in\ha\EE\,\hh\big|\hb g\hb\tdf\ha\big|\hb(h)
=\big(\ha|\ha g\ha|\hb\vtdf\ha\big)\hb(h)$\ha\vg\ha\cad\hh$\big|\hb g\hb\tdf\ha\big|=|\ha g\ha|\,\vtdf$\va
Le r\e sultat g\e n\e ral se d\e duit alors de la densit\e\ de\, $\EE$\, dans\, $\RR$\, pour la topologie
\mbox{uniforme\ha.}\vvc

\oui Nous pouvons maintenant g\e n\e raliser le \underline{Supr\e mum} et l'\underline{Infimum} aux \pms s\vg
avec des d\e finitions et des propri\e t\e s analogues au cas des fonctions r\e elles\ha.\vvbc

\Def{\num}On pose\,\hh$\all\tdf\vv\tdg\in\PM$\vvab\hs{33mm}$\Sup{}\;\ens{\tdf\vv\tdg}\ha=
$\: \fbox{\,$\tdf\ve\tdg\ha=\ha\inv{2}\:\big(\ha\tdf+\tdg+\big|\ha\tdf-\tdg\hb\big|\ha\big)$\hb}\,\
$\in\ha\PM$\vva\hs{26.5mm} et\quad$\Inf{}\,\ens{\tdf\vv\tdg}\ha=$\: \fbox{\,$\tdf\wa\tdg\ha
=\ha\inv{2}\:\big(\ha\tdf+\tdg-\big|\ha\tdf-\tdg\hb\big|\ha\big)$\hb}\,\ $\in\ha\PM$\vc

\Th{\num*}Les lois\, $\ve$\, et\, $\wa$\, sont idempotentes\vg commutatives et associatives\vb

\Th{\num*}$\all\tdf\vv\tdg\in\PM$\quad\fbox{\,$\tdf\wa\tdg\hb\le\ha\tdf\le\ha\tdf\ve\tdg$\:}\ha\vc

\Def{\num}On pose\,\hh$\all\tdf\in\PM$\quad
\fbox{\,$\tdf^+=\tdf\ve0\ha=\ha\inv{2}\:\big(\ha\vtdf+\tdf\ha\big)$\hb}\ha\ $\in\PM^+$\vvab\hs{55mm}
et\quad\fbox{\,$\tdf^-=\ha(-\tdf)^+=\ha(-\tdf)\ve0\ha=\ha\inv{2}\:\big(\ha\vtdf-\tdf\ha\big)$\hb}\ha\
$\in\PM^+$.\vvc

\Th{\num*}$\all\tdf\in\PM$\quad\fbox{\,$\tdf^+\!\wa\tdf^-\!=\ha0$\hb}\,\vg\,\fbox{\,$\tdf=\ha\tdf^+\!-\tdf^-$}\vvb
\hs{45mm}et\quad\fbox{\,$\vtdf\ha=\ha\tdf^+\!+\tdf^-\!=\ha\tdf^+\hs{-.5mm}\ve\tdf^-\!=\ha\tdf\ve(-\tdf)$\hb}\ha\vc

\oui Ces propri\e t\e s constituent quelques exemples du tr\ee s riche catalogue des relations
v\e rifi\e es par les lois\, $\ve$\, et\, $\wa$\vg que nous d\e taillerons dans le Chapitre II\vg
consacr\e\ aux espaces de Riesz g\e n\e raux\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Mesures et mesures diffuses sur \ab}}\vvc

\oui Il manque aux \pms s\vg malgr\e\ leurs excellentes propri\e t\e s\vg une condition suppl\e mentaire de continuit\e\ sans laquelle les \theo s classiques 
de convergence\vg et en particulier le \theo\ de convergence domin\e e de Lebesgue\vg ne s'appliquent pas\vww

\oui Consid\e rons par exemple la suite\ha\ $g\ha_n$\ha\ constitu\e e par les fonctions caract\e ristiques des intervalles ouverts\, $\big]\,0\ha,\ha\inv{n}\hb\big[$\,
(\ha$n\in\N^*)$\vg suite manifestement domin\e e\hh!\hh Il est clair que la suite\, $g\ha_n$\, converge simplement (\ha et non uniform\e ment\ha) vers 0\pt 
Mais si nous faisons agir la\, \pms\hh$\del_{\ha0}^{\ha+}:\hb g\tto\lim\pos_{\sbs{\\\ 0\ha^+}}\,g$\hh sur la suite\, $g\ha_n$\, nous obtenons\hh
$\nn^*\,\ \del_{\ha0}^{\ha+}\ha(g\ha_n)=1$\vg alors qu'\e videmment\, $\del_{\ha0}^{\ha+}\ha(0)=0$\vw

\oui On est donc naturellement amen\e\ \ac\ poser la d\e finition suivante\, :\vvc

\Def{\num}$\tdf\in\ha\PM$\hh est une\, \underline{mesure}\hh ssi
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\all c\in\ab\,\ \lim\pos_{\sbs{\\\ d\,\to\,c\ha^\pm}}\tdf\,\big(\ha1\hb_{]\,c\ha,\:d\,[}\ha\big)=\,0$\ha\hh.}
\put(3,-4.5){\frm(65,10)}
\end{picture}\\[-1mm]

Cette propri\e t\e\ha\ s'appelle l'\ha\underline{\textsc{hypercontinuit\e}}\, des mesures\vb

On note\quad$\MM=\ens{\hb\tdf\in\ha\PM\ ||\ \tdf\ \mrom{mesure}\hb}$\vb

\Def{\num}$\tdf\in\MM$\: est une mesure\, \underline{diffuse}\hh ssi
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\all c\in\ab\ha\hh\tdf\,\big(1\hw_{\ans{c}}\big)=\hb0$\hb\hh.}
\put(3,-2.5){\frm(50,8)}
\end{picture}\\

On note\quad$\MD=\ens{\hb\tdf\in\ha\PM\ ||\ \tdf\ \mrom{mesure\ diffuse}\hb}$\vbc

La mesure diffuse\,\hh\fbox{\;$\EE\to\R\ :\ h\,\tto\!\dis\Iab h\ha(x)\; d\hb x$\;}\,\hh n'est autre que la\, \mbox{\underline{mesure de Lebesgue}\ha.}\vvc

\Rem Pour des exemples de mesures non diffuses et de pseudo\ha-mesures qui ne sont pas des mesures\vg voir\, Chapitre VII\: \S\ 3\, et\, \S\ 4\vb

\Th{\num*}$\LL^1\,\sub\,\MD\,\sub\,\MM\,\sub\,\PM$\vb

\Th{\num}$\MM$\hh et\: $\MD$\hh sont des\hh sous-espaces\, \underline{ferm\e s}\, de\, $\PM$\vab

\Dem Montrons que\, $\MM$\, est ferm\e\ dans\, $\PM$\vwa
Soit une suite\hh$\tdf\in\MM$\hh telle que\,\hh$\tdf_n\st\tdf\in\ha\PM$\pv il faut montrer\hh$\tdf\in\MM$\vwa
Soit\hh$c\in\ab$\hh et soit\hh$\eps>0$\pv soit\hh$N\in\ha\N$\hh tel que\ha\hh$\bnst{\ha\tdf_N-\tdf\ha}
\le\ha\eps$\pv on a\vvwa$\all d\in\ab\quad\big|\ha\tdf\,\big(\hw1\hb_{]\,c\ha,\,d\:[}
\ha\big)\big|\ha\le\,\big|\ha\tdf_N\,\big(\hw1\hb_{]\,c\ha,\:d\,[}\ha\big)\big|\ha
+\hb\big|\ha(\ha\tdf_N-\tdf\ha)\,\big(\hw1\hb_{]\,c\ha,\:d\,[}\hb\big)\big|\ha
\le\ha\big|\ha\tdf_N\hb\big(\hw1\hb_{]\,c\ha,\:d\,[}\ha\big)\big|\ha+\hb\eps$\vg\vvwa
donc\,\hh$\suplim{d\,\to\,c\ha^\pm}\;\big|\ha\tdf\,\big(\hw1\hb_{]\,c\ha,\:d\,[}\ha\big)\big|\le\hb\eps$\pv
on a donc\,\hh$\lim\pos_{d\,\to\,c\ha^\pm}\;\tdf\,\big(\hw1\hb_{]\,c\ha,\:d\,[}\ha\big)=\hb0$\va
La fermeture de\, $\MD$\, est \e vidente\vc

\Th{\num}$\all\tdf\in\ha\PM$\,\hh on a\,\hh\fbox{\,$\tdf\in\MM\ \sam\ \vtdf\in\MM$\,}\ha\va

\Dem\vvwa
a)\hh$\imp$\dd Soit\hh$\eps>\ha0$\hh et soit\hh$h\in\ha\EE$\hh tel que\hh$\|\ha h\ha\|\le1$\,\hh et\,\hh$\nst{\ha\tdf\ha}\ha\le\ha\tdf\ha(h)\ha+\ha\eps$\pv\vvw
soit\, I\, un intervalle de\; $\ab$\; et soit\hh$\E\ha=\hb\ab-\II$\pv on peut \e crire\vvwa$\vtdf\hb(1_{\hw\II})\ha+\ha\vtdf\hb(1_{\hw\E})\ha=\ha\vtdf\hb(\un)\ha
=\ha\nst{\ha\tdf\ha}\ha\le\ha\tdf\ha(h)+\eps\ha=\ha\tdf\ha(\hw h\,1_{\hw\II})\ha+\ha\tdf\ha(\hw h\,1_{\hw\E})\ha+\ha\eps$\vvwa$\le\ha\tdf\ha(\hw h\,1_{\hw\II})\ha
+\ha\vtdf\hb(1_{\hw\E})\ha+\ha\eps$\pv donc\,\hh$\vtdf\hb(1_{\hw\II})\ha\le\ha\tdf\ha(\hw h\,1_{\hw\II})\ha+\ha\eps$\vwa 
En prenant\,\hh$\I\ha=\ ]\,c\ha,\:d\,[$\,\hh on obtient\,\hh$\suplim{d\,\to\,c\ha^\pm}\ \vtdf\,\big(\hw1\hb_{]\,c\ha,\:d\,[}\ha\big)
\le\suplim{d\,\to\,c\ha^\pm}\ \tdf\,\big(\hw h\:1\hb_{]\,c\ha,\:d\,[}\ha\big)\ha+\hb\eps$\pv\vvw 
or\, $h$\, est localement constante \ac\ gauche ou \ac\ droite de\, $c$\ha\vg
donc\hh$\lim\pos_{d\,\to\,c\ha^\pm}\,\tdf\,\big(\hw h\:1\hb_{]\,c\ha,\:d\,[}\ha\big)=\hb0$\vg\vvw donc\,\hh$\suplim{d\,\to\,c\ha^\pm}\
\vtdf\,\big(1\hb_{]\,c\ha,\:d\,[}\ha\big)\ha\le\hb\eps$\pv donc\,\hh$\dis\lim_{d\,\to\,c\ha^\pm}\,\vtdf\,\big(1\hb_{]\,c\ha,\:d\,[}\ha\big)=\ha0$\vb

b)\hh$\pmi$\dd On a\,\hh$\lim\pos_{d\,\to\,c\ha^\pm}\:\big|\ha\tdf\,\big(\hw1\hb_{]\,c\ha,\:d\,[}\hb\big)\ha\big|\ha
\le\lim\pos_{d\,\to\,c\ha^\pm}\,\vtdf\,\big(\hw1\hb_{]\,c\ha,\:d\,[}\ha\big)=\hb0$\vc

\Th{\num}$\all\tdf\in\ha\PM$\,\hh on a\,\hh\fbox{\,$\tdf\in\MD\hb\ \sam\ \vtdf\in\MD$\,}\ha\vb

\Dem R\e sulte de l'\e galit\e\ \e vidente\,\hh$\all c\in\ab\,\hh\vtdf\,\big(1\hw_{\ans{c}}\big)\ha=\ha\big|\ha\tdf\ha\big(1\hw_{\ans{c}}\big)\big|$\vb

\Cor{\num*}\vvwa$\tdf\in\ha\PM$\: est une mesure\ha\ diffuse\hh ssi\,\hh
\fbox{\,$\all c\in\ab\hh\lim\pos_{\sbs{\\\,d\,\to\,c\ha^\pm}}\;\vtdf\,\big(\hb1\hb_{[\:c\ha,\:d\:]}\hb\big)=\,0\ph{\dot{\dot{l}}}$}\hw\vbc

\Th{\num}Soient\hh$\tdf\in\MM^+,\,\ g\in\ha\EE$\,\hh et\,\hh$\eps>0$\pv alors il existe\hh$h\in\CC$\,\hh
tel que\vvww$\|\ha h\ha\|=\|\ha g\ha\|$\,\hh et\,\hh$\tdf\hb\big(\ha|\hb g-h\ha|\ha\big)<\ha\eps$\vb

\Dem Il suffit de faire un dessin\; !\vvbc

\Cor{\num*}$\all\tdf\in\MM$\,\hh on a\quad
\fbox{\,$\dis\bnst{\ha\tdf\hb}\ =\!\sup_{g\:\in\:\CC\,,\;\|\ha g\ha\|\,=\,1}\!\big|\hb\tdf\hb(g)\ha\big|\ph{\dot{\dot{l}}}$\rs\rr}\ha\vbc

\Cor{\num*}\mbox{$\all\tdf\in\MM$\,\hh on a\quad\fbox{\,$\tdf\hb|\hb_{\CC}=\hb0\ha\ \sam\:\tdf=\hb0$\,}\quad
et\:\hh\fbox{\,$\tdf\hb|\ha_{\R\ha[\ha X]}=\hb0\ha\ \sam\:\tdf=\hb0$\,}}\vvbc

\oui Ce dernier corollaire \e quivaut \ac\ dire qu'une mesure est enti\ee rement d\e termin\e e par ses valeurs sur les fonctions continues ou m\^eme simplement sur les 
polyn\^omes\pt Rappelons n\e anmoins qu'en tant que \pms\vg une mesure est de toute fa\cc on enti\ee rement d\e termin\e e par ses valeurs sur les fonctions \e tag\e es\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Convergence fine dans\, $\PM$}}\vvc

\oui Nous nous int\e ressons \ac\ un nouveau type de convergence\vg la convergence\ha\ \tsf{fine}\hb,\hb\ ainsi d\e nomm\e e car plus fine que la convergence en norme\pt 
Cette convergence est l'analogue pour\, $\PM$\, de la condition de convergence dans\, $\R$\, donn\e e par l'\e galit\e\ de la limite inf\e rieure et de la limite 
sup\e rieure\pt Mais alors que dans\, $\R$\, cette condition est \e quivalente au crit\ee re de Cauchy pour la norme\vg il n'en est plus de m\^eme dans\, $\PM$\vc

\Def{\num}\vvw Une suite\, $\tdf_n\in\ha\PM$\, est\, \underline{\tsf{domin\e e}}\: ss'il existe\hh
$\TDF\in\PM^+$\: tel que\hh\fbox{\,$\nn\ha\hh\big|\ha\tdf_n\ha\big|\ha\le\hw\TDF$\,}\ha\vb

\oui\tsf{Provisoirement toutes les suites seront suppos\e es\, \fbox{\hw domin\e es\hw}}\vbc

\Def{\num}Pour toute suite\: $\tdf_n\in\ha\PM$\: on pose\vvab\hs{10mm}
\fbox{ $\Sup{\sbs{\\[-1.25mm]n}}\ \tdf_n\,=\,\Sup{\sbs{\\[-1.25mm]n}}\:\HO\tdf_0\ve\tdf_1\ve\,\ldots\,
\ve\tdf_n$ }\quad et\quad\fbox{ $\Inf{\sbs{\\[.05mm]n}}\;\tdf_n\,=\,\Inf{\sbs{\\[.05mm]n}}\,\HO\tdf_0
\wa\tdf_1\wa\,\ldots\,\wa\tdf_n$ }\ha\vbc

Ce sont respectivement le\, \underline{Supr\e mum}\: et\ha\ l'\,\underline{Infimum}\: de la suite\,
$\tdf_n$\pv\vvaab on a \e videmment toujours\,\hh\fbox{\;$\Inf{\sbs{\\[-.25mm]n}}\ha\
\tdf_n\ha\le\hb\Sup{\sbs{\\[-1.5mm]n}}\ha\ \tdf_n\ph{\dot{\dot{l}}}$\hs{-.75mm}}\ha\vc

\Th{\num*}Pour toute\ha\ suite\: $\tdf_n\in\ha\PM\hw^+$\, on a\vvab
\hs{30mm}\fbox{\;$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\:\Inf{\sbs{\\n}}\;\tdf_n\:\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star\,
\le\,\inf\pos_{\sbs{\\n}}\,\bnst{\ha\tdf_n\ha}\,\le\:\sup\pos_{\sbs{\\[-1.25mm]n}}\:\bnst{\ha\tdf_n\ha}\,
\le\:\rbox{-.5mm}{\Big\|}\,\Sup{\sbs{\\[-1.25mm]n}}\HO\tdf_n\:\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star$\ha}\ha\vc

\Def{\num}Soit une suite\, $\tdf_n\in\ha\PM$\pv on pose\vva
\hs{40mm}$\nn\,\quad\tdg\ha_n\ha=\,\Inf{\sbs{\\[.25mm]p\ha\ge\ha n}}\ \tdf_p\,\quad
\underline{\mrom{et}}\;\quad\tdh\ha_n\ha=\:\Sup{\sbs{\\[-.25mm]p\ha\ge\ha n}}\,\ \tdf_p\hb\pv$\vva

$\tdg_n$\, est une suite croissante\vg $\tdh_n$\, une suite d\e croissante\pv on pose ensuite\vvb

\hs{45mm}\fbox{ $\Inflim{n}\ha\ \tdf_n\hb=\:\Sup{\sbs{\\[-1mm]n}}\,\ \tdg\ha_n\,
=\:\Sup{\sbs{\\[-1mm]n}}\,\ \Inf{\sbs{\\[.1mm]p}}\,\ \tdf_{n+p}\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-.5mm}}\,
$\in\ha\PM$\vvb
\hs{37.5mm}et\hhh\fbox{ $\Suplim{\sbs{\\[.05mm]n}}\ha\ \tdf_n\hb=\,\Inf{\sbs{\\[.05mm]n}}\ \tdh\ha_n\,
=\,\Inf{\sbs{\\[.05mm]n}}\hb\ \Sup{\sbs{\\[-1.25mm]p}}\,\ \tdf_{n+p}\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-.25mm}}\,
$\in\ha\PM$\vbc

Ce sont respectivement la\, \underline{Limite Inf\e rieure}\: et la\, \underline{Limite Sup\e rieure}\:
de la suite\, $\tdf_n$\pv\vvaab on a \e videmment toujours\,\hh
\fbox{\;$\Inflim{n}\ha\ \tdf_n\ha\le\hb\Suplim{\sbs{\\[.05mm]n}}\ha\ \tdf_n\ph{\dot{\dot{l}}}$\hs{-.75mm}}\ha\vc

\Def{\num}On dit que\, $\tdf_n$\, converge\, \underline{finement}\, vers\hh$\tdf\in\LL^1$\: ssi\vvab

\fbox{\:$\tdf=\:\Inflim{n}\ha\ \tdf_n\ha=\:\Suplim{\sbs{\\[.05mm]n}}\ha\ \tdf_n\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-.5mm}}\ha\vg
\cad\, ssi\,\hh\fbox{\;$\tdf=\,\Sup{\sbs{\\[-1.25mm]n}}\,\ \Inf{\sbs{\\[.05mm]p}}\,\ \tdf_{n+p}\ha
=\hb\Inf{\sbs{\\[.05mm]n}}\hb\ \Sup{\sbs{\\[-1.25mm]p}}\,\ \tdf_{n+p}\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-.5mm}}\pv\vvab
on \e crit\hb\hh\fbox{\,$\tdf_n\fin\tdf$\,}\ha\hh et on note\hb\hh\fbox{\,$\tdf=\hb\Lim{\sbs{\\[.05mm]n}}\
\tdf_n\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-1mm}}\ha\vbc

\Th{\num}Soient\hh$\tdf_n\vv\tdf\in\ha\PM$\pv alors\quad$\tdf_n\fin\tdf$\,\hh ssi\,\hh
\fbox{ $\Suplim{\sbs{\\[.05mm]n}}\ \big|\hb\tdf_n-\tdf\hb\big|=\ha0\ph{\dot{\dot{t}}}$\hs{-.5mm}}\ha\vg\vvab
\cad\ha\ ssi la suite\begin{picture}(,)
\put(5.5,0){$\tphi\hb_n=\hb\Sup{p\:\ge\:n}\ha\ \big|\hb\tdf_p-\tdf\hb\big|\st0$\ha\hh.}
\put(3.25,-5){\frm(47.75,11)}
\end{picture}\vvb

\Dem\vva
a)\hh$\imp$\dd Soit\, $n\in\N$\pv on a\,\hh$\all r\ge n\quad\Big(\,\Inf{\sbs{\\[.05mm]p\:\ge\:n}}\
\tdf_p\Big)-\tdf\le\,\tdf_r-\tdf\le\Big(\,\Sup{p\:\ge\:n}\ \tdf_p\Big)-\tdf$\vg\vvwa
donc\quad$\all r\ge n\quad|\hb\tdf_r-\tdf\hb|\hb\le\hb\Big|\hb\Big(\,\Inf{\sbs{\\[.05mm]p\:\ge\:n}}\
\tdf_p\Big)-\tdf\,\Big|\ve\Big|\hb\Big(\,\Sup{p\:\ge\:n}\ \tdf_p\Big)-\tdf\,\Big|$\pv\vva
donc\hhh$\Sup{r\:\ge\:n}\,\ |\hb\tdf_r-\tdf\hb|\hb\le\hb\Big|\hb\Big(\,\Inf{\sbs{\\[.05mm]p\:\ge\:n}}\
\tdf_p\Big)-\tdf\,\Big|\ve\Big|\hb\Big(\,\Sup{p\:\ge\:n}\ \tdf_p\Big)
-\tdf\,\Big|$\vva\hs{60mm}$=\,\Big|\hb\Big(\,\Inf{\sbs{\\[.05mm]p}}\ \tdf_{n+p}\Big)
-\tdf\,\Big|\ve\Big|\hb\Big(\,\Sup{\sbs{\\[-1.25mm]p}}\ \tdf_{n+p}\Big)-\tdf\,\Big|\st0$\vab

b)\hh$\pmi$\dd Soit\, $n\in\N$\pv on a\vva
$\Big|\hb\Big(\,\Sup{p}\ \tdf_{n+p}\Big)-\tdf\,\Big|=\hb\Big|\ \Sup{p}\ \big(\hb\tdf_{n+p}-\tdf\hb\big)\,\Big|
\le\:\Sup{p}\hh\big|\hb\tdf_{n+p}-\tdf\hb\big|=\,\Sup{r\:\ge\:n}\hh\big|\hb\tdf_r-\tdf\hb\big|\st0$\pv\vvwa
de m\^eme on a\quad$\Big|\hb\Big(\,\Inf{\sbs{\\[.05mm]p}}\ \tdf_{n+p}\Big)-\tdf\,\Big|
=\hb\Big|\ \Inf{\sbs{\\[.05mm]p}}\ \big(\hb\tdf_{n+p}-\tdf\hb\big)\,\Big|
\le\;\Sup{p}\hh\big|\hb\tdf_{n+p}-\tdf\hb\big|\st0$\vc

\num\ \tsc{\underline{Crit\ee re\ha\ pratique}}\dd Soient\hh$\tdf_n\vv\tdf\in\ha\PM$\pv alors\hh
$\tdf_n\fin\tdf$\hh ssi\vvab\hs{20mm}\fbox{ $\all\eps>0$\hh il existe\; $p\in\N$\; tel que\,\hh
$\all q\ge p\,\hh\rbox{-.5mm}{\Big\|}\,\Sup{p\:\le\:r\:\le\:q}\big|\hb\tdf_r-\tdf\hb\big|\,
\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star\!\le\hb\eps\ph{\dot{\dot{\big|}}}$\hs{-.5mm}}\ha\vc

\Cor{\num*}$\all\tdf_n\vv\tdf\ha\in\ha\PM$\hh on a\,\hh\fbox{\,$\tdf_n\fin\tdf\ \imp\ \tdf_n\st\tdf$\,}\pv\vva
de plus si\, $\tdf_n$\, est\, \underline{\tsf{monotone}}\; on a\quad$\tdf_n\fin\tdf\ \sam\ \tdf_n\st\tdf$\vbc

\Th{\num*}\vvwa Soient\, $\tdf_n\vv\tdf\in\ha\PM$\; tels que\hh$\tdf_n\st\tdf$\pv
alors\,\hh\fbox{\,$\Inflim{n}\,\HO\tdf_n\hb\le\hb\tdf\ha\le\:\Suplim{\sbs{\\[.05mm]n}}\,\ \tdf_n$\,}\ha\vc

\Th{\num}Pour toute suite\: $\tdf_n\in\ha\PM\ha^+$\: on a\vvb
\hs{25mm}\fbox{\:$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Inflim{n}\hb\ \tdf_n\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star\,
\le\ \inflim{n}\ph{\tilde{\tdf}}\bnst{\ha\tdf_n\ha}\,\le\;\suplim{\\[.05mm]n}\,\ \bnst{\ha\tdf_n\ha}\,
\le\:\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Suplim{\\[.05mm]n}\hb\ \tdf_n\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star$\,}\ha\vc

\Dem On a\,\hh$\nn\,\hh\sup\pos_p\:\bnst{\ha\tdf_{n+p}\ha}\,
\le\:\rbox{-.5mm}{\Big\|}\:\Sup{p}\ \tdf_{n+p}\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star$\pv
or\,\hh$\Sup{p}\ \tdf_{n+p}\,\st\,\Suplim{\sbs{\\[.05mm]n}}\ \tdf_n$\vvwa quand\; $n\to\pin$\pv donc\,\hh
$\suplim{\sbs{\\[.05mm]n}}\,\ \bnst{\ha\tdf_n\ha}\,
\le\:\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Suplim{\\[.05mm]n}\hb\ \tdf_n\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star$\vbc

\Def{\num}On dit que la suite\, $\tdf_n\in\ha\PM$\hh est\, \underline{Cauchy-fine}\;
(\ha C\ha-fine\ha)\; ssi\ha\ la suite\vvb
\begin{picture}(,)
\put(60,0){$\tphi\hb_n\hw=\,\Sup{p\:>\:n}\ha\ \big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|\st0$\hh.}
\put(57.75,-5){\frm(49.5,11)}
\end{picture}\vvcd

\Th{\num}$\PM$\, est complet pour la convergence fine\vab

\Dem Soit\hh$\tdf_n\in\ha\PM$\hh une suite\: C\ha-fine\pv on a\hh$\all n\in\N$\vvwa
$\dis\sup_{p\,>\,n}\,\bnst{\hb\tdf_p-\tdf_n\hb}\,
\le\:\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\,>\,n}\ \big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star\to0$\hb\vg
donc\, $\tdf_n$\, est une suite de Cauchy\vvw dans\; $\PM$\; pour la norme\; $\nst{\ }$\pv
posons\,\hh$\tdf=\,^{\star}\lim\pos_n\;\tdf_n\,\in\ha\PM$\vwa
Montons que\hh$\tdf_n\fin\tdf$\pv soit\hh$\eps>0$\pv soit\hh$n\in\N$\hh tel que\,\hh
$\bnst{\ha\tdf_n-\tdf\ha}\le\ha\eps$\,\hh et\vvwa$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\,>\,n}\
\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\hb\big|\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star\le\hb\eps\ha\pv$comme\,\hh$\all p\in\N\quad
\big|\hb\tdf_p-\tdf\ha\big|\ha\le\ha\big|\hb\tdf_p-\tdf_n\ha\big|\ha+\ha\big|\hb\tdf_n-\tdf\ha\big|$\vg\vvw
on peut \e crire\,\hh$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\,>\,n}\ \big|\hb\tdf_p-\tdf\ha\big|\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star
\le\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\,>\,n}\ \big|\hb\tdf_p-\tdf_n\ha\big|\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star
+\,\bnst{\hb\tdf_n-\tdf\hb}\le\hb2\;\eps$\vbc

\num\ \tsc{\underline{Crit\ee re\ha\ pratique}}\dd La suite\, $\tdf_n\in\ha\PM$\hh est\, Cauchy-fine\;
ssi\vvab\hs{20mm}\fbox{\ha\ $\all\eps>0$\hh il existe\; $p\in\N$\; tel que\,\hh
$\all q>p\,\hh\rbox{-.5mm}{\Big\|}\,\Sup{p\:<\:r\:\le\:q}\big|\hb\tdf_r-\tdf_p\hb\big|\,
\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star\!\le\hb\eps\ph{\dot{\dot{\big|}}\ha}$\rs}\ha\vc

\oui \tsf{D\e sormais les suites ne seront plus suppos\e es domin\e es \ac\ priori\pv remarquons n\e anmoins
que la convergence fine implique toujours la domination\pv autrement dit\,,\ha\ une suite qui converge finement
est n\e cessairement domin\e e}\vb

\Th{\num*}Soit une suite\: $\tdf_n\in\ha\PM$\hh telle que\,\hh$\sum\pos_{n\,=\,0}^{\infty}\ \bnst{\hw\tdf_n\hw}<\pin$\pv\\[-1mm]
alors\hh$\sum\pos_{n\,=\,0}^{\infty}\,\tdf_n$\ha\, et\, $\sum\pos_{n\,=\,0}^{\infty}\,\big|\ha\tdf_n\ha\big|$\ha\hh convergent finement dans\, $\PM$\pv 
de plus\hh$\tdf_n\fin0$\vbc

\Dem On a\hh$\all\ha p<q$\vva$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\ \Sup{p\,<\,r\,\le\:q}\hb\;\big|\,\tdf_p+\tdf_{p+1}
+\,\ldots\,+\tdf_r\hb\big|\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star\le\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}\ \Sup{p\,<\,r\,\le\:q}\hb\;
\big(\,\big|\ha\tdf_p\ha\big|+\big|\ha\tdf_{p+1}\ha\big|+\,\ldots\,+\big|\ha\tdf_r\hb\big|\,\big)\,
\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star$\vvwwa$=\,\Big\|\,\big|\ha\tdf_p\ha\big|+\big|\ha\tdf_{p+1}\ha\big|
+\,\ldots\,+\big|\ha\tdf_q\ha\big|\,\Big\|_\star\le\hb\sum\pos_{r\,=\,p}^\infty\,\bnst{\ha\tdf_r\ha}$\pv\vvww
donc\hh$\sum\pos_{n\,=\,0}^{\infty}\,\tdf_n$\ha\, et\, $\sum\pos_{n\,=\,0}^{\infty}\,\big|\ha\tdf_n\ha\big|$\ha\:
convergent finement dans\, $\PM$\pv de plus\hh$\all p\in\N$\vvwwa
$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{q\,\ge\;p}\hb\ \big|\ha\tdf_p\ha\big|\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star
\le\hb\rbox{-.5mm}{\Big\|}\ha\sum\pos_{r\,=\,p}^\infty\,\big|\ha\tdf_p\ha\big|\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star\ha
\le\hb\sum\pos_{r\,=\,p}^\infty\,\bnst{\ha\tdf_p\ha}$\ha\vg\ha donc\,\hh$\tdf_n\fin0$\vc

\Th{\num}Soit\, $\tdf\in\ha\PM$\; et soit une suite\; $\tdf_n\in\PM$\; telle que\hh$\tdf_n\st\tdf$\pv\vvww
alors il existe une sous-suite\, $\tdf_{n\ha'}$\, telle que\hh$\tdf_{n\ha'}\fin\tdf$\vaab

\Dem On construit une suite strictement croissante d'indices\, $n\ha'\in\N$\, tels que\vvw
$\all n\in\N\hh\bnst{\hb\tdf_{n\ha'}-\tdf\hb}\le1/\ha2\hb^n$\pv alors on a pour tout indice\, $n\ha'$\vvwa
$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\:\Sup{r\ha'\ha\ge\;n\ha'}\ \big|\hb\tdf_{r\ha'}-\tdf\hb\big|\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star
\le\ha\sum\pos_{r\ha'\ha=\;n\ha'}^\infty\bnst{\hb\tdf_{r\ha'}-\tdf\hb}
\le\ha\sum\pos_{r\,=\:n}^\infty1/\ha2\ha^r=\,2\ha/\ha2\hb^n$\pv donc\,\hh$\tdf_{n\ha'}\fin\tdf$\vc

\Th{\num}La convergence fine dans\: $\PM$\: est une convergence\hb\ \underline{non}\hb\ topologique\ha.\vvab

\Dem Soit une suite\, $\tdf_n\in\PM$\, convergeant en norme vers\, 0\vg mais ne convergeant pas finement\ha\ (\ha par exemple en n'\e tant pas domin\e e\ha)\pv 
supposons qu'on puisse d\e finir la convergence fine \ac\ partir d'une topologie\pv comme\, la suite\, $\tdf_n$\, ne converge pas finement vers\, 0\vg il existe un 
voisinage\, $\VV$\, de\, 0\, pour cette topologie et une sous-suite\, $\tdf_{n\ha'}$\, tels que\hh$\all n\ha'\,\ \tdf_{n\ha'}\nin\ha\VV$\pv 
mais comme la suite\, $\tdf_{n\ha'}$\, converge en norme vers\, 0\vg elle contient une sous-suite\, $\tdf_{n\ha''}$\, qui converge finement vers\, 0\pv on a donc\hh
$\all n\ha''$\, \ac\ partir d'un certain rang\hh$\tdf_{n\ha''}\in\ha\VV$\pv contradiction\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Supr\e mum et Infimum g\e n\e ralis\e s dans\, $\PM$}}\vvc

\oui On g\e n\e ralise aux parties de\, $\PM$\, les notions de\ha\ \mbox{Supr\e mum\ha\ et\ha\ d'Infimum\,,}
d\e j\ac\ rencontr\e s pour les parties finies et les suites de\, $\PM$\, (\hw voir\; \S\S\: 6\ha.\:4\vg 7\ha.\:22\vg 9\ha.\:2\ha)\vbc

\Def{\num}Soit\, $\A$\, une partie de\, $\PM$\, satisfaisant aux propri\e t\e s suivantes\, :\vva
\qquad1)\hh Il existe\hh$\TDF\in\ha\PM$\,\hh tel que\,\hh$\all\tdf\in\A\,\hh\tdf\le\ha\TDF$\hhh(\hb$\A$\, est domin\e e sup\e rieurement\ha)\vvwa
\qquad2\ha)\hh$\all\tdf,\,\tdg\in\A$\,\hh on a\,\hh$\tdf\ve\tdg\in\A$\hhh(\hb$\A$\, est stable pour la loi\, $\ve$\ha)\pv\vvb
on pose alors
\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\all h\in\ha\EE^+\,\hh\TPHI\,(h)=\sup\pos_{\tdf\,\in\;\A}\;\tdf\ha(h)$\hh.}
\put(2,-6){\frm(56,11.5)}
\end{picture}\vd

\Th{\num}$\TPHI\ha\in\ha\PMS$\vab

\Dem  On a clairement\hh$\all h\in\ha\EE\ha^+\,\hh\all\lam\ge0\,\hh\Phi\,(\lam\:h)=\lam\:\TPHI\,(h)$\vwa
Montrons que\,\hh$\all h\vv k\in\ha\EE\ha^+\ha\hh\TPHI\,(h+k)=\TPHI\,(h)+\TPHI\,(k)$\pv
on a\,\hh$\all\tdf\in\A\,\hh\all h\vv k\in\ha\EE\ha^+$\vvw$\tdf\ha(h+k)=\tdf\ha(h)+\tdf\ha(k)
\le\TPHI\,(h)+\TPHI\,(k)$\vg donc\,\hh$\Phi\,(h+k)\le\TPHI\,(h)+\TPHI\,(k)$\vwa

Par ailleurs soient\, $h\vv k\in\ha\EE\ha^+$\, et\hh$\eps>0$\pv il existe\,\hh$\tdf,\,\tdg\in\A$\,\hh tels que\vvw
$\tdf\ha(h)\ge\TPHI\,(h)-\eps$\,\hh et\,\hh$\tdf\ha(k)\ge\TPHI\,(k)-\eps$\pv\vvw on a donc\,\hh
$\TPHI\,(h)+\TPHI\,(k)-2\:\eps\ha\le\tdf\ha(h)+\tdg\hb(k)\le(\tdf\ve\tdg)\hb(h)+(\tdf\ve\tdg)\hb(k)$\vvw
$\le(\tdf\ve\tdg)\hb(h+k)\le\Phi\,(h+k)$ \pt On en d\e duit\,\hh$\TPHI\,(h+k)=\ha\TPHI\,(h)+\TPHI\,(k)$\vwa
De plus soit\, $\tdf_{\ha0}\in\A$\pv on a\,\hh$\all\tdf\in\A\,\hh\all h\in\ha\EE\ha^+\;\ \tdf_{\ha0}\ha(\hw h)
\le\tdf\ha(\hw h)\ha\le\ha\TDF\ha(\hw h)$\vg\vvwa donc\,\hh$\all h\in\ha\EE\ha^+\;\ \tdf_{\ha0}\ha(\hw h)
\le\TPHI\ha(\hw h)\ha\le\ha\TDF\ha(\hw h)$\vg donc\,\hh$\all h\in\ha\EE\ha^+$\vvwa
$\big|\ha\TPHI\ha(\hw h)\ha\big|\ha\le\,\max\hb\ens{\hb\hi{\big|}\ha\tdf_{\ha0}\ha(\hw h)\ha\hi{\big|}
\vv\hi{\big|}\ha\rbox{-.15mm}{$\TDF\ha(\hw h)$}\ha\hi{\big|}\hb}\ha
\le\,\max\hb\ens{\,\bnst{\ha\tdf_{\ha0}\ha}\vv\bnst{\ha\rbox{-.15mm}{$\TDF$}\hb}\ha}\:\|\ha h\ha\|$\vb

\Not On note encore\: $\TPHI$\: le prolongement de\: $\TPHI$\: \ac\; $\EE$\vb

\Th{\num*}\vva
\hs{12.5mm}1)\hh$\TPHI\ha\in\ha\PM$\hs{14.5mm}3\ha)\hh$\all\tdf\in\A\quad\tdf\le\TPHI$\vva
\hs{12.5mm}2\ha)\hh$\TPHI\ha\le\ha\TDF$\hs{18.5mm}4\ha)\hh$\all\ha\TDG\ha\in\ha\PM$\hh
$\Big[\,\big(\,\all\tdf\in\A\quad\tdf\le\hb\TDG\,\big)\ \imp\ \TPHI\ha\le\hb\TDG\;\Big]$.\vvbc

On pose
\begin{picture}(,)
\put(4.5,0){$\TPHI\ha=\,\Sup{}\ \A\ha=\:\Sup{\tdf\,\in\:\A}\ha\ \tdf$\ha\hh.}
\put(2.5,-5.5){\frm(43.5,11)}
\end{picture}\vvc

Si\, $\A$\, est domin\e e inf\e rieurement\hb\ et\ha\ stable par\, $\wa$\ha\vg\ha on d\e finit\hh
$\Inf{}\ \A\ha=\hb\Inf{\tdf\,\in\:\A}\ha\ \tdf$\,\hh de mani\ee re\vvw analogue\pt Sup $\A$\hh se nomme\ha\
le\, \underline{Supr\e mum}\, de\hb\ $\A$\hh et\; Inf $\A$\hh se nomme\ha\ l'\,\underline{Infimum}\,
de\hb\ $\A$\vc

\Th{\num}
\begin{picture}(,)
\put(5,0){$\inf\,\ \bnst{\,\TPHI-\tdf\hb}\ha=\hb0$\ha\hh.}
\put(3.5,-2.5){$_{\tdf\,\in\:\A}$}
\put(1.5,-5.5){\frm(40.25,11.25)}
\end{picture}\vvc

\Dem$\all\tdf\in\A$\quad on a\quad$\bnst{\,\TPHI-\tdf\hb}\ha=\ha\big(\hb\TPHI-\tdf\hb\big)
\hb(\un)\ha=\hb\TPHI\hb(\un)-\tdf\ha(\un)$\ha\vg donc\vvwa$\inf\pos_{\tdf\,\in\,\A}\,
\bnst{\,\TPHI-\tdf\hb}\hb=\ha\inf\pos_{\tdf\,\in\,\A}\,\big[\hb\TPHI\hb(\un)-\tdf\ha(\un)
\ha\big]\ha=\:\TPHI\hb(\un)-\ha\sup\pos_{\tdf\,\in\,\A}\,\tdf\ha(\un)=\hb0$\vbc

\Cor{\num*}$\bnst{\hb\TPHI\hb}\hb=\,\lim\pos_{\sbs{\\[.25mm]\tdf\,\in\:\A}}\,\bnst{\ha\tdf\ha}$\hh
(\ha au sens d'une limite g\e n\e ralis\e e\ha\big).\vvbc

\Cor{\num*}Si\, $\A$\, est inclus \ac\ un sous-espace ferm\e\ de\, $\PM$\vg alors\hb\hh
$\Sup{}\;\A$\hh et\, $\Inf{}\;\A$\hh appartiennent aussi \ac\ ce sous-espace\vb

\Def{\num}Soit\, $\A$\, une partie de\, $\PM$\, domin\e e sup\e rieurement\pt On pose\vva
\hs{25mm}$\A\A\hb=\hb\ens{\,\tdf_1\ve\tdf_2\ve\,\ldots\,\ve\tdf_n\ \big\|\ n\in\N^*\:\
\underline{\mrom{et}}\hb\hh\tdf_1\ha,\,\tdf_2\ha,\,\ldots\,\tdf_n\in\A\,}\,.$\vva

Alors\, $\A\A$\, est encore domin\e e sup\e rieurement et de plus stable pour la loi\, $\ve$\pv\vva
on peut donc poser\begin{picture}(,)
\put(4,0){$\Sup{}\ \A=\Sup{}\ \A\A$\, \pt Idem pour\hh$\Inf{}\ \A$\pt}
\put(2,-3){\frm(36,8)}
\end{picture}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage\null\thispagestyle{empty}\newpage
\initNum
\centerline{\textbf{CHAPITRE\, II}}\vva
\centerline{\textbf{ESPACES DE RIESZ}}\vvcd

\oui Un\ha\ \emph{\tsf{espace de Riesz}}\ha\ est un espace ordonn\e\ poss\e dant une\ha\ \emph{\tsf{valeur absolue}}\ha\ (\ha\ac\ valeurs dans l'espace lui-m\^eme\ha)\pt 
$\R$\, en est l'exemple minimal et paradigmatique\pt De nombreux espaces de fonctions\vg les espaces\, $\PM$\, et\, $\LL^1$\vg ainsi que la plupart des espaces 
d\e finis dans les chapitres suivants\vg sont des espaces de Riesz\pt L'int\e r\^et primordial de cette structure est d'absorber efficacement dans un m\^eme formalisme 
les espaces de fonctions\vg de fonctionnelles\vg de mesures\ha\ et de \pms s\vc

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{D\e finition et propri\e t\e s}}\vvc

\Def{\num}Un espace ordonn\e\, V\, est un\, \underline{espace de Riesz}\, ss\ha'\ha il existe une application\hh$|\hh|\ :\ \V\to\V^+$,\hh appel\e e\, 
\underline{valeur absolue}\ha\vg telle que\vvb
\hs{30mm}\fbox{ $\all u\in\V\quad\all v\in\V^+\hh\Big[\ |\ha u\ha|\le v\ \sam\, -\,v\le u\le v\ \Big]$\,}\ha\vcd

\Th{\num}Dans un espace de Riesz\, V\, on a\, (\ha $u\vv v\in\V$\ha)\vvk

\begin{picture}(,)
\put(45,-6){$1)\hh-|\ha u\ha|\le u\le|\ha u\ha|$}
\put(45,-13){$2\ha)\,\hh u\ge0\ha\ \sam\ u\hb=\hb|\ha u\ha|$}
\put(45,-20){$3\ha)\,\hh\all\lam\in\R\quad|\ha\lam\,u\ha|\ha=\ha|\ha\lam\ha|\,|\ha u\ha|$}
\put(45,-27){$4\ha)\hh|\ha u+v\ha|\le|\ha u\ha|+|\ha v\ha|$}
\put(45,-34){$5\ha)\hh\big|\hb|\ha u\ha|-|\ha v\ha|\hb\big|\le|\ha u-v\ha|$}
\put(41,-38){\frm(59,38)}
\end{picture}\\[35mm]

\Dem\vva
1)\hh$\all u\in\V$\hh on a\hh$|\ha u\ha|\in\V^+$\hh et\hh$|\ha u\ha|\le|\ha u\ha|$\vg donc\hh$-\,|\ha u\ha|\le u\le|\ha u\ha|$\va

2\ha)\hh a)\, $\imp$\dd Soit\, $u\ge0$\pv on a\hh$-\,u\le u\le u$\vg donc\hh$|\ha u\ha|\le u$\pv or\hh$u\le|\ha u\ha|$\vg donc\hh$u=|\ha u\ha|$\vwa
\hs{5mm} b)\, $\pmi$\dd Trivial\va

3\ha)\hh$\all u\in\V$\hh on a\hh$-\,|\ha u\ha|\le u\le|\ha u\ha|$\vg donc\hh$-\,|\ha u\ha|\le-u\le|\ha u\ha|$\vg donc\hh$|\!-u\ha|\le|\ha u\ha|$\vg\vvw
donc aussi\hh$|\ha u\ha|=|-(-u)|\le|\!-u\ha|$\vg donc\hh$|\!-u\ha|=|\ha u\ha|$\vw
D'autre part soit\, $\lam>0$\pv on a\hh$-\,|\ha u\ha|\le u\le|\ha u\ha|$\vg donc\hh$-\ha\lam\:|\ha u\ha|\le\lam\:u\le\lam\:|\ha u\ha|$\vg\vvw
or\hh$\lam\,|\ha u\ha|\in\V^+$,\hh donc\hh$|\ha\lam\:u\ha|\le\lam\,|\ha u\ha|$\pv
on a donc aussi\hh$\lam\:|\ha u\ha|=\lam\:\big|\ha(1/\lam)\,\lam\:u\ha\big|$\vvwa
$\le\lam\:(1/\lam)\,|\hw\lam\:u\ha|=|\hw\lam\:u\ha|$\pv donc\hh$|\hw\lam\,u\ha|=\lam\:|\ha u\ha|$\va

4\ha)\hh$\all u\,,v\in\V$\hh on a\hh$-\,|\ha u\ha|-|\ha v\ha|\ha\le\ha u+v\ha\le\ha|\ha u\ha|+|\ha v\ha|$\vg donc\hh$|\ha u+v\ha|\le|\ha u\ha|+|\ha v\ha|$\va

5\ha)\hh$\all u\vv v\in\V$\hh on a\hh$|\ha u\ha|=|\ha v+u-v\ha|\le|\ha v\ha|+|\ha u-v\ha|$\pv en intervertissant\, $u$\, et\, $v$\, on a\vvww
$|\ha v\ha|\le|\ha u\ha|+|\ha u-v\ha|$\vg donc\hh$-|\ha u-v\ha|\le|\ha u\ha|-|\ha v\ha|\le|\ha u-v\ha|$\vg
donc\hh\ha$\big|\hb|\ha u\ha|-|\ha v\ha|\hb\big|\le|\ha u-v\ha|$\vc

\underline{\emph{Exemples d'espaces de Riesz}}\dd$\EE\vg\CC\vg\RR\vg\FF,\ \LL^1,\ \MD\vv\,\MM\vv\,\PM$\vc

\Th{\num}Il existe\, \underline{au plus une}\, valeur absolue dans un espace ordonn\e\vab

\Dem Soit\, V\, un espace ordonn\e\ et soient\, $|\hh|_1$\, et\, $|\hh|_2$\; deux valeurs absolues\vvw
dans\, V\pv on a\hh$\all u\in\V\ \,-|\ha u\ha|\hw_1\le u\le|\ha u\ha|\hw_1$\vg donc\quad
$|\ha u\ha|\ha_2\le|\ha u\ha|\hw_1$\pv de m\^eme on trouve\vvw$|\ha u\ha|\hw_1
\le|\ha u\ha|\ha_2$\vg donc\hh$|\ha u\ha|\hw_1=\ha|\ha u\ha|\ha_2$\vbc

\oui\underline{Remarque}\, :\, En d\e pit de sa simplicit\e\vg ce \theo\ est particuli\ee rement int\e ressant puisqu'il nous apprend que la structure d'espace ordonn\e\ 
d\e termine d\e j\ac\ la structure d'espace de Riesz\, :\, un espace de Riesz est un espace ordonn\e\ dans lequel \tsf{on peut d\e finir} une valeur absolue\vg 
avant m\^eme que d'\^etre un espace ordonn\e\ dans lequel \tsf{on a d\e fini} une valeur absolue\vc

\Def{\num}Soit \ha V un espace de Riesz\,;\hh$\al\ u\vv v\in\V$\hh on pose\vvb
\qquad\qquad\fbox{\,$u\ve v\ha=\hb\inv{2}\,\big(\hw u+v+|\ha\hw u-v\ha|\ha\big)$\,}\quad\hh
et\quad\hh\fbox{\,$u\wa v\ha=\hb\inv{2}\,\big(\hw u+v-|\ha\hw u-v\ha|\ha\big)$\,}\vcd

\Def{\num}Soit\, V\, un espace de Riesz\pv$\all u\in\V$\hh on pose\vvb\qquad\qquad
\fbox{\,$u^+=\hb u\ve0\ha=\hb\inv{2}\,\big(\ha|\ha u\ha|+u\ha\big)$\hw}\quad\hh
et\quad\hh\fbox{\,$u^-=(-u)^+=\hb(-u)\ve0\ha=\hb\inv{2}\,\big(\ha|\ha u\ha|-u\ha\big)$\hw}\ha\vbc
$u^+$\, et\; $u^-$\, s'appellent la\, \underline{partie positive}\, et la\, \underline{partie n\e gative}\, de\, $u$\vcd

\initnm
\num\ \underline{Th\e or\ee me}\dd \underline{Propri\e t\e s des lois\, $\wa$\, et \,$\ve$\, dans un espace
de Riesz\, V}\vvaab
\hs{60mm}(\hb $u\vv v\vv w\vv x\in\V$\hb)\vvbc

\ 1)\hh$\all \lam\in\R^+\,\hh(\lam\,u)^+=\ha\lam\:u^+$\quad et\quad$(\lam\,u)^-=\ha\lam\:u^-$\vvab
\ \nm$\all \lam\in\R^+\,\hh\lam\,(u\wa v)\ha=\ha(\lam\,u)\wa(\lam\,v)$\quad et\quad$\lam\,(u\ve v)\ha=\ha(\lam\,u)\ve(\lam\,v)$\vvab
\ \nm$-\,(\hw u\wa v\hw)=\ha(-\ha u)\ve(-\ha v)$\quad et\,\hh$-\,(\hw u\ve v\hw)=\ha(-\ha u)\wa(-\ha v)$\vvab
\ \nm$(u+v)\ve(u+w)=\hb u+(u\ve w)$\hhh et\,\quad$(u+v)\wa(u+w)=\hb u+(u\wa w)$\vvab
\ \nm$u\wa v\ha\le\ha u\ha\le\ha u\ve v$\vvab
\ \nm$u\ve u\hb=\hb u\wa u\hb=\hb u$\quad(\ha idempotence\ha)\vvab
\ \nm$u\ve v\ha=\,v\ve u$\hhh et\,\quad$u\wa v\ha=\,v\wa u$\quad(\ha commutativit\e\ha)\vvab
\ \nm$(u\ve v)\ve w\hb =\hb u\ve(v\ve w)$\quad et\quad$(u\wa v)\wa w\hb=\hb u\wa(v\wa w)$\quad(\ha associativit\e\ha)\vvab
\ \nm$u\wa(v\ve w)\hb=\hb(u\wa v)\ve(u\wa w)$\quad et\quad$u\ve(v\wa w)\ha=\ha(u\ve v)\wa(u\ve w)$\quad(\ha distributivit\e\ha)\vvab
\nm$v\le\ha w\ \imp\ \big(\,u\ve v\le\hb u\ve w$\quad et\quad$u\wa v\le\hb u\wa w\,\big)$\quad(monotonie)\vvab
\nm$u\wa v\ha\le\ha u\ha\le\ha u\ve v$\vvab
\nm$\big(\,u\le v$\,\hh et\hh\ha$u\le w\,\big)\ \imp\ u\hb\le\,v\wa w$\,\quad
\big[\,$u\wa v$\, est la borne inf\e rieure de\hb\ $u$\hb\ et\hb\ $v$\,\big]\vvab
\nm$\big(\,u\le w$\,\hh et\hh\ha$v\le w\,\big)\ \imp\ u\ve v\,\le\,w$\,\quad
\big[\,$u\ve v$\, est la borne sup\e rieure de\hb\ $u$\hb\ et\hb\ $v$\,\big]\vvab
\nm$u\le v\ \sam\ u\wa v\ha=\hb u$\vvab
\nm$u\le v\ \sam\ u\ve v\ha=\hb v$\vvab
\nm$u\ve v\,+\,u\wa v\ha=\,u+v$\hhh et\hhh$u\ve v\,-\,u\wa v\,=\,|\ha u-v\ha|$\vvab
\nm$u\ve(-u)\ha=\ha|\ha u\ha|$\hhh et\hhh$u\wa(-u)\ha=\ha-\,|\ha u\ha|$\vvab
\nm$u^+\hs{-.5mm}\wa\,u^-=\,0$\vvab
\nm$u\ha=\,u^+\hs{-.5mm}-\:u^-$\vvab
\nm$|\ha u\ha|=\,u^++\:u^-=\: u^+\ve\:u^-$\vvab
\nm$u\ha\le\hb v\,\ \sam\ \big(\,\hb u^+\le\ v^+$\hb\hh et\quad$u^-\ge\ v^-\,\big)$\vvab
\nm$2\;(u\wa v)^+\le\,(u+v)^+\le\;u^++\ v^+$\hhh et\hhh$2\;(u\ve v)^-\le\,(u+v)^-\le\;u^-+\ v^-$\vvab
\nm$(u\wa v)^+=\;u^+\hs{-.5mm}\wa\,v^+$\,\quad et\hhh$(u\wa v)^-=\;u^-\wa\,v^-$\vvab
\nm$(u\ve v)^+=\;u^+\hs{-.4mm}\ve\hb v^+$\,\quad et\hhh$(u\ve v)^-=\;u^-\ve\hb v^-$\vab
\nm$u\ve v\,=\:u^+\ve\hb v^+\hs{-.3mm}-\,u^-\wa\,v^-$\,\quad et\hhh$u\wa v\,=\:u^+\hs{-.3mm}\wa\,v^+\hs{-.3mm}-\,u^-\ve\,v^-$\vvab
\nm$|\ha u\ve v\ha|\,\le\,|\ha u\ha|\ve|\ha v\ha|$\hhh et\,\quad$|\ha u\wa v\ha|\,\le\,|\ha u\ha|\ve|\ha v\ha|$\vvab
\nm$|\ha u+v\ha|\ve|\ha u-v\ha|\ha=\ha|\ha u\ha|+|\ha v\ha|$\vvab
\nm$|\ha u\ha|\wa|\ha v\ha|=\hb0\,\ \imp\,\ |\ha u+v\ha|\ha=\hb|\ha u\ha|+|\ha v\ha|$\vvab
\nm$|\hb u\ve v-w\ve x\hb|\le|\ha u-w\ha|+|\ha v-x\ha|$\hhh et\,\quad$|\hb u\wa v-w\wa x\hb|\le|\ha u-v\ha|+|\ha w-x\ha|$\vvab
\nm$u\le w\ \imp\ u\ve(v\wa w)\ha=\ha(u\ve v)\wa w\stack{\;d\ea f}{=}$ \fbox{\hw$u\ve v\wa w$\hw}\vvab
\nm$\all u\vv v\vv w\in\V\ha^+\,\hh u\wa(v+w)\le\ha u\wa v\ha+\ha u\wa w$\vvab
\nm$\all v\vv w\in\V\ha^+\;\ \Big[\:\big(\,u\hw=\ha v-w$\,\hh et\,\hh
$v\wa w\hw=\ha0\,\big)\ \sam\ \big(\,v=\ha u^+$\,\hh et\,\hh$w=\ha u^-\,\big)\hb\Big]$\vbc

\oui On constate qu'on retrouve toutes les propri\e t\e s de l'ordre dans\, $\R$\vg sauf bien s\^ur celles li\e es \ac\ la\ha\ \emph{totalit\e}\ha\ de cet ordre\pt 
A cette restriction pr\ee s on peut donc \e noncer\, :\, ``\; \tsf{Si c'est vrai dans\, $\R$\vg c'est vrai dans un espace de Riesz}\;"\vww
\oui Tous ces r\e sultats sont de d\e monstration \e l\e mentaire\, (\ha voir\ha\ Zaanen\ha\ [\ha34\ha]\ha)\, 
et nous les utiliserons librement et abondamment dans la suite\vcd

\num\ \underline{\Theo\ha\ de balayage dans\, $\LL^1$}\dd$\all\tdf\in\LL^1$\hh on a
\begin{picture}(,)
\put(3.25,0){$\dis\limone{\,\ \alf\,\to\pin}\ \alf\wa\tdf\ha=\ha\tdf$\hh.}
\put(3,-4.5){\frm(35.25,10)}
\end{picture}\\

\Dem Soit\hh$\eps>0$\hh et soit\hh$g\in\ha\EE$\hh tel que\hh$\none{\ha\tdf-g\hb}\ha
\le\ha\eps$\pv on a\hh$\all\alf>0$\vvwa$\none{\hb\alf\wa\tdf-\tdf\ha}\ha
\le\hb\none{\hb\alf\wa\tdf-\alf\wa g\hb}\hb+\hb\none{\ha\tdf-g\hb}\hb
+\hb\none{\hb\alf\wa g-g\hb}\hb$\vvwa
$\ha\le\hb2\;\none{\ha\tdf-g\hb}\hb+\hb\none{\hb\alf\wa g-g\hb}\ha\le\hb2\;\eps\hb
+\hb\none{\hb\alf\wa g-g\hb}$\pv or\hh\hb$\all\alf\ge\|\ha g\ha\|$\,\hh on a\,\hh
$\alf\wa g=g$\pv\vvwa donc\hh\,$\all\alf\ge\|\ha g\ha\|$\,\hh on a\,\hh
$\none{\hb\alf\wa\tdf-\tdf\ha}\ha\le\hb2\;\eps$\vbc

\Cor{\num*}
\begin{picture}(,)
\put(3.25,0){$\dis\limone{\,\ \alf\,\to\pin}\ (-\ha\alf)\ve\tdf\wa\ha\alf\ha=\ha\tdf$\ha\hh.}
\put(3,-4.5){\frm(49.75,10)}
\end{picture}\\[12.5mm]

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Treillis}}\vvc

\num\ \underline{D\e finition\, I}\dd Un \emph{ensemble} ordonn\e\, E\, est un\, \underline{treillis}\hh
ssi\hh$\all a\vv b\in\E$\hh la paire\, $\ens{\ha a\vv b\hw}$\, poss\ee de un\ha\ \emph{majorant minimum}\,
(\ha not\e\hh$a\ve b$\ha)\, et un\ha\ \emph{minorant maximum}\, (\ha not\e\hh$a\wa b$\ha)\pt
On en d\e duit\,\hh$\all a\vv b\in\T$\,\hh\fbox{\,$a\wa b\,\le\ha a\ha\le\hb a\ve b$\,}\vbc

\Rem Rappelons que\vg dans un ensemble ordonn\e\vg un \e l\e ment est \emph{minimum} s'il est inf\e rieur \ac\ tous les autres 
(\ha il est donc n\e cessairement unique\ha)\pv par contre un \e l\e ment est \emph{minimal}
si aucun autre ne lui est inf\e rieur\vg ce  qui est une propri\e t\e\ plus faible qui n'assure pas l'unicit\e\vbc

\num\ \underline{D\e finition \e quivalente\, II}\dd Un ensemble\, E\, est un treillis\hb\ ss\ha'\ha il
existe deux lois de\vvww composition sur\, E\vg not\e es\hh$\ve$\hh et\hh$\wa$\hb\vg\ha \emph{commutatives}\vg
\emph{associatives}\ha\ et\ha\ \emph{idempotentes}\vg telles\vvwa que\quad
\fbox{\:$\all a\vv b\in\E$\ho$\hh\big[\ a\wa\hw b\hb=\hb a\,\ \sam\,\ a\ve b\hb=\hb b\ \big]$\,}\ha\pt\vvb

On peut alors d\e finir un ordre sur\, E\, par la condition\,\hh\mbox{\fbox{\,$\all a\vv b\in\E\quad a\le b$\hb\ho\ $\sam\ a\wa\hw b\hb=\hb a$\,}\hb.}\vvab
Pour cet ordre\hh$\ve$\hh et\hh$\wa$\hh constituent effectivement les op\e rations de ``\,majorant minimum\,"\vvw et de ``\,minorant maximum\,"\vb

\num\ \underline{D\e finition \e quivalente\, III}\dd Un ensemble\, E\, est un treillis\hb\ ss\ha'\ha
il existe deux lois de\vvww composition sur\, E\vg not\e es\hh$\ve$\hh et\hh$\wa$\hb\vg\ha \emph{commutatives}\hb\
et\hb\ \emph{associatives}\vg v\e rifiant la propri\e t\e\vvwa d'\,\underline{absorption}\,\quad
\fbox{\,$\all a\vv b\in\E\quad a\wa(\hw a\ve b\hw)\ha=\hb a\ve(\hw a\wa b\hw)\hw=\hb a$\,}\pt\vvbc

\Rem La propri\e t\e\ d'absorption\ha\ \emph{\ac\ elle seule}\ha\ implique d\e j\ac\ l'idempotence des
lois\hh$\ve$\hh et\hh$\wa$\hb\pv en effet on peut alors\ha\ \e crire\,\hh$\al\;a\in\T$\vva
\hs{50mm}$a\ve a\,=\, a\ve\big[\hb a\wa(a\ve a)\hb\big]\ha=\,a$\vva
\hs{50mm}$a\wa a\,=\, a\wa\big[\hb a\ve(a\wa a)\hb\big]\ha=\,a$\vbc

\num\ \underline{\Theo\ha\ fondamental}\vvab
\hs{20mm}\fbox{\,Un\ha\ \tsf{espace}\ha\ ordonn\e\hb\ho est un treillis\,\ ssi\ha\ c'est un espace de
Riesz\,.$\ph{\big|}$\hs{-1mm}}\vvb

\Dem\vvwa

a\hw)\hh$\imp$\dd Soit\, V\, un espace ordonn\e\ pos\e dant une structure de  treillis\pv on pose\\
\begin{picture}(,)
\put(2,-1.5){$\all u\in\V\,\hh|\ha u\ha|=\hb u\ve(-\,u)$\,\ \pv
montrons que\hh$|\hh|$\hh est une valeur absolue sur V\pt}
\put(0,-3.5){\frm(49,6.5)}
\end{picture}\\[4mm]
On a\,\hh$\all u\in\V\,\hh|\ha u\ha|\ge u$\,\hh et\,\hh$|\ha u\ha|\ge-\,u$\vg
donc\,\hh$2\ |\ha u\ha|\ge\hb u\ha+\ha(-\,u)=\ha0$\vg donc\,\hh$|\ha u\ha|\ge0$\va
D'autre part on peut \e crire\,\hh$\all u\in\V\,\hh\all v\in\V\ha^+$ :\,\hh
$|\ha u\ha|\le\ha v\hh\sam\hh u\ve(-\,u)\le\ha v$\vvwa
\hs{110mm}$\sam\,\ \big(\hb u\le\ha v$\,\hh et\; $-\,u\le\ha v\hb\big)$\vvwa
\hs{110mm}$\sam\,\ -\,v\ha\le\ha u\le v$\va

b\hw)\hh$\pmi$\dd Cons\e quence des propri\e t\e s\hh6\ha)\:,\hb\ 11\ha)\:,\hb\ 12\ha)\:,\hb\ 13\ha)\vcd

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Sous-espaces d'un espace de Riesz}}\vvc

\Def{\num}Soit\, V\, un espace de Riesz\pv un sous-espace\, W\, de\, V\, est\, \underline{coh\e rent}\, ssi\, W\, est stable pour les lois\hh$\ve$\hh et\hh$\wa$\vab

\Rem  W\, \e tant un sous-espace\vg la stabilit\e\ pour l'une des lois implique la stabilit\e\ pour l'autre\vb

\Th{\num}W\, est coh\e rent\hh ssi\quad$\all u\in\V$\,\hh on a\quad\fbox{\,$u\in\W\,\imp\,|\ha u\ha|\in\W$\,}\vab

\Dem a)\hh$\imp$\dd Si\hh$u\in\W$\,\hh on a\,\hh$|\ha u\ha|\ha=\hb u\ve(-u)\in\W$\va
\hs{21mm}b)\hh$\pmi$\dd Si\hh$u\vv v\in\W$\,\hh on a\,\hh
$u\ve v\ha=\hb\inv{2}\,\big(\ha u+v+|\ha\hw u-v\hb|\ha\big)\in\W$\vbc

\Th{\num*}Soient\, V\, un espace de Riesz\, et\, W\, un sous-espace de\, V\pv alors\, W\, est un espace de Riesz\, (\ha pour la structure induite\ha)\, 
ssi\, W\, est coh\e rent\vb

\Th{\num*}\vvwa
$\MM$\: et\, $\MD$\hh sont des sous-espaces\ha\ coh\e rents\ha\ et\, \fbox{int\e graux}\, de\, $\PM$\vbc

\Th{\num}Soient\, V\, un espace de Riesz\, et\, W\, un sous-espace de\, V\, \tsf{coh\e rent}\ha\ et\vvw
\tsf{int\e gral}\pv alors\, V/\hb W\, poss\ee de une structure naturelle d'espace de Riesz\,\ en d\e finissant la\vvwa valeur absolue par\,\hh
\fbox{\:$\al\ \wh{u}\ha\in\V/\hb\W\quad|\hb\wh{u}\hb|=\wh{|\ha u\ha|}$\,}\hb\vg\ha\cad\,\hh$|\ha u+\W\ha|=|\ha u\ha|+\W$\vbc

\Dem Montrons d'abord que cette d\e finition est ind\e pendante des repr\e sentants\vvw choisis\ha\vg\cad\hb\
que\,\hh$\all u\vv v\in\V\,\hh\big(\,\wh{u}\ha=\hb\wh{v}\ \imp\;\wh{|\ha u\ha|}\ha=\ha\wh{|\ha v\ha|}\:\big)$\vg
\cad\hb\ encore\,\hh$\all u\vv v\in\V$\vvw$\big(\,u-v\in\W\:\imp\:|\ha u\ha|-|\ha v\ha|\in\W\,\big)$\pt
Soient donc\hh$v\in\V$\hh et\hh$w\in\W$\pv il faut montrer que\vvw$|\ha v+w\ha|-|\ha v\ha|\in\W$\pv
or on a\,\hh$-\,|\ha w\ha|\le|\ha v+w\ha|-|\ha v\ha|\le|\ha w\ha|$\pv de plus\hh$|\ha w\ha|\in\W$\,
car\, W\vvw est coh\e rent\pv on en d\e duit\hh$|\ha v+w\ha|-|\ha v\ha|\in\W$\hh car\, W\, est int\e gral\vab

D\e montrons ensuite que\, $|\:\ |$\, est bien une valeur absolue sur\, V/\hb W\vg
\cad\ha\ que\vvwa$\al\ \wh{u}\in\V/\hb\W\,\hh\al\ \wh{v}\in\big(\V/\hb\W\big)^+\hh
\Big[\:|\hb\wh{u}\hb|\le\ha\wh{v}\,\ \sam\:-\,\wh{v}\ha\le\hb\wh{u}\ha\le\hb\wh{v}\;\Big]$\vab

a)\hh$\imp$\dd Supposons\,\hh$|\hb\wh{u}\hb|\le\wh{v}$\pv alors il existe\, $w\in\W$\, tel que\hh $|\ha u\ha|\le v+w$\vg \cad\vvw
$-\,v-w\le u\le v+w$\pv on en d\e duit\hh$-\,v\le\ha u+w$\,\hh et\,\hh $u\le\ha v+w$\ha\vg donc\hh$-\,\wh{v}\ha\le\hb\wh{u}\ha\le\hb\wh{v}$\vab

b)\hh$\pmi$\dd Supposons\,\hh$-\,\wh{v}\le\hb\wh{u}\ha\le\ha\wh{v}$\pv alors il existe\hh $w\hw_1\vv w\ha_2\in\W$\hh tels que\hh$-\,v\ha\le u+w\hw_1$\vvw 
et\,\hh$u\ha\le\ha v+w\ha_2$\pv on en d\e duit\hh$-\,v-\hb w\hw_1\le\hb u\hb\le\ha v\ha+\ha w\ha_2$\ha\vg donc\vvw
$-\,v-(w\hw_1\ve w\ha_2)\le\hb u\hb\le v\,+\hb(w\hw_1\ve w\ha_2)$\vg donc\,\hh$|\ha u\ha|\le v\,+\hb(w\hw_1\ve w\ha_2)$\ha\vg
donc\hh$|\hb\wh{u}\hb|\le\wh{v}$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Domaines de Riesz sur un espace de Riesz}}\vvc

\Def{\num}\vva Soient\, A\, et\, V\, deux espaces de Riesz\pv on dit que\, V\, est un\, \underline{domaine de Riesz}\, sur\hb\ A\vvww 
ss\ha'\ha il est muni d'une multiplication externe\hb\ \tsf{bilin\e aire}\,\hh$\AZ\times\V\to\V\::\ (a\hb,\ha u)\ha\tto\hb a\:u$\vvwa telle que\hh
\fbox{\;$\all a\in\AZ\,\hh\all u\in\V\,\hh|\ha a\:u\ha|=|\ha a\ha|\,|\ha u\ha|\ph{\dot{l}}$\hs{-.75mm}}\ha\vbc

\Th{\num}Dans un domaine de Riesz\, V\, sur\, A\, on a\vvab
\qquad1)\hh$\all a\in\AZ^+\,\hh\all u\in\V\ha^+\hh\,a\:u\in\V\ha^+$\vvw
\qquad2\ha)\hh$\all a\vv b\in\AZ^+\,\hh\all u\vv v\in\V\ha^+\hh\,\big[\,\big(\,a\le\ha b$\hh\,et\,\hh$u\le\ha v\,\big)\,\imp\,a\:u\le\hb b\:v\:\big]$\vvw
\qquad3\ha)\hh$\all a\vv b\in\AZ\quad\all u\in\V\ha^+\hh\,(a\wa b)\:u\ha=\ha(a\:u)\wa(b\:u)$\hh et\quad$(a\ve b)\:u\ha=\ha(a\:u)\ve(b\:u)$\vvw
\qquad4\ha)\hh$\all a\in\AZ^+\,\hh\all u\vv v\in\V\quad a\:(u\wa v)=\ha(a\:u)\wa(a\:v)$\hh et\quad$a\:(u\ve v)=\ha(a\:u)\ve(a\:v)$\vvb

\Dem\vva
1)\:\hh$a\:u\ha=\hb|\ha a\ha|\,|\ha u\ha|\ha=\hb|\ha a\:u\ha|\ha\in\ha\V\ha^+$\va
2\ha)\hh$(b-a)\:u\ge\,0$\vg donc\,\hh$b\:u\ge\,a\:u$\ha\pv\ha de m\^eme\,\hh$b\:(v-u)\ge\,0$\ha\vg\ha donc\,\hh$b\:v\ge\,b\:u$\pv\vvw
\hs{7mm}donc\,\hh$b\:v\ge\,b\:u\ge\,a\:u$\va
3\ha)\hh$(a\wa b)\:u\hb=\,\inv{2}\,\big(\ha a+b-|\ha\hw a-b\hb|\ha\big)\:u\hb=\,\inv{2}\,\big(\ha a\:u+b\:v-|\ha\hw a-b\hb|\:u\hb\big)$\vvw
\hs{7mm}$=\,\inv{2}\,\big(\ha a\:u+b\:v-|\ha(a-b)\:u\hb|\hb\big)\ha=\,\inv{2}\,\big(\ha a\:u+b\:v-|\ha a\:u-b\:u\hb|\hb\big)=\ha(a\:u)\wa(b\:u)$\va
4\ha)\hh Idem\vbc

\underline{\emph{Exemples}}\dd$\low{\RR}\,\vv\ha\LL^1\ha,\:\MD\ha\vv\ha\MM\vv\ha\PM$\hh sont des domaines de Riesz sur\hb\ $\RR$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Espaces\ha\ semi\hw-norm\e s de Riesz}}\vvc

\Def{\num}Un espace de Riesz\, V\,  muni d'une semi\hw-norme\, (\ha resp\,. norme\ha)\: $\snrm{\ }$\: est un espace\, \underline{semi\hw-norm\e}\, 
(\ha resp\,. \underline{norm\e}\hb)\, \underline{de Riesz}\: ssi\vvb
\hs{40mm}\fbox{$\,\al\;u\vv v\in\V\quad|\ha u\ha|\le|\ha v\ha|\,\imp\,\snrm{u}\le\ha\snrm{v}$\,}\ha\vc

\Th{\num}Dans un espace semi\hw-norm\e\ha\ de Riesz\, V\, on a\, (\ha$u\vv v\in\V$\ha)\vvb

\begin{picture}(,)
\put(45,0){1)\hh$|\ha u\ha|=|\ha v\ha|\;\imp\,\nrm{u}=\ha\snrm{v}$}
\put(45,-8){2\ha)\hh$\big\|\ha|\ha u\ha|\hb\big\|_s\hs{-.25mm}=\ha\snrm{u}$}
\put(45,-16){3\ha)\hh$\big\|\ha|\ha u\ha|-|\ha v\ha|\hb\big\|_s\le\,\snrm{\hw u-v\hw}$}
\put(42,-19.5){\frm(59,25)}
\end{picture}\\[17.5mm]

\Dem C'est trivial\pv d\e montrons par exemple\ha\ 2\ha)\, :\, on a\,\hh$\all u\in\V\,\hh\big|\ha|\ha u\ha|\hb\big|\ha=\ha|\ha u\ha|$\ha\vg\vvw 
donc\,\hh$\big\|\ha|\ha u\ha|\hb\big\|_s\hs{-.25mm}=\ha\snrm{u}$\vc

\Th{\num*}\fbox{\hb Un\ho espace norm\e\ha\ de Riesz est archim\e dien\,.$\ph{\big|}$\hs{-1mm}}\vvbc

\Def{\num}Un espace norm\e\ha\ de Riesz\, V\, est un\, espace de \underline{Riesz\ha-Banach}\ha\ (\ha ou\\
\underline{treillis de Banach}\,)\ha\ ssi V est complet pour la norme\pt Si de plus\, V\, est un espace de\\
Hilbert on parle d'un espace de\, \underline{Riesz\ha-Hilbert}\vbc

\underline{Exemples d'espaces de Riesz\ha-Banach}\dd\vva
$\big(\hb\CC\vv|\hh|\vv\|\ \|\hb\big)\vg\big(\hb\FF,\,|\hh|\vv\|\ \|\hb\big)\vg
\big(\hb\LL^1,\,|\hh|\vv\none{\ }\hb\big)\vg\big(\hb\MM\vv|\hh|\vv\nst{\ }\hb\big)\vg
\big(\hb\PM\vv|\hh|\vv\nst{\ }\hb\big)$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{N-dual d'un espace semi\hw-norm\e\ha\ de Riesz}}\vvc

\hhh Nous nous proposons de g\e n\e raliser \ac\ un espace semi\hw-norm\e\ha\ de Riesz\ha\ quelconque\\
la construction qui nous a permis d'obtenir\, $\PM$\, \ac\ partir de\, $\EE$\vbc

\Def{\num}Soit\, V\, un espace semi\hw-norm\e\ha\ de Riesz\ha\ et soit\, $\V\ha^\star$\, le\ha\ N\hw-\hw dual\ha\ de\, $\V$;\\$\V\ha^\star$\, est un espace de Banach 
pour la norme duale\, $\nst{\ }$\, d\e finie par\vvw

\begin{picture}(,)
\put(30,-5){$\all\phi\in\V\ha^\star\,\hh\nst{\ha\phi\ha}\,=\!\sup\pos_{u\,\in\,\V,\;\nrm{u}\,=\,1}\!\big|\hb\phi\,(u)\ha\big|\,
=\!\sup\pos_{u\,\in\,\V,\;\nrm{u}\,\le\,1}\!\big|\hb\phi\,(u)\ha\big|$}
\put(27.5,-11){\frm(106,11.5)}
\end{picture}\\[10mm]

\Def{\num}On d\e finit un ordre dans \,$\V\ha^\star$\, de la mani\ee re suivante\, :\vvab
\hs{25mm}$\all\phi\vv\psi\in\V\ha^\star$\hh on pose\quad\fbox{\,$\phi\ha\le\ha\psi\quad
\mrom{ssi}\quad\all u\in\V^+\hh\phi\,(u)\le\ha\psi\,(u)$\,}\vc

\Th{\num*}$\V\ha^\star$\, est un espace ordonn\e\vbc

\Def{\num}On pose\hh$\all\phi\in\V\ha^\star$\\
\begin{picture}(,)
\put(30,-5){$\bul\quad\all u\in\V\ha^+\quad|\ha\phi\ha|\,(u)\,=\!\sup\pos_{\,v\,\in\,\V,\;|\ha v\ha|\,\le\,u}\phi\,(v)\,
=\!\sup\pos_{\,v\,\in\,\V,\;|\ha v\ha|\,\le\,u}|\ha\phi\,(v)\ha|$}
\put(30,-15){$\bul\,\quad\all u\in\V\quad\,\ |\ha\phi\ha|\,(u)\,=\,|\ha\phi\ha|\,(u^+)-|\ha\phi\ha|\,(u^-)$}
\put(27,-18.5){\frm(112,19)}
\end{picture}\\[20mm]

\Th{\num}$|\hh|$\hh est une valeur absolue sur\, $\V\ha^\star$,\, qui est donc un espace de Riesz\vab
\Dem Identique \ac\ la d\e monstration faite dans le cas de\, $\PM$\vc

\Th{\num}$\all\phi\in\V\ha^\star\,\hh\all u\in\V$\quad on a\quad$\big|\hb\phi\,(u)\ha\big|\le|\ha\phi\ha|\hb\big(\ha|\ha u\ha|\ha\big)$\vab
\Dem Identique \ac\ la d\e monstration faite dans le cas de\, $\PM$\vcd

\Th{\num}$\all\phi\in\V\ha^\star$\hh on a\quad\fbox{\,$\bns{\ha\vphi\ha}=\,\nst{\ha\phi\ha}$\hb}\vbc

\Dem Soit\, $\phi\in\V\ha^\star$\ha\pv on a\,\hh
$\nst{\ha\phi\ha}\ =\!\sup\pos_{u\,\in\,\V,\;\nrm{u}\,=\,1}\!|\ha\phi\,(u)|\ \le\!\sup\pos_{u\,\in\,\V,\;\nrm{u}\,=\,1}\!|\ha\phi\ha|\big(|\ha u\ha|\big)$\vvwa
$=\!\sup\pos_{u\,\in\,\V^+\!,\;\nrm{u}\,=\,1}\!\vphi\,(u)=\ \bns{\ha\vphi\ha}$\pv
on a donc\,\hh$\nst{\ha\phi\ha}\le\ha\bns{\ha\vphi\ha}$\pv soit\hh$\eps>0$\pv\vva
choisissons\hh$u\in\V^+$\hh tel que\hh$\nrm{u}=1$\,\hh et\,\hh$\bns{\ha\vphi\ha}\le\,\vphi\,(u)\ha+\hb\eps$\pv  
choisissons ensuite\vvwa$v\in\V$\hh tel que\hh$|\ha v\ha|\le\ha u$\,\hh et\,\hh$\vphi\,(u)\le\ha|\ha\phi\,(v)\ha|\ha+\hb\eps$\pv 
on a donc\,\hh$\bns{\ha\vphi\ha}\le\hb|\ha\phi\,(v)\ha|\ha+\ha2\:\eps$\pv\vvwa
or\hh$|\ha v\ha|\le\ha u$\vg donc\,\hh$\nrm{v}\ha\le\ha\nrm{u}=1$\vg
donc\hh\hb$|\ha\phi\,(v)\ha|\le\nst{\ha\phi\ha}$\vg donc\,\hh$\bns{\ha\vphi\ha}
\le\,\nst{\ha\phi\ha}+\hb2\:\eps$\pv\vvwa on en d\e duit\,\hh$\bns{\ha\vphi\ha}\le\ha\nst{\ha\phi\ha}$\vc

\Cor{\num*}$\all \phi\vv\psi\in\V\ha^\star$\ha\hh on a\,\quad$\vphi\le|\ha\psi\ha|\,\imp\,\nst{\ha\phi\ha}\le\nst{\ha\psi\ha}$\vb

\Dem$\nst{\ha\phi\ha}\,=\,\nst{\ha\vphi\ha}\,=\!\sup\pos_{u\,\in\,\V,\;\nrm{u}\,=\,1}\!\big|\hb\vphi\hb(u)\hb\big|\,
=\!\sup\pos_{u\,\in\,\V,\;\nrm{u}\,=\,1}\!\big|\hb\vphi\hb(u^+)-\vphi\hb(u^-)\hb\big|$\vvwa
$=\!\!\sup\pos_{u\,\in\,\V^+,\;\nrm{u}\,=\,1}\!\big|\hb\vphi\hb(u)\hb\big|
\le\!\!\sup\pos_{u\,\in\,\V^+,\;\nrm{u}\,=\,1}\!\big|\hb|\ha\psi\ha|\hb(u)\hb\big|\,=\,\nst{\ha\psi\ha}$\vcd

\oui En conclusion on obtient le\vvab

\Th{\num*}\vvb\hs{10mm}\fbox{\,Le\ha\ho N\hw-\hw dual\ha\ d'un espace\ha\ semi\hw-norm\e\ha\ de Riesz\ha\ est un espace de Riesz\ha-Banach\hb.}\\\vvc

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Quotient d'un espace de\;(Riesz\ha-)\ha Banach}}\vvc

\Th{\num}Soit\, W\, un sous-espace\, \underline{ferm\e}\, de\, l'espace de Banach\, \big(\ha V\vv$\nrm{\ }\ha\big)$\hb;\vvw 
on d\e finit sur l'espace quotient $\VW$\: la norme\,\hh$\nq{\wh{u}}=\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]w\ha\in\hb\W}}\nrm{u+w}$\pv
alors\, $\VW$\vvw est\, \underline{complet}\, pour cette norme\ha\ et constitue donc un espace de Banach\vb

\Dem D\e montrons d'abord que\, $\nq{\ }$\, est bien une norme sur\, $\VW$\vwa

1)\, Soit\, $\wh{u}\in\VW$\, tel que\, $\nq{\wh{u}}=0$\pv il existe donc une suite\, $w\ha_n\in\W$\, telle que\vvww$\nrm{u+w\ha_n}\to0$\vg\cad\hh$-\,w\ha_n\to u$\vg 
donc\, $u\in\W$,\:\ \cad\ha\hh$\wh{u}=\ha0$\va

2) $\nq{\lam\,\wh{u}}=\nq{\wh{\lam\,u}}=\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]w\ha\in\hb\W}}\nrm{\lam\,u+w}=|\lam|\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]w\ha\in\hb\W}}\nrm{u+w/\lam\hw}
=|\lam|\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]w\ha\in\hb\W}}\nrm{u+w}=|\lam|\:\nq{\wh{u}}$\vvaab

3)\, Soient\, $\wh{u}\vv\wh{v}\in\VW$\, et soit\, $\eps>0$\pv il existe\, $w\ha_1\vv w\ha_2\in\W$\, tels que\vvw
$\nrm{u+w\ha_1}\le\nq{\wh{u}}\ha+\ha\eps$\,\hh et\,\hh$\nrm{u+w\ha_2}\le\nq{\wh{v}}\ha+\ha\eps$\pv
on peut donc \e crire\vvwa$\nq{\wh{u}+\wh{v}}=\nq{\wh{u+v}}=\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]w\ha\in\hb\W}}\nrm{u+v+w}\le\nrm{u+v+w\ha_1+w\ha_2}$\vva$
\le\nrm{u+w\ha_1}+\nrm{v+w\ha_2}\le\nq{\wh{u}}+\nq{\wh{v}}+2\,\eps$\pv\vvwa
comme \, $\eps$\, est arbitraire\vg on a bien\, $\nq{\wh{u}+\wh{v}}\le\nq{\wh{u}}+\nq{\wh{v}}$\vaab

Remarquons en passant que\hh$\all u\in\V$\hh\fbox{\,$\nq{\wh{u}}\le\nrm{u}\ph{\dot{l}}$\hs{-.75mm}}\va

Montrons maintenant que\, $\VW$\, est complet pour la norme\, $\nq{\ }$\vwa Soit\, $\wh{u\ha_n}\in\VW$\,
une suite de Cauchy\pv il existe donc une suite\, \underline{strictement croissante}\vvwa
$n\ha_i\in\N$\hh telle que\,\hh$\all i\in\N\,\hh\all n\ge n\ha_i\,\hh\nq{\wh{u\ha_n}-\wh{u\ha_{n\ha_i}}}
\le\Inv{2\ha^i}$\pv on a en particulier\vvww$\all i\in\N\,\hh\nq{\wh{u\ha_{n\ha_{i\hw+1}}}
-\wh{u\ha_{n\ha_i}}}\le\Inv{2\ha^i}$\pv il existe donc une suite\hh$w\ha_i\in\W$\hh telle que\vvww
$\all i\in\N\,\hh\nrm{u\ha_{n\ha_{i\hw+1}}-u\ha_{n\ha_i}+\,w\ha_i}\le\Frac{2}{2\ha^i}
=\ha\inv{2\ha^{i\ha-1}}$\pv posons\, $\all i\in\N\,\hh v\ha_i=u\ha_{n\ha_i}
+\sum\pos_{k\ha=\ha0}^{i\ha-1}w\ha_k$\pv\vvk on a\,\hh$\all i\in\N\,\hh\nrm{v\ha_{i\hw+1}-v\ha_i}
=\nrm{u\ha_{n\ha_{i\hw+1}}-u\ha_{n\ha_i}+\,w\ha_i}\le\ha\Inv{2\ha^{i\ha-1}}$\vg\vvwwa
donc\,\hh$\all j> i\,\hh\nrm{v\ha_j-v\ha_i}\ha\le\,\sum\pos_{k\ha=\ha i}^{j-1}\ha\nrm{v\ha_{k\ha+1}-v\ha_k}\ha
\le\,\sum\pos_{k\ha=\ha i}^{j-1}\,\Inv{2\ha^{k\ha-1}}\ha\le\,\tex\sum\pos_{k\ha=\ha i}^{\infty}\,
\Inv{2\ha^{k\ha-1}}\ha=\ha\inv{2\ha^{i\ha-2}}$\pv\vva donc\, $v\ha_i$\, est une suite de Cauchy dans\, V\pv soit\, $v\in\V$\, sa limite\pv on a\,\hh$\all i\in\N$\vvwwa
$\all n\ge n\ha_i\,\hh\nq{\wh{u\ha_n}-\wh{v}}\le\nq{\wh{u\ha_n}-\wh{u\ha_{n\ha_i}}}
+\nq{\wh{u\ha_{n\ha_i}}-\wh{v}}=\nq{\wh{u\ha_n}-\wh{u\ha_{n\ha_i}}}+\nq{\wh{v\ha_i}-\wh{v}}$\vva
$\le\nq{\wh{u\ha_n}-\wh{u\ha_{n\ha_i}}}+\nrm{v\ha_i-v}\le\Inv{2\ha^i}+\inv{2\ha^{i\ha-2}}
\le\inv{2\ha^{i\ha-3}}$\,;\hh donc\ha\hh$\wh{u\ha_n}\to\wh{v}$\vc

\Def{\num}Soient\, $\V_1\vv\V_2$\, des sous-espaces ferm\e s de \, V\, tels que\hh$\V=\ha\V_1\oplus\V_2$\pv\vvww 
supposons\quad$\all\ha v\ha_1\in\V_1\,\ \inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]v\ha\in\hb\V_2}}\nrm{v\ha_1+v}=\nrm{v\ha_1}$\quad
et\quad$\all\ha v\ha_2\in\V_2\,\ \inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]v\ha\in\hb\V_1}}\nrm{v\ha_2+v}=\nrm{v\ha_2}$\pv\vvww
alors on dit que la d\e composition\hh$\V=\ha\V_1\oplus\V_2$\hh est\, \underline{normale}\vab

\Rem Une d\e composition quelconque\; $\V=\ha\V_1\oplus\V_2$\: v\e rifie d\e j\ac\ trivialement\vvwwa\hs{5mm}
$\all\ha v\ha_1\in\V_1\,\ \inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]v\ha\in\hb\V_2}}\nrm{v\ha_1+v}\le\nrm{v\ha_1}$\ \quad 
et\ \quad$\all\ha v\ha_2\in\V_2\,\ \inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]v\ha\in\hb\V_1}}\nrm{v\ha_2+v}\le\nrm{v\ha_2}$\vc

\Th{\num}Soient\, $\V_1\vv\V_2$\, des sous-espaces ferm\e s de \, V\, tels que\hh$\V=\ha\V_1\oplus\V_2$\pv 
soient\, $\pi\ha_1$\, et\, $\pi\ha_2$\, les projections associ\e es \ac\ cette d\e composition\pv 
alors la d\e composition\hh$\V=\ha\V_1\oplus\V_2$\hh est normale ssi\vvww
\hs{15mm}$\VV_1\to\V_2\, :\,u+\V_1\tto\pi\ha_2\hb(u)$\quad et\quad$\VV_2\to\V_1\, :\, u+\V_2\tto\pi\ha\ha_1(u)$\vvww
sont des\, \underline{isom\e tries bijectives}\vab

\Dem\vvwa
$\nq{u+\V_1}=\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]v\ha\in\hb\V_1}}\nrm{u+v}=\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]v\ha\in\hb\V_1}}\nrm{\pi\ha_1\ha(u)+\pi\ha_2\hb(u)+v}
=\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]v\ha\in\hb\V_1}}\nrm{\pi\ha_2\hb(u)+v}$\pv\vvwwa donc\,\hh
$\nq{u+\V_1}=\nrm{\pi\ha_2\hb(u)}$\,\hh et\,\hh$\nq{u+\V_2}=\nrm{\pi\ha_1\ha(u)}$\,\hh ssi la d\e composition\vvw$\V=\ha\V_1\oplus\V_2$\hh est normale\vc

\Def{\num}\vvw Soit\, V\, un espace de Riesz\ha-Banach\pv on dit qu'un sous-espace\, W\, de\, V\, est\, \underline{\tsf{total}}\; 
ssi\, W\, est\hb\ \tsf{coh\e rent}\hb,\hb\ \tsf{int\e gral}\hb\ et\hb\ \tsf{ferm\e}\vb

\Th{\num}Soient\ha\ V\ha\ un espace de Riesz\ha-Banach et\ha\ W\ha\ un sous-espace\ha\ \tsf{total}\ha\ de\ha\ V;\: alors\, $\VW$\, poss\ee de naturellement 
une structure d'espace de Riesz\ha-Banach\va

\Dem$\VW$\, poss\ee de une structure d'espace de Riesz d'apr\ee s le \Theo\, II\, 3\hb.\hb5 et une structure d'espace de Banach d'apr\ee s le \Theo\, II\, 7\ha.\hb1\pv 
il reste donc \ac\ montrer que\, $\VW$\, est bien un espace de Riesz\ha-Banach\vg\cad\ha\ que\vk4mm\hs{35mm}\fbox{\;$\all\ha\wh{u}\vv\wh{v}\in\VW\hh
\Big[\;|\ha\wh{u}\ha|\le|\ha\wh{u}\ha|\ \imp\ \nq{\wh{u}}\le\nq{\wh{v}}\,\Big]$\,}\ha\vg\vvwaa
\cad\ha\ encore\vvab\hs{13mm}\fbox{\;$\all\ha u\vvv v\in\V\,\hh\all w\in\W\hh
\Big[\;|\ha u\ha|\le|\ha v\ha|+\ha w\ha\ \imp\,\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]x\ha\in\hb\W}}\nrm{u+x\ha}\ha\le\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]x\ha\in\hb\W}}\nrm{v+x\ha}\,\Big]$\,}\ha\vbc

La d\e monstration utilise plusieurs lemmes\vb

\underline{\emph{Lemme\, 1}}\dd$\all u\vvv v\in\V\,\hh|\ha u\ha|-|\ha u\ha|\wa|\ha v\ha|\hw\le\ha|\ha u+v\hb|$\va

\Dem$|\ha u\ha|-|\ha u+v\hb|\le|\ha u\ha|$\,\hh et\,\hh$|\ha u\ha|-|\ha u+v\ha|\le|\ha v\ha|$\ha\vg\ha 
donc\hh$|\ha u\ha|-|\ha u+v\hb|\hw\le\ha|\ha u\ha|\wa|\ha v\ha|$\vb

\underline{\emph{Lemme\, 2}}\dd$\all u\vvv v\in\V\,\hh\big|\hb|\ha u\ha|+v\,\big|\ha\ge\ha\big|\hb u-\big(\ha u^+\wa|\ha v\ha|-u^-\wa|\ha v\ha|\hb\big)\ha\big|$\va

\Dem En appliquant le\, Lemme\ha\ 1\, \ac\, $|\ha u\ha|$\, et\, $v$\, on obtient\vvw
$|\ha u\ha|-|\ha u\ha|\wa|\ha v\ha|\ha\le\ha\big|\hb|\ha u\ha|+v\,\big|$\pv 
or\,\hh$|\ha u\ha|-|\ha u\ha|\wa|\ha v\ha|\ha=\ha u^++u^--u^+\wa|\ha v\ha|-u^-\wa|\ha v\ha|$\vk1.25mm
$=\ha\big(\ha u^+-u^+\wa|\ha v\ha|\hb\big)+\big(\ha u^--u^-\wa|\ha v\ha|\hb\big)\ha
=\ha\big|\hb\big(\ha u^+-u^+\wa|\ha v\ha|\ha\big)-\big(\ha u^--u^-\wa|\ha v\ha|\hb\big)\ha\big|$\vvw
$=\big|\hb u-\big(\ha u^+\wa|\ha v\ha|-u^-\wa|\ha v\ha|\hb\big)\ha\big|$\pv donc\,\hh
$\big|\hb|\ha u\ha|+v\,\big|\ha\ge\ha\big|\hb u-\big(u^+\wa|\ha v\ha|-u^-\wa|\ha v\ha|\hb\big)\ha\big|$\vb

\underline{\emph{Lemme\, 3}}\dd$\all u\in\V\,\hh\nnq{|\ha\wh{u}\ha|}=\nq{\ha\wh{u}\ha}$\ha\vg\ha
\cad\hh$\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]w\ha\in\hb\W}}\big\|\ha|\ha u\ha|+w\hb\big\|=\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]w\ha\in\hb\W}}\nrm{u+w\ha}$\vab

\Dem Soit\, $u\in\V$\pv d'apr\ee s le\, Lemme\, 1\, on a\hh$\all w\in\W$\vvwwa
$0\ha\le\ha|\ha u\ha|-\ha|\ha u\ha|\wa|\ha w\ha|\ha\le\ha|\ha u+w\hb|\ha$\vg
donc\,\hh$\big\|\ha|\ha u\ha|-\ha|\ha u\ha|\wa|\ha w\ha|\ha\big\|\le\ha\nrm{ u+w\ha}$\vg\vvwa donc\hh
$\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]x\ha\in\hb\W}}\nrm{\ha|\ha u\ha|+x\ha}\le\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]w\ha\in\hb\W}}\big\|\ha|\ha u\ha|-\ha|\ha u\ha|\wa|\ha w\ha|\ha\big\|
\le\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]w\ha\in\hb\W}}\nrm{u+w\ha}$\pv d'autre part d'apr\ee s\vvwaa le\, Lemme\, 2\,\hh
$\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]w\ha\in\hb\W}}\big\|\hb|\ha u\ha|+w\,\big\|\ha
\ge\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]w\ha\in\hb\W}}\big\|\hb u-\big(\ha u^+\wa|\ha w\ha|-u^-\wa|\ha w\ha|\hb\big)\ha\big\|\ha
\ge\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]x\ha\in\hb\W}}\nrm{u+x\ha}$\vb

\underline{\emph{Lemme\, 4}}\dd$\all\ha u\vvv v\in\V^+\;\ \Big[\,u\le v\ \imp\ \nq{\wh{u}}\le\nq{\wh{v}}\,\Big]$\vg\vvwa
\cad\,\hh$\all\ha u\vvv v\in\V^+\;\ \Big[\,u\le v\ \imp\,\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]x\ha\in\hb\W}}\nrm{u+x}\ha
\le\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]y\ha\in\hb\W}}\nrm{v+y}\,\Big]$\vab

\newpage
\Dem\vvwa En appliquant le\, Lemme\, 1\, on obtient\hh$\all u\vvv v\in\V^+$\, tels que\; $u\le v$\hh et\hh$\all w\in\W$\vvw
$0\ha\le\ha u-u\wa|\ha w\ha|\ha\le\ha v-v\wa|\ha w\ha|\ha\le\ha|\ha v+w\ha|$\ha\vg\ha donc\hh$\big\|\hb u-u\wa|\ha w\,|\ha\big\|\ha\le\ha\nrm{v+w\ha}$\pv\vvw 
donc\hh$\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]x\ha\in\hb\W}}\nrm{u+x\ha}\ha\le\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]w\ha\in\hb\W}}\big\|\hb u-u\wa|\ha w\ha|\ha\big\|\ha
\le\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]w\ha\in\hb\W}}\nrm{v+w\ha}$\vbc

\underline{Fin de la d\e monstration du \theo}\, :\vvwa

Soient\hh$u\vvv v\in\V$\: et\; $w\in\W$\: tels que\hh$|\ha u\ha|\le|\ha v\ha|+w$\ha\pv\ha alors on a\vvw
$\nq{\wh{u}}=\ha\nnq{|\ha\wh{u}\ha|}\ha\le\ha\nnq{\wh{|\ha v\ha|\rs+\rr w}\ha}=\ha\nnq{|\ha\wh{v}\ha|}=\ha\nq{\wh{v}}$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Morphismes et isom\e tries de Riesz}}\vvc

\Def{\num}Soient\, V\, et\, V\,'\, deux espaces de Riesz\pv l'application lin\e aire\vvwwa
$\phi\;:\:\V\to\V\,'$\hh est un\, \underline{morphisme de Riesz}\hh ssi\,\hh
\fbox{\;$\all u\in\V\,\hh|\hb\phi\,(u)\ha|\ha=$\hb\ho$\phi\,(\ha|\ha u\ha|\ha)$\,}\vbc

\Th{\num*}Si\hh$\phi\ :\ \V\to\V\,'$\hh est un morphisme de Riesz\ha\ on a\, (\ha$u\vv v\in\V$\ha)\vvb

\begin{picture}(,)
\put(50,0){$1)\hh u\ge\ha0\ \imp\:\phi\,(u)\ge\ha0$}
\put(50,-7.5){2\ha)\hh$u\ha\le\ha v\;\imp\,\phi\:(u)\le\ha\phi\,(v)$}
\put(50,-15){3\ha)\hh$\phi\,(u\wa v)\ha=\,\phi\,(u)\wa\phi\,(v)$}
\put(50,-22.5){4\ha)\hh$\phi\,(u\ve v)\ha=\,\phi\,(u)\ve\phi\,(v)$}
\put(47,-26){\frm(56.5,32)}
\end{picture}\vk30mm

Si l'application lin\e aire\: $\phi$\: v\e rifie\hb\ \tsf{seulement}\hb\ les conditions\, 1)\, et\, 2\ha)\vg
d'ailleurs clairement \e quivalentes\vg on dit que\, $\phi$\, est\, \underline{croissante}\vab

\underline{Exemples}\dd\vvaab$\all\tmu\in\PM^+$\; l'application\,\hh\fbox{\,$\RR\to\PM$\ho$\ :\ f\tto f\hw.\:\tmu$\:}\,\hh est un  morphisme de Riesz\vab
$\al\,f\rr\in\RR^+$\; l'application\,\hh\fbox{\,$\PM\to\PM$\ho$\ :\ \tmu\,\tto f.\,\tmu$\:}\,\hh est un morphisme de Riesz\vc

\Def{\num}Soient \, V\, et\, V\,'\, deux espaces\ha\ semi\hw-norm\e s de Riesz\pv le morphisme\vvwwa
de Riesz\:\hh$\phi\,:\,\V\to\V\,'$\hh est une\, \underline{isom\e trie de Riesz}\hh ssi\,\hh\fbox{\,$\all u\in\V$\ho\hh$\snrm{\ha\phi\,(u)\hw}=\snrm{u}$\,}\ha\vwa
Si\, V et\, $\V\,'$\, sont des espaces de Riesz\ha-Banach on parle d'une\, \underline{isom\e trie de Riesz\ha-Banach}\vw
Une isom\e trie de Riesz-Banach est toujours\ha\ \emph{injective}\hb,\, mais pas n\e cessairement \emph{bijective}\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\initnumm
\centerline{\textbf{CHAPITRE\, III}}\vva
\centerline{\textbf{FONCTIONS POSITIVES SEMI\hw-CONTINUES SUPERIEUREMENT}}\vvcd

\oui Les fonctions\ha\ \emph{positives semi\hw-continues sup\e rieurement}\ha\ constituent l'outil th\e orique indispensable \ac\ la d\e monstration du th\e or\ee me 
de\ha\ \emph{convergence domin\e e}\ha\ de Lebesgue\pt En particulier le\ha\ \theo\ de\ha\ \emph{semi\hw-compl\e tude}\ha\ de l'ensemble de ces fonctions est
\ac\ la base du \theo\ de\ha\ \emph{compl\e tude}\ha\ de l'espace des fonctions\ha\ \emph{universelles}\vc

\Def{\numm}Une fonction\hh$f\in\widehat{\FF}\ha^+$\: est\, \underline{semi\ha-\ha continue sup\e rieurement}\hb\
(\hb \scs\hb)\, ssi\vvab\hs{47.5mm}\fbox{\,$\all c\in\ab\HO\,\hh\suplim{\,\ha x\to c}\,\ f(x)\,\le\,f(c)$\,}\hb\vc

\Th{\numm}Si\hh$f\in\widehat{\FF}\ha^+$\, est\: \scs\ha\vg\ha alors\hb\ $f$\hb\ est\, \fbox{\ha born\e e\ha}\ha\vg
\cad\hh$f\in\FF^+$,\\ et\hb\ $f$\, atteint sa borne sup\e rieure\vab

\Dem Supposons que\hb\ $f$\hb\ ne soit pas born\e e et soit une suite\hh$x_n\in\ab$\hh telle que\hh$f(x_n)\to\pin$\pt
Par compacit\e\ de\, $\ab$\vg il existe une sous-suite\, $x_{n\ha'}$\, qui est convergente\pv
posons\hh$c\ha=\ha\lim\ x_{n\ha'}$\pv alors on a\,\hh$\pin=\,\lim\ f(x_{n\ha'})\le f(c)$\vg ce qui est contradictoire\vpt 
Soit\, $M$\, la borne sup\e rieure de\hb\ $f$\pv alors il existe une suite\hh$x_n\in\ab$\hh telle que\, $f(x_n)\to M$\pt 
Par compacit\e\ de\, $\ab$\vg il existe une sous-suite\, $x_{n\ha'}$\, qui est convergente\pv  posons\hh$c\ha=\ha\lim\ x_{n\ha'}$\pv 
alors on a\,\hh$M=\,\lim\ f(x_{n\ha'})\le f(c)$\vg donc\hh$f(c)=M$\vab

\oui On note\quad$\SC=\ens{\ha f\in\FF^+\,\big\|\,f\ha\ \scs\,}$\,,\quad
$\ES=\ens{\ha f\in\ha\EE^+\,\big\|\,f\ha\ \scs\,}=\,\EE\ha\cap\,\SC$\vvwa
et\quad$\RS=\ens{\ha f\in\RR^+\,\big\|\,f\ha\ \scs\,}=\,\RR\ha\cap\,\SC$\vab

\oui On a clairement\,\hh\fbox{\,$\ES\ha\sub\,\RS\hb\sub\:\SC\,\sub\:\FF^+\ph{\big|\dot{l}}$\hs{-2mm}}\quad
et\quad\fbox{\,$\CC\ha^+\sub\,\RS\ph{\big|\dot{l}}$\hs{-2mm}}\vc

\Th{\numm}$\ES$\hb,\, $\RS$\: et\; $\SC$\; sont stables pour les lois\hh+\;,\,``\,$\cdot$\,"\;,\, $\ve\,,\ \wa$\hh et pour la multiplication par un r\e el positif\vab
\Dem Il suffit de montrer le \theo\ha\ pour\, $\SC$\dd\vvwa

a)\hh Soient $f,\,g\in\SC$\hh et posons\hh$h=f+g$\pv
on a\hh$\all c\in\ab\quad\suplim{c}\ha\ h\le\,(\suplim{c}\ f)+(\suplim{c}\ g)$\vvww
\qquad$\le\,f\hw(c)+g\hb(c)=h\hb(c)$\vwa

b)\hh Soient $f,\,g\in\SC$\hh et posons\hh$h=f\:g$\pv
on a\hh$\all c\in\ab$\quad$\suplim{c}\ha\ h\le\,(\suplim{c}\ f)\;(\suplim{c}\ g)$\vvww
\qquad$\le\, f\hw(c)\:g\hb(c)=h\hb(c)$\vwa

c\ha)\hh Soient $f,\,g\in\SC$\hh et posons\hh$h=f\ve g$\pv
on a\hh$\all c\in\ab$\quad$\suplim{c}\ha\ h=(\suplim{c}\ f)\ve(\suplim{c}\ g)$\vvww
\qquad$\le\,f\hw(c)\ve g\hb(c)=h\hb(c)$\vwa

d)\hh Soient $f,\,g\in\SC$\hh et posons\hh$h=f\wa g$\pv on a\hh$\all c\in\ab$\quad
$\suplim{c}\ha\ h\le\,\suplim{c}\ f\le\,f\hw(c)$\pv\vvww de m\^eme\,\hh$\suplim{c}\ h\le\,g\hb(c)$\pv
donc\,\hh$\suplim{c}\ h\le\,f\hw(c)\wa g\hb(c)=h\hb(c)$\va

e)\hh Soit $f\in\SC$\hh et\; $\lam\ge0$\pv on a\hh$\all c\in\ab\quad
\suplim{c}\ha\ \lam\,f=\lam\ \suplim{c}\ha\ f\le\ha\lam\,f\hw(c)$\vc

\Th{\numm}Soit\, $f\in\FF^+$\pv alors\hh$f\in\SC$\ha\hh ssi\hb\hh$\all\ha\alf>0$\hb\hh l'ensemble\vvwa
\fbox{\ha$\ens{\hb x\in\ab\,\big\|\:f(x)<\alf\hb}\ph{\dot{l}}$\hs{-1.25mm}}\,\hh est ouvert dans\, $\ab$\vb

\Dem\vva
\qquad a)\hh$\imp$\dd Soit\hh$\alf>0$\pv il faut montrer que l'ensemble\hh
$\E=\ens{\hb x\in\ab\;\big\|\:f\ha(x)<\alf\hb}$\\ est ouvert dans\, $\ab$\pv soit\, $c\in\E$\pv
comme\, $f\hw(c)<\alf$\, il existe un intervalle ouvert\, I\, contenant\: $c$\: tel que\hh
$\all x\in\I\hh f\ha(x)<\ha f\hw(c)+[\hb\alf-f\hw(c)\hb]$ $=\alf$\pv
donc\, $\I\ha\sub\ha\E$\vg ce qui montre que E\, est ouvert\va

\qquad b)\hh$\pmi$\dd Soit \,$c\in\ab$\pv il faut montrer que\hh$\suplim{\,\ha x\to c}\,
\ f\ha(x)\,\le\,f\hw(c)$\vg\cad\ que\hh$\all\alf>0$\hh il existe un intervalle ouvert\, I\, contenant\: $c$\:
tel que\hh$\all x\in\I\hh f\ha(x)<f\hw(c)+\alf$\pv soit\, $\alf>0$\; et soit\hh
$\E=\ens{\hb x\in\ab\;\big\|\:f\ha(x)<f\hw(c)+\alf\hb}$\pv E\, est ouvert et\, $c\in\E$\pv il existe donc
bien un intervalle ouvert\hh$\I\ha\sub\ha\ab$\hh tel que\; $c\ha\in\I\sub\hb\E$\vc

\numm\ \underline{\Theo\ha\ de semi\hw-\ha compl\e tude de\, $\SC$}\vvb
\hs{15mm}\fbox{\:Soit\hh$f_n\in\SC\vv\:f_n$\hh suite\ph{\low{\low{p}}}\underline{d\e croissante}\ha\vv\, $f_n\sm f\in\FF^+$;\; alors\hh\ha$f\in\hb\SC$\:}\ha\vc

\Dem Posons\hh$f=\inf\pos_n\hb f_n\,\in\,\FF^+$\pv soit\, $c\in\ab$\pv on a\vvwa
$\nn\quad\suplim{c}\ f\ha\le\;\suplim{c}\ f_n\hb\le\,f_n(c)$\pv donc\,
$\suplim{c}\ f\le\,\inf\pos_n\hb f_n(c)=f(c)$\vbc

\emph{\underline{Enonc\e\ha\ \e quivalent}}\dd\fbox{\:Pour toute suite\; $f_n\in\SC$\hh on a$\HO$$\ha\inf\pos_{\sbs{\\n\,\in\,\N}}\ha f_n\hb\in\hb\SC$\:}\ha\vcd

\numm\ \underline{\Theo\ha\ de convergence uniforme dans\, $\SC$}\hh
(\ha G\e n\e ralisation du \theo\ha\ de Dini\ha)\vvb

\hs{20mm}\fbox{\:Soit\hh$f_n\in\SC\vv\:f_n$\hh suite\ph{\low{\low{p}}}\underline{d\e croissante}\ha\vv\, $f_n\sm0$\ha\pv alors\hh\ha$f_n\uu0$\:}\ha\vc

\Dem Soit\, $\eps>0$\pv on pose\,\hh$\nn\quad\E\ha_n=\ens{\,x\in\ab\;\big\|\;f_n(x)<\eps\,}$\pv on a\vvwa
\qquad a\hb)\,\hh$\nn\quad\E\ha_n$\, est ouvert dans \,$\ab$\vvw
\qquad b\ha)\,\hh$\nn\quad\E\ha_n\sub\hb\E_{n+1}$\vvw
\qquad c\hb)\,\hh$\!\!\bigcup\pos_{n\,\in\,\N}\E\ha_n\ha=\hb\ab$\vvb
\oui Il existe donc\hh$N\hs{-.5mm}\in\N$\hh tel que\hh$\E\ha_N=\ab$\,;\; donc\hh$\all x\in\ab\,\hh f_N\ha(x)<\eps$\,;\\donc\hh$f_n\uu0$\vc

\numm\ \underline{\Theo\ha\ de stabilit\e}\hh(\hb Riesz\ha-Nagy\ha\ [\ha26\ha]\, p\hb. 34\hb)\vva

\oui Soit\, $\A$\, une partie de\, $\FF^+$\, stable pour la loi\: $\wa$\ha\ ;\hh on note\; $\A\hb\dec$\, l'ensemble de toutes les fonctions de\, $\FF^+$ 
qui sont limites simples de suites\, \tsf{d\e croissantes}\, de $\A$\pv alors on a\vva

\qquad1)\hh $\A\hb\dec$\, est stable pour la loi\: $\wa$\vva
\qquad2\ha)\hh\fbox{\,$(\A\hb\dec)\hb\dec=\A\hb\dec$\,}\vva
\qquad3\ha)\hh Si\, $\A$\, est stable pour les lois\hh +\;,\, ``\,$\cdot$\,"\;,\,
$\ve$\hh ou pour la multiplication par un r\e el positif\vg il en est de m\^eme\ha\ de\hb\ $\A\hb\dec$\vb

\Dem\vva
1)\hh Soient\hh$f_n\vv g\ha_n\in\A$\hh des suites d\e croissantes\pv\vvw posons\hh
$f=\,\inf\pos_n\,f_n\in\ha\A\hb\dec$\, et\, $g\ha=\,\inf\pos_n\,g\ha_n\in\A\hb\dec$\vw
On a\quad$\nn\quad0\ha\le\ha f_n\wa g\ha_n-f\wa g\ha\le(f_n-f)+(g\ha_n-g)$\vg\vvw
donc\,\hh$f\wa g\ha=\,\inf\pos_n\ (f_n\wa g\ha_n)\in\ha\A\hb\dec$\vab

2\ha)\hh Soit\hh$f_n\in\ha\A\hb\dec$\hh une suite d\e croissante et posons\hh$f=\,\inf\pos_n\,f_n\in\FF^+$\pv\vww 
soit\hh$\nn\,\hh f_{n\ha k}\in\A$\hh une suite d\e croissante telle que\hh$f_n=\,\inf\pos_k\,f_{n\ha k}$\pv\vww
posons\hh$\all k\in\N\hh\,g\ha_k=f_{0\ha k}\wa f_{1\ha k}\wa\,\ldots\,\wa f_{k\ha k}\in\A$\pv
la suite\, $g\ha_k$\, est d\e croissante\vg\vvww donc\hh $g\ha=\,\inf\pos_k\,g\ha_k\in\ha\A\hb\dec$\pv
alors\vva\qquad a)\hh on a\,\hh$\all k\in\N\quad g\ha_k\ha\ge\ha f_0\wa f_1\,\ldots\,\wa f_k\ha=\ha f_k$\pv
donc\,\hh$g\ge f$\,;\vvw\qquad b)\hh on a\,\hh$\all n\le k\quad g\ha_k\ha\le\ha f_{n\ha k}$\vg
donc\,\hh$\nn\hh\,g\le f_n$\pv donc\,\hh$g\le f$\va
En conclusion\hh$f=\hb g\ha\in\ha\A\hb\dec$\vab

3\ha)\hh Evident\vbc

\Rem\vvwa Le \theo\ha\ de semi\hw-\ha compl\e tude de\, $\SC$\, peut s'exprimer sous la forme\hh\fbox{\,$\SC\hw\dec=\hb\SC\ph{\dot{l}}$\hs{-.5mm}}\ha\vc

\Lem{\numm*}Soit\, F\, un\ha\ \emph{intervalle}\ha\ ferm\e\ de\, $\ab$\pv alors\,\hh$\un_{\ha\F}\ha\in\ha\ES$\vc

\Th{\numm}Soit\, F\, un ferm\e\ de\, $\ab$\pv alors\quad\fbox{\,$\un_{\ha\F}\ha\in\hb(\ES)\hw\dec\ph{\dot{l}}$\hs{-1mm}}\ha\vab

\newpage
\Dem\vva
Soit\, $\Om$\, l'ouvert compl\e mentaire de\, F\, dans\, $\ab$\pv on peut \e crire\hh$\Om\ha=\!\!\bigcup\pos_{n\,\in\,\N^\star}\!\!\Om\hb_n$\\
avec\hh$\Om\hb_n=$\, r\e union\hw\ (\ha finie\ha)\hw\ des intervalles maximaux de\, $\Om$\, de longueur $\ge\ha\Inv{n}$\vwa
Notons\hh$\all n\in\N^\star\hh\F_n$\, le compl\e mentaire de\, $\Om\hb_n$\, dans\, $\ab$\pv alors on a\vva
\qquad a)\,\hh$\all n\in\N^\star\hh\un_{\ha\F_n}\in\ES$\hh car\, $\F_n$\, est une r\e union finie d'intervalles ferm\e s de\, $\ab$\vwa
\qquad b)\,\hh la suite\; $\un_{\ha\F_n}$\: est d\e croissante\ha\ car la suite\, $\Om\hb_n$\, est croissante\pv\vwa
\qquad c\ha)\,\hh F $=\!\!\bigcap\pos_{n\,\in\,\N^\star}\!\!\F_n$\ha\vg\ha donc\ha\hh$\un_{\ha\F}=\hb\inf\pos_n\:\un_{\ha\F_n}$\vab
En conclusion\, $\un_{\ha\F}\in\hb(\ES)\hw\dec$\vc

\Th{\numm}\fbox{\,$(\ES)\hw\dec=\,\SC\ph{\dot{l}}$\rs}\ha\vb

\Dem On a d\e j\ac\quad$(\ES)\hw\dec\ha\sub\,\SC\ha\dec=\hb\SC$\pt Il reste \ac\ montrer l'inclusion oppos\e e\vwa
Soit\, $f\in\SC$\pv en consid\e rant \e ventuellement\: $f/\hb\|\ha f\ha\|$\hh on peut supposer\,
$f\le1$\pv\vvwa on pose\hh$\all n\in\N^\star$\,\hh$\all k\in\db{\,0\vv n\hb}$\quad
$\F_{n\ha k}=\ens{\,x\in\ab\;\big\|\:f(x)\ge k/n\,}$\,,\hh et\,\hh$\all n\in\N^\star$\vva
$f_n=\Inv{n}\ \tex{\sum\pos_{k\hb=\hb0}^{n}\;\un_{\ha\F_{n\ha k}}}$\pv
$\all n\in\N^\star\,\hh\all k\in\db{\,0\vv n\hb}\quad\F_{n\ha k}$\hh est un ferm\e\ de\, $\ab$\vg donc\vva
$\all n\in\N^\star\hh f_n\in(\ES)\hw\dec$\pt De plus\,\hh$\all n\in\N^\star\,\hh\all k\in\db{\,0\vv n\hb}\,\hh
\all x\in\ab$\quad on a\vva$k/n\ha\le\ha f(x)\ha <\ha(k+1)/n\ \imp\;f_n(x)=(k+1)/n>f(x)$\pv
donc\,\hh$\all n\in\N^\star$\hh on a\vva$f\le\hb f_n$\,\hh et\,\hh$\|\ha f_n-f\ha\|\ha\le\ha\Inv{n}$\pv
on en d\e duit\hh$f_n\uu f$\pt Posons\,\hh$\nn$\vva$g\ha_n=f_0\wa f_1\wa\,\ldots\,\wa\ f_n\,\in\,(\ES)\hw\dec$\pv
la suite\, $g\ha_n$\, est d\e croissante et on a\vva$\all n\in\N^\star\hh f\le\,g\ha_n\le\hb f_n$\pv
donc\hb\hh$g\ha_n\uu f$\vg donc\hh$f\in\,[\hb(\ES)\hw\dec\ha]\ha\dec=\hb(\ES)\hw\dec$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\initNum
\centerline{\textbf{CHAPITRE\, IV}}\vva
\centerline{\textbf{THEOREME DE LEBESGUE SUR\, \ab}}\vvcd

\hhh Ce chapitre est consacr\e\ \ac\ la d\e monstration du \theo\ha\ de\ha\ \emph{convergence domin\e e\ha\ presque partout}\ha\ sur\, \ab\pt 
En fait nous d\e montrons un \theo\ha\ de\ha\ \emph{convergence born\e e partout}\ha\ sur\, \ab\vg que nous appelons\ha\ simplement\ha\ \emph{\theo\ha\ de Lebesgue}\pv 
nous expliquons \ac\ la fin du chapitre pourquoi\vg malgr\e\ les apparences\vg il n'y a aucune perte de g\e n\e ralit\e\vw
\hhh Chemin faisant nous construisons deux extensions successives fondamentales de l'espace\\des fonctions r\e gl\e es\, :\, 
d'abord l'espace des fonctions\ha\ \emph{pseudo-\ha r\e gl\e es}\vg puis l'espace des fonctions\ha\ \emph{universelles}\vb

\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{\Theo\ha\ de Lebesgue dans\, $\RR$}}\vvc

\Lem{\num}Soient deux suites\hh$\tphi_{\ha n}\vv\tpsi_{\ha n}\ha\in\ha\PM^+$\pv alors on a\vvab
\hs{45mm}\fbox{\;$\Inf{n}\ \tpsi_{\ha n}\hb\le\,\sum\pos_{n\ha=\,0}^\infty\;
\big|\ha\tpsi_{\ha n}-\tphi_{\ha n}\hw\big|\,+\ \Inf{n}\ \tphi_{\ha n}$\,}\vvbc

\Dem On a\,\hh$\nn$\vva
$\tpsi_{\ha0}\wa\tpsi_{\ha1}\wa\,\ldots\,\wa\tpsi_{\ha n}\,\le\,\big|\,\tpsi_{\ha0}\wa\tpsi_{\ha1}\wa\,\ldots\,\wa\tpsi_{\ha n}\ha
-\,\tphi_{\ha0}\wa\tphi_{\ha1}\wa\,\ldots\,\wa\tphi_{\ha n} \,\big|\ha+\,\tphi_{\ha0}\wa\tphi_{\ha1}\wa\,\ldots\,\wa\tphi_{\ha n}$\vva
$\le\,\sum\pos_{r\ha=\,0}^n\,\big|\ha\tpsi_{\ha r}-\tphi_{\ha r}\hw\big|\,+\ \tphi_{\ha0}\wa\tphi_{\ha1}\wa\,\ldots\,\wa\tphi_{\ha n}$\pv\vvw
on en d\e duit\,\hh$\Inf{n}\ \tpsi_{\ha n}\hb\le\,\sum\pos_{r\ha=\,0}^\infty\;\big|\ha\tpsi_{\ha r}-\tphi_{\ha r}\hw\big|\,+\ \Inf{n}\ \tphi_{\ha n}$\vc

\num\ \underline{Lemme\ha\ de\ha\ convergence fine\ha\ dans\: $\RS$}\vva
\oui Soit une suite\hh$f_n\in\hw\RS$\hh telle que\hh$f_n\bb0$\pv alors\quad$\all\tmu\ha\in\ha\PM^+$\hh
on a\,\hh$f_n\;\tmu\fin0$\pv\vvww en cons\e quence\quad$\tmu\,(f_n)=\nst{\hb f_n\;\tmu\hb}\to0$\vb

\Dem La suite\; $f_n\;\tmu$\; est domin\e e car la suite\, $f_n$\, est born\e e\pv
soit\hh$\nn$\vva$\tpsi_{\ha n}=\hb\Sup{p\,\in\,\N}\ (f_{n+p}\;\tmu)\,\in\ha\MM^+$\pv
il faut d\e montrer\ha\hh$\tpsi_{\ha n}\st0$\pt Posons\,\hh$\all n\vv p\in\N$\vvwa
$g_{\ha n\hb p}=f_n\ve f_{n+1}\ve\,\ldots\,\ve\,f_{n+p}\,\in\ha\RS$\pv
on a\hb\hh$g_{\ha n\hb p}\;\tmu=(f_n\;\tmu)\ve(f_{n+1}\;\tmu)\ve\,\ldots\,\ve\,(f_{n+p}\;\tmu)$\vg\vva
donc pour \,$n$\, fix\e\hb\hh$g_{\ha n\hb p}\;\tmu\,\st\,\tpsi_{\ha n}$\ha\hh quand\; $p\to\pin$\va
\oui Soit\: $\eps>0$\hh et soit une suite\; $\eps\ha_n>0$\; telle que\hb\hh $\sum\pos_{n\,=\hb0}^\infty\,\eps\ha_n
\le\,\eps$\ha\pv\ha choisissons\hh$\nn$\vvwa un indice\; $p\in\N$\; tel que\hh
$\bnst{\,\tpsi_n-g_{\ha n\hb p}\;\tmu\,}\le\hb\eps\ha_n$\ha\pv\ha on pose\hh$\nn\,\hh g_{\ha n}=g_{\ha n\hb p}\,\in\ha\RS$\pv\vva 
on a donc\hh$\nn\,\hh\bnst{\,\tpsi_n-g_{\ha n}\;\tmu\,}\le\hb\eps\ha_n$\ha\pv\ha d'autre part\hh$\nn$\hh
on a\hh$\,g_{\ha n}\le\,\sup\pos_{p\,\in\,\N}\;f_{n+p}$\pv\vvww or\ha\ quand\; $n\to\pin$\hh
on a\,\hh$\sup\pos_{p\,\in\,\N}\;f_{n+p}\,\sm\,\suplim{n}\ f_n=\ha0$\ha\vg\ha
donc\,\hh$g_{\ha n}\sm0$\va\oui Posons\,\hh$\nn\,\hh h\ha_n\ha=\hb g\ha_0\wa g\ha_1\wa\,
\ldots\,\wa g\ha_n\ha\in\ha\RS$\pv on a\,\hh$\nn\,\hh h\ha_n\le\ha g\ha_n$\vg\vvwa
donc\,\hh$h\ha_n\sm0$\pv de plus la suite\, $h\ha_n$\, est d\e croissante\vg donc\hh$h\ha_n\uu0$\vg
donc\hh$h\ha_n\:\tmu\fin0$\pv\vvwa on peut d\ee s lors \e crire\,\hh$\Inf{n}\:
\big(\ha g_{\ha n}\:\tmu\ha\big)=\,\Inf{n}\;\big(\ha h_{\ha n}\:\tmu\ha\big)=0$\vwa
\oui En appliquant le lemme pr\e c\e dent on obtient donc\vva
$\bnst{\,\Inf{n}\ \tpsi_{\ha n}\hb}\le\,\sum\pos_{n\hb=\,0}^\infty\;
\bnst{\ha\tpsi_{\ha n}-g_{\ha n}\,\tmu\ha}\hb+\
\big\|\,\Inf{n}\:\big(\ha g_{\ha n}\:\tmu\ha\big)\ha\big\|_\star
\le\sum\pos_{n\,=\hb0}^\infty\,\eps\ha_n\ha\le\ha\eps$\pv\vvwa
comme\, $\eps$\, est arbitraire \hb on en d\e duit\,\hh$\Inf{n}\ \tpsi_{\ha n}=\ha0$\vbc

\num\ \underline{Lemme d'approximation dans\, $\EE^+$}\vva
$\all f\in\ha\EE^+\hh\underline{\underline{\all\tmu\in\MM^{\,+}}}\hh\all\eps>0$\,\hh il existe\,\hh
$g\in\ES$\,\hh tel que\,\hh$g\le f$\,\hh et\,\hh$\tmu\,(f-g)\le\ha\eps$\vb

\Dem Soit\hh$f\in\ha\EE^+$\; et\hb\hh$\tmu\in\MM^{\,+}$;\: on construit\hh$g\in\ES$\hh de la mani\ee re suivante\, :\\
on annule\ha\ $f$\ha\ dans des intervalles ouverts contenant les points de discontinuit\e\ de\ha\ $f$\vg\\
\emph{sans}\ha\ \emph{changer les valeurs de $f$ aux points de discontinuit\e\ eux-m\^emes}\pv
on obtient ainsi une fonction\hh$g\in\ES$\hh avec\ha\hh$g\le f$\pv en vertu de l'\ha\emph{hypercontinuit\e}\ha\ de\: $\tmu$\ha\vg 
on peut rendre\\ces intervalles suffisamment petits pour que\ha\hh $\tmu\,(f-g)\le\ha\eps$\vbc

\Rem\fbox{\;\textbf{C'est ici qu'intervient la condition\ho\:$\tmu\in\MM^+$\, au lieu de\,$\ph{\big|} \tmu\in\ha\PM^+$.}\ha}\vvab 
En cons\e quence l'extension du lemme\ha\ de convergence fine \ac\ des espaces plus g\e n\e raux que\, $\RS$\, ne s'appliquera qu'aux\hb\ \tsf{mesures}\vbc

\num\ \underline{Lemme d'approximation dans\, $\RR^+$}\vva
$\all f\in\RR^+\hh\all\tmu\in\MM^{\,+}\hh\all\eps>0$\quad il existe\hh$g\in\ES$\hh tel que\hh$g\le f$\hh et\hh$\tmu\,(f-g)\le\ha\eps$\vb

\Dem Soit\, $f\in\RR^+$;\: soit\hh$h\in\ha\EE^+$\, tel que\,\hh$h\le f$\,\hh 
et\,\hh$\|\ha f-h\hb\|\ha\le\hb\eps\ha/\ha\nst{\hb\tmu\ha}$\pv\vvw soit\,\hh$g\in\ES$\hb\hh
tel que\,\hh$g\le h$\,\hh et\,\hh$\tmu\,(h-g)\ha\le\hb\eps$\pv 
alors on a\,\hh$g\le f$\,\hh et\vvw$\tmu\,(f-g)\ha=\hb\tmu\,(f-h)+\ha\tmu\,(h-g)\le\,2\;\eps$\vbc

\num\ \underline{Lemme\ha\ de\ha\ convergence fine\ha\ dans\, $\RR^+$}\vva
\oui Soit une suite\hh$f_n\in\RR^+$\, telle que\hh$f_n\bb0$\pv
alors\quad$\all\tmu\in\MM^+$\hh on a\,\hh$f_n\;\tmu\fin0$\pv\vvw
en cons\e quence\,\hh$\tmu\,(f_n)=\nst{\hb f_n\;\tmu\hb}\to0$\vb
\newpage
\Dem\vvw
\oui Soit une suite\; $\eps\ha_n>0$\; telle que\hb\hh$\sum\pos_{n\,=\,0}^\infty\,\eps\ha_n<\pin$\pv
choisissons\hh$\nn\,\hh g_{\ha n}\in\ES$\vvwa tel que\,\hh$g_{\ha n}\le f_n$\,\hh et\,\hh$\tmu\,(f_n-g_{\ha n})\le\hb\eps\ha_n$\,;\vva
on a\hb\hh$g_{\ha n}\bb0$\vg donc\hb\hh$g_{\ha n}\,\tmu\fin0$\pv on peut \e crire\ha\hh$\all n\vv p\in\N$\vvwa
$\big\|\,\big(f_n\ve f_{n+1}\ve\,\ldots\,\ve f_{n+p}\big)\,\tmu\hb-\hb\big(g_{\ha n}\ve g_{\ha n+1}\ve\,\ldots\,\ve g_{\ha n+p}\big)\,\tmu\:\big\|_\star
\le\,\sum\pos_{r\hb=\,0}^\infty\;\tmu\,(f_{n+r}-g_{\ha n+r})$\\
$\le\,\sum\pos_{r\hb=\,0}^\infty\,\eps\ha_{n+r}\hb=\hb\sum\pos_{r\hb =\,n}^\infty\,\eps\ha_r$\pv\vvw
donc quand \,$p\to\pin\quad\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Sup{p\,\in\,\N}\ (f_{n+p}\;\tmu)
-\ha\Sup{p\,\in\,\N}\ (g_{\ha n+p}\;\tmu)\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star\le\hb\sum\pos_{r\hb=\,n}^\infty\,
\eps\ha_r$\pv\vva donc quand\, $n\to\pin\hhh\Suplim{n}\ (f_n\;\tmu)=\hb\Suplim{n}\ (g_{\ha n}\;\tmu)=\ha0$\vc

\Cor{\num}\underline{\Theo\ha\ de Lebesgue dans\, $\RR$ }\vvbc

Soit une suite\, $f_n\in\RR$\hh telle que\hh$f_n\bb f\in\RR$\pv alors\,\hh$\all\tmu\in\MM$\,\hh on a\,\hh
$f_n\ \tmu\fin f\hb\tmu$\pv\vvww en cons\e quence\,\hh$\tmu\,(f_n)\to\tmu\,(f)$\vpt

\begin{picture}(,)
\put(-3,3){\frm(157.5,19)}
\end{picture}\vva
\Dem On a\hh$\nn\quad|\ha f_n\;\tmu-f\,\tmu\ha|\le\hb|\ha f_n-f\ha|\,|\hb\tmu\ha|$\pv or\,\hh$|\ha f_n-f\ha|\bb0$\vg\vvw
donc\,\hh$|\ha f_n-f\ha|\:|\hb\tmu\ha|\fin0$\vg donc\,\hh$f_n\;\tmu\fin f\,\tmu$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctions pseudo\ha-r\e gl\e es\,.\, \Theo\ha\ de Lebesgue dans\, $\PR$}}\vvc

\oui Supposons\: $\tmu\in\MM$\pv pour l'instant le produit\, $f\ha\tmu$\hh et le r\e el\; $\tmu\,(f)$\, n'ont de sens que si\, $f\in\RR$\ha;\: 
ce paragraphe et le suivant vont nous permettre d'\e tendre la validit\e\ de ces expressions \ac\ des fonctions\hb\ $f$\ha\ de plus en plus g\e n\e rales\vb

\Th{\num*}\vvw Les deux propri\e t\e s suivantes sont \e quivalentes pour une fonction\, $f\in\FF$\dd\vvw

\qquad\quad1)\hh Il existe une suite\, $f_n\in\ha\EE$\, telle que\hh $f_n\bb f$\vw
\qquad\quad2\ha)\hh Il existe une suite\, $f_n\in\RR$\, telle que\hh $f_n\bb f$\vb

\Def{\num}Une fonction\, $f\in\FF$\, qui v\e rifie ces propri\e t\e s est dite\, \underline{pseudo\ha-r\e gl\e e}\vb
On note\quad$\PR=\ens{\hb f\in\FF\ \big\|\:f$ pseudo\ha-r\e gl\e e\hb$}\supset\ha\RR$\ha\vb

\Th{\num*}$\PR$\hh est une sous-alg\ee bre coh\e rente de\, $\FF$.\vvb

\Th{\num}
\begin{picture}(,)
\put(0,0){$\SC\ha\sub\hb\PR^+$\; .}
\put(-2,-1.75){\frm(22,6.5)}
\end{picture}\vvab

\Dem On a\,\hh$\SC=\,(\ES)\hw\dec$\pv or\,\hh$\ES\ha\sub\,\EE\hw^+$\vg donc\,\hh$\SC\ha\sub\ha\PR^+$\vbc

\num\ \underline{\Theo\ha\ de\ha\ fermeture uniforme}\hh(\hb Baire\ha\ [\ha1\ha]\, p\,. 112\:-\hb114\hb)\vva

\oui Soit\, $\Om$\, un ensemble quelconque\pv on note\, $\FOM$\, l'espace de Riesz des fonctions\
\emph{born\e es}\vvwwa de\, $\Om$\, dans\, $\R$\pt Soit\, V\, un sous-espace\, \underline{coh\e rent}\,
de\, $\FOM$\, tel que\: $\un\in\V$\pv on note\, $\VC$\vvwwa le sous-espace des fonctions\: $f\in\FOM$\:
pour lesquelles\ha\ il existe une\ha\ suite\: $f_n\in\V$\, telle\vva que\hh$f_n\bb f$\ha.\,
Alors\: \fbox{\:$\VC$\, est ferm\e\ pour la convergence uniforme$\ph{\low{p}}$\hs{-1.25mm}}\hw\vb

\oui Ce \theo\ha\ se d\e montre \ac\ l'aide de deux lemmes\vb

\underline{\emph{Lemme\hb\ 1}}\dd
Soit\, une suite\: $f_n\in\FOM$\, telle que\hh$f_n\uu f\in\ha\FOM$\hh et soit une suite\vvw
\underline{d\e croissante}\hh$\eps\hw_n>\ha0$\pv alors il existe une sous-suite\, $f_{n\ha_p}$\, telle que\,\hh$\|\ha f_{n\ha_{p\ha+1}}-f_{n\ha_p}\|\le\hw\eps\hw_p$\vab

\Dem\vvwa
On choisit une suite croissante\: $n\ha_p\in\N$\; telle que\,\hh$\all p\in\N\,\hh\|\ha f_{n\hw_p}-f\ha\|\le\hw\eps\hw_p\ha/\ha2$\pv\vvw
on a alors\,\hh$\all p\in\N\,\hh\|\ha f_{n\ha_{p\ha+1}}-f_{n\ha_p}\|\le\|\ha f_{n\ha_{p\ha+1}}-f\ha\|
+\|\ha f_{n\ha_p}-f\ha\|\le\hw\eps\hw_{p\ha+1}\ha/\ha2+\eps\hw_p\hw/\ha2\le\hw\eps\hw_p$\vc

\underline{\emph{Lemme\, 2}}\dd
Soit une suite\, $f_n\in\VC$\pv alors il existe des suites\, $g\hb_{n\ha,\:p}\in\V$\hh telles que\vvw$\nn\,\hh g\hb_{n\ha,\:p}\bb f_n$\,\hh
et\hb\hh$\all n\hb,\hb p\in\N\,\hh\|\hb g\hb_{n\ha+1\hw,\:p}-g\hb_{n\hw,\:p}\hb\|\le\hw\|\ha f_{\hw n\ha+1}-f_n\ha\|$\vab

\Dem\vvwa
Choisissons\hh$\nn$\; une suite\; $f_{n\hb,\:p}\in\V$\hh telle que\hh
$f_{n\ha,\:p}\bb f_n$\pv on pose\hh$\nn$\vvw$\alf\ha_n=\|\ha f_{\hw n\ha+1}-f_n\ha\|$\ha\hh
et on d\e finit\hh$\all p\in\N$\vvab\hs{40mm}$g\hb_{0\ha,\:p}=f_{\ha0\ha,\:p}$\vva

\hs{40mm}$g\ha_{1\ha,\:p}=g\hb_{0\ha,\:p}+(-\,\alf\ha_0)\ve(f_{\ha1\ha,\:p}-g\hb_{0\ha,\:p})\wa\alf\ha_0$\vva

\hs{40mm}$g\ha_{2\ha,\:p}=g\hb_{1\ha,\:p}+(-\,\alf\ha_1)\ve(f_{\ha2\ha,\:p}-g\hb_{1\ha,\:p})\wa\alf\ha_1$\vva

\hs{40mm}$g\ha_{3\ha,\:p}=g\hb_{2\ha,\:p}+(-\,\alf\ha_2)\ve(f_{\ha3\ha,\:p}-g\hb_{2\ha,\:p})\wa\alf\ha_2$\vvw
\hs{50mm}$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$\vvww
\hs{50mm}$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$\vvbc

On a bien\hb\hh$\all n\hb,\hb p\in\N\,\hh g\ha_{n\ha,\:p}\in\V$\,\hh et\hb\hh
$\|\hb g\hb_{n\ha+1\hw,\:p}-g\hb_{n\ha,\:p}\hb\|\le\ha\alf\ha_n\hw=\hw\|\ha f_{\hw n\ha+1}-f_n\ha\|$\pv\vvw
par ailleurs on peut \e crire quand\; $p\to\pin$\vvb

$g\hb_{0\ha,\:p}\bb f_{\hw0}$\vva

$g\ha_{1\ha,\:p}\bb f_{\hw0}+(-\,\alf\ha_0)\ve(f_{\hw1}-f_{\hw0})\wa\alf\ha_0
=f_{\hw0}+(f_{\hw1}-f_{\hw0})=f_{\hw1}$\quad\,car\,\hh
$-\,\alf\ha_0\ha\le\ha f_{\hw1}-f_{\hw0}\ha\le\ha\alf\ha_0$\vva

$g\ha_{2\ha,\:p}\bb f_{\hw1}+(-\,\alf\ha_1)\ve(f_{\hw2}-f_{\hw1})\wa\alf\ha_1
=f_{\hw1}+(f_{\hw2}-f_{\hw1})=f_{\hw2}$\quad\,car\,\hh
$-\,\alf\ha_1\ha\le\ha f_{\hw2}-f_{\hw1}\ha\le\ha\alf\ha_1$\vva

$g\ha_{3\ha,\:p}\bb f_{\hw2}+(-\,\alf\ha_2)\ve(f_{\hw3}-f_{\hw2})\wa\alf\ha_2
=f_{\hw2}+(f_{\hw3}-f_{\hw2})=f_{\hw3}$\quad\,car\,\hh
$-\,\alf\ha_2\ha\le\ha f_{\hw3}-f_{\hw2}\ha\le\ha\alf\ha_2$\vvw
\hs{20mm}$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
\hs{20mm}$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$\vvww
\hs{20mm}$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$
\hs{20mm}$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$\vvc

\underline{\emph{D\e monstration du \theo}}\dd\vva

Soit la suite\, $f_n\in\VC$\, telle que\hh$f_n\uu f\in\FOM$\pv il faut montrer\, $f\in\VC$\vwa
Soit une suite\hh$\eps\ha_n>0$\hh telle que\hh$\sum\pos_{n\,=\hb0}^\infty\hb\eps\ha_n<\pin$\pv\vvwa
en vertu du lemme\ha\ 1\, on peut supposer\,\hh$\nn\,\hh\|\ha f_{n\ha+1}-f_n\ha\|\le\ha\eps\ha_n$\pv\vwa
en vertu du lemme\ha\ 2\, il existe des suites\, $g\hb_{n\ha,\:p}\in\V$\hh telles que\vvwa
$\nn\,\hh g\hb_{n\ha,\:p}\bb f_n$\,\hh et\,\hh$\all n\hb,\hb p\in\N\,\hh\|\hb g\hb_{n\ha+1\hw,\:p}-g\hb_{n\hw,\:p}\hb\|
\le\hw\|\ha f_{\hw n\ha+1}-f_n\ha\|\le\ha\eps\ha_n$\pv\vvwa
nous allons prouver\hh $g\ha_{p\ha,\:p}\bb f$\vg ce qui d\e montrera le \theo\va
Soit\, $\eps>0$\pv choisissons\, $N\in\N$\, tel que\hh$\sum\pos_{r\hb=\hb N}^\infty\hb\eps\hw_r\ha\le\hb\eps$\,\hh et\,\hh$\|\ha f_N-f\ha\|\le\hb\eps$\pv\vvwa
on a\,\hh$\all p>N\quad g\ha_{p\ha,\:p}-f=\hb(g\ha_{N,\:p}-f_N)+(f_N-f)$\vvw
\hs{30mm}$+\:(g\ha_{N+1,\:p}-g\ha_{N,\:p})+(g\ha_{N+2\ha,\:p}-g\ha_{N+1,\:p})+\ \ldots\ +(g\ha_{p\ha,\:p}-g\ha_{p\ha-1,\:p})$\vg\vva 
donc\,\hh$|\hb g\ha_{p\ha,\:p}-f\ha|=|\hb g\ha_{N,\:p}-f_N\ha|+\|\ha f_N-f\ha\|\hb
+\hb\sum\pos_{r\hb=\hb N}^{p\ha-1}\eps\ha_r\ha\le|\ha g\ha_{N,\:p}-f_N|\hw+\ha2\:\eps$\pv\vvw
on trouve donc\; $\suplim{p\to\;\pin}\,|\hb g\ha_{p\ha,\:p}-f\ha|\le\hb2\;\eps$\pv
comme\, $\eps$\, est arbitraire\, on en d\e duit\vvwa$g\ha_{p\ha,\:p}\sm f$\ha\pv\ha
de plus on a\,\hh$\all p>N\,\hh g\ha_{p\ha,\:p}\,=\,g\ha_{N,\:p}\,+(g\ha_{N+1,\:p}-g\ha_{N,\:p})$\vvw\hs{65mm}$+\:(g\ha_{N+2\ha,\:p}-g\ha_{N+1,\:p})
+\ \ldots\ +(g\ha_{p\ha,\:p}-g\ha_{p\ha-1,\:p})$\vg\vva
donc\,\hh$\|\ha g\ha_{p\ha,\:p}\ha\|\le\|\ha g\ha_{N,\:p}\ha\|\hb+\sum\pos_{r\hb=\hb N}^{p\ha-1}\eps\ha_r\ha\le\hb\|\ha g\ha_{N,\:p}\ha\|\hb+\,\eps$\pv
comme\; $g\ha_{N,\:p}$\; est une suite born\e e\vvw il en est de m\^eme de la suite\; $g\ha_{p\ha,\:p}$\ha\vg\ha donc\ha\hh$g\ha_{p\ha,\:p}\bb f$\vc

\Cor{\num*}\fbox{\,$\PR$\ho\,est un espace de Riesz\ha-Banach pour la convergence uniforme\hb.\hb}\vvbc

\num\ \underline{\Theo\ d'extension}\vvwa
\oui Soit une suite\, $f_n\in\RR$\hh telle que\hh$f_n\bb f\in\ha\PR$\pv alors\,\hh$\all{\tmu}\in\MM\,\hh f_n\:\tmu$\hh
converge\vvw finement dans\, $\MM$\, vers une limite qui ne d\e pend que de\, $f$\, (\ha et non de la suite\, $f_n$\ha)\vb

\Dem La suite\; $f_n\:\tmu$\; est domin\e e car la suite\, $f_n$\, est born\e e\pv
soit\hh$\nn$\vvw$\tphi_{\ha n}=\hb\Inf{\sbs{\\[.25mm]p\,\in\,\N}}\ (f_{n+p}\;\tmu)\,\in\ha\MM$\,\hh
et\quad$\tpsi_{\ha n}=\hb\Sup{p\,\in\,\N}\ (f_{n+p}\;\tmu)\,\in\ha\MM$\pv
posons\,\hh$\all n\,,\,p\in\N$\vvwa$g_{\ha n\hb p}=f_n\wa f_{n+1}\wa\,\ldots\,\wa\,f_{n+p}\,\in\ha\RR$\,\hh
et\quad$h_{\ha n\hb p}=f_n\ve f_{n+1}\ve\,\ldots\,\ve\,f_{n+p}\,\in\ha\RR$\vwa
Pour\, $n$\: fix\e\ on a\,\hh$g_{\ha n\hb p}\,\tmu\st\tphi_{\ha n}$\,\hh
et\,\hh$h_{\ha n\hb p}\,\tmu\st\tpsi_{\ha n}$\,\hh quand\,\hh$p\to\pin$\pv
soit\, $\eps>0$\vvwa et\hh$\nn$\hh choisissons\, $p\in\N$\hh tel que\,\hh
$\bnst{\hb\tphi_{\ha n}-g_{\ha n\hb p}\,\tmu\hb}\le\ha\eps$\,\hh
et\,\hh$\bnst{\hb\tpsi_{\ha n}-h_{\ha n\hb p}\,\tmu\hb}\le\ha\eps$\pv\vvwa
on pose\,\hh$\nn\quad g_{\ha n}=g_{\ha n\hb p}$\,\hh et\,\hh$h_{\ha n}=h_{\ha n\hb p}$\va
On a\,\hh$\all n\in\N\,\hh\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]p\,\in\,\N}}\,f_{\ha n+p}\,\le\,g_{\ha n}\,
\le\,f_n\,\le\,h_{\ha n}\,\le\,\sup\pos_{p\,\in\,\N}\ f_{\ha n+p}$\pv
or\hh$\inf\pos_{\sbs{\\[.25mm]p\,\in\,\N}}\,f_{\ha n+p}\sm f$\vvww et\,\hh
$\sup\pos_{p\,\in\,\N}\,f_{\ha n+p}\sm f$\,\hh quand\hh$n\to\pin$\vg
donc\,\hh$g_{\ha n}\bb f$\,\hh et\,\hh$h_{\ha n}\bb f$\ha;\vvww on en d\e duit\,\hh
$k_{\ha n}=h_{\ha n}-g_{\ha n}\bb0$\pv donc\,\hh$k_{\ha n}\:\tmu\st0$\pv
or on peut \e crire\vva$\bnst{\hb\tpsi_{\ha n}-\tphi_{\ha n}\hb}
\le\bnst{\hb\tpsi_{\ha n}-h_{\ha n}\,\tmu\hb}+\nst{\hb k_{\ha n}\,\tmu\hb}
+\bnst{\hb\tphi_{\ha n}-g_{\ha n}\,\tmu\hb}\le\nst{\hb k_{\ha n}\,\tmu\hb}+2\:\eps$\vg\vvaab
donc\,\hh$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\;\Suplim{\sbs{\\n}}\ (f_n\:\tmu)-\Inflim{n}\
(f_n\:\tmu)\;\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star\le\,2\;\eps$\,;\; on a donc\;\hh$\Suplim{\sbs{\\n}}\
(f_n\:\tmu)=\Inflim{n}\ (f_n\:\tmu)$\vg\vvaab
ce qui prouve que la suite\, $f_n\,\tmu$\, converge finement dans\, $\MM$\va
Montrons que cette limite ne d\e pend pas de la suite\, $f_n$\, mais seulement de\, $f$\hb;\vvwa
soit une suite\hh$\varphi\ha_n\in\RR$\hh telle que\hh$\varphi\ha_n\ha\bb f$\pv on a\,\hh
$\varphi\ha_n-f_n\ha\bb\,0$\vg donc\ha\hh$(\varphi\ha_n-f_n)\:\tmu\hb\fin\ha0$\vg\vvwa donc\,\hh
$\Lim{n}\ \big(\ha \varphi\ha_n\;\tmu\ha\big)=\,\Lim{n}\ \big(\ha f_n\:\tmu\ha\big)$\vc

\Def{\num}$\all f\in\ha\PR\,\hh\all\tmu\in\MM$\hh nous pouvons donc d\e finir\, $f\ha\tmu\in\MM$\, de la\vvwa mani\ee re suivante\dd
\fbox{$\,f\ha\tmu\,=\,\Lim{n}\ \big(\ha f_n\:\tmu\ha\big)$\ha}\,\hh \ou\, $f_n$\, est n'importe quelle suite dans\, $\RR$\\ telle que\, $f_n\bb f$\vbc

\Def{\num}Tout\, $\tmu\in\MM$\, s'\e tend canoniquement \ac\, $\PR$\, en posant\vvab
\hs{50mm}\fbox{\:$\all f\in\ha\PR$\hh\ho$\tmu\,(f)=\hb(\hw f\ha\tmu\ha)\hb(\un)$\,}\ha\vcd

\Th{\num*}$\all f\in\ha\PR\quad\all\tmu\in\MM$\,\hh on a\hb\hh\fbox{\,$\tmu\,(f)=$\ha\ho$\lim\pos_n\;\tmu\,(f_n)$\,}\hb\hh
\ou\, $f_n$\, est\vvk n'importe quelle suite dans\, $\RR$\, telle que\, $f_n\bb f$\vbc

\Th{\num*}$\all f\in\ha\PR\quad\all\tmu\in\MM$\quad on a\quad1)\hh$|\ha f\ha\tmu\,|=|\ha f\ha|\,|\,\tmu\,|$\vva
\hs{92mm}2\ha)\hh$|\,\tmu\,(f)\ha|\le|\,\tmu\ha|\,(\ha|f|\ha)\le\nst{\,\tmu\,}\,\|\ha f\ha\|$\vva
\hs{92mm}3\ha)\hh$\nst{\ha f\ha\tmu\,}\le\|\ha f\ha\|\,\nst{\,\tmu\,}$\vvc

\Th{\num*}$\MM\,,\;\MD\:,\ \LL^1$\; sont des\;  \fbox{\ha domaines\ha\ de\ha\ Riesz$\ph{|\dot{t}}$\hs{-2mm}}\;
sur\, $\PR$\vbc

\newpage
\num\ \underline{Lemme\ha\ de\ha\ convergence fine\ha\ dans\, $\SC$}\vva
\oui Soit\, $f\in\SC$\hh et soit une suite\, $f_n\in\SC$\hh telle que\hh$f_n\bb 0$\pv
alors\,\hh$\all\tmu\in\MM^+$\hh on a\vvwa$f_n\:\tmu\fin0$\pv
en cons\e quence\,\hh$\tmu\,(f_n)=\nst{\hb f_n\:\tmu\hb}\to0$\vb

\Dem M\^eme d\e monstration que dans\, $\RS$\ha.\vvc

\num\ \underline{Lemme d'approximation dans\, $\PR^+$}\vva
$\all f\in\PR^+\,\hh\all\tmu\in\MM^{\,+}\,\hh\all\eps>0$\,\hh il existe\,\hh
$g\in\SC$\,\hh tel que\,\hh$g\le f$\,\hh et\,\hh$\tmu\:(f-g)\le\ha\eps$\vb

\Dem Soit une suite\, $f_n\in\RR^+$\, telle que\, $f_n\bb f$\hb;\vva
par d\e finition de\, $f\ha\tmu$\; on a\,\hh$\Inf{\sbs{\\p\,\in\,\N}}\ (f_{n+p}\;\tmu)\st f\ha\tmu$\pv en n\e gligeant \e ventuellement un nombre\vva
fini de termes de la suite\, $f_n$\: on peut d\ee s lors supposer\,\hh
$\rbox{-.5mm}{\Big\|}\:f\ha\tmu-\Inf{\sbs{\\n\,\in\,\N}}\;(f_n\:\tmu)\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star\le\hb\eps$\va
Posons\,\hh$\phi\ha=\inf\pos_{\sbs{\\n\,\in\,\N}}\,f_ n\hb\in\ha\PR^+$\hb;\: on a\hh$\phi\le\ha f$\pv
de plus par d\e finition de\, $\phi\:\tmu$\hh on a\vva$\phi\:\tmu\ha=\Inf{\sbs{\\n\,\in\,\N}}\;(f_n\:\tmu)$\vg
donc\hh$\tmu\,(f-\phi)\le\ha\eps$\vw Soit une suite\; $\eps\ha_n>0$\; telle que\hb\hh
$\sum\pos_{n\,=\hb0}^\infty\,\eps\ha_n\le\,\eps$\pv soit\hh$\nn\,\hh g_{\ha n}\in\ES$\,\hh tel que\vvwa
$g_{\ha n}\le f_{\ha n}$\,\hh et\,\hh$\tmu\,(f_n-g_{\ha n})\le\hb\eps\ha_n$\pv
posons\,\hh$g=\inf\pos_{\sbs{\\n\,\in\,\N}}\;g_{\ha n}\hb\in\,\SC\ha\sub\hb\PR^+$\hb;\vva
on a\,\hh$g\le\phi\le f$\; et par d\e finition de\hh$\tmu\,(\phi-g)$\hh on peut \e crire\vvwa
$\tmu\,(\phi-g)=\lim\pos_{n\to\pin}\ \tmu\,\big(\ha f_0\wa f_1\wa\,
\ldots\,\wa f_n-\ha g\ha_0\wa g_{\ha1}\wa\,\ldots\,\wa g_{\ha n}\ha\big)\ha\le\:\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{\infty}\ \tmu\,(f_r-g_{\ha r})$\\
$\le\:\sum\pos_{r\hb=\hb0}^{\infty}\;\eps\ha_r\ha\le\,\eps$\pv on en d\e duit\,\hh
$\tmu\,(f-g)\le\hb\tmu\,(f-\phi)+\hb\tmu\,(\phi-g)\le\ha2\;\eps$\vbc

\num\ \underline{Lemme\ha\ de\ha\ convergence fine\ha\ dans\, $\PR^+$}\vva
\oui Soit une suite\hh$f_n\in\ha\PR^+$\, telle que\hh$f_n\bb0$\pv alors\quad$\all\tmu\in\MM^+$\hh on a\,\hh$f_n\:\tmu\fin0$\pv\vvwa 
en cons\e quence\,\hh$\tmu\,(f_n)=\nst{\hb f_n\:\tmu\hb}\to0$\vb

\Dem M\^eme d\e monstration que dans\, $\RR^+$\vc

\Cor{\num}\underline{\Theo\ha\ de Lebesgue dans\, $\PR$}\vvbc

\hhh Soit une suite\, $f_n\in\ha\PR$\hh telle que\hh$f_n\bb f\in\ha\PR$\pv alors\,\hh$\all\tmu\in\MM$\,\hh
on a\,\hh$f_n\:\tmu\fin f\ha\tmu$\pv\vvww en cons\e quence\,\hh$\tmu\,(f_n)\to\tmu\,(f)$\vpt

\begin{picture}(,)
\put(-3,3){\frm(164,19)}
\end{picture}\vva
\Dem M\^eme d\e monstration que dans\, $\RR$\vd

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\initnum
\quad\textbf{\Num\underline{Fonctions universelles\,.\, \Theo\ha\ de Lebesgue dans\, $\WW$}}\vvc

\Def{\num}Une fonction\hh$f\in\FF$\hh est\: \underline{universelle}\hh ssi
$$\boxed{\:\all\tmu\in\MM^+\ha\hh\all\eps>0$\,\hh il existe\hw\hh$g\hb,\hb h\in\PR\hw\hh
$tels\ que$\hb\hh g\le f\le h\,\hh$et$\,\hh\tmu\,(h-g)\le\eps\ph{\low{p}\dot{l}}\hs{-2.5mm}}\ha\pt$$\vvab

On note\quad$\WW=\ens{\,f\in\FF\:\big\|\,f$ universelle$\,}\,\supset\,\PR$\ha\vb

\Th{\num*}$\WW$\, est une sous-alg\ee bre coh\e rente de\, $\FF$.\vvc

\num\ \underline{\Theo\ha\ de\ha\ compl\e tude de\, $\WW$}\dd
\begin{picture}(,)
\put(3,0){Soit\hh$f_n\in\WW\vv\ f_n\bb f\in\FF$\pv alors\hh$f\in\WW$\ha\hh.}
\put(0.5,-3){\frm(82.5,9)}
\end{picture}\\[1mm]

\Dem On peut supposer\, $f_n$\, monotone\, car\,\hh
$\lim\pos_n\, f_n\hb=\,\sup\pos_n\ha\big(\inf\pos_p\,f_{n+p}\ha\big)$\vab

\qquad a)\hh$f_n$\, \underline{d\e croissante}\vvwa
\oui Il est loisible de supposer\hh$\nn\,\hh f_n\in\WW\ha^+$;\, soit\hh$\tmu\in\MM^+$\hh et\hh$\eps>0$\pv\vva soit une suite\; $\eps\ha_n>0$\; telle que\hb\hh
$\sum\pos_{n\,=\hb0}^\infty\,\eps\ha_n\le\,\eps$\pv
soient\hh$\nn\,\hh g_{\ha n}\vv h_{\ha n}\in\ha\PR^+$\vvwa tels que\hh$g_{\ha n}\le f_n\le h_{\ha n}$\hh et\hh$\tmu\,(h_{\ha n}-g_{\ha n})\le\hb\eps\ha_n$\pv
soit\ha\ enfin\hh$\nn\,\hh k_{\ha n}\in\SC$\,\hh tel que\vvw$k_{\ha n}\le g_{\ha n}$\hh et\hh$\tmu\,(g_{\ha n}-k_{\ha n})\le\hb\eps\ha_n$\pv on a donc\,\hh
$\tmu\,(h_{\ha n}-k_{\ha n})\le\hb2\;\eps\ha_n$\pv posons\hh$\nn$\vvw
$H_{\ha n}=\ha h_{\ha0}\wa h_{\ha1}\,\ldots\,\wa h_{\ha n}\hb\in\hb\PR^+$\hh et\hh$K_{\ha n}=\ha k_{\ha0}\wa k_{\ha1}\,\ldots\,\wa k_{\ha n}\hb\in\hb\SC\ha
\sub\ha\PR^+$\,;\, posons de plus\vvw$K=\,\inf\pos_n\,k_{\ha n}\hb\in\hb\SC\ha\sub\ha\PR^+$\hb;\: on a\hh$K_{\ha n}\bb K$\vg donc\; $\tmu\,(K_{\ha n}-K)\to0$\pv
soit\hh$N\in\ha\N$\vvw tel que\hh$\tmu\,(K_N-K)\le\eps$\,;\:
on a\hh$K\le f\le H_{\hw N}$\hh et\hh$K\le K_N\le H_{\hw N}$\pv on peut alors \e crire\vvw
$\tmu\,(H_{\hw N}-K)\ha=\hb\tmu\,(H_{\hw N}-K_N)+\ha\tmu\,(K_N-K)\ha\le\,\sum\pos_{r\,=\hb0}^N\,\tmu\,(h_{\ha r}-k_{\ha r})\,+\:\eps$\\[-1mm]
$\le\,\sum\pos_{r\,=\hb0}^\infty\,2\;\eps\ha_r\,+\:\eps\ha\le\,3\;\eps$\hb;\: donc\: $f\in\WW$\vb

\qquad b)\hh$f_n$\, \underline{croissante}\vvw
\oui On raisonne sur la suite\; $-\,f_n$\hh qui est d\e croissante\pv donc\, $-\,f\in\WW$\vg
donc\: $f\in\WW$\vc

\Cor{\num*}$\WW$\, est un espace de Riesz\ha-Banach pour la convergence uniforme\vbc

\Def{\num}Une fonction est\, \underline{universellement mesurable}\, ssi elle est limite simple d'une suite de fonctions universelles\vab

On note\,\hh$\widehat{\WW}=\ens{\,f\in\widehat{\FF}\:\big\|\,f$ universellement mesurable\hb}\vcd

\num\ \underline{\Theo\ha\ de\ha\ compl\e tude de\, $\widehat{\WW}$}\dd
\begin{picture}(,)
\put(3,0){Soit\hh$f_n\in\widehat{\WW}\vv\ f_n\sm f\in\widehat{\FF}$\pv alors\hh$f\in\widehat{\WW}$\ha\hh.}
\put(0.5,-3){\frm(83,9)}
\end{picture}\vvc

\Dem Soit une suite\, $f_n\in\widehat{\WW}$\hh telle que\, $f_n\sm f\in\ha\widehat{\FF}$\pv alors\,\hh$\all k\in\N^*$\vvww
$(-\,k)\ve f_n\wa k\in\WW$\,\hh et\,\hh$(-\,k)\ve f_n\wa k\bb(-k)\ve f\wa k$\vg donc\hh$(-\,k)\ve f\wa k\in\WW$\pv\vvww
par ailleurs\hh$(-\,k)\ve f\wa k\to f$\vg donc\hh$f\in\widehat{\WW}$\vc

\Th{\num*}$\widehat{\WW}$\, est un sous-espace coh\e rent de\, $\widehat{\FF}$.\vvbc

\Def{\num}$\all f\in\WW\quad\all\tmu\in\MM$\hh on d\e finit\hh $f\,\tmu\in\MM$\hh en posant\\
\begin{picture}(,)
\put(25,-5){$\bul\quad\all\tmu\in\MM^+\hhh f\ha\tmu\ =\!\!\Sup{g\,\in\;\hhh,\;g\,\le\,f}(\hw g\,\tmu\hw)\
=\quad\,\Inf{}\hhh\;(\hw h\,\tmu\hw)$}
\put(25,-16){$\bul\quad\all\tmu\in\MM\qquad f\ha\tmu\ =\ f\,\tmu^+-f\,\tmu^-$}
\put(71,-8.25){$_{\PR}$}
\put(99,-7.85){$_{h\,\in\;\hhh,\;h\,\ge\,f}$}
\put(104,-8){$_{\PR}$}
\put(22,-19.5){\frm(107,20.5)}
\end{picture}\\[27.5mm]
\Def{\num}Tout\, $\tmu\in\MM$\, s'\e tend canoniquement \ac\, $\WW$\, en posant\hh$\all f\in\WW$\\
\begin{picture}(,)
\put(15,-5){$\bul\quad\all\tmu\in\MM^+\hhh\tmu\,(f)\ha=\hb(f\ha\tmu)\,(\un)\
=\!\sup\pos_{g\:\in\;\hhh,\;g\,\le\,f}\,\tmu\,(g)\ =\quad\,\inf\pos_{}\hhh\,\,\tmu\,(h)$}
\put(15,-16){$\bul\quad\all\tmu\in\MM\qquad\tmu\,(f)\ha=\hb(f\ha\tmu)\,(\un)\ =\ \tmu^+\ha(f)-\tmu^-\ha(f)$}
\put(87,-8){$_{\PR}$}
\put(116,-7.85){$_{h\:\in\;\hhh,\;h\,\ge\,f}$}
\put(121,-8){$_{\PR}$}
\put(12,-19.5){\frm(134,20.5)}
\end{picture}\\[27.5mm]
\emph{\underline{Notation\ha\ int\e grale}}\dd\vvwa
$\all\tmu\in\MM\quad\all f\in\WW$\quad on note\quad\fbox{\ha\,$\tmu\,(f)\,
=\dis\Iab\!(\hw f\,\tmu\hw)\hb(x)\,=\dis\Iab\!f\ha(x)\;\tmu\,(x)$\,}\ha\vcd

\Th{\num*}$\all f\in\WW\quad\all\tmu\in\MM$\quad on a\quad 1)\hh$|\ha f\ha\tmu\,|=|\ha f\ha|\,|\,\tmu\,|$\vva
\hs{88mm}2\ha)\hh$|\,\tmu\,(f)\,|\le|\,\tmu\;|\ha\big(|f|\big)\le\nst{\,\tmu\,}\,\|\ha f\ha\|$\vva
\hs{88mm}3\ha)\hh$\nst{\ha f\ha\tmu\,}\le\|\ha f\ha\|\,\nst{\,\tmu\,}$\vvbc

\Th{\num*}$\MM\,,\ \MD\,,\ \LL^1$\hh  sont des\;  \fbox{\ha domaines\lo de Riesz$\ph{\dot{t}}$\hs{-1mm}}\;
sur\, $\WW$\vbc

\num\ \underline{Lemme\ha\ de\ha\ convergence fine\ha\ dans\, $\WW^{\,+}$}\vva
\oui Soit une suite\hh$f_n\in\WW^+$\, telle que\hh$f_n\bb0$\pv alors\quad$\all\tmu\in\MM^+$\hh on a\,\hh
$f_n\:\tmu\fin0$\pv\vvwa en cons\e quence\quad$\tmu\,(f_n)=\nst{\hb f_n\:\tmu\hb}\to0$\vb

\Dem Soit une suite\; $\eps\ha_n>0$\; telle que\hb\hh$\sum\pos_{n\,=\hb0}^\infty\,\eps\ha_n<\pin$\pv\vvwa
soient\hh$\nn\,\hh g_{\ha n}\vv h_{\ha n}\in\PR^+$\hh tels que\,\hh$g_{\ha n}\le f_n\le h_{\ha n}$\,\hh
et\,\hh$\tmu\,(h_{\ha n}-g_{\ha n})\le\hb\eps\ha_n$\pv\vvwa 
on a\,\hh$g_{\ha n}\bb0$\vg donc\,\hh$g_{\ha n}\;\tmu\fin0$\pv on peut \e crire\vvwa
$\nn\,\hh\rbox{-.5mm}{\Big\|}\,\Sup{p\,\in\,\N}\ (h_{\ha n+p}\;\tmu)-\Sup{p\,\in\,\N}\
(\ha g_{\ha n+p}\;\tmu)\,\rbox{-.5mm}{\Big\|}_\star\le\,\sum\pos_{r\hb=\,0}^\infty\,\eps\ha_{n+r}\hb
=\hb\sum\pos_{r\hb=\,n}^\infty\,\eps\ha_r$\vg\vva donc quand\hh$n\to\pin\hhh
\Suplim{n}\ (h_n\;\tmu)=\hb\Suplim{n}\ (\ha g_n\;\tmu)=\ha0$\pv\vva
or on a\quad$\Suplim{n}\ (f_n\:\tmu)\le\,\Suplim{n}\ (h_n\;\tmu)$\vg donc\quad$\Suplim{n}\ (f_n\:\tmu)=\ha0$\vc

\Cor{\num}\underline{\Theo\ha\ de Lebesgue dans\, $\WW$}\vvbc

\oui Soit une suite\, $f_n\in\WW$\hh telle que\hh$f_n\bb f\in\WW$\pv alors\,\hh$\all\tmu\in\MM$\,\hh on a\,\hh$f_n\:\tmu\fin f\ha\tmu$\pv\vvww 
en cons\e quence\,\hh$\tmu\,(f_n)\to\tmu\,(f)$\vpt

\begin{picture}(,)
\put(-3,3){\frm(163.5,19)}
\end{picture}\vva
\Dem M\^eme d\e monstration que dans\, $\RR$\vcd

\oui \underline{Remarques finales}\dd Notre version du \theo\ha\ de  Lebesgue para\^it a priori moins g\e n\e rale que la version classique\pv 
ce n'est qu'une illusion\hh!\hh En effet\, :\vvab

1)\hh \tsf{\underline{Nous supposons la convergence \emph{partout} au lieu de la convergence \emph{presque partout}}}\ha.\vvwa
\oui Il suffit simplement de d\e cider que les fonctions de la suite sont nulles aux points \ou\ il n'y a pas convergence pour se retrouver 
dans le cas de la convergence partout\vab

2)\hh \tsf{\underline{Nous supposons la convergence \emph{born\e e} au lieu de la convergence \emph{domin\e e}}}\ha.\vvwa
\oui Soit donc une suite de fonctions\, $f_n$\, convergeant partout vers une fonction\ha\ $f$\vg et soit\vvw
$F$\, une fonction positive sommable pour\, $\tmu$\: telle que\hh$\nn\,\hh|f_n|\le F$\pv on peut\vvwa
supposer\hh$\all x\in\ab\hh\F\hb(x)>\ha0$\pv comme\; $\nn\hh\Frac{f_n}{F}\le1$\vg en appliquant la version ``\,born\e e\,"
du \theo\ha\ de Lebesgue\ha\ \ac\ha\ la suite\; $\Frac{f_n}{F}$\; et \ac\ la mesure\, $F\:\tmu$\ha\vg on obtient\vva
\hs{35mm}$\dis\Iab\hs{-1mm}f_n\:\tmu\hb=\Iab \frac{f_n}{F}\;F\hb\tmu\ha\ \to\Iab\frac{f}{F}\;F\hb\tmu\hb=\Iab\hs{-1mm}f\ha\tmu$\vc

3)\hh Remarquons\ha\ aussi que nous formulons le \theo\ha\ de Lebesgue de mani\ee re\, \underline{plus pr\e cise}\vvw
qu'il n'est d'usage\vg puisque nous affirmons la\ha\ \emph{convergence fine des mesures}\, $f_n\:\tmu$\; et pas\vvw 
seulement la convergence des int\e grales\hh$\tmu\,(f_n)=\dis\Iab\hs{-1mm}f_n\:\tmu$\vc

\oui\underline{Remarque p\e dagogique}\dd Comme on a pu le constater\vg le \theo\ de convergence domin\e e reste\vg
malgr\e\ toutes nos tentatives de simplification\vg un \theo\ relativement ardu \ac\ d\e montrer\ha\ (\ha contrairement au \theo\ de convergence monotone\ha)\pt 
En cons\e quence\vg son introduction r\e cente et g\e n\e ralis\e e dans le premier cycle des universit\e s et en classes pr\e paratoires\vg 
sous pr\e texte de donner aux \e tudiants des outils ``\,puissants\," et de leur faire ``\,gagner du temps\,"\vg para\^it inopportune\pt 
Utiliser des \theo s dont on ne  ma\^itrise ni la formulation ni la d\e monstration n'est s\^urement pas la meilleure mani\ee re de d\e velopper un esprit scientifique 
de qualit\e\vpt

\oui Il est\vg \ac\ notre avis\vg  bien plus formateur de traiter les probl\ee mes relatifs \ac\ la permutation des limites et des int\e grales\vg 
et donc aussi des int\e grales entre elles\vg par des \theo s de convergence ou de continuit\e\, \tsf{uniformes}\pv
de tels proc\e d\e s sont certes moins puissants et moins \e l\e gants\vg mais ils permettent de justifier simplement et compl\ee tement toutes les ``\,manoeuvres\," 
que l'on est amen\e\ \ac\ pratiquer sur des expressions int\e grales concr\ee tes\pt
Ces m\e thodes donnent en outre l'occasion d'appliquer intensivement les techniques fondamentales de l'analyse\vg r\e sum\e es dans la c\e l\ee bre formule de 
Jean Dieudonn\e\ : \tsf{``\,majorer\vg minorer\vg comparer\,"}\vpt

\oui Bien entendu notre intention n'est pas de d\e nigrer l'int\e grale de Lebesgue en g\e n\e ral\vg ni notre travail en particulier\hh!\hh 
Cette th\e orie et ses applications trouvent leur place naturelle en derni\ee re ann\e e de Licence ou en Ma\^itrise\vg \ou\ elles permettent d'atteindre ``\,d'un bond\,"
un niveau de g\e n\e ralisation\vg de sophistication et \emph{in fine} de simplification de l'analyse\vg
tel que les potentialit\e s de celle-ci en sont multipli\e es de mani\ee re ph\e nom\e nale\vpt

\oui Mais ce surcro\^it de sens et de puissance a un prix\, :\, la plus grande abstraction des concepts de base de la th\e orie\vg
dont on imagine mal qu'ils puissent avoir une quelconque signification pour les \e tudiants des deux premi\ee res ann\e es de l'enseignement sup\e rieur\pt
Ce handicap appara\^it d'autant plus insurmontable quand on consid\ee re avec quel bagage math\e matique r\e duit les \e l\ee ves entrent d\e sormais \ac\ l'universit\e\ 
ou en Math Sup\vg compte tenu des ``\,all\ee gements\," drastiques subis depuis vingt-cinq ans par les horaires\vg les programmes et les exigences 
dans les enseignements primaire et secondaire\vb

\centerline{*\,*\,*\,*\,*\,*\,*\,*\,*\,*}

\newpage
\oui\textbf{\underline{R\e capitulatif}}\dd Pour am\e liorer la compr\e hension de notre th\e orie\vg nous pr\e sentons d\ee s maintenant le sch\e ma complet 
d'inclusion des principaux espaces\ha\ de\ha\ fonctions\vg fonctionnelles\vg mesures\: et\ha\ pseudo-mesures\ha\ sur\, \ab\vg d\e j\ac\ d\e finis dans les chapitres
pr\e c\e dents ou \ac\ d\e finir dans les chapitres suivants\, :\vvd

\hs{62mm}\rbox{-.25mm}{$\widehat{\WW}$}\hs{35mm}$\FO$\vvk
\hs{62.75mm}$\cup\hs{38.25mm}\cup$\vvww
\hs{10mm}$\EE\;\sub\ \RR\ \sub\ \BB\A\ \sub\ \PR\ \sub\:\WW\ \under{surj.}{\fun}\
\BB\ \sub\ \LL^2\ \sub\ \LL^1\hb\sub\ \MD\ \sub\ \MM\ \sub\ \PM$\vvww
\hs{21.5mm}$\cup\hs{9.25mm}\cup\hs{25mm}\cup\hs{11.75mm}\cup\hs{35mm}
\cup\hs{11.25mm}\cup\hs{11mm}\cup$\vvww
\hs{21.5mm}$\CC\hs{10.25mm}\SC\hs{25.5mm}\mcal{Z}\hs{12.5mm}\KK\hs{34.5mm}\ND
\,\ \sub\:\ \NN\ha\ \sub\hb\ \PN$\vvww
\hs{132.5mm}$\cup\hs{12mm}\cup$\vvk
\hs{131.75mm}$\A\hh\sub\,\ \PA$

\begin{picture}(,)
\put(7,3){\frm(149,55)}
\end{picture}\\


\end{document}
