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\new{\ab}{[\,a\hb,\hb b\,]}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\centerline{\fbox{\ph{$\widehat{l}$}\Large{\textbf{INTRODUCTION}}\ph{\underline{l}}}}\vs{10mm}

\hs{20mm}\textbf{\emph{``\,Une fonction d\e finie presque partout n'est d\e finie nulle part\: !\,"}}\\

Nous nous sommes fix\e\ pour t\^ache de reprendre\ha\ \emph{ab ovo}\hb\ toute la th\e orie de l'int\e grale de Lebesgue afin d'en am\e liorer autant que possible
l'exposition et la compr\e hension\pt Nous n'avons pas h\e sit\e\ \ac\ modifier profond\e ment les m\e thodes habituellement mises en oeuvre\vg car il faudra bien
que cesse un jour le scandale d'un enseignement \ac\ ce point r\e barbatif\vg qu'il est donn\e\ pour ainsi dire \ac\ reculons\vg professeurs comme \e tudiants \e
tant \e galement persuad\e s de son caract\ee re fonci\ee rement indigeste\pt Notre  motivation vient d'aileurs principalement de la r\e pugnance que nous a
toujours inspir\e\ la ``\,bo\^ite \ac\ outils\,"\ traditionnelle de l'int\e grale de Lebesgue\vg m\^eme lorsque nous avons fini\vg apr\ee s de longues ann\e es
de r\e flexion post-universitaire\vg par en ma\^itriser les \e l\e ments essentiels\pt\vva

D'un point de vue purement objectif en effet\vg quoi de plus\ha\ \emph{informe}\ha\ qu'un bor\e lien,
de plus\ha\ \emph{indigent}\ha\ qu'un ensemble de mesure nulle\vg de plus\ha\ \emph{insaisissable}\ha\
qu'une fonction d\e finie presque partout\, ?\, Nous estimons que de telles notions\vg par trop alambiqu\e es\vg
sont d\e pourvues de l'\e l\e gance et de la simplicit\e\vg en un mot de la\ha\ \emph{n\e cessit\e}\ha,\,
que l'on peut attendre des fondements d'une th\e orie aussi g\e n\e rale que la th\e orie de
l'int\e gration\pt C'est pourquoi nous avons cherch\e\ \ac\ \e laborer de nouveaux outils conceptuels\vg
plus pertinents et plus performants\vg destin\e s \ac\ rendre l'\e tude de l'int\e grale aussi limpide et intelligible que possible\pt\vva

Pour ce faire\vg et prenant le contre-pied des th\e ories existantes\vg nous sommes partis d'une d\e finition\ha\ \emph{globale}\ha\ des\,
``\,classes de fonctions sommables\,"\pt Effectivement\vg plut\^ot que de d\e finir ces classes\ha\
\emph{de l'int\e rieur}\vg \ac\  partir de leur\ha\ \emph{contenu}\vg n'y aurait-il pas int\e r\^et \ac\ les
regarder\ha\ \emph{de l'ext\e rieur}\ha\ et \ac\ les d\e crire d'un point de vue r\e solument op\e ratoire\, ?\vva

Or ces classes\vg  via l'int\e gration\vg ont pour propri\e t\e\ naturelle d'agir lin\e airement sur certains espaces de fonctions\pv
de fait \emph{les classes de fonctions sommables se comportent exactement comme des mesures}\pt Cette observation constitue le principe\ha\
\emph{fondateur}\ha\ et\ha\ \emph{moteur}\ha\ de notre expos\e\ sur la th\e orie de l'int\e gration\va

$\big($\hb\tsf{Nous nous limiterons\vg pour l'essentiel de cette introduction\vg
au cas de l'int\e gration de Lebesgue sur un\hb\ \underline{intervalle compact}\hb\ de\hb\ $\R$}\hb$\big)$\vab

Notre id\e e de base consiste \ac\ consid\e rer qu'une classe de fonctions sommables n'est rien d'autre qu'une\ha\
\emph{forme lin\e aire continue sur l'espace des fonctions \e tag\e es} (\ha muni de la topologie
uniforme\ha)\pt L'int\e grale des fonctions de la classe est alors simplement d\e finie comme la valeur
que prend la forme lin\e aire sur la fonction constante\ha\ $\un$\va

Pr\e cisons tout de suite\vg et c'est \e videmment capital\vg que l'inverse n'est pas vrai\dd toute forme lin\e aire continue sur l'espace des fonctions \e tag\e es
ne correspond pas n\e cessairement \ac\ une classe de fonctions sommables\va

\newpage
Il nous faut donc d'abord  r\e soudre un probl\ee me de terminologie\dd il n'existe en effet aucune d\e nomination sp\e cifique pour les formes lin\e aires continues
sur l'espace des fonctions\ha\ \emph{\e tag\e es}\dd nous proposons de les appeler des\, \underline{pseudo\ha-mesures}\va

Bien entendu le concept de pseudo\ha-mesure est fort proche du concept de\, \underline{mesure}\hb\vg
\mbox{\cad}\ d'une forme lin\e aire continue sur l'espace des fonctions\ha\ \emph{continues}\pt
Mais la d\e finition des mesures souffre d'une d\e fectivit\e\ certaine\vg puisqu'elle ne permet pas
d'obtenir\ha\ \emph{directement}\ha\ la mesure d'un\ha\ \emph{intervalle}\vg ce qui est quand m\^eme assez
consternant\hh!\hh On ne l'obtient que par un processus d'extension relativement lourd, qu'il vaudrait mieux
r\e server \ac\ des fonctions plus compliqu\e es que ne le sont de simples fonctions \e tag\e es\, !\vva

D'autre part approcher des fonctions \e tag\e es par des fonctions continues constitue une op\e ration peu
naturelle\vg en rupture \e pist\e mologique avec la d\e finition de l'int\e grale de Riemann\pt Il est
beaucoup plus logique et productif de consid\e rer que les mesures sont faites a priori pour mesurer des
intervalles\vg objectif rempli naturellement par les pseudo-mesures\va

Remarquons aussi que les fonctions \e tag\e es sont bien plus ``\,constructibles\," que les fonctions continues puisqu'on peut d\e finir n'importe quelle fonction
\e tag\e e au moyen d'un nombre \emph{fini} de param\ee tres r\e els\pt De plus les fonctions caract\e ristiques d'intervalles forment une partie \emph{g\e n\e ratrice}
explicite et canonique de l'espace vectoriel des fonctions \e tag\e es\vg ce qui simplifie fortement et justifie amplement l'utilisation de cet espace\va

D'ailleurs\vg par densit\e\vg les pseudo\ha-mesures se trouvent automatiquement d\e finies sur tout l'espace des fonctions\ha\ \emph{r\e gl\e es}\pt
D\ee s lors\vg par restriction aux fonctions continues, les \mbox{pseudo\ha-}mesures deviennent ipso facto des mesures\pv l'espace des mesures est donc isom\e trique
au\ha\ \emph{quotient}\ha\ de l'espace des pseudo-mesures par le sous\ha-espace des pseudo-\ha mesures nulles sur l'espace des fonctions continues\va

Mais de mani\ee re plus significative encore\vg l'espace des mesures est isom\e trique au\ha\ \emph{sous-espace}\ha\ des pseudo-mesures v\e rifiant une certaine
propri\e t\e\ d'``\,\emph{hypercontinuit\e}\,"\, (\e quivalente \ac\ la \mbox{$\sig$-additivit\e)}\pt Les mesures peuvent donc \^etre d\e finies directement
comme des pseudo-mesures et agir ainsi directement sur les fonctions r\e gl\e es\va

D'autre part de nombreux concepts et th\e or\ee mes associ\e s aux mesures\ha\ (\hw ou aux fonctions\hw)
se g\e n\e ralisent sans difficult\e\ aux pseudo\ha-mesures\pt L'espace des pseudo\ha-mesures constitue donc
bien l'espace naturel dans lequel traiter tous les probl\ee mes relatifs \ac\ l'int\e gration\va

Signalons que tous les espaces de fonctions\vg mesures et pseudo\ha-mesures que nous d\e finissons
appartiennent \ac\ un m\^eme type d'espace ordonn\e\dd les\, \underline{espaces de Riesz}\hb\vg \cad\ha\
les espaces vectoriels poss\e dant un\ha\ \emph{ordre}\ha\ et une\ha\ \emph{valeur absolue}\ha\
(\ha\ac\ valeurs dans l'ensemble des \e l\e ments positifs de l'espace et non dans\, $\R^+$\ha)\pt
Nous emprunterons donc une large part de notre formalisme \ac\ la th\e orie g\e n\e rale de ces espaces\vb

\centerline{*\,*\,*\,*\,*\,*\,*\,*\,*\,*}\vvab

\newpage
Voyons maintenant pr\e cis\e ment comment nous d\e finissons l'espace\, $\LL^1$\hb\ des classes de
fonctions sommables pour la mesure de Lebesgue sur l'intervalle\, \ab\va

On note\, $\EE$\, l'espace des fonctions \e tag\e es sur\, \ab\vg muni de la norme\, \underline{uniforme}\vg
et\, $\PM$\, le\, \underline{dual norm\e}\, (\ha ou dual continu\ha)\ha\ de\, $\EE$\ha.\, Les \e l\e ments de\,
$\PM$\, sont appel\e s les\, \underline{pseudo\ha-mesures}\, sur\, \ab\pt Si\, $f\in\EE$\vg on note\,
$\{f\}$\, la pseudo\ha-mesure\vvb\hs{40mm} \fbox{\;$\{f\}\,:\ha\ \EE\to\ha\R\,\dd\,g\,\mapsto
\dis\Iab\hs{-1mm}f\ha(x)\:g\hb(x)\:d\hb x$\:}\ha\vbc

$\{f\}\in\hb\PM$\; s'appelle la\, \underline{pseudo\ha-mesure associ\e e}\, \ac\, $f$\vb

On note\:  $\|\ha\ \ha\|_{\hw\star}$\: la norme duale dans\, $\PM$\ha\pv\ha on a en particulier\vvaab
\hs{50mm}$\forall f\in\EE\quad\big\|\ha\{f\}\ha\big\|_{\hw\star}=\ha\dis\Iab\big|\ha f(x)\big|\;d\,x$\vab

Un r\e sultat classique et \e l\e mentaire nous dit que\, $\PM$\, est\, \underline{complet}\, pour la norme duale\va

On pose\hh\,$\low{\EE}\,=\,\big\{\,\{f\}\;\|\ f\in\ha\EE\,\}\ha\sub\,\PM$\ha\pt\ha
Nous\, \textbf{d\e finissons}\, alors\, $\LL^1$\hb\ comme la\, \emph{\textbf{fermeture de\: $\low{\EE}$\:
dans\, $\PM$}}\, pour la norme\,  $\|\ha\ \ha\|_{\hw\star}$\pt\ha Les \e l\e ments de\, $\LL^1$\, sont
appel\e s les\, \underline{fonctionnelles sommables}\: sur\, \ab\vab

Contrairement aux pr\e sentations traditionnelles\vg nous obtenons ainsi directement et quasi-trivialement
l'espace\, $\LL^1$\vg ainsi que ses propri\e t\e s fondamentales\ha\ (\ha en particulier sa compl\e tude et
la densit\e\ de\: $\low{\EE}$\:)\pt On d\e montre de plus sans difficult\e\ que les fonctionnelles sommables\vg
d\e finies au d\e part comme des pseudo\ha-mesures\vg sont en fait des mesures\va

Par des proc\e d\e s analogues nous pouvons de m\^eme d\e finir l'espace\, $\LL^2$\, des\, \underline{fonctionnelles hilbertiennes}\,
et l'espace $\BB$\, des\, \underline{fonctionnelles born\e es}\,\pv on a d'ailleurs\, \underline{$\BB\ha\sub\ha\LL^2\sub\ha\LL^1$}\vab

Sur l'espace\, $\LL^1$\, nous pouvons d\e finir\vg en plus de la convergence en norme\vg quatre autres modes
de convergence pour les suites\dd les convergences\: \emph{\textbf{en mesure}\ha\vg \textbf{presque partout}\ha\vg
\textbf{plate}}\hb\ et\ha\ \emph{\textbf{exacte}}\pt La convergence exacte est la plus fine d'entre elles\pt
Classiquement parlant, une suite de fonctions\, $f_n$\, converge \emph{exactement} vers la fonction\, $f$\,
ssi\, le \emph{support} de\: $f_n-f$\: converge presque partout vers\, 0\pt Bien entendu cette d\e finition
doit \e tre adapt\e e au fait que les \e l\e ments de\, $\LL^1$\hb\ sont des fonctionnelles et non des fonctions\va

Nous construisons alors l'espace\, $\FO$\, des classes de fonctions mesurables\vg que nous appellerons
simplement\, \underline{fonctionnelles}\ha\vg comme le\hb\ \emph{\textbf{compl\e t\e\ de}}\ha\ $\mbof{\LL^1}$\hb\
pour la convergence\ha\ \emph{\textbf{exacte}}\pt Plus exactement nous d\e finissons cet espace comme le\ha\
\emph{\textbf{compl\e t\e\ de\:$\BB$}}\vg ce qui permet une d\e finition plus naturelle de la multiplication des fonctionnelles\va

A d\e faut d'un proc\e d\e\ plus\ha\ sp\e cifique ou plus suggestif\vg cette\ha\ \emph{\textbf{seconde}}\ha\
compl\e tion est r\e alis\e e par la m\e thode des suites de Cauchy\va

\newpage
Il faut noter que les quatre modes de convergences cit\e s plus haut engendrent le \emph{m\^eme}
compl\e t\e\ha\ pour\, $\LL^1$\hw,\ha\ \ac\ savoir\ha\ $\FO$\hb\pv\ha n\e anmoins c'est l'utilisation de la convergence
exacte qui permet d'obtenir le plus\ha\ directement et le plus tangiblement les propri\e t\e s de\, $\FO$\va

Remarquons que nous avons introduit les\hw\ (\hw classes de\hw)\hw\ fonctions mesurables\ha\
\emph{post\e rieurement}\ha\ aux\hw\ {(\hw classes de\hw)}\hw\ fonctions sommables\vg contrairement
\ac\ la plupart des th\e ories qui construisent les fonctions sommables \emph{\ac\ partir} des fonctions
mesurables\pt Or eu \e gard \ac\ la complexit\e\ des fonctions mesurables et \ac\ l'int\e r\^et
pr\e pond\e rant des fonctions \mbox{sommables\hb,}\, il semble manifestement plus avantageux de proc\e der
comme nous l'avons fait\dd d\e finir le plus rapidement\vg le plus simplement et le plus naturellement
possible les fonctions \mbox{sommables\,,\ha} en r\e servant la d\e finition des fonctions mesurables pour
un stade plus avanc\e\ de la \mbox{th\e orie\pt}\vvb

\centerline{*\,*\,*\,*\,*\,*\,*\,*\,*\,*}\vvab

De par leur d\e finition les pseudo\ha-mesures ne s'appliquent qu'\ac\ des fonctions r\e gl\e es et il est
en g\e n\e ral impossible d'\e tendre significativement les pseudo\ha-mesures \ac\ des fonctions plus
compliqu\e es\pt Par contre les mesures proprement dites admettent une extension \ac\ un espace de fonctions
extr\^emement vaste : l'espace des fonctions universelles\pt R\e aliser cette extension constitue l'objectif
traditionnel des expos\e s modernes sur l'int\e gration\pt Nous l'entreprenons \ac\ notre tour\vg bien que son
utilit\e\ ne soit pas av\e r\e e dans le cadre de notre th\e orie\pt En effet pour nombre d'applications\hw\
(sinon pour toutes)\hw\ on peut se dispenser d'int\e grer des fonctions tr\ee s g\e n\e rales\dd
l'int\e gration des\ha\ \emph{fonctionnelles}\ha\ suffit\, !\, C'est d'ailleurs ce\ha\ \emph{d\e couplage}\ha\
entre fonctions et fonctionnelles qui nous permet de simplifier l'exposition de nombreuses questions relatives \ac\ l'int\e gration\va

Il nous faut donc \e tendre l'int\e gration\ha\ (\ha par rapport \ac\ une mesure quelconque\hw)\ha\ \ac\
une classe plus vaste de fonctions que les fonctions r\e gl\e es\pt Cette extension
est d'ailleurs intimement li\e e \ac\ la d\e monstration du th\e or\ee me de\, ``\,convergence
domin\e e\,"\, de Lebesgue qui\vg contrairement au th\e or\ee me de\,  \og convergence monotone\fg\vg ne
s'applique qu'\ac\ des fonctions\vg et non \ac\ des fonctionnelles\pt Cette extension est bas\e e sur l'\e tude
approfondie de l'espace des fonctions\, \underline{positives semi-continues sup\e rieurement}\ha\vg
dont la propri\e t\e\ de\, \underline{semi-\ha compl\e tude}\, constitue la cl\e\ de vo\^ute des raisonnements\va

Ici encore il est n\e cessaire d'op\e rer au moyen de deux extensions successives\pt Nous \e tendons
d'abord l'int\e grale aux fonctions\, \underline{pseudo\ha-r\e gl\e es}\ha\vg qui sont les limites simples
born\e es des fonctions \e tag\e es\vg puis dans un second temps aux fonctions que nous appelons\,
\underline{universelles}\pt Ces fonctions ne sont autres\vg dans la terminologie traditionnelle\vg
que les fonctions universellement mesurables et sommables\va

L'espace vectoriel des fonctions universelles\vg que nous notons\, $\WW$\vg jouit de la propri\e t\e\
remarquable d'\^etre\ha\ \emph{complet}\ha\ pour la\ha\ \emph{convergence simple born\e e}\pt On en d\e duit
qu'il contient toutes les fonctions born\e es ``\,imaginables\,"\vg et en particulier toutes les fonctions\,
\underline{bor\e liennes}\, born\e es\va

\newpage
Un tel espace est bien plus commode \ac\ utiliser que l'espace des fonctions bor\e liennes born\e es,
car les fonctions universelles sont approximables par des fonctions \e l\e mentaires\ha\
(\ha par des fonctions pseudo\ha-r\e gl\e es, elles m\^emes approximables par des fonctions \mbox{\e tag\e es\ha )\hb,}\,
alors qu'en g\e n\e ral les fonctions bor\e liennes born\e es ne sont approximables par des
fonctions \e l\e mentaires qu'\ac\ travers une induction transfinie\va

Ce processus d'extension est\ha\ \emph{voisin}\ha\ de celui qui est propos\e\ dans les pr\e sentations
traditionnelles\pt Il en diff\ee re n\e anmoins sur deux points essentiels :\vva

$1^\circ$) Nous proc\e dons \ac\ cette extension alors que nous avons\ha\ \emph{d\e j\ac}\ha\ d\e fini\,
$\LL^1$\vg et non pas dans l'\emph{objectif}\ha\ de d\e finir\, $\LL^1$\, !\, La complexit\e\ relative du
processus d'extension ne vient donc pas alt\e rer la description intrins\ee quement simple des
fonctionnelles sommables\pt De plus la connaissance pr\e alable de\, $\LL^1$\ha\ (\ha et plus g\e n\e ralement
de\, $\PM$\ha)\ha\ permet d'am\e liorer consid\e rablement la lisibilit\e\ et l'intelligibilit\e\ des\ha\
d\e monstrations\va

$2\ha^\circ$) Nous ne construisons pas les fonctions mesurables et sommables\ha\ \emph{pour une mesure donn\e e},
mais les fonctions mesurables et sommables\ha\ \emph{simultan\e ment pour toutes les mesures}\pt
Ceci permet de ne faire appel qu'\ac\ un seul espace de fonctions au lieu d'avoir \ac\ consid\e rer autant d'espaces que de mesures\va

Une fois\, $\WW$\, construit\vg nous pouvons d\e finir pour tout\, $f\in\WW$\: la fonctionnelle\vvb\hs{40mm}
\fbox{\,$\{f\}\dd\,\EE\to\ha\R\,\dd\,g\,\mapsto\dis\Iab\hs{-1mm}f\ha(x)\:g\,(x)\:d\hb x$\,}\ha\vb

On d\e montre alors que l'application\,\hh$\WW\ha\to\,\BB\,\dd\hb f\mapsto\{f\}$\hh est\ha\ \emph{surjective}\vg
ce qui \e quivaut \ac\ dire que toute fonctionnelle born\e e peut \^etre ``\,repr\e sent\e e\,"
par une fonction universelle {born\e e\,.} Notre id\e e de base se ram\ee ne donc en fait\vg pour les fonctionnelles
born\e es\vg \ac\ identifier la classe de la fonction universelle\ha\ $f$\ha\ avec la fonctionnelle\,
$f\,d\ha x$\pv c'est d'ailleurs la\ha\ \emph{canonicit\e}\ha\ de la mesure de Lebesgue\hb\ $d\hb x$\hb\
qui autorise une telle \mbox{identification\ha.}\vvbc

\centerline{*\,*\,*\,*\,*\,*\,*\,*\,*\,*}\vvab

L'ensemble des r\e sultats que nous avons expos\e s jusqu'\ac\ pr\e sent se g\e n\e ralise de mani\ee re
naturelle \ac\, $\R$\vg muni de la mesure de Lebesgue ou d'une autre mesure positive\pt Le passage aux espaces\:
$\R^n$\hb\ ne pose pas non plus de probl\ee mes fondamentalement nouveaux\vg si ce n'est l'incontournable
th\e or\ee me de Fubini\pt La d\e monstration consiste \ac\ \e tendre progressivement le th\e or\ee me \ac\
des epaces de fonctions de plus en plus g\e n\e raux\vg et repose\ha\ \emph{in fine}\ha\ sur le th\e or\ee me
de convergence domin\e e de Lebesgue\pt Nous compl\e tons cette partie par un certain nombre d'applications
classiques\ha\ (\ha th\e or\ee me de Titchmarsh\vg transform\e e de Fourier\vg\ha\ldots\ha)\va

Dans une partie suivante nous d\e finissons les espaces\hh$\FO\ha(\tmu)\:\supset\:\LL^1(\tmu)\:\supset\:\LL^2(\tmu)\:\supset\:\ha\BB\ha(\tmu)$\vvww
\non\ou\: $\tmu$\: est une mesure\ha\ \emph{norm\e e positive}\ha\ sur\, $\R^n$\pt
Leurs \e l\e ments sont appel\e s les\, \underline{$\tmu$--fonctionnelles}\, (\ha respectivement\ha\
\emph{g\e n\e rales\vg sommables\vg hilbertiennes et born\e es}\ha)\pt\vva

\newpage
Les propri\e t\e s de ces nouveaux espaces sont analogues \ac\ celle des espaces \e tudi\e s pr\e c\e demment\vg pour
lesquels\: $\tmu$\: \e tait la mesure de Lebesgue sur un intervalle ou un pav\e\ compacts\vab

N\e anmoins il serait maladroit de vouloir encore identifier la classe\ha\ \emph{modulo\, $\tmu$}\ha\
d'une fonction universelle\hw\ $f$\ha\ avec la mesure\, $f\hb\tmu$\ha\pt Il faut plut\^ot consid\e rer
que la classe de\ha\ $f$\ha\ est repr\e sent\e e par l'expression\hh\fbox{$\dis\frac{f\hb\tmu}{\tmu}$\ha}\hb\vg
\cad\ par le quotient\hw\ (\ha formel\ha)\hw\ de deux mesures\va
De cette mani\ee re on pr\e serve la coh\e rence de la notation int\e grale\vg puisqu'on peut\vva
\non effectivement \e crire\,\hh\fbox{\;$\dis\int_{\ha{\R}^n}\hs{-2.5mm}f\hb\tmu\:=\int_{\ha{\R}^n}\hs{-1.5mm}\frac{f\hb\tmu}{\tmu}\;\tmu$\;}\ha\vb

Ces espaces constituent le cadre naturel de la th\e orie classique des probabilit\e s et permettent
par exemple de traiter des probl\ee mes relatifs \ac\ la \emph{convergence en loi}\ha\ ou au \emph{conditionnement\ha.}\vvab

Nous d\e veloppons ensuite l'int\e gration des fonctions et des mesures\ha\ \emph{r\e elles}\ha\ ou\ha\
\emph{complexes}\ha\ sur\: $\ZP$\ha\vg en nous inspirant des m\^emes principes que sur les espaces euclidiens\vg
la mesure de Haar prenant le relais de la mesure de Lebesgue\pt Signalons que sur\: $\ZP$\, il y a\ha\
\emph{identit\e\ de d\e finition}\ha\ entre fonction continue et fonction r\e gl\e e\vg et donc aussi
entre mesure et pseudo\ha-mesure\pt Comme applications nous \e tudions de mani\ee re approfondie les s\e ries
de Fourier et la convolution sur\: $\ZP$\vg avec de nombreux exemples\ha\ explicites\va

Dans la derni\ee re partie nous traitons d'abord de l'int\e gration sur le produit cart\e sien d'une
\emph{suite} d'ensembles finis\vg configuration dont\, $\ZP$\, peut d'ailleurs \^etre consid\e r\e\ comme un
cas particulier\pt Nous passons ensuite \ac\ l'\e tude de l'int\e gration sur l'espace vectoriel\, $\RI$\,
de \emph{toutes les suites r\e elles}\vg espace\ha-\ha cl\e\ de la th\e orie moderne des probabilit\e s\pt
Nous montrons que notre formalisme s'\e tend sans  v\e ritable difficult\e\  \ac\ ces nouveaux espaces\vg
procurant ainsi des fondements clairs et solides \ac\ la th\e orie des\ha\ \emph{processus stochastiques\ha.}\vva

En conclusion nous pensons que le\ha\ \emph{renversement de perspective}\ha\ op\e r\e\ \ac\ travers notre
th\e orie accro\^it fortement la\ha\ \emph{constructibilit\e}\ha\ et la\ha\ \emph{compr\e hensibilit\e}\ha\
des diff\e rents chapitres de la ``\,th\e orie de la mesure\,"\pt Il permet de plus\ha\ d'\emph{unifier}
les traitements\vg traditionnellement s\e par\e s, des mesures\ha\ et des\ha\ fonctions\ha\ mesurables/sommables\pt

\end{document}
