\documentclass[a4paper]{report}
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\begin{document}

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\pagenumbering{Roman}

\setcounter{page}{13}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\new{\R}{\mrom{I}\hspace{-.6mm}\mathrm{R}}
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\new{\vvab}{\vk3.75mm}
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\new{\vvc}{\vk8mm}
\new{\vvcd}{\vk10mm}
\new{\vvd}{\vk12.5mm}
\new{\vvf}{\vk15mm}

\new{\vpt}{\,.\vk.25mm}

\new{\vww}{\hb.\vvww}
\new{\vw}{\hb.\vvw}
\new{\vwwa}{\hb.\vvwa}
\new{\vwa}{\hb.\vvwa}
\new{\va}{\hb.\vva}
\new{\vaab}{\hb.\vvaab}
\new{\vab}{\hb.\vvab}
\new{\vb}{\hb.\vvb}
\new{\vbc}{\hb.\vvbc}
\new{\vc}{\hb.\vvc}
\new{\vcd}{\hb.\vvcd}
\new{\vd}{\hb.\vvd}
\new{\vf}{\hb.\vvf}
\new{\hw}{\hs{.1mm}}
\new{\ha}{\hs{.3mm}}
\new{\hb}{\hs{.5mm}}
\new{\hh}{\ \ }
\new{\dd}{\, :\, }
\new{\oui}{\hs{5mm}}

\new{\vv}{\,,\,}
\new{\vvv}{\hb,\hb}
\new{\vg}{\hb,\ha\ }
\new{\pt}{\hb.\hb\ }
\new{\pv}{\hb;\, }

\new{\ac}{\`a}
\new{\cc}{\c c}
\new{\e}{\'e}
\new{\ee}{\`e}
\new{\ou}{o\`u}
\new{\cad}{c-\`a-d}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\ph{.}\vs{2.5mm}
\centerline{\fbox{\,\LARGE{CONVENTIONS GENERALES}\,}}\vs{10mm}

\begin{picture}(,)
\put(-2,-2){\textbf{\emph{En l'absence d'indications contraires\hb,\ tous les espaces vectoriels, et donc aussi}}}
\put(-2,-8.5){\textbf{\emph{toutes les alg\ee bres\hb,\ sont r\e el(le\hs{-.35mm})\hs{-.2mm}s\hb.}}}
\put(-4.5,-12.5){\frm(173,16.5)}
\end{picture}\vk17.5mm

\textbf{\emph{Les th\e or\ee mes dont les num\e ros sont suivis d'une ast\e risque (*) sont donn\e s
sans d\e monstration\vg soit parce que la d\e monstration est triviale\vg soit parce que le th\e or\ee me
constitue l'adaptation ou la g\e n\e ralisation naturelle d'un th\e or\ee me pr\e c\e dent d\e j\ac\
d\e montr\e}}\vb

\begin{picture}(,)
\put(-3,7.5){\frm(170,29)}
\end{picture}\vvb

\centerline{\Large{\underline{Remarque sur le crit\ee re de Cauchy}}}\vvbc

Cela fait environ 180 ans que l'on \e nonce le crit\ee re de Cauchy\vg par exemple dans un espace vectoriel
norm\e\, \E\ha\vg\ha sous la forme suivante\, :\vva

\hs{5mm}Une suite\: $x_n\in\E$\hh est de Cauchy\ha\ ssi\,\hh$\al\;\eps>0$\,\hh
il existe\hh$N\hs{-.5mm}\in\N$\hh tel que\vvaab
\hs{55mm}\fbox{ $\al\:\ha p\vv q\ge N\,\hh\|\hb x\hw_p-x_q\ha\|\le\ha\eps
\ph{\dot{t}}$\hs{-.5mm}}\:.\quad(*)\vvbc

On se demande bien pourquoi on n'a jamais pris l'habitude de l'exprimer plus simplement de la mani\ee re
suivante\, :\vva

\hs{5mm}Une suite\: $x_n\in\E$\hh est de Cauchy\ha\ ssi\,\hh$\al\;\eps>0$\,\hh
il existe\hh$N\hs{-.5mm}\in\N$\hh tel que\vvaab
\hs{58mm}\fbox{ $\al\:\ha p>N\,\hh \|\hb x\hw_p-x\hw_N\hb\|\le\ha\eps\ph{\dot{t}}$\hs{-.5mm}}\:.\quad(**)\vvbc

Certes\vg la version classique\ha\ (*)\ha\ est plus sym\e trique et peut se r\e v\e ler \ac\ l'occasion
techniquement plus avantageuse\pt Mais dans l'immense majorit\e\ des cas on rend un bien mauvais service \ac\
la jeunesse \e tudiante\vg ainsi d'ailleurs qu'aux math\e matiques\vg en privil\e giant un \e nonc\e\
manifestement redondant\pt Nous utiliserons donc essentiellement la version courte\ha\ (**)\ha.

\newpage\null\thispagestyle{empty}

\end{document}
